廣東省2021年春季高考數(shù)學(xué)模擬試卷14（含解析）

2021年廣東春季高考數(shù)學(xué)模擬試卷(14)

注：本卷共22小題，滿分150分。

一、單選題(本大題共15小題，每小題6分，滿分90分)

1.已知集合/={小2+3%一440},集合3={xwZ|-24x<4},則203=()

A.{-2,1,0,1}B.{-1,0,1,2,3}C.{0,1}D.{1}

【答案】A

【解析】

【分析】

先分別化簡兩集合，再求交集，即可得出結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)榧螦-|x|x2+3x-4<0|=^x|-4<x<,

集合6={xeZ|-2Kx<4}={-2,-1,0,1,2,3},

所以Zc8={-2,—1,0,1}.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查求集合的交集，涉及一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題型.

2.已知向量￡=(2,3)，辦=(3,2)，則|：一笳=O

A.V2B.2

C.5^2D.50

【答案】A

【解析】

【分析】

求出的坐標(biāo)，再利用向量模的公式計(jì)算即可.

【詳解】

由已知,?-6=(2,3)-(3,2)=(-1,1)，

所以|￡_加='(7)2+12=五.

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量模的坐標(biāo)運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

3.函數(shù)/'(x)=0上!■的定義域?yàn)?)

2-x

A.[―1,2)D(2,+co)B.(—l,+oo)

C.[―1,2)D.[-l,+oo)

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可得出關(guān)于X的不等式組，由此可解得函數(shù)/(X)的定義域.

【詳解】

Jx+1x+l>0

對于函數(shù)/(x)=有八，解得了2-1且xw2.

2-x2—xwO

因此，函數(shù)/(切=立±1的定義域?yàn)椋?1,2)°(2,+8).

2—x

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)定義域的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

23-1,工1

已知函數(shù)/(x)=<3+log]x,x>l，則/'(/(4))=()

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式求出/(4)的值，即可得/(4))=/(1),計(jì)算即可得答案.

【詳解】

23r-l,x,1

解：根據(jù)題意，函數(shù)〃x)=<3+log|x,x〉「

則〃4)=3+1嗚4=3-2=1

則/'(/(4))=/(1)=22-1=3.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)值的計(jì)算，涉及分段函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題.

5.已知不等式ax?—Ax—120的解集是卜卜34x4-2},則不等式X。+6x+a>0的解集是()

A.(一丄或x>l}B.{x|x<-l或x>丄)

C.[卜<一2或%>3}D.{》上<一3或%>2}

【答案】B

【解析】

【分析】

先由已知不等式的解集求出4,b，再代入所求不等式求解，即可得出結(jié)果.

【詳解】

2

因?yàn)椴坏仁絘x-bx-l>0的解集是｛x|-3<x<-2),

所以一3和-2是方程ax?--1=0的兩根，

b..f,5

則"，解得I6.

——=-3x(-2)a=——

aV'I6

因止匕x?+6x+a>0即為x?+yx-y>0,即

66I6丿

解得X>丄或X<-I.

6

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查由一元二次不等式的解集求參數(shù)，考查解一元二次不等式，屬于基礎(chǔ)題型.

6.已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)戶(4,—3),則2sina+cosa的值等于()

2432

A.——B.-C.——D.-

5555

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)角a的終邊過點(diǎn)尸(-4,3),利用任意角三角函數(shù)的定義，求出和cosa的值，然后求出

2sina+cosa的值.

【詳解】

因?yàn)榻莂的終邊過點(diǎn)尸(4,—3),=OP=5,

所以利用三角函數(shù)的定義，

、34

求得=--.cosa=—,

342

?.2sina+cosa=——x2+—=——,故選A.

555

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角函數(shù)的定義，意在考查對基礎(chǔ)知識(shí)掌握的熟練程度，屬于簡單題.

7.計(jì)算(')5-(_2.5)°-(^-)3+(|)-2的結(jié)果為()

5125

A.-B.—C.—

2218

【答案】B

【解析】

【分析】

利用指數(shù)的運(yùn)算法則以及零次基求解即可.

【詳解】

1

----

2，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了指數(shù)的運(yùn)算法則.屬于容易題.

8.如果b是4和c的等比中項(xiàng)，則函數(shù)y=aF+bx+c的圖像與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.0B.1C.2D.0或2

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)b是。和c的等比中項(xiàng)，得至iJ/=ac，且ac〉O,然后表示出此二次函數(shù)的根的判別式，判斷

出根的判別式的符號(hào)即可得到二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【詳解】

解：由6是。和c的等比中項(xiàng)，得到〃=ac，且ac>0，

令ax2+bx+c=O(a片0)

則△=/-4ac-ac-4ac=-3ac<0>

所以函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是0.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，靈活運(yùn)用根的判別式的符號(hào)判斷二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，屬

于基礎(chǔ)題.

9.完成一項(xiàng)裝修工程，請木工需付工資每人500元，請瓦工需付工資每人400元，現(xiàn)有工人工資預(yù)

算20000元，設(shè)木工x(xNO)人，瓦工y(yiO)人，則關(guān)于工資xj滿足的不等關(guān)系是()

A.5x+4j<200B.5x+Ay>200

C.5x+4y=200D.5x+4yW200

【答案】D

【解析】

【分析】

木工所付工資與瓦工所付工資的和小于現(xiàn)有工資預(yù)算.

【詳解】

由題意，可得500x+400^420000,化簡得5x+4y4200.

故答案為：D.

【點(diǎn)睛】

應(yīng)用題答題的關(guān)鍵是審題，此題為簡單題.

10.已知三條直線a,b,c滿足：。與6平行，a與c異面,則6與c()

A.一定異面B.一定相交C.不可能平行D.不可能相交

【答案】C

【解析】

【分析】

利用正方體的棱與棱的位置關(guān)系及異面直線的定義即可得出ABD錯(cuò)誤，再利用反證法結(jié)合平行公理

即可得到6與C不可能平行.

【詳解】

如圖所示：

b與?？赡墚惷妫部赡芟嘟?，不可能平行.用反證法證明一定不平行，假設(shè)b//c,又a/〃，則a//c,

這與已知。與c異面矛盾，所以假設(shè)不成立，故b與c不可能平行.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

熟練掌握正方體的棱與棱的位置關(guān)系及異面直線定義是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，屬

于基礎(chǔ)題.

22

11.兩圓￡:/+；?=16,C2:x+y+2x+2y-7=0,則兩圓公切線條數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)兩圓的位置關(guān)系即可得解.

【詳解】

兩圓。1：爐+歹2=16,圓心G（0,0）,半徑為4,

C]:X?++2x+2y-7-0,

其標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）2+（y+1）2=9,圓心G（T，T），半徑為3，

圓心距|C￡|=近，|4一3|<應(yīng)<|4+3],

即兩圓相交，所以公切線恰有兩條.

故選：B

【點(diǎn)睛】

此題考查兩圓位置關(guān)系的判斷，通過圓心距離與兩圓半徑的關(guān)系判定兩圓位置關(guān)系，進(jìn)而得出公切

線的條數(shù).

12.在如圖所示的“莖葉圖”表示的數(shù)據(jù)中，眾數(shù)和中位數(shù)分別（）.

A.23與26B.31與26C.24與30D.26與30

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)莖葉圖的數(shù)據(jù)，結(jié)合眾數(shù)與中位數(shù)的概念，即可求解，得到答案.

【詳解】

根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，可得眾數(shù)是數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，即眾數(shù)為31,

又由中位數(shù)的定義，可得數(shù)據(jù)的中位數(shù)為26,

故選B.

a【點(diǎn)睛】

本題主要考查了莖葉圖的應(yīng)用，其中解答中正確讀取莖葉圖的數(shù)據(jù)，以及熟記眾數(shù)、中位數(shù)的概念

是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

-2

X,X<1,

已知函數(shù)/（X）=<則/(2020)=()

A.-1B.-2020C.1D.2020

【答案】B

【解析】

【分析】

先利用分段函數(shù)及周期性求得/（2020）=/（0）-2020,再代入計(jì)算即得結(jié)果.

【詳解】

函數(shù)/（x）=/；“<1，

則/（2020）=7（2019）-1=/（2018）-2=...=/（0）-2020=0-2020=-2020.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了分段函數(shù)求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.

14.在AZBC中，角Z，B,C所対的邊分別為"，b,c,已知c2=3b，且

acsin6=sinC，則$“席=（）

A.—B.旦C.1D.J3

22

【答案】B

【解析】

【分析】

利用余弦定理可得C=二，再利用正弦定理的邊角互化可得。6=2百，根據(jù)三角形的面積公式即

6

可求解.

【詳解】

：.C=-,.-.sinc=-

62

QacsinB=26sinC，/.acb=2A/JC，

即ab=2也,

??S“BC=丄absinC=丄?2GsinC=V3x丄=.

2222

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正弦定理的邊角互化、余弦定理、三角形的面積公式，考查了基本運(yùn)算求解能力，屬于

基礎(chǔ)題.

15.《幾何原本》第二卷中的幾何代數(shù)法(以幾何方法研究代數(shù)問題)成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題

的重要依據(jù)，通過這一原理，很多代數(shù)的定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，并稱之為無字證明.現(xiàn)有如

圖所示的圖形，點(diǎn)尸在半圓。上，且。尸丄N8,點(diǎn)C在直徑上運(yùn)動(dòng).設(shè)ZC=。，8C=b,則

由FC2。尸可以直接證明的不等式為()

A.(a>0,>0)B.a2+h2>2ab(a>0,b>0)

C.^-<4ab(a>0,b>0)D.若<戸/(a>0,6>0)

a+b

【答案】D

【解析】

【分析】

由4、6分別表示。尸、CF,再由尸C2。尸即可得解.

【詳解】

不妨設(shè)點(diǎn)C在半徑。8上運(yùn)動(dòng).

由圖形可知：。尸=丄48=色土2,。。=佇2.

222

在火厶0cp中，由勾股定理可得CE=

(a>0,b>Q).

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)學(xué)文化及基本不等式的證明，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題

3

16.已知aw(0,?),sintz=—,則tan(a—工)=

54

【答案】---或-7

7

【解析】

c…上則tana=±3,所以tana一工tana-1_

由已知得,y-或

54141+tana

.豈1

tana-1

4=—7.

1+tanaI-3

4

17.已知數(shù)列｛%｝的前項(xiàng)和S0=〃2-〃，則數(shù)列｛%｝的第4項(xiàng)是—

【答案】6

【解析】

【分析】

根據(jù)知與S“的關(guān)系，即可得答案；

【詳解】

22

va4=S4-S3=(4-4)-(3-3)=6,

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】

本題考查凡與S,的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

18.某產(chǎn)品分為優(yōu)質(zhì)品、合格品、次品三個(gè)等級(jí)，生產(chǎn)中出現(xiàn)優(yōu)質(zhì)品的概率為丄，出現(xiàn)合格品的概

8

3

率為一，其余為次品.在該產(chǎn)品中任抽一件，則抽到的為次品的概率為

4

【答案】-

8

【解析】

【分析】

根據(jù)對立事件的概率公式求解即可.

【詳解】

由題意，在該產(chǎn)品中任抽一件，“抽到次品”“抽到優(yōu)質(zhì)品和合格品”是對立事件，

131

???在該產(chǎn)品中任抽一件，“抽到次品”的概率為P=I-(§+^)=u.

故答案為：—.

8

【點(diǎn)睛】

本題考查了對立事件的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

19.已知實(shí)數(shù)滿足方程(x—2)2+/=1,則2的取值范圍是-

X

【答案】，坐，坐

33

【解析】

【分析】

設(shè)』=攵，數(shù)形結(jié)合以及點(diǎn)到直線的距離即可求解.

X

【詳解】

（X—2）2-hy2=1,圓心為（2,0）,r=1,

設(shè)歲=左，y=kx9

x

當(dāng)直線與圓相切時(shí)d=1,

_V|叵

/.k€

所以2的取值范圍是

X一丁下,

故答案為:H當(dāng)

【點(diǎn)睛】

本題考查了直線的斜率公式、直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題

20.在平面四邊形488中，已知力8=8C=CO=1,AD=6

7T

（1）若Z.A--,求sinABDC；

6

⑵求VJcosA-cosC-

【答案】(1)(2)1.

2

【解析】

【分析】

(1)在△48。中，利用余弦定理求出3。，進(jìn)而在△BCD中求出sinZ8OC；

⑵在△48。和ABCD中分別使用余弦定理表示8。，聯(lián)立方程組可得出百cos/-cosC的值.

【詳解】

(1)在△48。中，Z0=6，AB=\,ZA^-,

6

5￡>2=1+3-2V3XCOS-=4-273x—=l.得BD=1，

62

所以8D=BC=CD=1,ZBDC=-,smUBDC=—；

32

⑵在△4SD中，由余弦定理得BO?=]+3—2jJcos/=4-26cos/，

在ABCD中，由余弦定理得BO?=]+I_2COSC=2-2COSC，4-273COS=2-2COSC.

得百cosN-cosC=1>所以Jicos/-cosC為定值1-

【點(diǎn)睛】

本題考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

21.如圖，在四棱錐P-Z8C。中，底面48CQ為菱形，平面丄平面N8CD,PA=PD,

ABAD=60°.

(1)求證：ADLPB；

(2)若4D=2,三棱錐Z—的體積為1,求線段尸8的長度.

【答案】(1)見解析(2)V6

【解析】

【分析】

（1）取/〃中點(diǎn)M,連接PM,BM,證出PM丄4D，BM丄AD，再利用線面垂直的判定定理證出

丄平面進(jìn)而證出力。丄P8.

（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理可得丄平面48CQ,再利用等體法：

囁一9=県9的,|PM=I求出|尸加|=6,在R^PMB中,利用勾股定理即可求解?

【詳解】

解：（1）取/。中點(diǎn)M,連接PM,BM,

■：PA=PD,：.PMA.AD.

???四邊形48C。是菱形，且NA4Z）=60。，

二△力8。是正三角形，J.丄NO,

又?.?PMDBA/="，；?力D丄平面尸M3.

又?.?P8u平面PA"，.?.4D丄P8.

（2）?.?平面PZO丄平面力BCD,且交線為ND,

：加丄，???尸”丄平面48C。.

在正三角形48。中，AD=29

：.SMBD=；x2x2xsin60O=G.

由題意可知，匕-