導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用：同構(gòu)、構(gòu)造函數(shù)選擇填空壓軸題（解析版）

·1·A.(0,4e]B.(4e,+∞)C.[4e,+∞)D.(4e,+∞)【分析】不等式(ax-4)lnx<2lna-ax即axl(2x)<ln(ax2)，可得lnx)<ln2).令fx=，x∈0,+∞,則f(2x)<f(ax2)，且當(dāng)0<x<1時(shí)f(x)<0；當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0，函數(shù)圖像如圖所示.,∴f(2x)<0，由f(2x)<f(ax2)及fx=的圖像可知，2x<ax2恒成立，即a>成立，A.-1B.C.D.kx+1-kx+1>x+1lnx，∴ekx+1lnekx>x+1lnx，令fx=x+1lnx，則f,x=lnx+1+，·2·令gx=f,x，則g,x=-=，,x<0,x>0；∴f,x在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，∴f,x≥f,1=2>0，∴fx在0,+∞上單調(diào)遞增，kx+1lnekx>x+1lnx得：fekx>fx，∴ekx>x，即k>；,x=，,x>0,x<0；∴hx在0,e上單調(diào)遞增，在e,+∞上單調(diào)遞減，∴hx≤he=，3.已知對任意的x∈0,+∞,不等式kxekx+1-x+1lnx>0恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()kx+1>(x+1)lnx，所以ekx+1lnekx>(x+1)lnx①, x令f(x)=(x+1)lnx，則f,(x x+1+lnx，設(shè)g(x)=f,(x)= x,(x)=-+=，,(x)<0,(x)>0，所以f,x≥f,1=2，所以f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增，因?yàn)棰偈娇苫癁閒ekx>f(x)，,(x)>0,(x)<0，所以h(x)max=h(e)=，所以k>，,+∞(,不等式e2ax-l≥-恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是·3·()A.2ax-l≥-化簡為e2ax(2ax+2(≥x(lnx+2(，再構(gòu)造函數(shù)f(x(=x(lnx+2(，求導(dǎo)2ax-l≥-恒成立即2axe2ax-xlnx≥2x-2e2ax，2ax(2ax+2(≥x(lnx+2(，令f(x(=x(lnx+2(，則f(e2ax(≥f(x(恒成立.又f,(x(=lnx+3，故當(dāng)x∈,+∞,(x(>0，故f(x(=x(lnx+2(在區(qū)間,+∞（上為增函數(shù).構(gòu)造g(x(=,x∈,+∞(,則g,(x(=，令g,(x(=0有x=e，,(x(>0，g(x(為增函數(shù)；當(dāng)x∈(e,+∞(時(shí)g,(x(<0，g(x(為減函數(shù).(1)恒成立：?x∈D,f(x(>0?f(x(min>0；?x∈D,f(x(<0?f(x(max<0；(2)能成立：?x∈D,f(x(>0?f(x(max>0；?x∈D,f(x(<0?f(x(min<0.若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為：a>f(x((或a<f(x()，則(1)恒成立：a>f(x(?a>f(x(max；a<f(x(?a<f(x(min；(2)能成立：a>f(x(?a>f(x(min；a<f(x(?a<f(x(max.A.【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-2x=lnx+ax2-2x(x>0)，則轉(zhuǎn)化得到g(x(在(0,+∞)上單調(diào)遞增，將題,(x)=+2ax-2≥0在(0,+∞)上恒成立，再利用分因?yàn)閷θ我鈨蓚€(gè)不等的正實(shí)數(shù)x1,x2,都有>2,所以f(x1(-f(x2(>2x1-2x2,即f(x1(-2x1>f(x2(-2x2,·4·構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-2x=lnx+ax2-2x(x>0),則gx1>gx2, x x設(shè)m(x)=-(x>0),則m(x)=-+=，所以m(x)max=m(1)=1-=，所以a≥.6.已知fx是定義在R上的函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)，且fx+xfx<0，則a=2f2,b=efe,c=3f3的大小關(guān)系為()A.a>b>cB.c>a>bC.c>b>aD.b>a>c【詳解】構(gòu)建gx=xfx，則gx=fx+xfx，因?yàn)閒x+xfx<0對于x∈R恒成立，所以gx<0，故gx在R上單調(diào)遞減，由于a=2f2=g2,b=efe=ge,c=3f3=g3，且2<e<3，所以g2>ge>g3，即a>b>c.1.fx+xfx的形式，常構(gòu)建xfx；fx-xfx的形式，常構(gòu)建；2.fx+fx的形式，常構(gòu)建ex?fx；fx-fx的形式，常構(gòu)建.7.若函數(shù)fx=ex-2lnx-2alnx+ax2有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.-∞,-eB.-∞,-e[C.-e,0D.-e,0 fx=ex-2lnx-2alnx+ax2=ex-2lnx+ax2-2lnx，設(shè)h(x)=x2-2lnx(x>0)，則h(x)=2x-=，·5·函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于方程f(x)=0有兩個(gè)不同的解，x-2lnx+a(x2-2lnx(=0--n，等價(jià)于函數(shù)y=-a與y圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).令x2-2lnx=t，g(t(=t,t>1，則函數(shù)y=-a與g(t(=,t>1圖象有一個(gè)交點(diǎn)，t(==>0，所以g(t(>g(1(=e，所以-a>e，解得a<-e.8.函數(shù)f(x(是定義在(0,+∞(上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f'(x(，且滿足f'(x(+f(x(>0，若不等式A.x(=x2f'(x(+2xf(x(=x2f'(x(+f(x(>0所以函數(shù)g(x(在(0,+∞(上為增函數(shù).由f(x(的定義域?yàn)?0,+∞(可知ax>0，得a>0，φ'(x(=·6·當(dāng)x∈e,+∞時(shí)，φx<0，所以φx在e9.已知函數(shù)f(x)=xex-alnx+x-xa+1，若f(x)>0在定義域上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(-∞,e)B.[0,eC.(-∞,1)D.[0,1【詳解】由fx>0得xex+x>alnx+xa+1，所以xex+x+lnx>alnx+lnx+xa+1，即ex+lnx+x+lnx>alnx+lnx+xa+1，又易知gx在R上單調(diào)遞增，故不等式等價(jià)于x+lnx>alnx+lnx，即x-alnx>0.設(shè)hx=x-alnx，若a>0，則hx=1-,hx在0,a上單調(diào)遞減，在a,+∞上單調(diào)遞增，所以h(x)min=ha，所以0<a<e.10.已知函數(shù)f(x)=xex+ex,g(x)=xlnx+x，若fx1=gx2>0，則可取()A.-1B.-C.1D.e【分析】探討函數(shù)gx在,+∞2=ex(x1>-1)，再構(gòu)造函數(shù)并求出其最小2=x2(lnx2+1)>0得x2> ,e由fx1=exx1+1>0得x1>-1，則fx=exlnex+1=g(ex)，于是得x2=ex(x1>-1)，=，·7·mx-≥0恒成立，則m的取值范圍為.【答案】m≥【分析】構(gòu)造函數(shù)fx=xex判定其單調(diào)性得mx≥lnx，分離參數(shù)根據(jù)恒成立求y=max即可.mx-≥0?mxemx≥xlnx=lnx?elnx，構(gòu)造函數(shù)fx=xexx>0?f,x=x+1ex>0，∴fx在0,+∞為增函數(shù)，則mx?emx≥lnx?elnx?mx≥lnxmax，構(gòu)造函數(shù)gx=?g,x=,max=ge=，即m≥.12.已知函數(shù)f(x)=ex+1-alnx，若f(x)≥a(lna-1)對x>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【分析】對不等式進(jìn)行合理變形同構(gòu)得ex+1-lna+x+1-lna≥x+lnx，構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即x+1-alnx≥a(lna-1)可得+1-lna≥lnx，x+1-lna+1-lna≥lnx，則有ex+1-lna+x+1-lna≥x+lnx，設(shè)h(x)=ex+x，易知hx在R上單調(diào)遞增，故h(x+1-lna)≥h(lnx)，所以x+1-lna≥lnx，即x-lnx≥lna-1，故gx在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，..·8· 2x所以-2x+ln3x≤+lna可化為+ln3x≤+ln(ae2x(，設(shè)f(x)=+lnx(x≥1)，則f,(x)=-+=≥0，∴f(x)在[1,+∞(上單調(diào)遞增，2x>12x>1，所以+ln3x≤+ln(ae2x(可化為f(3x)≤f(ae2x)，所以3x≤ae2x，令g,(x)>0,(x)<014.若不等式ae3x+2x+lna≥lnx對3x+lna+(3x+lna(≥elnx+lnx對任意x∈(0,+∞(成立，構(gòu)造函數(shù)g(x(=ex+x，解.3x+2x+lna≥lnx對任意x∈(0,+∞(成立，不等式可變形為:ae3x+3x+lna≥lnx+x，即elnae3x+(3x+lna(≥lnx+elnx，3x+lna+(3x+lna(≥elnx+lnx對任意x∈(0,+∞(成立，記g(x(=ex+x，則g,(x(=ex+1>0，所以g(x(在R上單調(diào)遞增，3x+lna+(3x+lna(≥elnx+lnx可寫為g(3x+lna(≥g(lnx(，·9·根據(jù)g(x(單調(diào)性可知，只需3x+lna≥lnx對任意x∈(0,+∞(成立即可，即lna≥lnx-3x成立，記h(x(=lnx-3x，即只需lna≥h(,(x(>0，h(x(單調(diào)遞增，,(x(<0，h(x(單調(diào)遞減，所以h(x(max=h=ln-1=ln，2>x1>0(x(=f(x(-2x，將問題轉(zhuǎn)化為g(x(在(0,+∞(上單調(diào)遞增，即g,(x(≥0在(0,+∞(上恒成立，采用分離變量的方式可得2a≥-+2>x1>0，由>2得：f(x1(-2x1<f(x2(-2x2，令g(x(=f(x(-2x，則g(x(在(0,+∞(上單調(diào)遞增，,(x(=+2ax-2≥0在(0,+∞(上恒成立，∴2a≥-+，16.已知函數(shù)f(x(=x2-alnx+1，當(dāng)-2≤a<0，對任意x1,x2∈[1,2[，不等式|f(x1(-f(x2(|≤[12，+∞(【詳解】因?yàn)?2≤a<0，函數(shù)f(x(在[1,2[上單調(diào)遞增，不妨設(shè)1≤x1≤x2≤2，則|f(x1(-f(x2(|≤m-，可化為f(x2(+≤f(x1(+，·10·設(shè)hx=fx+=x2-alnx+1+，則hx1≥hx2，所以hx為[1,2[上的減函數(shù)，即h,x=x--≤0在[1,2[上恒成立，等價(jià)于m≥x3-ax在[1,2[上恒成立，設(shè)gx=x3-ax，所以m≥g(x)max，因-2≤a<0，所以g,x=3x2-a>0，所以函數(shù)gx在[1,2[上是增函數(shù)，所以g(x)max=g2=8-2a≤12(當(dāng)且僅當(dāng)a=-2時(shí)等號成立).所以m≥12.x=xy2lnx+lny，則xy的取值范圍為.x.x.x=xy2lnx+lny，得xex=x2y?ln(x2y)，即有2y=ex0是方程e3x-lnx+2x=0的一個(gè)根，則=.3x+3x0=x0+lnx0，構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex+x，則有f(3x0)=f(lnx0)，得出f(x)的單調(diào)性即3x-lnx+2x=0的一個(gè)根，則x0>0，3x-lnx0+2x0=0，即e3x+3x0=x0+lnx0，令f(x)=ex+x，則f,(x)=ex+1>0，3x+3x0=x0+lnx0，即f(3x0)=f(lnx0)，19.已知函數(shù)fx=eax-2lnx-x2+ax，若fx>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.·11·【詳解】已知函數(shù)fx=eax-2lnx-x2+ax，若fx>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為gx單調(diào)遞增，因?yàn)閒x=eax-2lnx-x2+ax>0x>0，所以eax+ax>lnx2+elnx，可得gax>glnx2，所以ax>lnx即求maxx>0，令Fx=x>0，F(xiàn),x==，當(dāng)x∈0,e時(shí)，F(xiàn),x>0，F(xiàn)x單調(diào)遞增，當(dāng)x∈e,+∞時(shí)，F(xiàn),x<0，F(xiàn)x單調(diào)遞減，所以Fx≤Fe=，可得a<.20.若lnx+ln2a-1-2ax-ex≤0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【詳解】因?yàn)閘nx+ln2a-1-2ax-ex≤0，a>0,x>0?ln(2ax)-x+2ax-ex≤0,?ln(2ax)+2ax≤x+ex=lnex+ex，令f(x)=lnx+x,x>0，則原式等價(jià)于f(2ax)≤f(ex)，f,(x)=+1=0恒成立，所以f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，令g(x)=(x>·12