空間向量及其應(yīng)用 高頻考點(diǎn)-精講（原卷版）-高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)

空間向量及其應(yīng)用（精講）

目錄

第一部分：知識點(diǎn)精準(zhǔn)記憶

第二部分：典型例題剖析

題型一：空間向量的線性運(yùn)算

題型二：共線、共面向量定理的應(yīng)用

題型三：空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

角度1：求空間向量的數(shù)量積

角度2：利用數(shù)量積求長度

角度3：利用數(shù)量積求夾角

角度4：利用向量解決平行和垂直問題

角度5：向量的投影和投影向量

題型四：利用空間向量證明平行與垂直

第一部分：知識點(diǎn)精準(zhǔn)記憶

知識點(diǎn)一：空間向量的有關(guān)概念

1、概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向

量的長度或模；如空間中的位移速度、力等.

2、幾類特殊的空間向量

名稱定義及表示

零向量長度為0的向量叫做零向量，記為0

單位向量模為1的向量稱為單位向量

相反向量與向量〃長度相等而方向相反的向量，稱為Q的相反向量，記為-Q

共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量

共面向量平行于同一個(gè)平面的向量

知識點(diǎn)二：空間向量的有關(guān)定理

1、共線向量定理：

對空間任意兩個(gè)向量a,6(bw0),a8的充要條件是存在實(shí)數(shù)X,使a=W

(1)共線向量定理推論：如果/為經(jīng)過點(diǎn)A平行于已知非零向量。的直線，那么對于空間任

一點(diǎn)。，點(diǎn)P在直線/上的充要條件是存在實(shí)數(shù),，使0P=+2①，若在/上取A3=a，

則①可以化作：OP=OA+tAB

(2)拓展(高頻考點(diǎn))：對于直線外任意點(diǎn)。，空間中三點(diǎn)RA3共線的充要條件是

OPWA+juAB,其中九+〃=1

2,共面向量定理

如果兩個(gè)向量不共線，那么向量p與向量4b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對

(x,y),使p=xa+yB

(1)空間共面向量的表示

如圖空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x,y),使AP=xAB+yAC.

圖3.1-15

或者等價(jià)于：對空間任意一點(diǎn)。，空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)四點(diǎn)共面)的

充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(匹丁)，使OP=OA+xA8+yAC,該式稱為空間平面ABC的向

量表示式，由此可知，空間中任意平面由空間一點(diǎn)及兩個(gè)不共線向量唯一確定.

(2)拓展

對于空間任意一點(diǎn)。，四點(diǎn)共面(其中C,A,3不共線)的充要條件是

OP=xOC+yOA+zOB(其中x+y+z=l).

3、空間向量基本定理

如果向量三個(gè)向量a,ac,不共面，那么對空間任意向量力，存在有序?qū)崝?shù)組{x，%z},使得

p=xa+ybzc.

知識點(diǎn)三：空間向量的數(shù)量積

1、空間兩個(gè)向量的夾角

(1)定義：如圖已知兩個(gè)非零向量。,方，在空間任取一點(diǎn)。，作OA=a，OB=b，則么

NAO3叫做向量a/的夾角，記<a/>.(特別注意向量找夾角口訣：共起點(diǎn)找夾角)

ObBObB

(2)范圍：<a,b>e[0,7r].

jr

特別地，(1)如果<a,6>=3,那么向量a,b互相垂直，記作a_LZ?.

(2)由概念知兩個(gè)非零向量才有夾角，當(dāng)兩非零向量同向時(shí)，夾角為0；反向時(shí)，夾角為萬，

故<a,b〉=0(或<a,b〉=萬)oa//6(a,B為非零向量).

(3)零向量與其他向量之間不定義夾角，并約定0與任何向量a都是共線的，即0a.兩非

零向量的夾角是唯一確定的.

(3)拓展(異面直線所成角與向量夾角聯(lián)系與區(qū)別)

若兩個(gè)向量出》所在直線為異面直線，兩異面直線所成的角為。，

(1)向量夾角的范圍是0〈〈a,b>〈乃，異面直線的夾角。的范圍是0<6><y,

--不

(2)當(dāng)兩向量的夾角為銳角時(shí)，0=<a,b>-,當(dāng)兩向量的夾角為,時(shí)，兩異面直線垂直；當(dāng)

兩向量的夾角為鈍角時(shí)，0=7r-<a,b>.

2、空間向量的數(shù)量積

定義：已知兩個(gè)非零向量。，b貝！11aIcos<a,〃〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a0；

即4電=|〃||/?|85<。]>.規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.

3、向量。的投影

3.1.如圖(1),在空間，向量。向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平

移到同一個(gè)平面a內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量人共線的向量c，

--b-.

c=\a\cos<a,b>——向量c稱為向量a在向量b上的投影向量.類似地，可以將向量a向

也1

直線/投影(如圖(2)).

3.2.如圖(3),向量。向平面夕投影，就是分別由向量。的起點(diǎn)A和終點(diǎn)6作平面夕的垂

線，垂足分別為4,B',得到4"，向量49稱為向量。在平面夕上的投影向量.這時(shí)，

向量。，4日的夾角就是向量3所在直線與平面夕所成的角.

(1)

4,空間向量數(shù)量積的幾何意義：向量以，b的數(shù)量積等于。的長度|a|與b在。方向上的投

影|cos<a,b>的乘積或等于8的長度|b|與a在Z?方向上的投影|a|cos<a,/?〉的乘

積.

5、數(shù)量積的運(yùn)算：

(1)(Aa)-b=A(a-b),2e7?.

(2)=(交換律).

(3)a-(b+c)-a-b+a-c(分配律).

知識點(diǎn)四：空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用

設(shè)a=(%,02M3)，b=(bl,b2,b3),空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則如下表所示：

數(shù)量積

a-b=〃也+a2b2+^383

共線(平行)

a{=2Z?1

ab(bw0)=a=肪=<a2=也(％GR)

%=AZ?3

垂直a_LbO=。o〃向+。2b2+〃3“3=。(Q,〃均非零向量)

模

l"l=JaF+a2+婷，即|a|=J%?+

=4a='a：2a；+a；

夾角

a-b_%瓦+a2b2+/偽

cos<a,b>-|a||b|業(yè):+W+dM+居+,

知識點(diǎn)五：直線的方向向量和平面的法向量

1、直線的方向向量

如圖①，a是直線I的方向向量,在直線/上取A5=a,設(shè)尸是直線/上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)尸

在直線I上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使得AP=ta，即AP=tAB

田①

2、平面法向量的概念

如圖，若直線/La,取直線I的方向向量。，我們稱。為平面a的法向量；過點(diǎn)A且

以a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合{P|a-AP=O}.

3、平面的法向量的求法

求一個(gè)平面的法向量時(shí)，通常采用待定系數(shù)法，其一般步驟如下:

設(shè)向量：設(shè)平面a的法向量為n=（x,y,z）

選向量：選取兩不共線向量AB,AC

n-AB=0

列方程組：由列出方程組

n-AB=0

解方程組：解方程組

n-AC^O

賦非零值：取其中一個(gè)為非零值（常取±1）

得結(jié)論：得到平面的一個(gè)法向量.

知識點(diǎn)六：空間位置關(guān)系的向量表示

1、空間中直線、平面的平行

設(shè)直線心4的方向向量分別為a，b,平面a,夕的法向量分別為九，加，則

線線平行4，2=。boa=Ab(2wR)

線面平行/il|a=a_L〃=〃.〃=O

面面平行aBonm=n=Am

2、空間中直線、平面的垂直

設(shè)直線4的方向向量為a=（%,偽,q）,直線4的方向向量為。=（4力2，。2）,平面a的法向

量"=（X［，X，Z］）,平面廠的法向量為〃2=（%2，%，22），則

線線垂直1、_1_/2=〃心=0=+叩入+-0

%=Axl

線面垂直/]_!_&=a?2=a=助=?瓦=?

q=%Z]

面面垂直。_1_夕=〃_|_加=〃.加=0=玉%2+M%+Z]z?—0_

第二部分：典型例題剖析

題型一：空間向量的線性運(yùn)算

典型例題

例題1.（2022?天津市第二南開中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖所示，在平行六面體

A5CD—A4G。中，”為AG與42的交點(diǎn)?若48=0，AD=b,M=c,則下列向

量中與8M相等的向量是（）.

B.—aH—b+c

22

c117

C.——a——b+cD.—a——b+c

2222

例題2.（2022嚏國?高二專題練習(xí)）已知。=（1,2,3）/=（0,-1,4）,則2°+3匕等于（）

A.（-4,6,14）B.（-4,0,6）C.（-4,3,6）D.（2,1,18）

例題3.（2022?全國?高二課時(shí)練習(xí)）已知為正方體且ZM=a，DC=b，

DR=c,則AC=.

例題4.（2022?全國?高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在平行六面體A8CD-A用G2中，M、

UUU11

N分別是AA、8c的中點(diǎn).設(shè)AA］=。，AB=b，AD=c.

5

（1）已知「是G2的中點(diǎn)，用八b、c表示AP、AN、MP+NQ；

⑵已知產(chǎn)在線段G2上，且*=；，用a、b、C表示AP.

題型歸類練

1.（2022?云南?昆明市官渡區(qū)藝卓中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在平行六面體ABC。-43/?！?/p>

中，E為A/G的中點(diǎn)，^BE=xAAl+yAB+zAD^貝!I（）.

2.（2022,全國?高二課時(shí)練習(xí)）已知向量4=（3,-2,1）,6=（-2,4,0）,則4〃+26等于（）

A.（16,0,4）B.（8,-16,4）C.（8,16,4）D.（8,0,4）

3.（2022?全國?高二課時(shí)練習(xí)）在四面體OA8C中，點(diǎn)M,N分別為。4、8C的中點(diǎn)，若

OG=^OA+xOB+yOC,且G、M、N三點(diǎn)共線，則x+y=

4.（2022,湖南?高二課時(shí)練習(xí)）如圖，正方體A3CO-A瓦中，點(diǎn)￡,/分別是上底面

45cA和側(cè)面CCQQ的中心，分別求滿足下列各式的x,y,z的值.

(1)AE=xAD+yAB+zAAj*

⑵AFuxAD+yAB+zAAj；

(3)EF=xAD+yAB+zA\.

題型二：共線、共面向量定理的應(yīng)用

典型例題

例題1.（2022?河南?宜陽縣第一高級中學(xué)高二階段練習(xí)）若空間向量.力不共線，且

-3ya+（2x+y）b=xa+10b,貝!|2x—3y=（）

A.6B.12C.18D.24

例題2.（2022?河南焦作?高二期末（理））已知向量〃=（-2,-Lx-1）,6=（2%,%,-2）,

且〃//人則了的值為（）

A.-2B.1C.-1或2D.1或—2

例題3.（2022?四川?闔中中學(xué)高二階段練習(xí)（理））在平行六面體ABC。-A4G2中，

311-AP

點(diǎn)尸在4。上，若APM;AA+:AB+:AD,則已=（）

4444c

1312

A?—B.—C.—D.—

3443

例題4.（2022?重慶市萬州第二高級中學(xué)高二開學(xué)考試）已知〃=（2,-1,3）,b=（-1,4,-2）,

c二（l,3,2）,若向量募】共面，則實(shí)數(shù)X等于（）

A.1B.2C.3D.4

例題5.(2022?吉林?東北師大附中高二階段練習(xí))A(1,T,3),3(7,0,2)為空間直角坐

標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，若根〃AB，則幾-〃=.

例題6.(2022?全國?高二課時(shí)練習(xí))若三個(gè)向量。=(3,3,2),6=(6,加,7),3=(0,5,1)共

面，則實(shí)數(shù)加的值為.

題型歸類練

1.(2022,全國?高二課時(shí)練習(xí))若點(diǎn)A(2,-5,-1),5(—1,-4,—2),C(根+3,-3,〃)在同一條直

線上，貝曠"-"=()

A.21B.4C.一4D.10

2.(2022?福建?古田縣第一中學(xué)高二階段練習(xí))已知向量。=(0,-U)與6=(0,"2,用共線，

則實(shí)數(shù)上=()

A.0B.1C.-1或2D.-2或1

3.(2022?全國?高二課時(shí)練習(xí))已知A,B,C三點(diǎn)不共線，點(diǎn)。是平面ABC外一點(diǎn)，則

在下列各條件中，能得到點(diǎn)M與A,B,C一定共面的是()

A.OM=-OA+-OB+-OCB.OM=-OA--OB+OC

22233

C.OM=OA+OB+OCD.OM=2OA+OB+OC

4.(2022?河南?洛寧縣第一高級中學(xué)高二階段練習(xí))已知AB=(2,-1,3),AC=(-1,4,-2),

AD=(5,-6.2),若ABC。四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)4=()

A.5B.6C.7D.8

5.(2022?上海高二開學(xué)考試)a=(1,-1,3),6=(-1,4,-2),c=(l,5,x),若.，

b>c三向量共面，則實(shí)數(shù)x=.

6.(2022?湖南師大附中高二開學(xué)考試)已知AB=(-2,2,-2),AC=(-1,6,-8),

AD=(%-4,-2,0),且點(diǎn)。在平面ABC內(nèi)，則尤=.

題型三：空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

角度L求空間向量的數(shù)量積

典型例題

例題1.(2022?全國?高二課時(shí)練習(xí))已知5=(—3,2,5),6=(1,5,-1),則a-(a+36)等于

()

A.(0,34,10)B.(-3,19,7)C.44D.23

例題2.（2022?江蘇?高二課時(shí)練習(xí)）如圖，邊長為1的正方體ABC。-A4c12中，

則％*Bp的值為（）

例題3.（2022?全國?高二課時(shí)練習(xí)）空間向量的數(shù)量積運(yùn)算符合向量加法的分配律，即

a?（6+c）=.

例題4.（2022唉國?高二課時(shí)練習(xí)）已知ABCD-是長方體，AB==2,AD=4,

且E為側(cè)面AA的中心，尸為AA的中點(diǎn)，分另!J求3c尸

題型歸類練

1.（2022?江蘇?高二課時(shí)練習(xí)）在正方體ABCD-AEC'D'中，棱長為2,點(diǎn)M為棱DD上

一點(diǎn)，則AM.2"的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

2.（2022,湖南?長沙市平高高級中學(xué)有限公司高二階段練習(xí)）在棱長為1的正方體

A2CZX4//G。/中，^AB=a,AD=b,AAl=c,則a-（b+c）的值為（）

A.1B.0C.-1D.-2

3.（2022?全國?高二課時(shí)練習(xí)）若向量a=（0,1,-1）,b=（l,l,0）,則（。-26）”的值是.

4.（2022?全國?高二課時(shí)練習(xí)）已知直三棱柱ABC-A4G中，

NABC=6（r,AB=2,BC=CG=l,求.

角度2:利用數(shù)量積求長度

典型例題

例題1.(2022?湖北?高二期末)若04、08、OC為空間三個(gè)單位向量，OA1OB,且

OC與。4、。2所成的角均為60,^\pA+OB+OC\=()

A.5B.\/3C.5/5D.5/6

例題2.(2022?廣東?潮州市湘橋區(qū)南春中學(xué)高二階段練習(xí))已知空間向量。=(0,1,4),

&=(1,-1,0),貝山+0=()

A.MB.19C.17D.V17

例題3.(2022?全國?高二課時(shí)練習(xí))已知向量1=(2,-1,3)，人=(-1」,力，若：與辦垂

直，貝!|a+2b=.

例題4.(2022福建南平高二期末)在空間直角坐標(biāo)系中，已知。4=(2,1,3),03=(5/,-1),

貝!1網(wǎng)=.

例題5.(2022?河南?高二階段練習(xí))如圖，在四棱柱ABC。-中，四邊形ABCO

TT

是正方形，M=6,AB=4,且/GCB=/GCD=H，設(shè)CD=a,CB=b,CC、=c.

(1)試用a,b,c表示BQ；

(2)已知。是的中點(diǎn)，求。。的長.

題型歸類練

1.(2022,江蘇?高二課時(shí)練習(xí))已知空間向量a,九c兩兩夾角均為60,其模均為L則

|<7+/>-2c|=()

A.72B.73C.2D.也

2.（2022?湖南?長郡中學(xué)高二期末）己知空間向量。=（1,一1,0）,則,+耳=（）

A.3B.&C.6D.75

3.（2022?全國?高二課時(shí)練習(xí)）已知尸（2,1,-3）,2（1,3-2）,則「0卜.

4.（2022,湖南?長沙市平高高級中學(xué)有限公司高二階段練習(xí)）如圖，在平行六面體

中，AB=5,AD=3,"=4,ZDAB=9Q,=ZDAAi=60,E

是CG的中點(diǎn)，設(shè)，AD=b,44j=c.

（1）用4,b,C表示4E;

（2）求AE的長.

5.（2022?福建?泉州師范學(xué)院附屬鵬峰中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在平行六面體

ABCD-AB'C'D'中，AB=4,AD=3,A4'=5,XBAD=90,ZBAA'=ZDAA'=60.求:

WAA,-AB

⑵AC的長.

角度3：利用數(shù)量積求夾角

典型例題

例題1.（2022?河南喧陽縣第一高級中學(xué)高二階段練習(xí)）若向量。=（2,0,2）,6=（-2,2,1）,

且“與6的夾角的余弦值為-g,則實(shí)數(shù)幾等于（）

333

A.1B.—C.1或一D.0或一

222

例題2.（2022?全國?高二專題練習(xí)）已知。=（0,-1,1）,6=（1,2,-1）,則〃與6的夾角為

（）

A.30。B.60°C.150°D.120°

例題3.（2022?全國?高二專題練習(xí)）已知A（l,0,0）,B（0-1,1）,0是坐標(biāo)原點(diǎn)，OA+WB

與02的夾角為120,則2的值為（）

A.士逅B.逅C.一亞D.±76

666

例題4.（2022建國?高二課時(shí)練習(xí)）已知空間三點(diǎn)A（l,l,l）,B（T,0,4）,C（2,-2,3）,求5c4）.

題型歸類練

1.（2022?全國?高二專題練習(xí)）已知向量。=（3,1,2）,i=（-1,3,t）,且〃與b夾角的余弦值

為（，貝/的取值可以是（）

A.2B.-2C.4D.-4

2.（2022?河南開封,高二階段練習(xí)）若。=（1,42）,b=（2-1,2）,且0,6的夾角的余弦值

Q

為“貝！M等于（）

22

A.2B.-2C.—2或一D.2或——

5555

3.（2022?全國?高二單元測試）若空間兩個(gè)單位向量Q4=（m,〃,0）、QB=（0,〃,p）與

JT

OC=（1,1,1）的夾角都等于I，貝|cosNAOB=.

4.（2022?湖南?高二課時(shí)練習(xí)）已知4（0,U）,5（1,2,1）,C（l,l,2）三點(diǎn)，求coscAB,AC>

的值.

角度4：利用向量解決平行和垂直問題

典型例題

例題1.（2022?全國?高二課時(shí)練習(xí)）若直線/的方向向量。=（1,0,1）,平面△的法向量

?=(1,1,-D，則()

A.lu/3B.C.l//pD./u"或〃/￡

例題2.（2022?全國?高二課時(shí)練習(xí)）若/〃c,且/=（2,九1）為直線/的一個(gè)方向向量,

〃=心2］為平面a的一個(gè)法向量，則用的值為（）.

A.—4B.—6C.—8D.8

例題3.（2022?全國?高二單元測試）如圖，正方體A2CD-A瓦的棱長為a,M,

N分別為A/和AC上的點(diǎn)，A、M=AN=叵,則與平面BBC。的位置關(guān)系是

3

A.相交但不垂直B.平行C.相交且垂直D.不能確定

例題4.（2022嚏國?高二課時(shí)練習(xí)）已知在正四棱柱中，AB=1,M=2,

點(diǎn)2為CG的中點(diǎn)，點(diǎn)/為2,的中點(diǎn).

(1)求證：EFLBD^EFLCC；；

(2)求證：EF//AC.

題型歸類練

1.（2022?江蘇揚(yáng)州?高二期中）已知直線/的一個(gè)方向向量E=（l,2,m），平面a的一個(gè)法向

量”=（—1,—2,3）,若/J_a,貝|pw=（）

A.—3

2.（2022,云南?昆明市官渡區(qū)藝卓中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)"=（2,1,-2）是平面a的法向量,

。=（-3,8,1）是直線/的方向向量，則直線/與平面a的位置關(guān)系是（）.

A.平行B.垂直

C,相交但不垂直D.平行或在平面內(nèi)

3.(2022?全國?高三專題練習(xí))如圖，AT>〃3C且AD=23C,ADA.CD,EG〃AD且EG=AD,

CD〃FG旦CD=2FG,OG_L平面ABC。，QA=Z)C=QG=2.若M為CP的中點(diǎn)，N為

EG的中點(diǎn)，求證：MN〃平面CZ)E；

4.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖在邊長是2的正方體中，E,尸分別

為AB,4c的中點(diǎn).證明：平面平面OAC；

5.(2022?全國?高三專題練習(xí))在正方體ABC。-中，如圖E、尸分別是8片，CD

的中點(diǎn)，求證：平面ADE；

角度5：向量的投影和投影向量

典型例題

例題1.(2022?全國?高二課時(shí)練習(xí))在正三棱柱ABC-$與G中，若=則做

在3G上的投影向量為()

11亞亞

A.——BQB.—BC】C.以BC、D.*BC、

4422

例題2.(2022?湖北?沙市中學(xué)高二階段練習(xí))已知空間向量a=(1,1,0),/,=(-

1,0,2),貝!J“在6方向上的投影向量為.

例題3.(2022?全國?高二課時(shí)練習(xí))已知A(0,0,0),2(2,5,0),C(l,3,5),求AC在AB上正

投影的數(shù)量.

例題4.(2022?全國?高二課時(shí)練習(xí))如圖，在長方體ABC。-AB'C'D中，已知|筋|=1,

\AD\=2,|A4j=3,分別求向量AC在48、ADyAY方向上的投影數(shù)量.

題型歸類練

1.(2022?全國?高二課時(shí)練習(xí))已知向量a=(-1,1,2),6=(2,-1,0),貝必在b方向上的投影

為.

2.(2022?遼寧營口?高二開學(xué)考試)已知A(-1,2,1),3(-1,5,4),C(l,3,4).

(1)求

(2)求AC在AB上投影的數(shù)量.

3.(2022?全國?高一)已知在標(biāo)準(zhǔn)正交基｛",%｝下，向量a=4i+3j-8Mb=2i-3j+1k,

c=-i+2j-4k,求向量m=a-b+c在，上的投影.

4.(2022?全國?高二課時(shí)練習(xí))在標(biāo)準(zhǔn)正交基?,/,耳下，已知向量￡=-2i+8/+3Z,

b=-5i+2k，則向量a+2匕在i上的投影為，在/水上的投影之積為.

題型四：利用空間向量證明平行與垂直

典型例題