專題17.1勾股定理（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）-八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（人教版）

專題17.1勾股定理（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）【知識(shí)點(diǎn)一】勾股定理文字語言：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.符號(hào)語言：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b斜邊長為c，那么a2+b2【知識(shí)點(diǎn)二】勾股定理的驗(yàn)證我國古代的數(shù)學(xué)家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用了勾股定理，而且很早就嘗試對(duì)勾股定理進(jìn)行證明.最早對(duì)勾股定理進(jìn)行證明的是漢代數(shù)學(xué)家趙爽，他以“弦圖”為基本圖形，后人稱之為“趙爽弦圖”，利用“出入相補(bǔ)”原理證明了勾股定理.運(yùn)用拼圖的方式，即利用兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積來驗(yàn)證勾股定理.【知識(shí)點(diǎn)三】勾股定理的實(shí)際應(yīng)用1.利用勾股定理解決實(shí)際問題的一般步驟（1）從實(shí)際問題中抽象出幾何圖形；（2）確定與問題相關(guān)的直角三角形；（3）找準(zhǔn)直角邊和斜邊，根據(jù)勾股定理建立等量關(guān)系；（4）求得符合題意的結(jié)果.2.利用勾股定理解決實(shí)際問題的常見類型（1）直接利用勾股定理列方程解決實(shí)際問題；（2）利用勾股定理解決幾何體表面最短距離問題；（3）利用勾股定理和方程思想解決與“翻折”相關(guān)的問題；（4）利用勾股定理解決有關(guān)幾何圖形的面積問題.【考點(diǎn)目錄】【考點(diǎn)1】用勾股定理解直角三角形；【考點(diǎn)2】用勾股定理解決網(wǎng)格上的問題；【考點(diǎn)3】用勾股定理解折疊問題；【考點(diǎn)4】勾股定理的證明；【考點(diǎn)5】通過勾股定理構(gòu)造直角三角形解決問題；【考點(diǎn)6】通過勾股定理解決最值問題；【考點(diǎn)一】用勾股定理解直角三角形【例1】（2024上·江蘇·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，．（1）求的長；（2）求的面積．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】（1）；（2）【分析】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理：（1）過點(diǎn)B作于點(diǎn)D，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，再由是等腰直角三角形，即可求解；（2）根據(jù)勾股定理求出的長，可得的長，再由三角形的面積公式計(jì)算，即可求解．（1）解：如圖，過點(diǎn)B作于點(diǎn)D，在中，，∴，在中，，∴是等腰直角三角形，∴，∴；（2）解：在中，，，∴，∴，∴的面積為．【變式1】（2024·全國·八年級(jí)競賽）如圖，在中，，，交于，若，，則（

）A．7 B． C．8 D．【答案】A【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理；由可判定，由全等三角形的性質(zhì)得，由勾股定理得，即可求解；掌握判定方法及性質(zhì)，能證出是解題的關(guān)鍵．解：，，，，，，，在和中，（），，在中，，，；故選：A．【變式2】（2024·全國·八年級(jí)競賽）如圖，在中，，，點(diǎn)B在上，且，與關(guān)于對(duì)稱，則．【答案】/【分析】本題考查了勾股定理、含有角的直角三角形的性質(zhì)及軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解答的關(guān)鍵．根據(jù)含有角的直角三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)分別表示出、，再根據(jù)軸對(duì)稱得，即可表示出．解：中，，，，，，與關(guān)于對(duì)稱，，，故答案為：【考點(diǎn)二】用勾股定理解決網(wǎng)格上的問題【例2】（2023上·廣東佛山·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)分別是，，．（1）在圖中作出關(guān)于軸對(duì)稱的；（2）直接寫出對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)________，________；（3）在圖中第一象限格點(diǎn)中找出點(diǎn)，使，且同時(shí)．（無需計(jì)算過程，請(qǐng)把點(diǎn)畫清楚一些）【答案】（1）作圖見分析；（2），；（3）作圖見分析．【分析】（）根據(jù)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征：縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，得到、、，順次連接、、，得到，即為所求；（）根據(jù)（）即可求解；（）根據(jù)勾股定理，即可找到符合條件的點(diǎn)；本題考查了作軸對(duì)稱圖形，勾股定理，掌握軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）解：如圖，即為所求；（2）解：由（）可得，，，故答案為：，；（3）解：如圖，點(diǎn)即為所求．理由：由勾股定理可得，，，故點(diǎn)為所要找的點(diǎn)．【變式1】（2023上·廣東茂名·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的頂點(diǎn)，，在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則邊長的高為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查網(wǎng)格與勾股定理、網(wǎng)格中求三角形的面積，先利用割補(bǔ)法和勾股定理求得三角形的面積和，再利用三角形的面積公式求解即可．解：根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)，，，∴邊長的高為，故選：B．【變式2】（2023上·北京延慶·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則．（點(diǎn)是網(wǎng)格線交點(diǎn)）【答案】【分析】本題考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的定義及性質(zhì)，延長交格點(diǎn)于，連接，證明出是等腰直角三角形，得出，再根據(jù)三角形外角的定義及性質(zhì)即可得出答案，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．解：如圖：延長交格點(diǎn)于，連接，，，，是等腰直角三角形，，，故答案為：．【考點(diǎn)三】用勾股定理解決折疊問題【例3】（2024上·山東淄博·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，長方形的邊在軸上，邊在軸上，，，在邊上取一點(diǎn)，使沿折疊后，點(diǎn)落在軸上，記作點(diǎn)．（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)______，點(diǎn)C的坐標(biāo)______和點(diǎn)B的坐標(biāo)______；（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）求點(diǎn)E關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）；；；（2）；（3）．【分析】本題考查了折疊問題，矩形的性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形變化對(duì)稱，解決本題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)．（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)即可解決問題；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)和勾股定理即可得的長，進(jìn)而可得點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）根據(jù)折疊的性質(zhì)和勾股定理即可得的長，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求解．（1）解：四邊形是矩形，∴，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)、點(diǎn)的坐標(biāo)和點(diǎn)的坐標(biāo)；故答案為：；；；（2）解：由折疊可知：，在中，根據(jù)勾股定理，得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）解：在中，，，根據(jù)勾股定理，得，，解得，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)E關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．【變式1】（2023上·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將長方形紙片折疊，使邊落在對(duì)角線上，折痕為，且D點(diǎn)落在對(duì)角線上處，若，則的長為（）A． B．3 C．1 D．【答案】B【分析】本題考查矩形的折疊，勾股定理，熟練掌握運(yùn)用勾股定理解決長方形的折疊是解題的關(guān)鍵．首先利用勾股定理計(jì)算出的長，再根據(jù)折疊可得，設(shè)，則，再根據(jù)勾股定理可得方程，再解方程即可．解：∵，∴，∴根據(jù)勾股定理得，根據(jù)折疊可得：，∴，設(shè)，則，在中：，即，解得：，故答案為：B．【變式2】（2024上·江蘇常州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)在斜邊上，將沿折疊，使點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，則的周長為．【答案】【分析】本題考查翻折變換（折疊問題），勾股定理．由折疊可得，，，則，，再由的周長，即可求解．解：由折疊可得，，，，，，，，，的周長．故答案為：．【考點(diǎn)四】勾股定理的證明【例4】（2024上·廣東河源·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，為上一點(diǎn)，，，，，交于點(diǎn)，且．（1）判斷線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）連接，，若設(shè)，，，利用此圖證明勾股定理．【答案】（1）．理由見分析；（2）見分析【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，求四邊形的面積，勾股定理的證明，（1）根據(jù)證明，可得答案；（2）根據(jù)，可得答案．解：（1）．理由如下：，，．又，．，，．在和中，，．，．又，．（2），，，．【變式1】（2023上·吉林·八年級(jí)吉林省第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）我國是最早了解勾股定理的國家之一，下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了勾股定理的證明，熟練掌握等面積法證明勾股定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等面積法證明即可．解：A、，整理得：，即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；B、，整理得：，即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；C、，整理得：，即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；D、，根據(jù)圖形不能證明勾股定理；故選：D．【變式2】（2024上·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）把兩個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示的形狀，使點(diǎn)，，在同一條直線上，利用此圖的面積表示式可以得到一個(gè)關(guān)于，，的代數(shù)恒等式，則這個(gè)恒等式是．【答案】【分析】本題考查了勾股定理，全等三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．先證是等腰直角三角形，由面積和差關(guān)系可得結(jié)論．解：∵，∴，，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【考點(diǎn)五】通過勾股定理構(gòu)造直角三角形解決問題【例5】（2023上·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶八中?？计谀┤鐖D，在一條繃緊的繩索一端系著一艘小船．河岸上一男子拽著繩子另一端向右走，繩端從C移動(dòng)到E，繩子始終繃緊且繩長保持不變．（1）若米，米，米，求男子需向右移動(dòng)的距離；（結(jié)果保留根號(hào)）（2）此人以米每秒的速度收繩，請(qǐng)通過計(jì)算回答，該男子能否在秒內(nèi)將船從A處移動(dòng)到岸邊點(diǎn)F的位置？【答案】（1）米；（2）不能【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理，求出的長是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)勾股定理求的長，然后作差求解即可；（2）先求出從A處移動(dòng)到岸邊點(diǎn)F的時(shí)間，比較大小，然后作答即可．（1）解：∵，由勾股定理得，，∵，∴，由勾股定理得，，∴，∴求男子需向右移動(dòng)的距離為米；（2）解：由題意知，需收繩的繩長（米），∴此人的收繩時(shí)間為秒，∵，∴該男子不能在秒內(nèi)將船從A處移動(dòng)到岸邊點(diǎn)F的位置．【變式1】（2024上·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）一棵大樹在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中折斷倒下，大樹折斷前高度估計(jì)為，倒下后樹頂落在距樹根部大約處．這棵大樹離地面約（

）米處折斷A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程并解答即可；利用勾股定理列出方程是關(guān)鍵．解：如圖，由題意知：，設(shè)，，，，解得：，∴這棵大樹離地面約，故選：C．【變式2】（2024上·廣東梅州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，某自動(dòng)感應(yīng)門的正上方A處裝著一個(gè)感應(yīng)器，離地米，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)器的感應(yīng)范圍內(nèi)時(shí)，感應(yīng)門就會(huì)自動(dòng)打開．一個(gè)身高1.6米的學(xué)生正對(duì)門，緩慢走到離門米的地方時(shí)（米），感應(yīng)門自動(dòng)打開，則米．【答案】【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用；過點(diǎn)作于點(diǎn)，構(gòu)造，利用勾股定理求得的長度即可．解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，米，米，米，（米）．在中，由勾股定理得到（米），故答案為：．【考點(diǎn)六】通過勾股定理解決最值問題【例6】（2023上·海南?？凇ぐ四昙?jí)校考期末）問題情境：如圖①，一只螞蟻在一個(gè)長為，寬為的長方形地毯上爬行，地毯上堆放著一根正三棱柱的木塊，它的側(cè)棱平行且等于寬，木塊從正面看是一個(gè)邊長為的等邊三角形，求一只螞蟻從點(diǎn)A處到達(dá)點(diǎn)C處需要走的最短路程．（1）數(shù)學(xué)抽象：將螞蟻爬行過的木塊的側(cè)面“拉直”“鋪平”，“化曲為直”，請(qǐng)?jiān)趫D②中用虛線補(bǔ)全木塊的側(cè)面展開圖，并用實(shí)線連接；（2）線段的長即螞蟻從點(diǎn)A處到達(dá)點(diǎn)C處需要走的最短路程，依據(jù)是_________；（3）問題解決：求出這只螞蟻從點(diǎn)A處到達(dá)點(diǎn)C處需要走的最短路程．【答案】（1）圖形見分析；（2）兩點(diǎn)之間線段最短；（3）這只螞蟻從點(diǎn)A處到達(dá)點(diǎn)C處需要走的最短路程為．【分析】本題考查平面展開—最短路徑問題，兩點(diǎn)之間線段最短，勾股定理，要注意培養(yǎng)空間想象能力，解題的關(guān)鍵是熟練掌握兩點(diǎn)之間線段最短．（1）根據(jù)題意畫出三棱柱木塊的平面展開圖，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短連接即可；（2）根據(jù)題（1）結(jié)合兩點(diǎn)之間線段最短即可求解；（3）根據(jù)題意可得，展開圖中等于長方形地毛毯的長和三角形一條邊長之和，展開圖中等于長方形地毛毯的寬，根據(jù)勾股定理計(jì)算的長即可求解．（1）解：如圖所示，即為所求：（2）解：線段的長即螞蟻從點(diǎn)處到達(dá)點(diǎn)處需要走的最短路程，依據(jù)是兩點(diǎn)之間線段最短，故答案為：兩點(diǎn)之間線段最短；（3）根據(jù)題意可得：展開圖中的，．在中，由勾股定理可得：，即這只螞蟻從點(diǎn)A處到達(dá)點(diǎn)C處需要走的最短路程為．【變式1】（2024上·四川內(nèi)江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知長方體的三條棱的長分別為4，3，2，螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿長方體的表面爬行到點(diǎn)M的最短路程是（

）A． B． C． D．9【答案】C【分析】本題考查了勾股定理在最短路徑問題中的應(yīng)用，找到螞蟻所有的可能路徑即可求解．解：展開前面和上面，如圖所示：；