2024年初中升學考試專題復(fù)習數(shù)學總復(fù)習（按知識點分類）圓周角定理

圓周角定理40．（2023?吉林）如圖，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半徑，點P為OB上任意一點（點P不與點B重合），連接CP．若∠BAC＝70°，則∠BPC的度數(shù)可能是（）A．70° B．105° C．125° D．155°【答案】D【分析】利用圓周角定理求得∠BOC的度數(shù)，然后利用三角形外角性質(zhì)及等邊對等角求得∠BPC的范圍，繼而得出答案．【解答】解：如圖，連接BC，∵∠BAC＝70°，∴∠BOC＝2∠BAC＝140°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB=180°?140°∵點P為OB上任意一點（點P不與點B重合），∴0°＜∠OCP＜20°，∵∠BPC＝∠BOC＋∠OCP＝140°＋∠OCP，∴140°＜∠BPC＜160°，故選：D．【點評】本題考查圓與三角形外角性質(zhì)的綜合應(yīng)用，結(jié)合已知條件求得∠BPC的范圍是解題的關(guān)鍵．圓周角定理42．（2023?內(nèi)蒙古）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，D是AC上一點，P是AB延長線上一點，連接AD，DC，CP．（1）求證：∠ADC－∠BAC＝90°；（請用兩種證法解答）（2）若∠ACP＝∠ADC，⊙O的半徑為3，CP＝4，求AP的長．【答案】（1）證明見解答過程；（2）8．【分析】（1）方法一：連接BD，利用圓周角定理及角的和差即可證得結(jié)論；方法二：連接BC，利用圓周角定理求得∠ACB＝90°，再利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)即可證得結(jié)論；（2）根據(jù)方法二中的圖形易證得△PBC∽△PCA，結(jié)合已知條件，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得PB的長，繼而求得AP的長．【解答】（1）證明：方法一：如圖，連接BD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠ADC－∠BDC＝∠ADB，∠BDC＝∠BAC，∴∠ADC－∠BAC＝90°；方法二：如圖，連接BC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠PBC＝∠BAC＋∠ACB，∴∠PBC－∠BAC＝90°，∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ADC＋∠ABC＝180°，∵∠PBC＋∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠PBC，∴∠ADC－∠BAC＝90°；（2）解：由上圖可得∠ADC＝∠PBC，∵ACP＝∠ADC，∴∠PBC＝∠ACP，即∠PBC＝∠PCA，∵∠BPC＝∠CPA，∴△PBC∽△PCA，∴PBPC∴PC2＝PA?PB，∵⊙O的半徑為3，∴AB＝6，∴PA＝PB＋6，∵CP＝4，∴42＝（PB＋6）?PB，解得：PB＝2或PB＝－8（舍去），則AP＝2＋6＝8．【點評】本題考查圓與相似三角形的綜合應(yīng)用，（2）中結(jié)合已知條件證得△PBC∽△PCA是解題的關(guān)鍵．圓周角定理37．（2023?南充）如圖，AB是⊙O的直徑，點D，M分別是弦AC，弧AC的中點，AC＝12，BC＝5，則MD的長是4．【考點】圓周角定理；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系．【分析】根據(jù)垂徑定理得OM⊥AC，根據(jù)圓周角定理得∠C＝90°，根據(jù)勾股定理得AB=122+52=13，根據(jù)三角形中位線定理得OD=12BC＝2.5，OD∥BC，所以O(shè)D【解答】解：∵點M是弧AC的中點，∴OM⊥AC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠C＝90°，∵AC＝12，BC＝5，∴AB=1∴OM＝6.5，∵點D是弦AC的中點，∴OD=12BC＝2.5，OD∥∴OD⊥AC，∴O、D、M三點共線，∴MD＝OM﹣OD＝6.5﹣2.5＝4．故答案為：4．【點評】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，三角形中位線定理，熟練掌握和運用這些定理是解題的關(guān)鍵．圓周角定理44．（2023?成都）如圖，以△ABC的邊AC為直徑作⊙O，交BC邊于點D，過點C作CE∥AB交⊙O于點E，連接AD，DE，∠B＝∠ADE．（1）求證：AC＝BC；（2）若tanB＝2，CD＝3，求AB和DE的長．【考點】圓周角定理；解直角三角形；勾股定理；垂徑定理．【分析】（1）結(jié)合已知條件，根據(jù)同弧所對的圓周角相等易證得∠ADE＝∠ACE＝∠BAC＝∠B，再由等邊對等角即可證得結(jié)論；（2）連接AE，易證得△ABC∽△ADE，根據(jù)已知條件，利用直徑所對的圓周角為直角可得∠ADB＝∠ADC＝90°，根據(jù)三角函數(shù)值可得AD＝2BD，再結(jié)合，CD＝3，AC＝3+BD，利用勾股定理列得方程，求得CD的長度，從而得出AD，BC，AB的長度，再利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求得答案．【解答】（1）證明：∵∠ADE＝∠ACE，∠ADE＝∠B，∴∠B＝∠ACE，∵CE∥AB，∴∠BAC＝∠ACE，∴∠B＝∠BAC，∴AC＝BC；（2）解：如圖，連接AE，∵∠ADE＝∠B，∠AED＝∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB∵AC為⊙O的直徑，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴tanB=AD∴AD＝2BD，∵CD＝3，∴AC＝BC＝BD+CD＝BD+3，∵AD2+CD2＝AC2，∴（2BD）2+32＝（BD+3）2，解得：BD＝2或BD＝0（舍去），∴AD＝2BD＝4，AB=AD2+BD∵ADAB∴42∴DE＝25．【點評】本題主要考查圓與相似三角形的綜合應(yīng)用，（2）中利用三角函數(shù)值可得AD＝2BD，再根據(jù)勾股定理列得方程是解題的關(guān)鍵．圓周角定理46．（2023?宜賓）如圖，已知點A，B，C在⊙O上，C為AB的中點．若∠BAC＝35°，則∠AOB等于（）A．140° B．120° C．110° D．70°【考點】圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系．【分析】連接OC，由∠BAC＝35°，得∠BOC＝2∠BAC＝70°，又C為AB的中點．故∠AOC＝∠BOC＝70°，即知∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝140°．【解答】解：連接OC，如圖：∵∠BAC＝35°，∴∠BOC＝2∠BAC＝70°，∵C為AB的中點．∴BC=∴∠AOC＝∠BOC＝70°，∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝140°，故選：A．【點評】本題考查圓的性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握圓周角定理和圓心角，弧的關(guān)系．圓周角定理42．（2023?云南）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點．若∠BOC＝66°，則∠A＝（）A．66° B．33° C．24° D．30°【考點】圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】根據(jù)圓周角定理解答即可，在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半．【解答】解：∵∠A=12∠BOC，∠∴∠A＝33°．故選：B．【點評】本題考查了圓周角定理，圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當成同一條弧所對的圓周角和圓心角．圓周角定理43．（2023?蘇州）如圖，AB是半圓O的直徑，點C，D在半圓上，CD=DB，連接OC，CA，OD，過點B作EB⊥AB，交OD的延長線于點E．設(shè)△OAC的面積為S1，△OBE的面積為S2，若S1A．2 B．223 C．75【考點】圓周角定理；解直角三角形；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系．【分析】如圖，過C作CH⊥AO于H，證明∠COD＝∠BOE＝∠CAO，由S1S2=23，即12OA?CH12OB?BE=23，可得BHCE=23，證明tan∠A＝tan∠BOE，可得CHBE=AHOB=23【解答】解：如圖，過C作CH⊥AO于H，∵CD=∴∠COD＝∠BOE＝∠CAO，∵S1S2∴CHBE∵∠A＝∠BOE，∴tan∠A＝tan∠BOE，∴CHAH=BE設(shè)AH＝2m，則BO＝3m＝AO＝CO，∴OH＝3m﹣2m＝m，∴CH=9∴tan∠A=CH∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴tan∠ACO=2故選A．【點評】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，作出合適的輔助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．圓周角定理42．（2023?廣元）如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，連接CD，OD，AC，若∠BOD＝124°，則∠ACD的度數(shù)是（）A．56° B．33° C．28° D．23°【答案】C【分析】先由平角定義求得∠AOD＝56°，再利用圓周角定理可求∠ACD．【解答】解：∵∠BOD＝124°，∴∠AOD＝180°﹣124°＝56°，∴∠ACD=12∠故選：C．【點評】本題主要考查的是圓周角定理的應(yīng)用，利用平角定義求得∠AOD＝56°是解決本題的關(guān)鍵．圓周角定理44．（2023?杭州）如圖，在⊙O中，半徑OA，OB互相垂直，點C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，則∠BAC＝（）A．23° B．24° C．25° D．26°【答案】D【分析】連接OC，根據(jù)圓周角定理可求解∠AOC的度數(shù)，結(jié)合垂直的定義可求解∠BOC的度數(shù)，再利用圓周角定理可求解．【解答】解：連接OC，∵∠ABC＝19°，∴∠AOC＝2∠ABC＝38°，∵半徑OA，OB互相垂直，∴∠AOB＝90°，∴∠BOC＝90°﹣38°＝52°，∴∠BAC=12∠故選：D．【點評】本題主要考查圓周角定理，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．45．（2023?湖北）如圖，在⊙O中，直徑AB與弦CD相交于點P，連接AC，AD，BD，若∠C＝20°，∠BPC＝70°，則∠ADC＝（）A．70° B．60° C．50° D．40°【答案】D【分析】先根據(jù)圓周角定理求得∠AOD＝40°，再由AB是⊙O的直徑得∠ADB＝90°即可求得∠ADC．【解答】解：連接OD，如圖，∵∠C＝20°，∴∠AOD＝40°，∵∠BPC＝70°，∴BDP＝∠BPC﹣∠B＝50°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝∠ADB﹣∠BDP＝40°，故選：D．【點評】本題主要考查了圓周角定理、三角形的外角性質(zhì)以及直徑所對的圓周角是直角，熟練掌握各知識點是解決本題的關(guān)鍵．圓周角定理34．（2023?郴州）如圖，某博覽會上有一圓形展示區(qū)，在其圓形邊緣的點P處安裝了一臺監(jiān)視器，它的監(jiān)控角度是55°，為了監(jiān)控整個展區(qū)，最少需要在圓形邊緣上共安裝這樣的監(jiān)視器4臺．【答案】4．【分析】根據(jù)一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，得該圓周角所對的弧所對的圓心角是110°，則共需安裝360°÷110°＝3311【解答】解：∵∠P＝55°，∴∠P所對弧所對的圓心角是110°，∵360°÷110°＝3311∴最少需要在圓形邊緣上共安裝這樣的監(jiān)視器4臺．故答案為：4．【點評】此題考查了要圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．注意把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，能夠把數(shù)學和生活聯(lián)系起來．圓周角定理39．（2023?隨州）如圖，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝60°，則∠ADC的度數(shù)為30°．【答案】30°．【分析】連接OC，根據(jù)垂徑定理及圓心角、弧、弦的關(guān)系求得∠AOC的度數(shù)，然后根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半即可求得答案．【解答】解：如圖，連接OC，∵OA⊥BC，∴AC=∴∠AOC＝∠AOB＝60°，∴∠ADC=12∠故答案為：30°．【點評】本題考查圓的有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用，結(jié)合已知條件求得∠AOC的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．圓周角定理43．（2023?河南）如圖，點A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，則∠AOB的度數(shù)為（）A．95° B．100° C．105° D．110°【答案】D【分析】根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角的一半即可得到答案．【解答】解：∵∠AOB＝2∠C，∠C＝55°，∴∠AOB＝110°，故選：D．【點評】本題考查圓周角定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握同弧所對的圓周角是圓心角的一半．44．（2023?深圳）如圖，在⊙O中，AB為直徑，C為圓上一點，∠BAC的角平分線與⊙O交于點D，若∠ADC＝20°，則∠BAD＝35°．【答案】35．【分析】先根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠ACB＝90°，再利用圓周角定理可得∠ADC＝∠ABC＝20°，然后利用直角三角形的兩個銳角互余可得∠BAC＝70°，從而利用角平分線的定義進行計算，即可解答．【解答】解：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠ADC＝20°，∴∠ADC＝∠ABC＝20°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝70°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠故答案為：35．【點評】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．圓周角定理24．（2023?武漢）?如圖，OA，OB，OC都是⊙O的半徑，∠ACB＝2∠BAC．（1）求證：∠AOB＝2∠BOC；（2）若AB＝4，BC=5，求⊙O【答案】（1）證明過程見答案；（2）52【分析】（1）利用圓周角定理可得∠ACB=12∠AOB，∠BAC=12（2）過點O作半徑OD⊥AB于點E，可得AE＝BE，根據(jù)圓周角、弦、弧的關(guān)系可證得BD＝BC，結(jié)可求得BE＝2，DB=5，利用勾股定理可求解DE【解答】（1）證明：∵∠ACB=12∠AOB，∠BAC=12∴∠AOB＝2∠BOC；（2）解：過點O作半徑OD⊥AB于點E，∴AE＝BE，∵∠AOB＝2∠BOC，∠DOB=12∠∴∠DOB＝∠BOC．∴BD＝BC．∵AB＝4，BC=5∴BE＝2，DB=5在Rt△BDE中，∠DEB＝90°，∴DE=B在Rt△BOE中，∠OEB＝90°，OB2＝（OB﹣1）2+22，解得OB=5即⊙O的半徑是52【點評】本題主要考查圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，圓心角、弦、弧的關(guān)系，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．圓周角定理40．（2023?廣東）如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝50°，則∠D＝（）A．20° B．40° C．50° D．80°【答案】B【分析】由AB是⊙O的直徑，得∠ACB＝90°，而∠BAC＝50°，即得∠ABC＝40°，故∠D＝∠ABC＝40°，【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∵∠BAC＝50°，∴∠ABC＝40°，∵AC=∴∠D＝∠ABC＝40°，故選：B．【點評】本題考查圓周角定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握直徑所對的圓周角是直角和同弧所對的圓周角相等．41．（2023?廣西）如圖，點A，B，C，在⊙O上，∠C＝40°．則∠AOB的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】D【分析】由圓周角定理即可得到答案．【解答】解：∵∠C=12∠AOB，∠∴∠AOB＝80°．故選：D．【點評】本題考查圓周角定理，關(guān)鍵是掌握圓周角定理．圓周角定理35．（2023?齊齊哈爾）綜合與實踐：數(shù)學模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學應(yīng)用的基本途徑．通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學經(jīng)驗，并將其運用到更廣闊的數(shù)學天地．（1）發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝30°，連接BE，CF，延長BE交CF于點D．則BE與CF的數(shù)量關(guān)系：BE＝CF，∠BDC＝30°；（2）類比探究：如圖2，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝120°，連接BE，CF，延長BE，F(xiàn)C交于點D．請猜想BE與CF的數(shù)量關(guān)系及∠BDC的度數(shù)，并說明理由；（3）拓展延伸：如圖3，△ABC和△AEF均為等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAF＝90°，連接BE，CF，且點B，E，F(xiàn)在一條直線上，過點A作AM⊥BF，垂足為點M．則BF，CF，AM之間的數(shù)量關(guān)系：BF＝CF+2AM；（4）實踐應(yīng)用：正方形ABCD中，AB＝2，若平面內(nèi)存在點P滿足∠BPD＝90°，PD＝1，則S△ABP7+74或7?【答案】7+74或【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，利用SAS證明△ABE≌△ACF即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，利用SAS證明△BAE≌△CAF即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，利用SAS證明△BAE≌△CAE即可得出結(jié)論；（4）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，先找到點P，利用勾股定理計算出BP，再利用第3小題的結(jié)論得到三角形的高，△ABP的面積即可求出．【解答】解：（1）BE＝CF，∠BDC＝30°，理由如下：如圖1所示：∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，∴AB＝AC，AE＝AF，又∵∠BAC＝∠EAF＝30°，∴△ABE≌△ACF（SAS），∴BE＝CF，∴∠ABE＝∠ACD，∵∠AOE∠ABE+∠BAC，∠AOE＝∠ACD+∠BDC，∴∠BDC＝∠BAC＝30°；（2）BE＝CF，∠BDC＝60°，理由如下：如圖2所示：證明：∵∠BAC＝∠EAF＝120°，∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC，即∠BAE＝∠CAF，又∵△ABC和△AEF都是等腰三角形，∴AB＝AC，AE＝AF，∴△BAE≌△CAF（SAS）∴BE＝CF，∴∠AEB＝∠AFC，∵∠EAF＝120°，AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝30°，∴∠BDC＝∠BEF﹣∠EFD＝∠AEB+30°﹣（∠AFC﹣30°）＝60°；（3）BF＝CF+2AM，理由如下：如圖3所示：∵△ABC和△AEF都是等腰三角形，∴∠CAB＝∠EAF＝90°，AB＝AC，AE＝AF，∴∠CAB﹣∠CAE＝∠FAE﹣∠CAE，即：∠BAE＝∠CAF，∴△BAE≌△CAE（SAS），∴BE＝CF，∵AM⊥BF，AE＝AF，EAF＝90°，∴EF＝2AM，∵BF＝BE+EF，∴BF＝CF+2AM；（4））如圖4所示：連接BD，以BD為直徑作圓，由題意，取滿足條件的點P，P′，則PD＝P′D＝1．∠BPD＝∠BP′D＝90°，∴BD＝22，∴BP=B連接PA，作AF⊥PB于點F，在BP上截取BE＝PD，∵∠PDA＝ABE，AD＝AB，∴△ADP≌△ABE（SAS），∴AP＝AE，∠BAE＝∠DAP，∴∠PAE＝90°，由（3）可得：PB＝PD＝2AF，∴AF=PB?PD∴S△PAB=12PBAF同理可得：S△P′AB=7+故△ABP的面積為：7+74或【點評】本題是幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，三角形的面積等知識，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．圓周角定理37．（2023?煙臺）如圖，將一個量角器與一把無刻度直尺水平擺放，直尺的長邊與量角器的外弧分別交于點A，B，C，D，連接AB，則∠BAD的度數(shù)為52.5°．【考點】圓周角定理．【分析】由圖形求出∠BOD的度數(shù)，由圓周定理得到∠BAD=12∠【解答】解：設(shè)量角器的圓心是O，連接OD，OB，∵∠BOD＝130°﹣25°＝105°，∴∠BAD=12∠故答案為：52.5°．【點評】本題考查圓周角定理，關(guān)鍵是