第二章：函數(shù)與基本初等函數(shù)（模擬測試-教師版）-2024年高考數(shù)學一輪復習考點（新教材新高考）

第二章：函數(shù)與基本初等函數(shù)

(模擬測試)

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的

指定位置。

2.選擇題的作答:每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂

黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內。寫在試卷

草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

4.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交。

第I卷(選擇題)

一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的)

1.集合A={x|y=Ig(x2-4)},集合B={y|y3-2x-3卜全集U=R,則隨A)8為()

A.[—2,2]B.[―2,+co)

C.{2}D.(-co,2]u[3,+oo)

【答案】B

【分析】根據(jù)真數(shù)大于零以及根式的性質可化簡集合，即可由集合的交并補運算求解.

【詳解】對于集合A,由f一4>0nx>2或x<—2,所以A=(-?,2)7(2,?),電,A=[—2,2],

y=VX2-2%-3=^(%-1)2-4>0,/.B={y|y>0}.故(電可？3[-2,-+^).

故選：B

2.若。>0且且。=cd,則Mog23=()

A.2B.：C.3D.-

23

【答案】A

【分析】根據(jù)題意寫出d,并利用對數(shù)換底公式進行化筒計算，再計算aog?3即可.

【詳解】由題意得"4=胃=甯=1%4'

log,4_21og,2

所以Mog23=log,4xlog23=

log?2噫2

故選：A.

3.函數(shù)/（力=》2但二式的大致圖象是（）

2+cosx

【分析】求函數(shù)f（x）的定義域，證明函數(shù);1（X）為偶函數(shù)，排除CD,再證明當xwjogj時，/（x）<0,排

除B,由此可得結論.

【詳解】由題意可知，函數(shù)/（x）的定義域為R,定義域關于原點對稱,

2-cos(-x)2-cosx

又/（一句=（一x>lgX21g"(x)，

2+cos(-x)2+cosx

所以f(x)為偶函數(shù)，排除選項c,D；

、口(八nV.八.廣廣…12-cosx,,2-cosx,、

當0,；；?時，0<cosx<l,所以一<--------<1,則r1i1lg------------<0,

V2732+cosx2+cosx

所以/(x)=x2]gjcosx<0,排除B

2+cosx

故選：A.

4.已知函數(shù)“X)對任意xeR都有〃x+2)=—〃x),且/(T)=-〃X),當xe(—1,1]時，/1(x)=M.則下

列結論正確的是（）

A.函數(shù)y=/(x)的圖象關于點化O)(A:eZ)對稱

B.函數(shù)y=〃x)的圖象關于直線x=2M%eZ)對稱

C.當xc[2,3]時，〃X)=(X-2)3

D.函數(shù)y=|/(x)|的最小正周期為2

【答案】D

【分析】根據(jù)/(x+2)=-/(x)得到〃x+2)=〃x-2),所以的周期為4,根據(jù)〃r)=-/(x)得到

關于戶-1對稱，畫出的圖象，從而數(shù)形結合得到AB錯誤；再根據(jù)/")=-/(犬-2)求出尤€[2,3]

時函數(shù)解析式；D選項，根據(jù)y=/(x)的最小正周期，得到y(tǒng)=|f(x)|的最小正周期.

【詳解】因為〃x+2)=-/(x),所以f(x)f(x-2),故〃x+2)=〃x—2),

所以f(x)的周期為4,

又“T)=-/(X),所以〃T)=〃X-2),故“X)關于x=-l對稱,

又1,1]時，〃x)=d,故畫出/(x)的圖象如下:

A選項，函數(shù)y=/(x)的圖象關于點(L0)不中心對稱，故A錯誤；

B選項，函數(shù)y=f(x)的圖象不關于直線x=2對稱，B錯誤；

C選項，當xe[2,3]時，x-2e[0,l],則f(x)=-f(x-2)=-(x-2)3,C錯誤;

D選項，由圖象可知y=/(x)的最小正周期為4,

?(x+2)|=|-/(x)|=|/(x)|,故y=|f(x)|的最小正周期為2,D正確.

故選：D

5.水霧噴頭布置的基本原則是：保護對象的水霧噴頭數(shù)量應根據(jù)設計噴霧強度、保護面積和水霧噴頭特性,

____5.iv

按水霧噴頭流量q（單位:L/min）計算公式為q=犬師和保護對象的水霧噴頭數(shù)量N計算公式為N=7

計算確定，其中P為水霧噴頭的工作壓力（單位：MPa）,K為水霧噴頭的流量系數(shù)（其值由噴頭制造商提

供），S為保護對象的保護面積，W為保護對象的設計噴霧強度（單位：L/minm2）.水霧噴頭的布置應使

水霧直接噴射和完全覆蓋保護對象，如不能滿足要求時應增加水霧噴頭的數(shù)量.當水霧噴頭的工作壓力P

為0.35MPa,水霧噴頭的流量系數(shù)K為24.96,保護對象的保護面積S為14m?，保護對象的設計噴霧強度W

為20L/min-m2時，保護對象的水霧噴頭的數(shù)量N約為（參考數(shù)據(jù)：后=1.87）（）

A.4個B.5個C.6個D.7個

【答案】C

【分析】把給定的數(shù)據(jù)代入公式計算即可作答.

【詳解】依題意，P=0.35MPa,K=24.96,S=14m2,W=20Umin.m2,

S?卬_14x20?280

由4=N=------

q-KA/1而—24.96x反~24.96x1.87

所以保護對象的水霧噴頭的數(shù)量N約為6個.

故選：C

6.已知函數(shù)“X),g(x)的定義域均為R,且滿足〃x)—g(2-x)=4,g(x)+〃x—4)=6,

30

g(3-x)+g(x+l)=0,則Z"")=()

N=1

A.-456B.-345C.345D.456

【答案】B

【分析】根據(jù)遞推關系可得/(—x)+/(x)=8且/(x)=/(x+2)+2,進而有/(x)+x=/(x+2)+x+2,構造

〃(x)=/(x)+x易知力(x)是周期為2,分別求得/(0)=4、/(1)=3,再求〃(0)、MD,根據(jù)周期性求加),最

后求和.

【詳解】由f(x)—g(2—x)=4,則f(—x)-g(x+2)=4,即g(x+2)=/(—x)-4,

由g(x)+/(x—4)=6,貝!]g(x+2)+f(x-2)=6,即g(x+2)=6-/(x-2),

又g(x)+/(x-4)=6,則g(x+l)+〃x-3)=6,

“x)-g(2-x)=4,則〃x-l)-g(3-x)=4,

又g(3-x)+g(x+l)=0,

所以g(x+l)+/(x-3)-[/(x-l)-g(3-x)]

=g(x+l)+/(x-3)-/(x-l)+g(3-x)=2,

即/(x-3)-/(x-l)=2,

即〃x)=/(x+2)+2,

所以f(x-2)=f(x)+2,故g(x+2)=6-/(x-2)=4-/(x),

綜上f(-x)-4=4-f(x),則f(-x)+/(x)=8,故上x)關于(0,4)對稱,

且有fM+x=f(x+2)+x+2,

令丸(x)=/(x)+x,則〃(x)=〃(x+2),即〃(x)的周期為2,

由g(3—x)+g(x+l)=0知g(x)關于(2,0)對稱且g⑵=0,

所以〃0)-g(2)=4,即"0)=4,則M0)=/(0)+0=4,

17(-1)+/⑴=8

由+可得"1)=3,則/瑁)=.*1)+1=4,

所以/i(0)=〃⑵=/⑵+2=4則"2)=2；

力(1)=版3)=/(3)+3=4貝1]/(3)=1,

依次類推可得7(4)=0,/(5)=-1,........f(n)=4-n,則/(30)=4-30=-26,

所以

t/(〃)=/(1)+/(2)+...+/(30)=26=_345

n=\2

故選：B

【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)遞推式得/(-x)+/(x)=8目J(x)=/(x+2)+2,構造〃*)=/(x)+x并確定其周

期，依據(jù)周期性求/⑺.

7.a=^-,/?=lnl.l,c=tan0.1,則()

A.c<a<bB.a<c<b

C.b<a<cD.a<b<c

【答案】D

【分析】令/(x)=ln(x+l)-旨丁利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性可得到了(0.1)>/(0)=0,即可判斷。、b的

大小關系；構造函數(shù)力(x)=ln(x+l)-x判斷〃=lnl.l與0.1的大小，構造函數(shù)m(x)=x-tanx判斷0.1與

c=tan0.1大小，從而可判斷〃、c大小.

]]x

【詳解】令〃x)=ln(x+l)-后，.㈠?)，則:(力,一而廣再產

所以當X>0時?/qx)>0,即/(x)在(0,田)上單調遞增,

所以"0.1)>/(0)=0,即也(0.1+1)-昔1>0,即即〃>“,

1_r

令〃(x)=ln(尤+1)-X,貝I」〃'(/)=----1=—1y,

在川0彳時，廳(x)<0,則故x)為減函數(shù),

/./i(x)</z(o)=o,即ln(x+l)<x；

令m(x)=x-tanx,XE(0,5),則①'(X)=1--->0,

故加(x)在xe(og)為減函數(shù)，

/.tn^x)<m(0)=0,即xvtanx；

Aln(x+l)<x<tanx,xe[0,^j,

令x=0.1,則ln(0.1+l)vO.lvtanO.l,即bvO.lvc,:.b〈c,

所以a<Z?<c.

故選：D.

【點睛】結論點睛：常用的不等式：sinx<x<tanx^O<x<yj,ln(x+l)<x(x>0),InxKx-IKx2-x(無>。)，

er>x+Be'>er>x(x>0),e'>x2(x>0).

8.已知函數(shù)〃x)=?+m壬+a,若〃x)=0有3個不同的解，則“的取值范圍是()

A.(-8，一|")B.f-0°,-z

C.(|，+8)D.3

—,+00

2

【答案】A

1

【分析】對函數(shù)變形得，5)=二1+亙二+〃，令七區(qū):，利用導數(shù)可求得/=￡二?_8,0)31,+8),則

X

將問題轉化為/(x)=0有3個不同的解等價于f+-j+a=O有兩個解4,弓且6>1,r2<0,然后利用一元

二次方程根的分布可求得結果.

，/、exe1

、％▼/Ix)=----1---：----F〃=----1---：----1-a

r【詳解】八/Xe'-'+xxe'T,

X

，當xv()或Ovxvl時，，<0,當x>l時，r>o,

.,.r=—a(-^,0),(0,1)上單調遞減，在(1,用)上單調遞增，

X

則/=?€(-00,0)。(1,+8),可得函數(shù)的大致圖象，

所以/(x)=0有3個不同的解等價于/+—1+。=0有兩個解％,r2R/,>i,G<0,

整理可得/+(a+l)/+(a+l)=O,

￡7+1<0

二根據(jù)根的分布，得

1+。+1+。+1<0

解得"一1’則〃的取值范圍是F-I

【點睛】關鍵點點睛：此題考查函數(shù)與方程的綜合應用，解題的關鍵是通過對函數(shù)變形換元，將問題轉化

為〃x)=0有3個不同的解等價于f+5+a=O有兩個解％，&且4>1，f2<。，考查數(shù)學轉化思想和數(shù)形

結合的思想，屬于較難題.

二、多選題(本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

全部選對得5分，有選錯得0分，部分選對得2分)

9.已知函數(shù)和g(x)分別為奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，(x)+g(x)=2*,則()

A.f(x)-g(x)=2'x

B./(x)在定義域(ro,”)上單調遞增

C./(x)的導函數(shù)/'(XRI

D.g(x)>1

【答案】BD

_x-i.9x

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得,g(x)="^,結合選項即可逐一求解，

【詳解】期f(x)+g(x)=2:得f(F+g(F=2L由于函數(shù)/(*)和g(x)分別為奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以

_1_

-f(x)+g(x)=2r,因此/(x)=F一,g(x)「2~，

對于A,f(x)-且(1)=-2一二故A錯誤，

對于B,由于函數(shù)y=2*在(7,”)單調遞增，產2一,在(7>,內)單調遞減，所以〃力=二^—在(7,切)

單調遞增，故B正確，

對于C,r(力2-2;2—2=(2*+；)ln222匕x2*In2=g2,當且僅當x=0時取等號，

而加2<1,所以C錯誤，

對于D,=[,當且僅當x=0時取等號，所以D正確，

v722

故選：BD

10.已知a,beR,滿足e"+e"=4,貝U()

A.a+h<2\n2B.ea+b<3C.ab>\D.e2fl+e2*>8

【答案】ABD

【分析】利用指數(shù)式和對數(shù)式的運算規(guī)則，結合導數(shù)和基本不等式求最值，驗證各選項是否正確.

【詳解】對于A,由ea+e”=422^/?"，得e"吆2,,。+匕421n2,

當且僅當a=b=ln2時等號成立，A正確；

對于B,由e"=4-e">0,得e"+0=4+0-e"且a,bw(-°o[n4),

令〃x)=4+x-e'(x<ln4),則_f(x)=l—e"盟x)>0解得x<0,f'(x)<0解得0<x<ln4,

得〃x)在(-8,0)上單調遞增，在(0,In4)上單調遞減，

所以f(x)4〃0)=3,即e"+b=4+b-e'Y3,B正確;

對于C,當a=0,b=ln3時，滿足e"+e"=4,ab=0<l,C錯誤；

對于D,e2u+e2h=g-2(e2<,+e2/,)>g(e2a+e2*+2后"力=1(eu+e*)2=8,D正確.

故選：ABD.

11.函數(shù)y=〃x)在區(qū)間(9,舟)上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且滿足/(3+力—〃3—x)+6x=0,函

數(shù)〃l-2x)的圖象關于點(0,1)對稱，則()

A./(X)的圖象關于點(1,1)對稱B.8是“X)的一個周期

C.“X)一定存在零點D./(101)-299

【答案】ACD

【分析】根據(jù)/(I-2x)的圖象關于點(0,1)對稱得f(x)的圖象關于點(U)對稱，進而構造函數(shù)

g(x)=/(3+x)+3x,判斷g(x)為偶函數(shù)，且關于(-2,-5)對稱，進一步得到g(x)的單調性，進而結合可求

解ABD,由零點存在性定理即可判斷C.

【詳解】對于A,由于“1-2司的圖象關于點(0,1)對稱，所以/(I-2x)+f(l+2x)=2,故/(l-x)+f(l+x)=2,

所以〃x)的圖象關于點(1,1)對稱，故A正確，

由/(3+x)-/(3-x)+6x=0^/(3+x)+3x=/(3-x)-3x,令g(x)=/(3+x)+3x,;.g(_x)=/(3-x)+3x,

所以g(x)=g(-x),故g(x)為偶函數(shù)，又“X)的圖象關于點(1,1)對稱，所以〃x)+/(-x+2)=2,又

/(X)=g(x-3)-3(x-3),從而

g(x-3)-3(x-3)+g(-x+2-3)-3(-x+2-3)=2=>g(x-3)+g(-x-1)=-10,

所以g(x)的圖象關于(-2,-5)對稱，

對于C,a/(l-x)+/(l+x)=2中，令x=0J(l)=1>0,所以

g(-2)=/(l)-6=-5,\g(2)=-5=/(5)+6?/(5)=1K0,由于y=/(x)在區(qū)間(口,內)上的圖象是一

條連續(xù)不斷的曲線，由零點存在性定理可得f(x)在(L5)有零點，故C正確

對于D,由于g(x)的圖象關于(-2,-5)對稱以及g(x)=g(r)得

g(x)+g(-x-4)=-10=>g(x)+g(x+4)=-10,X.g(x+8)+^(x+4)=-10,J>lfy,^(x)=g(x+8)，所以g(x)

是周期為8的周期函數(shù)，f(101)=g(98)-3?98=g(2)294=-5-294=-299,故D正確，

對于B,/(1)=L/(9)=g(6)-18=g(-2)-18=g(2)-18=-5-18=-23?/(I),所以8不是〃x)的周期，

故選：ACD

【點睛】本題考查了函數(shù)性質的綜合運用，函數(shù)的常用性質有：奇偶性、單調性、對稱性、周期性等.常見

的奇偶性與對稱性結合的結論有：

⑴若函數(shù)y=/u+a)為偶函數(shù)，則函數(shù)y=/(X)關于X=。對稱.

⑵若函數(shù)y=/(Ha)為奇函數(shù)，則函數(shù)y=/(幻關于點(a,0)對稱.

⑶若/(x)=/(2a-X),則函數(shù)/(X)關于X="對稱.

(4)若f(x)+f(2a-x)=3,則函數(shù)f(x)關于點(。/)對稱.

12.對于函數(shù)/(x)和g(x),設玉e{x|/(x)=()},X2e{x|g(x)=()},若存在內,電，使得|西一百＜1,則稱/(x)

與g(x)互為“零點相鄰函數(shù)”.若函數(shù)〃x)=ei+x-4與g(x)=lnr-/nr互為“零點相鄰函數(shù)”，則實數(shù)機的值

可以是()

Aln5門ln3廠In2-1

A.—B.—C.—D.-

532e

【答案】BCD

【分析】根據(jù)零點的定義求函數(shù)的零點七，由定義可得函數(shù)g(x)的零點演的范圍，結合函數(shù)解析式，

轉化為含參方程有解問題，求導，可得答案.

【詳解】由題意，可得/(幻=/*-3+怎_4=0,g仇)=ln%—慢=0,

易知％=3,則|3—wlvl,2<x2<4,

則機=3在24當44有解，

X2

求導得：,令加'=0,解得x?=e,可得下表:

工2

演(2，e)e（e，4）

inr4-0—

nt/極大值

則當馬=e時，取得最大值為L

e

.In2.In4In2

x,==--,x、-4,〃?=---

24—

則"的取值范圍為竽3

、「Inx、八「?,1-lnx八

設y=—，x>e,則y=--—<0,

XX

所以函數(shù)了=皿在（e,y）上單調遞減，所以增〈牛=。<甲<1,

DLje

u,-2,?ln2ln31

所以"，的值可ris以丁，——,—.

23e

故選：BCD.

【點睛】“新定義’'主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去

解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看

本質，它們考查的還是基礎數(shù)學知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應萬變才是制勝

法寶.

第n卷（非選擇題）

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.寫出一個同時具有下列性質①②③，且定義域為實數(shù)集R的函數(shù)/（同=.

①最小正周期為2；0/（-x）+/（x）=2；③無零點.

【答案】gsin（心）+1（答案不唯一）

【分析】根據(jù)周期，對稱性,零點等性質判斷寫出符合條件的一個函數(shù)即可.

【詳解】/（x）=；sin（口）+1的定義域為R,

最小正周期為丁=巧2兀=2,

元

f（一1）+=gsin（-心）+l+gsin（7Lr）+l=-gsin（7Lr）+l+（sin（7tx）+l=2

i3

因為-IWsinTLrWl,所以萬4/卜）^^,

所以/（x）無零點,

綜上，/（x）=gsing）+l符合題意

故答案為：/（x）=gsin（叫+1.

14.已知〃x）=l+log3X（14x49）,設8（%）=尸（司+/1）,則函數(shù)y=g（x）的值域為

【答案】[2,7]

【分析】確定函數(shù)y=g（x）的定義域，化筒可得y=g（x）的表達式，換元令iog3x=r,（te[0,i]）,可得

y=t2+4t+2,結合二次函數(shù)的性質即得答案.

【詳解】由題意得貝打4x43,即g(x)=r(x)+f(x2)的定義域為[1,3],

22

故g(X)=/(X)+f(》2)=(1+log,x)2+1+log3x=(log3x)+4log?X+2,

令logsx=/,(/€[0,1]),則y=/+4r+2=a+2)2-2,

函數(shù)y=?+2）2—2在[0,1]上單調遞增，故ye[2,7],

故函數(shù)3=8（6的值域為[2,7],

故答案為：[2,7]

15.已知函數(shù)y=log“（2x+3）-4（a>0且過定點尸，且定點P在直線/：or+by+7=0S>0）上，則

工+上的最小值為.

a+24b

【答案】|4

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質得尸（T，T）,代入直線方程得。+2+劭=9,再根據(jù)基本不等式可求出結果.

【詳解】令2x+3=l,即x=-l,y=~4,故P(-l,-4),

由P(-l,-4)在直線/:ox+6y+7=0S>0)上，得-a-4b+7=0,即a+2+46=9,

因為a>0且axl,b>0,所以a+2>2且a+2?3,4b>0,

a+2+4匕1小4ba+2、1小、I46”+2、4

所以——-——=一(2+----+----)>-(2+2j----------)=-

Jr齊信99a+24b9\a+24b9

當且僅當焉=工’即〃+2=皿*'即"于'藍時’等號成立.

1|4

故有十花的最小值為“

故答案為：!4

16.已知函數(shù)〃月=5（1+/2萬）則使得〃2a）>/（a+l）成立的實數(shù)。的取值范圍為

【答案】f-1oL（o,i）

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調性即可求解.

【詳解】函數(shù)〃月=、1+島）的定義域為（9,0）5。，內）,

因為f(x)=:(i+二1ex+l

xe

所以AT)《冷1l+ev1eA+1z、

Fh二r(力

故函數(shù)/(x)為偶函數(shù),

當x>0時，y=->0,且y=-在(0,一)上單調遞減，

XX

29

當x>0時，y=l+^-j>0,且y=l+1口在(0,w)上單調遞減,

而“"TH

故/(x)在(0,一)上單調遞減，且/(x)>0.

則使得〃2a)>〃a+l)成立,

|2tz|<|f/+l|

需“2"0,

。+1*0

所以4a2<(〃+1)2且〃工0,々工一1,

所以3。2一2。一1<0且,

所以(34+1)(〃一1)<0且々00,。,-1

解得-;<〃<0或Ovavl,

故答案為：M,oL(O,l).

四、解答題(本題共6小題，其中17題10分，18、19、2()、21、22題各12分，共70分。解

答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.已知事函數(shù)〃x)=(3療-2〃?)/'(〃7GR)在定義域上不單調.

(1)試問：函數(shù)/(x)是否具有奇偶性？請說明理由；

⑵若f(a+l)+〃2a-3)<0,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】⑴"X)為奇函數(shù)；理由見解析

,23

(2)av-1或

【分析】(1)由篝函數(shù)的定義可得m=-;或加=1,結合函數(shù)/(X)的單調性排除增根，由此確定

/(X)的單調性，結合奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，判斷函數(shù)的奇偶性；

(2)利用奇函數(shù)的性質化簡不等式，再結合函數(shù)的單調性通過討論化簡不等式求其解.

【詳解】(1)由題意3帆2-2s=1,解得，〃=-g或機=1,

當m=l時，/(x)=x,

函數(shù)/(x)=x在R上單調遞增，不合題意；

1」

當加=一§時，/(x)=—,

函數(shù)/(耳=/的定義域為(—,。)5°，+8)，

函數(shù)f(x)=E；在(f,0)上單調遞減，在(0,+8)上單調遞減，

但/(-1)=TJ⑴=1,

所以函數(shù)〃司=/在定義域(,，°)5°，+8)上不單調，符合題意，

所以/(x)=X3,

因為函數(shù)/(司=3^勺定義域關于原點對稱，

口_1—

“f(-X)=(-x)-3=-X3=-/(x)，

所以〃x)為奇函數(shù)；

(2)由勿-3)<0及/(x)為奇函數(shù),

可得+加-3)="3-2&),

即(a+l)Tv(3-2a)T,

而/(X)在(-8,0)上遞減且恒負，在(0,內)上遞減且恒正，

?+1>0。+1<0

。+1<0

所以<3-2“>0或<3-2。<0或

3—2。>0

〃+1>3—2?！?1>3—2。

23

解得av—1或一<〃<一.

32

-x2+2nvc,x<2

18.已知函數(shù)/（x）={4，meR.

ni-x-i-----X>2

、2-x9

（1）當x42時，求y（x）>0的解集：

（2）若/（x）的最大值為3,求m的值.

【答案】⑴詳見解析；

⑵〃?=±^3

【分析】（1）根據(jù)二次不等式的解法，分類討論即得；

（2）當x>2時利用基本不等式可得函數(shù)的最大值，進而可得〃2=9然后結合條件即得，當x<2時根據(jù)二次

函數(shù)的性質分類討論可得函數(shù)的最值，然后結合條件檢驗即得.

【詳解】（1）當x42時，-%2+2fnx>0，即x（x-2m）v0.

當mV0時，2m<x<0；

當m=0時,不等式無解；

當〃2>0時，若相￡1,0<X<2/M,若/>1,0<X<2；

所以，當機<0時，不等式的解集為（2加,0）；當加=0時，不等式的解集為0；當0<加41時，不等式的解

集為（0,2書;當加>1時，不等式的解集為（0,2].

4「4

（2）①當x>2時，f{x}=m-x-^-—二加一2一（x-2）+--,

2-xLx-2

4

又X—2>0,則（％-2）+-->4,當且僅當工=4取等號，

x-2

所以=相一2_4=m一6=3,即m=9,

若帆=9時，當XK2時，/（x）=-x2+2nix=-x2+18x.此時/（冷山=/（2）=32>3,

所以〃2=9不滿足題意，舍去.

②當xK2時，/（力=一/+2如的對稱軸為X二小，

當〃?<2時，=/（帆）="=3,m=±y/3.

7

當加>2時，“X）在（YO,2]時增函數(shù)，〃x）a=/（2）=4〃L4=3,即,"=工（舍去）.

若加=±6.當x>2時，/(x)gx=〃7一6=±6一6<3,滿足題意.

綜上，〃2=±6時，/(X)的最大值為3.

19.已知函數(shù)/*)對任意的。力wR,都有"a+b)=〃a)+/S)-l,且當x>0時，/W>1.

⑴求證：/(外是R上的增函數(shù)；

⑵若，閆="X)-〃y)J⑵=1,解不等式J'(x)-/(9)42.

【答案】(1)證明見解析

⑵［一1,3).(3,4］

【分析】(1)由已知條件結合函數(shù)單調性的定義證明；

(2)利用賦值法求得了(4)=2,再利用(1)求出的函數(shù)單調性解不等式.

［詳解】(1)設西,多?R，且％<多,

則彳2-%>0,即/(%2一］)>1,

所以)-/(X)=/［(々一占)+X/-/(不)=一%)+/(占)-1一/(X］)=/(%-%)-1>0,

所以/(%)</(工2)，所以“X)是R上的增函數(shù).

(2)因為/⑶=/(x)—/(y),所以廬|+/(y)=/(x).

在上式中取X=4,y=2,則有/(2)+/(2)=/(4),

因為〃2)=1,所以/(4)=2.

于是不等式f(x)-f(￡)42等價于加0-3)］</(4),(x+3).

又由(1)知/(x)是R上的增函數(shù)，

一fx(x-3)<4A，

所以｛on，解得一1W%<3或3vx<4,

［五一3wO

所以原不等式的解集為［T,3)(3,4］.

20.設函數(shù)/(x)=2'+(p-l)-2T是定義域為R的偶函數(shù).

⑴求P的值；

⑵若g(x)=/(2x)-2k-(2'-2-'j在［1,”)上最小值為-4,求人的值；

(3)若不等式/(2x)>加?/(力-4對任意實數(shù)x都成立，求實數(shù)的范圍.

【答案】(1)P=2

(2)k—瓜

⑶y,3)

【分析】(1)根據(jù)偶函數(shù)的定義，即可求得答案.

⑵由⑴可得/(X)解析式，代入所求，即可得g(x)解析式，令，=2*-2,可得g⑴=*一2h+2,根

據(jù)x的范圍，可得，的范圍，利用二次函數(shù)的性質，分別討論和兩種情況，結合題意，即可求得

22

答案.

(3)根據(jù)2*+2-->/?于=2,原不等式可化為m<(2"+2一,)+翥尸，令/=2<+2,可得f的范圍，

根據(jù)對勾函數(shù)的性質，即可求得g⑺的最小值，即可得答案.

【詳解】(Df(x)是偶函數(shù)，/(-x)=〃x)恒成立，

即2-'+(p-1)?2、=2"+(p-1)?2T恒成立，即(0-2)(2*-2-*)=0,

p=2.

(2)由(1)知/3=2*+2一,

g(x)=22jr+2-2*-2k?(2,-2-，)=(2r-2T)2-2我(2,-2')+2,xe[1,+8),

令/=2*-2-*,為增函數(shù)，xe[1,+a?),貝ijte|,+°oj,

g(t)=t2-2kt+2,te|-,+oo^,

為對稱軸為直線f=Z，開口向上的拋物線，

①當心|時，g(f)在,收)遞增，所以g(%=g(|)=?-3&,

1733

—-3^=^,k=—(不合題意)，

412

3

②當上>1?時，=8(&)=一/+2,

，-r+2=-4，解得k=#或k=-布(舍去)，

g(x)的最小值為-4時，k的值為卡.

(3)不等式/(2x)>〃z-/(x)-4,即22，+2N>制2,+2-,)-4,

2X+2~x>2y]2x-2~x=2?當且僅當x=l時等號成立.

22、+22+4_⑵+2T)2+22-2一，?

m<2X+2-X~2X+2-X)2X+2-X

2

令f=2*+2T,/G[2,+QO),則g(r)=f+：,re[2,+oo),

又對勾函數(shù)8。)在［2,+00)上遞增，；.8。),而11=8(2)=3,，加<3.

故實數(shù)>n的取值范圍為(TO,3).

21.濟南市地鐵項目正在加火如荼的進行中，通車后將給市民出行帶來便利，已知某條線路通車后，列車

的發(fā)車時間間隔，(單位：分鐘)滿足2Y420,經市場調研測算，列車載客量與發(fā)車時間間隔，相關，當

104/420時列車為滿載狀態(tài)，載客量為500人，當2空<10時，載客量會減少，減少的人數(shù)與(10-r)的平

方成正比，且發(fā)車時間間隔為2分鐘時的載客量為372人，記列車載客量為。⑺.

(1)求P(f)的表達式，并求當發(fā)車時間間隔為5分鐘時，列車的載客量；

(2)若該線路每分鐘的凈收益為Q(f)=8P(’)；2656一60(元)，問當發(fā)車時間間隔為多少時，該線路每分鐘

的凈收益最大，并求出最大值.

300+40r-2r2,2<r<10

【答案】(1)P⑺二450

500,10</<20

(2)發(fā)車時間間隔為4分鐘時，每分鐘的凈收益最大為132元.

【分析】(1)由題設，有p(f)=500-左(10-。2艮。(2)=372,求大值，進而寫出其分段函數(shù)的形式即可.

(2)由(1)寫出。⑺解析式，討論2q<10、104r420求最大值即可.

【詳解】(1)由題設，當24r<10時，令pQ)=5OO-A(1O-f)2,

又發(fā)車時間間隔為2分鐘時的載客量為372人，

/.p(2)=500-4(10-2了=372,解得々=2.

300+40/-2/2,2<r<10

/.，

500,10</<20

故，=5時，p(5)=500-2x(10-5)2=450,

所