2024屆上海市閔行區(qū)高考一模數(shù)學(xué)試題（含答案）

2023學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研

數(shù)學(xué)試卷

考生注意：

1.本場考試時(shí)間120分鐘，試卷共4頁，滿分150分，答題紙共2頁.

2.作答前，考生在答題紙正面填寫學(xué)校'姓名、考生號(hào)，粘貼考生本人條形碼.

3.所有作答務(wù)必填涂或書寫在答題紙上與試卷題號(hào)對(duì)應(yīng)的區(qū)域，不得錯(cuò)位.在草稿紙、試

卷上作答一律不得分.

4.用2B鉛筆作答選擇題，用黑色筆跡鋼筆、水筆或圓珠筆作答非選擇題.

一、填空題(本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分)

考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.

1.已知集合M=｛0,l,a+l｝，若-LeA/,則實(shí)數(shù)a=.

2.若sina=；,則sin(乃-a)=.

3.若孫=l(x、yeR),則必+4丁的最小值為.

4234

4.已知(x—l)=a0+axx+a2x+a3x+tz4x,則a2-.

5.已知圓錐的底面周長為4》，母線長為3,則該圓錐的側(cè)面積為.

22

6.若雙曲線j—1=1(?！?］〉0)的離心率為J5,則該雙曲線的漸近線方程為.

ab

jr

7.若將函數(shù)y=sin(2x+")(0<0(萬)的圖像向右平移—個(gè)單位，得到的圖像所對(duì)應(yīng)的函

數(shù)為奇函數(shù)，則夕=.

2

8.已知/(X)=X-8X+10,xeR，數(shù)列｛an｝是公差為1的等差數(shù)列，若

/((?!)+/(%)+/(%)的值最小，則q=.

9.今年中秋和國慶共有連續(xù)8天小長假，某單位安排甲、乙、丙三名員工值班，每天都需

要有人值班.任選兩名員工各值3天班，剩下的一名員工值2天班，且每名員工值班的日期

都是連續(xù)的，則不同的安排方法數(shù)為.

10.若平面上的三個(gè)單位向量a、b、c滿足,/=；,卜?4=亨，則的所有可能的值

組成的集合為

+00+00

11.已知數(shù)列｛%｝為無窮等比數(shù)列，若￡@=-2,則2同的取值范圍為

Z=1Z=1

12.已知點(diǎn)P在正方體A5CD-A與的表面上，P到三個(gè)

平面ABC。、ADD｝\,AB44中的兩個(gè)平面的距離相等，

且P到剩下一個(gè)平面的距離與P到此正方體的中心的距離相

等，則滿足條件的點(diǎn)尸的個(gè)數(shù)為.

二、選擇題(本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分)

每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂

13.已知“、beR,a>b,則下列不等式中不一定成立的是()

(A)a+2>b+2(B)2a>2b(C)a2>b2(D)2a>2b

14.某校讀書節(jié)期間，共120名同學(xué)獲獎(jiǎng)(分金、銀、銅三個(gè)等級(jí))，從中隨機(jī)抽取24名同

學(xué)參加交流會(huì)，若按高一、高二、高三分層隨機(jī)抽樣，則高一年級(jí)需抽取6人；若按獲獎(jiǎng)

等級(jí)分層隨機(jī)抽樣，則金獎(jiǎng)獲得者需抽取4人.下列說法正確的是()

(A)高二和高三年級(jí)獲獎(jiǎng)同學(xué)共80人(B)獲獎(jiǎng)同學(xué)中金獎(jiǎng)所占比例一定最低

(C)獲獎(jiǎng)同學(xué)中金獎(jiǎng)所占比例可能最高(D)獲金獎(jiǎng)的同學(xué)可能都在高一年級(jí)

15.已知復(fù)數(shù)4、Z?在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P、Q,|OP|=5(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，且

22

Z1-z1Z2-sin^+z2=0,則對(duì)任意OeR,下列選項(xiàng)中為定值的是()

(A)QQ(B)\PQ\(C)△OP。的周長(D)△OPQ的面積

16.已知函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)為了=/0),xeR,且y=/(x)在R上為嚴(yán)格增函數(shù)，關(guān)

于下列兩個(gè)命題的判斷，說法正確的是()

①“七>々”是“/(/+1)+/(%2)>/(%)+/(爸+1)”的充要條件；

②“對(duì)任意x<0,都有/(x)</(0)”是“y=/(x)在R上為嚴(yán)格增函數(shù)”的充要條件.

(A)①真命題；②假命題(B)①假命題；②真命題

(C)①真命題；②真命題(D)①假命題；②假命題

三'解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題，必須在答題紙的相應(yīng)位置寫

出必要的步驟.

17.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）

如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面A3CD是邊長為a的正方形，側(cè)面底面

5

ABCD,且P4=PD=設(shè)￡、廠分別為PC、的中點(diǎn).

2

⑴證明:直線所〃平面PAD；

（2）求直線QB與平面ABCD所成的角的正切值.

18.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）

在△ABC中，角A、B、C所對(duì)邊的邊長分別為a、b、c,J=La-2ccosB=c.

（l）^cosB=—,c=3,求人的值；

3

（2）若△ABC為銳角三角形，求sinC的取值范圍.

19.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）

2023年9月23日至10月8日，第19屆亞運(yùn)會(huì)在杭州成功舉辦，杭州亞運(yùn)會(huì)的志愿者

被稱為“小青荷”.某運(yùn)動(dòng)場館內(nèi)共有小青荷36名，其中男生12名，女生24名，這些小青

荷中會(huì)說日語和會(huì)說韓語的人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下：

男生小青荷女生小青荷

會(huì)說日語812

會(huì)說韓語mn

其中〃八"均為正整數(shù),6WmW8.

（1）從這36名小青荷中隨機(jī)抽取兩名作為某活動(dòng)主持人，求抽取的兩名小青荷中至少

有一名會(huì)說日語的概率；

（2）從這些小青荷中隨機(jī)抽取一名去接待外賓，用A表示事件“抽到的小青荷是男

生”，用8表示事件“抽到的小青荷會(huì)說韓語”.試給出一組機(jī)、〃的值，使得事件A與3相

互獨(dú)立，并說明理由.

20.(本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分)

已知0<p<4,曲線I；、一的方程分別為V=2pxy

(0WxW8,yN0)和*=2py(0VyV8,xN0),與在/

第一象限內(nèi)相交于點(diǎn)K(XK，，K)?4

(1)若|OK|=4及，求夕的值；2//

(2)若p=2,定點(diǎn)T的坐標(biāo)為(4,0),動(dòng)點(diǎn)M在直線__________

-2—I2468

y=x±.,動(dòng)點(diǎn)"(標(biāo),%)(°</<4)在曲線匕上，求

的最小值；

(3)已知點(diǎn)A(X]，M)(0〈X]VxQ、_8(%2,%)(a<%<8)在曲線—上，點(diǎn)A、3關(guān)于

直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)分別為。、D,設(shè)|AC|的最大值為沈，|3。|的最大值為方,若

ryi1

ye[1,2],求實(shí)數(shù)夕的取值范圍.

21.(本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分)

2

已知aeR,f(x)=(G-2)X3-x+5x+(1-tz)lnx.

(1)若1為函數(shù)y=/(x)的駐點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的值；

(2)若。=0,試問曲線y=/(x)是否存在切線與直線x-y-1=0互相垂直？說明理

由；

(3)若a=2,是否存在等差數(shù)列入,%2，%3(0<%<々<X3)，使得曲線y=/(x)在點(diǎn)

(%,/(馬))處的切線與過兩點(diǎn)(%,/(%))、(毛，/(尤3))的直線互相平行？若存在，求出所

有滿足條件的等差數(shù)列；若不存在，說明理由.

參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

填空題；；；

1.—22.13.44.6;5.6"；6.y=±x;

二.選擇題13.C；14.D；15.A；16.C.

三.解答題

17.⑴［證明］連接AC,ABCD為正方形且R為的中點(diǎn),

???/為AC的中點(diǎn)，又E為PC中點(diǎn)，

：.EF//PA.............................................2分

又EF不在平面A4D上,R4u平面Q4D,

.?.EF〃平面PAD............................................................6分

⑵解PA=PD=%,AD=a,，PASD,

??.△K4D為等腰直角三角形，

取AD中點(diǎn),，由等腰三角形性質(zhì)可知,LAD,.........................................8分

又平面平面ABCD,平面PAD平面ABC。=AD,

PM±iPffiABCD,..........................................................10分

連接BM，則NP8/0為直線PB與平面ABCD所成的角......................12分

由，尸”_|_7118可得1211//58〃=^^,

—225

直線PB與平面ABCD所成的角的正切值為9.............................................14分

18」解］（1）將＜：058=；,0=3帶入條件中可得。=5.........................................2分

由余弦定理）2=/+/-2〃ccos3可得b=2?;..................................6分

⑵a-2ccosB=c,由正弦定理可得sinA-2sinCcos5=sinC,........8分

sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC,

/.sinBcosC-sinCcosB=sinC,sin（B-C）=sinC,................10分

,5—Cw（—W，W）,C￡（O，m）,所以5—C=C，即3=2C,.......................12分

又因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，JC￡（：，7）,sinCG.....................14分

6422

19.［解］(1)從這36名小青荷中隨機(jī)抽取兩名的方法數(shù)為Cl..............................2分

抽取的兩名都不會(huì)說日語的方法數(shù)為G".........................................4分

C217

因此，抽取的兩名中至少有一名會(huì)說日語的概率為1-若=方;..........6分

。3621

(抽取的兩名小青荷中至少有一名會(huì)說日語的方法數(shù)為C；o+C；oC：6給2分)

(2)當(dāng)m=6、〃=12時(shí),事件A與8相互獨(dú)立..........................8分

理由如下：

從這些小青荷中隨機(jī)抽取一名，事件A發(fā)生的概率P(A)=￥="

363

事件3發(fā)生的概率P(B)="^=］,........................10分

362

事件A與3同時(shí)發(fā)生的概率尸(A3)=三=,............................12分

36o

P(A)P(B)=ixl=|=P(AB),

326

因此，事件A與8相互獨(dú)立...........................14分

17+1477

(其它答案：當(dāng)加=7、〃=14時(shí)，尸⑷=彳，P(B)=——=—,P(A|B)=—;

3361236

當(dāng)根=8、〃=16時(shí)，P(A)=—,P(JB)=8+11=2P(AB)=—=—.)

3363369

121

(2)［另解］從這些小青荷中隨機(jī)抽取一名，事件A發(fā)生的概率P(A)=0=；,

363

rnri

事件3發(fā)生的概率P(3)=一7，..................8分

事件A與3同時(shí)發(fā)生的概率P(AB)=—,..................10分

36

33636

整理得〃=2加，....................12分

所以可取"2=6、”=12或加=7、"=14或m=8、〃=16............14分

(學(xué)生只需寫出三種情況中的一種即可)

y=2nx

20.［解］(1)聯(lián)立，由點(diǎn)K(XK/K)在第一象限，

x2=2py

得收=2j..................2分

JK=2P

由|OK|=40,得20P=4后，所以p=2；……4分

(2)曲線I；和口關(guān)于直線>=%對(duì)稱，

取N關(guān)于>=%的對(duì)稱點(diǎn)N',則N'在曲線

y1-4x(0<%<4,y>0)±,...........6分

.?.(|孫+|肛)皿=(|，'|+|町濡，

又因?yàn)閨W|+|MT377”，

所以只需求T到V=4x(0<x<4,y>0)上動(dòng)點(diǎn)N'的距離177Vl的最小值，

令N'(X,26)(0<X44),則|7W［=J(4-xy+4x=&一4%+16,......8分

當(dāng)x=2時(shí)，|77V［的最小值為2石，+1n=2百

所以(當(dāng)初(8-40,8-4四)，N(27I,2)時(shí))|肱V|+|MT|的最小值為.…10分

(3)由(1)可得

\AC\=21%1-7|1=V2|Xj-|,(0<%420),

42

\BD\=2^X2~y^=y[2\x-^2pxI，

22(2p<%K8),....................12分

v2

因此當(dāng)%!=!?時(shí)，m=^-p,

當(dāng)々=8時(shí)，t=4-42(2-y[p),...............................14分

由'wd,2],得建^=<2,

...................................16分

t2216-8訴

解得16—8石V/7<160—64卡....................................18分

21.[解]⑴由題意/'(x)=3(a—2)f—2x+5+",..............2分

X

由1為函數(shù)y=/(x)的駐點(diǎn)，得/'(l)=3(a—2)+3+(l—a)=0,

因此。=1；...................................4分

(2)當(dāng)。=0時(shí)，/(%)=-2x3-x2+5x+Inx,

,1

/'(x)=—6/_2X+5+—,.....................................6分

X

原問題等價(jià)于是否存在%>0,使得/'(/)+1=0,

令g(x)=/,(x)+l=-6x2-2x+6+—(x>0)

1X

因?yàn)楹瘮?shù)y=g(X)在區(qū)間g,l］上是一段連續(xù)曲線

且g(g)=T>°'g⑴=T<0,