線性時(shí)不變系統(tǒng)描述和系統(tǒng)響應(yīng)

關(guān)于線性時(shí)不變系統(tǒng)描述和系統(tǒng)響應(yīng)2.1LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程描述1.LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程對于LTI離散時(shí)間系統(tǒng)，其輸入和響應(yīng)間的映射關(guān)系可以用一個線性常系數(shù)差分方程及一組初始條件來描述第2頁,共70頁，2024年2月25日，星期天初始條件：線性常系數(shù)差分方程的一般形式可以表示為全解＝齊次解＋特解。1.LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程第3頁,共70頁，2024年2月25日，星期天產(chǎn)生系統(tǒng)響應(yīng)的原因：系統(tǒng)的初始狀態(tài)＋系統(tǒng)的輸入

即：y[n]=yzi[n]+yzs[n]

零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)1.LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程(LTI的特性)系統(tǒng)的全響應(yīng)＝零輸入響應(yīng)＋零狀態(tài)響應(yīng)第4頁,共70頁，2024年2月25日，星期天2.零輸入響應(yīng)的求解零輸入響應(yīng)：例：已知一LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程為：y[n+2]+3y[n+1]+2y[n]=f[n+1]-2f[n]，初始條件為:y[0]=0，y[-1]=1，求其零輸入響應(yīng)

yzi[n]輸入信號為零，僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)單獨(dú)作用而產(chǎn)生的響應(yīng)。第5頁,共70頁，2024年2月25日，星期天第6頁,共70頁，2024年2月25日，星期天零輸入響應(yīng)的求解過程:2.零輸入響應(yīng)的求解(1)列出特征方程，解出特征根;(2)根據(jù)系統(tǒng)的初始條件解出待定系數(shù)。第7頁,共70頁，2024年2月25日，星期天系統(tǒng)的全響應(yīng)＝零輸入響應(yīng)＋零狀態(tài)響應(yīng)2.2LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)—卷積和系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零時(shí)，由系統(tǒng)的外部激勵單獨(dú)作用而產(chǎn)生的響應(yīng)。沖激響應(yīng)h[n]

:零狀態(tài)響應(yīng)：沖激信號為激勵信號時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。第8頁,共70頁，2024年2月25日，星期天1.沖激響應(yīng)h[n]的求解例1：一LTI離散時(shí)間因果系統(tǒng)的差分方程為y[n]-5y[n-1]+6y[n-2]=f[n]，求h[n]=?第9頁,共70頁，2024年2月25日，星期天1.沖激響應(yīng)h[n]的求解第10頁,共70頁，2024年2月25日，星期天考慮：激勵信號由多項(xiàng)組成，h(n)如何求解？

例2：一LTI離散時(shí)間因果系統(tǒng)的差分方程為:y[n]-y[n-1]-2y[n-2]=f[n]-f[n-2]，求h[n]=?

第11頁,共70頁，2024年2月25日，星期天分析：第12頁,共70頁，2024年2月25日，星期天1.沖激響應(yīng)h[n]的求解第13頁,共70頁，2024年2月25日，星期天1.沖激響應(yīng)h[n]的求解第14頁,共70頁，2024年2月25日，星期天

h[n]的求解過程：(1)求出激勵信號為δ[n]時(shí)對應(yīng)的沖激響應(yīng)h1[n]求出特征根；根據(jù)n<0時(shí)，h[n]=0,迭代出h1[n]中的待定系數(shù)(2)根據(jù)線性時(shí)不變系統(tǒng)的線性性和非時(shí)變性，求出激勵信號為其他信號時(shí)對應(yīng)的hi[n]，h[n]=h1[n]+...hi[n]1.沖激響應(yīng)h[n]的求解第15頁,共70頁，2024年2月25日，星期天2.零狀態(tài)響應(yīng)的求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)？第16頁,共70頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)：一離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的差分方程為：y[n+2]-3y[n+1]+2y[n]=f[n+1]-2f[n]系統(tǒng)的初始條件為：y[0]=1，y[-1]=1，輸入信號f[n]=u[n];分別求出系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和沖激響應(yīng)yzi[n]=u[n]h[n]=u[n-1]第17頁,共70頁，2024年2月25日，星期天2.零狀態(tài)響應(yīng)的求解任一離散時(shí)間信號f[n]可分解為沖激信號的線性組合第18頁,共70頁，2024年2月25日，星期天2.零狀態(tài)響應(yīng)的求解稱作f[n]與h[n]的卷積和注意：卷積式求出的僅是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)第19頁,共70頁，2024年2月25日，星期天（1）卷積和的定義及計(jì)算：3卷積和的求解演示第20頁,共70頁，2024年2月25日，星期天（1）卷積和的定義及計(jì)算：3卷積和的求解演示第21頁,共70頁，2024年2月25日，星期天第22頁,共70頁，2024年2月25日，星期天卷積和的計(jì)算分成兩步：（1）確定求和限;(根據(jù)兩個階躍函數(shù)所組成的門函數(shù)確定積分限)（2）確定求和結(jié)果的有效存在時(shí)間；(將兩個階躍函數(shù)內(nèi)的值相加)3.卷積和的求解第23頁,共70頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)：一離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的差分方程為：y[n+2]-3y[n+1]+2y[n]=f[n+1]-2f[n]系統(tǒng)的初始條件為：y[0]=1，y[-1]=1，輸入信號f[n]=u[n];分別求出系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，零狀態(tài)響應(yīng)及全響應(yīng)第24頁,共70頁，2024年2月25日，星期天（2）卷積和的性質(zhì)：3.卷積和的求解1）交換律:f[n]*h[n]=h[n]*f[n]卷積運(yùn)算的交換律說明在計(jì)算LTI系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)，系統(tǒng)輸入信號和系統(tǒng)沖激響應(yīng)所處的地位是相同的，即可把進(jìn)行卷積的兩個信號中的任一個看成輸入信號，另一個看成系統(tǒng)沖激響應(yīng)。第25頁,共70頁，2024年2月25日，星期天f[n]*(h1[n]*

h2[n])=(

f[n]*h1[n])*

h2[n]f[n]*(h1[n]+h2[n])=f[n]*h1[n]+f[n]*

h2[n]3）結(jié)合律:2）分配律:（2）卷積和的性質(zhì)：第26頁,共70頁，2024年2月25日，星期天4)離散卷積和差分特性5)累加特性（如果卷積和的累加存在）

（2）卷積和的性質(zhì)：6）位移特性：f[n]*d[n-n0]=f[n-n0]f[n-n1]*δ[n-n2]=y[n-n1-n2]第27頁,共70頁，2024年2月25日，星期天第28頁,共70頁，2024年2月25日，星期天n0123456789h(n)0012300000h(n-1)00012300002h(n-2)00002×12×22×3000h(n-3)0000012300y(n)0001488300第29頁,共70頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)1：一LTI離散系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為：h[n]={1,2,3},n=0,1,2

;系統(tǒng)的初始狀態(tài)為0，輸入信號f[n]={3,1,3},n=-1,0,1,求系統(tǒng)的響應(yīng)。y[n]=3h[n+1]+h[n]+3h[n-1]第30頁,共70頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)2：一離散時(shí)間LTI系統(tǒng)S，由兩個子系統(tǒng)S1與S2級聯(lián)組成，已知的輸入輸出關(guān)系分別為：y1[n]=2f1[n]+3f1[n-1]；

y2[n]=5f2[n-2]+f2[n-3](1)確定系統(tǒng)S的沖激響應(yīng)h(n);(2)寫出系統(tǒng)S的輸入f(t)信號與輸出信號y(t)的關(guān)系;(3)將子系統(tǒng)S1與S2的順序顛倒，確定系統(tǒng)S的沖激響應(yīng)第31頁,共70頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)3：一離散時(shí)間LTI系統(tǒng)，輸入信號為f[n]，輸出信號為y[n]，且：第32頁,共70頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)4：已知一LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h[n]=3nu[n]，求當(dāng)激勵信號為f[n]=2nu[n]時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)y[n]=?第33頁,共70頁，2024年2月25日，星期天LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)描述為用沖激響應(yīng)和差分方程來描述系統(tǒng)，二者等價(jià)第34頁,共70頁，2024年2月25日，星期天2.3LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的微分方程描述1.LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的微分方程對于LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，其輸入和響應(yīng)間的映射關(guān)系可以用一個線性常系數(shù)微分方程及一組初始條件來描述第35頁,共70頁，2024年2月25日，星期天線性常系數(shù)微分方程的一般形式可以表示為初始條件：微分方程的經(jīng)典解法全解＝齊次解＋特解。第36頁,共70頁，2024年2月25日，星期天產(chǎn)生系統(tǒng)響應(yīng)的原因：系統(tǒng)的初始狀態(tài)＋系統(tǒng)的輸入

即：y(t)=yzi(t)+yzs(t)

零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)1.LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的微分方程(LTI的特性)系統(tǒng)的全響應(yīng)＝零輸入響應(yīng)＋零狀態(tài)響應(yīng)第37頁,共70頁，2024年2月25日，星期天2.零輸入響應(yīng)的求解輸入信號為零，僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)單獨(dú)作用而產(chǎn)生的響應(yīng)。解該方程即可得到系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yzi(t)。零輸入響應(yīng)：第38頁,共70頁，2024年2月25日，星期天例：一LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的微分方程如下：求該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yzi(t)。第39頁,共70頁，2024年2月25日，星期天零輸入響應(yīng)的求解過程：(1)列出特征方程，解出特征根(2)根據(jù)系統(tǒng)的初始條件解出待定系數(shù)第40頁,共70頁，2024年2月25日，星期天2.4LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)—卷積積分

系統(tǒng)的全響應(yīng)＝零輸入響應(yīng)＋零狀態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零時(shí)，由系統(tǒng)的外部激勵單獨(dú)作用而產(chǎn)生的響應(yīng)。沖激響應(yīng)h(t)

:零狀態(tài)響應(yīng)：沖激信號為激勵信號時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。第41頁,共70頁，2024年2月25日，星期天1.沖激響應(yīng)h(t)的求解例1：一連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的微分方程為第42頁,共70頁，2024年2月25日，星期天1.沖激響應(yīng)h(t)的求解第43頁,共70頁，2024年2月25日，星期天考慮：n=m或n<m時(shí)，h(t)是否還是這樣一個表達(dá)式？

1.沖激響應(yīng)h(t)的求解第44頁,共70頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)：一連續(xù)時(shí)間線性非時(shí)變系統(tǒng)的微分方程為1.沖激響應(yīng)h(t)的求解第45頁,共70頁，2024年2月25日，星期天觀察：1.沖激響應(yīng)h(t)的求解當(dāng)m=n時(shí)，h(t)中應(yīng)含有δ(t)才能保證方程兩邊的δ平衡第46頁,共70頁，2024年2月25日，星期天h(t)得求解過程：(1)求出特征根(2)寫出h(t)的表達(dá)式

n>m，h(t)中不含有δ(t)及δ(t)的各階導(dǎo)數(shù)；

n＝m，h(t)中含有δ(t)但不含δ(t)的各階導(dǎo)數(shù)；

n<m，h(t)中不含有δ(t)及δ(t)的各階導(dǎo)數(shù)；(3)求出h(t)中的待定系數(shù)，根據(jù)方程兩邊的δ平衡原理，將h(t)的表達(dá)式代入微分方程，即可解出待定系數(shù)1.沖激響應(yīng)h(t)的求解第47頁,共70頁，2024年2月25日，星期天2.零狀態(tài)響應(yīng)的求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)？第48頁,共70頁，2024年2月25日，星期天任一連續(xù)時(shí)間信號f(t)可分解為沖激信號的線性組合2零狀態(tài)響應(yīng)的求解演示第49頁,共70頁，2024年2月25日，星期天任一連續(xù)時(shí)間信號f(t)可分解為沖激信號的線性組合第50頁,共70頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)

0時(shí)，

d

，k

，且任意連續(xù)信號可分解為沖激函數(shù)的線性組合任一連續(xù)時(shí)間信號f(t)可分解為沖激信號的線性組合分析：第51頁,共70頁，2024年2月25日，星期天2零狀態(tài)響應(yīng)的求解任一連續(xù)時(shí)間信號f(t)可分解為沖激信號的線性組合稱作f(t)與h(t)的卷積積分注意：卷積式求出的僅是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)第52頁,共70頁，2024年2月25日，星期天用沖激響應(yīng)和微分方程來描述系統(tǒng)，二者等價(jià)LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)微分方程LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)f(t)h(t)y(t)第53頁,共70頁，2024年2月25日，星期天（1）卷積積分的定義及計(jì)算：3卷積積分的求解演示第54頁,共70頁，2024年2月25日，星期天3卷積積分的求解卷積積分的計(jì)算分成兩步：（1）確定積分限;(根據(jù)兩個階躍函數(shù)所組成的門函數(shù)確定積分限)（2）確定積分結(jié)果的有效存在時(shí)間；(將兩個階躍函數(shù)內(nèi)的值相加)第55頁,共70頁，2024年2月25日，星期天（2）卷積積分的性質(zhì)：3卷積積分的求解1）交換律:f(t)

*h(t)=h(t)

*f(t)卷積運(yùn)算的交換律說明在計(jì)算LTI系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)，系統(tǒng)輸入信號和系統(tǒng)沖激響應(yīng)所處的地位是相同的，即可把進(jìn)行卷積的兩個信號中的任一個看成輸入信號，另一個看成系統(tǒng)沖激響應(yīng)。第56頁,共70頁，2024年2月25日，星期天f(t)*[h1(t)

*

h2(t)]=[f(t)

*h1(t)]*

h2(t)f(t)

*[h1(t)+h2(t)]=f(t)

*h1(t)+f(t)

*

h2(t)3）結(jié)合律:2）分配律:（2）卷積和的性質(zhì)：第57頁,共70頁，2024年2月25日，星期天（2）卷積和的性質(zhì)：第58頁,共70頁，2024年2月25日，星期天（2）卷積和的性質(zhì)：第59頁,共70頁，2024年2月25日，星期天第60頁,共70頁，2024年2月25日，星期天第61頁,共70頁，2024年2月25日，星期天第62頁,共70頁，2024年2月25日，星期天例:利用卷積的性質(zhì)計(jì)算下圖的卷積。解：系統(tǒng)的響應(yīng)為第63頁,共70頁，2024年2月25日，星期天第64頁,共70頁，2024年2月25日，星期天∴∴第65頁,共