青島版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊專題突破講練：利用二次函數(shù)設(shè)計(jì)方案

年級(jí)九年級(jí)學(xué)科數(shù)學(xué)版本通用版課程標(biāo)題利用二次函數(shù)設(shè)計(jì)方案編稿老師鞏建兵一校呂麗娟二校黃楠審核張偉利用二次函數(shù)設(shè)計(jì)方案這類問題經(jīng)常給出問題情景與解決問題的要求，讓學(xué)生設(shè)計(jì)解決問題的方案，或給出多種不同方案，讓學(xué)生推斷它們的優(yōu)劣。這類試題不僅要求學(xué)生要有扎實(shí)的數(shù)學(xué)雙基學(xué)問，而且要能夠把實(shí)際問題中所涉及的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化、抽象成詳細(xì)的數(shù)學(xué)問題。解這類問題的關(guān)鍵是找尋相等關(guān)系，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問題。方法歸納：從方法上分兩類進(jìn)行概括：（1）方案已知，要求選優(yōu)；（2）先求方案，再選最優(yōu)?？偨Y(jié)：1.能夠利用二次函數(shù)解決施工方案、銷售方案等實(shí)際應(yīng)用問題。2.能夠利用二次函數(shù)進(jìn)行方案設(shè)計(jì)，解決較為困難的應(yīng)用問題。例題1今年，6月12日為端午節(jié)。在端午節(jié)前夕，三位同學(xué)到某超市調(diào)研一種進(jìn)價(jià)為2元的粽子的銷售狀況（1）小華的問題解答：__________。（2）小明的問題解答：__________。解析：本題是以對(duì)話的形式給出的，首先應(yīng)明確已知和所求，再依據(jù)題意建立二次函數(shù)關(guān)系模型，利用二次函數(shù)的最值進(jìn)行解答。解：（1）設(shè)實(shí)現(xiàn)每天800元利潤的定價(jià)為x元/個(gè)，依據(jù)題意，得（x－2）（500－eq\f(x－3,0.1)×10）＝800。整理得：x2－10x＋24＝0，解之得：x1＝4，x2＝6?！摺痢辆忠?guī)定，售價(jià)不能超過進(jìn)價(jià)的240%，即2×240%＝4.8（元），∴x2＝6不合題意，舍去，得x＝4。答：應(yīng)定價(jià)4元/個(gè)，才可獲得800元的利潤。（2）設(shè)每天利潤為W元，定價(jià)為x元/個(gè)，得W＝（x－2）（500－eq\f(x－3,0.1)×10）＝－100x2＋1000x－1600＝－100（x－5）2＋900?！選≤5時(shí)W隨x的增大而增大，且x≤4.8，∴當(dāng)x＝4.8時(shí)，W最大＝－100×（4.8－5）2＋900＝896＞800。故800元不是最大利潤，當(dāng)定價(jià)為4.8元/個(gè)時(shí)，每天利潤最大。點(diǎn)撥：本題主要考查利用二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題的實(shí)力。要先依據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)關(guān)系式求值。留意：數(shù)學(xué)應(yīng)用題來源于實(shí)踐并應(yīng)用于實(shí)踐，在當(dāng)今社會(huì)市場經(jīng)濟(jì)的環(huán)境下，應(yīng)駕馭一些有關(guān)商品價(jià)格和利潤的學(xué)問。例題2某商場要經(jīng)營一種新上市的文具，進(jìn)價(jià)為20元，試營銷階段發(fā)覺：當(dāng)銷售單價(jià)是25元時(shí)，每天的銷售量為250件，銷售單價(jià)每上漲1元，每天的銷售量就削減10件。（1）寫出商場銷售這種文具，每天所得的銷售利潤w（元）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求銷售單價(jià)為多少元時(shí)，該文具每天的銷售利潤最大；（3）商場的營銷部結(jié)合上述狀況，提出了A、B兩種營銷方案：方案A：該文具的銷售單價(jià)高于進(jìn)價(jià)且不超過30元；方案B：每天銷售量不少于10件，且每件文具的利潤至少為25元。請比較哪種方案的最大利潤更高，并說明理由。解析：本題可依據(jù)總利潤＝（銷售價(jià)－進(jìn)價(jià)）×銷售量來確立函數(shù)關(guān)系式，關(guān)鍵是第（3）題，求兩種方案的最大利潤時(shí)，不肯定是二次函數(shù)頂點(diǎn)處的最值，可畫出圖形，結(jié)合二次函數(shù)的圖象解答。（1）w＝（x－20）[250－10（x－25）]＝－10x2＋700x－10000；（2）w＝－10x2＋700x－10000＝－10（x－35）2＋2250，所以，當(dāng)x＝35時(shí)，w有最大值2250，即銷售單價(jià)為35元時(shí)，該文具每天的銷售利潤最大。（3）方案A：由題意可得20＜x≤30，因?yàn)閍＝－10＜0，對(duì)稱軸為x＝35，所以該拋物線開口向下，在對(duì)稱軸左側(cè)，w隨x的增大而增大，所以當(dāng)x＝30時(shí)，w取得最大值為w＝－10（30－35）2＋2250＝2019（元）。方案B：由題意可得eq\b\lc\{(\a\al(x－20≥25,250－10（x－25）≥10))，解得：45≤x≤49。在對(duì)稱軸右側(cè)，w隨x的增大而減小，所以當(dāng)x＝45時(shí)，w取得最大值為w＝－10（45－35）2＋2250＝1250（元）。因?yàn)?019＞1250，所以選擇方案A。點(diǎn)撥：這是一類比較簡潔的方案設(shè)計(jì)問題，準(zhǔn)確地講，方案不須要設(shè)計(jì)，題目已經(jīng)給出詳細(xì)方案。解答這類問題時(shí)關(guān)鍵是對(duì)所給方案進(jìn)行比較，找出合適的、合理的方案。從二次函數(shù)的應(yīng)用這個(gè)角度講，本題主要考查了利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求二次函數(shù)的最值，特殊是非頂點(diǎn)處的最值。有些方案設(shè)計(jì)問題其本質(zhì)就是求滿意某種特殊要求的自變量的取值或函數(shù)值。解答這類問題時(shí)的解題策略與一般的函數(shù)應(yīng)用問題相同，須要特殊留意的是自變量和函數(shù)值的特殊要求，這往往表現(xiàn)在自變量或函數(shù)值是整數(shù)、正整數(shù)等。例某小區(qū)有一長100m，寬80m的空地，現(xiàn)將其建成花園廣場，設(shè)計(jì)圖案如圖所示，陰影區(qū)域?yàn)榫G化區(qū)（四塊綠化區(qū)是全等矩形），空白區(qū)域?yàn)榛顒?dòng)區(qū)，且四周出口一樣寬，寬度不小于50m，不大于60m。預(yù)料活動(dòng)區(qū)每平方米造價(jià)60元，綠化區(qū)每平方米造價(jià)50（1）設(shè)其中一塊綠化區(qū)的長邊長為xm，寫出工程總造價(jià)y（元）與x（m）的函數(shù)關(guān)系式（寫出x的取值范圍）；（2）假如小區(qū)投資46.9萬元，問能否完成工程任務(wù)？若能，請寫出x為整數(shù)的全部工程方案；若不能，請說明理由。（參考數(shù)據(jù)：eq\r(,3)≈1.732）答案：解：（1）因?yàn)槌隹趯挒椋?00－2x），所以一塊綠化區(qū)的短邊長為eq\f(1,2)×[80－（100－2x）]＝（x－10），所以y＝50×4x（x－10）＋60×[100×80－4x（x－10）]＝200x2－2019x＋480000－240x2＋2400x，所以y＝－40x2＋400x＋480000（20≤x≤25）。（2）能。因?yàn)椋?0x2＋400x＋480000＝469000，所以x2－10x－275＝0，所以x＝eq\f(10±20\r(,3),2)＝5±10eq\r(,3)。所以x1＝5＋10eq\r(,3)≈22.32，x2=5－10－12.32（舍去），所以投資46.9萬元能完成工程任務(wù)。因?yàn)閥＝－40x2＋400x＋480000（20≤x≤25）的對(duì)稱軸是x＝－eq\f(400,2×（－40）)＝5，又因?yàn)榇藪佄锞€開口向下，所以在20≤x≤25內(nèi)y隨x的增大而減小，所以當(dāng)x≥22.32時(shí)投資46.9萬元能夠完成工程任務(wù)，x為整數(shù)的工程方案如下：方案一：一塊矩形綠化區(qū)的長為23m，寬為13方案二：一塊矩形綠化區(qū)的長為24m，寬為14方案三：一塊矩形綠化區(qū)的長為25m，寬為15m點(diǎn)撥：本題是確定函數(shù)關(guān)系式及利用函數(shù)的性質(zhì)設(shè)計(jì)工程方案的問題。解題過程中應(yīng)理解：①工程總造價(jià)包括綠化區(qū)造價(jià)和活動(dòng)區(qū)造價(jià)兩部分；②依據(jù)投資額得出方程，結(jié)合圖象的性質(zhì)求出完成工程任務(wù)的全部方案。一、選擇題1.喜迎圣誕，某商店銷售一種進(jìn)價(jià)為50元/件的商品，售價(jià)為60元/件，每星期可賣出200件，若每件商品的售價(jià)每上漲1元，則每星期就會(huì)少賣出10件。設(shè)每件商品的售價(jià)上漲x元（x為正整數(shù)），每星期銷售該商品的利潤為y元，則y與x的函數(shù)解析式為（）A.y＝－10x2＋100x＋2019 B.y＝10x2＋100x＋2019C.y＝－10x2＋200x D.y＝－10x2－100x＋2019*2.生產(chǎn)季節(jié)性產(chǎn)品的企業(yè)，當(dāng)它的產(chǎn)品無利潤時(shí)就會(huì)剛好停產(chǎn)，現(xiàn)有一生產(chǎn)季節(jié)性產(chǎn)品的企業(yè)，一年中獲得利潤y與月份n之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝－n2＋15n－36，那么該企業(yè)一年中應(yīng)停產(chǎn)的月份是（）A.1月，2月 B.1月，2月，3月C.3月，12月 D.1月，2月，3月，12月*3.某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個(gè)檔次。第1檔次（最低檔次）的產(chǎn)品一天能生產(chǎn)76件，每件利潤10元。每提高一個(gè)檔次，每件利潤增加2元，但一天產(chǎn)量削減4件。該工廠一天能獲得的最大利潤是（）A.1120元 B.1144元 C.1152元 D.1160元**4.某企業(yè)投資100萬元引進(jìn)一條新產(chǎn)品加工線，若不計(jì)修理、保養(yǎng)費(fèi)用，預(yù)料投產(chǎn)后每年可創(chuàng)利33萬元，該生產(chǎn)線投產(chǎn)后，從第1年到第x年的修理、保養(yǎng)費(fèi)用累計(jì)為y萬元，其狀況如圖所示，可以看出圖中的折線近似于過原點(diǎn)的拋物線的一部分。則該公司第幾年可以收回投資并起先贏利（）A.第3年 B.第4年 C.第5年 D.第6年二、填空題*5.李大伯第一次種植大棚菜，在塑料大棚內(nèi)密植了100棵黃瓜秧，收獲時(shí)，每棵黃瓜秧平均只收獲2千克黃瓜，聽說鄰居每棵黃瓜秧可收獲近5千克黃瓜，他便向縣農(nóng)業(yè)技術(shù)員請教，農(nóng)業(yè)技術(shù)員查看了狀況后說：種植太密，不通風(fēng)，并告知他如何改進(jìn)。已知每少栽一棵秧苗，一棵黃瓜秧平均可多收0.1千克黃瓜，那么請你幫李伯伯計(jì)算削減__________棵黃瓜秧苗收獲最多，最多收獲__________**6.某種消費(fèi)品每件60元，不收附加稅時(shí)，每年大約銷售80萬件，若政府收附加稅時(shí)，每銷售100元要征稅x元（叫做稅率x%），則每年銷售量將削減eq\f(20,3)x萬件，要使每年在此項(xiàng)經(jīng)營中收取的稅金不少于128萬元，問稅率x%的范圍是__________，當(dāng)稅率x%＝__________時(shí)，所收取的稅金最多，為__________萬元。**7.某旅行社有100張床位，每床每日收費(fèi)10元，客床可全部租出，若每床每日收費(fèi)提高2元，則租出床位削減10張。若每床每日收費(fèi)再提高2元，則租出床位再削減10張。以每提高2元的這種方法改變下去，為了投資少而獲利大，每床每日應(yīng)提高_(dá)_________元。**8.某工廠要趕制一批抗震救災(zāi)用的大型活動(dòng)板房。如圖，板房一面的形態(tài)是由矩形和拋物線的一部分組成，矩形長為12m，拋物線拱高為5.6m?，F(xiàn)需在拋物線AOB的區(qū)域內(nèi)安裝幾扇窗戶，窗戶的底邊在AB上，每扇窗戶寬1.5m，高1.6m，相鄰窗戶之間的間距均為0.8m，左右兩邊窗戶的窗角所在的點(diǎn)到拋物線的水平距離至少為0.8m。最多可安裝__________扇這樣的窗戶。（參考數(shù)據(jù)：eq\f(180,7)≈5.072三、解答題9.某商場以100元一件的價(jià)格進(jìn)一批服裝，若將售價(jià)定為120元一件，則每天可賣120件，經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)覺，售價(jià)每增加5元，則每天會(huì)少賣10件，那么商場將售價(jià)定為多少元時(shí)，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？10.某商場購進(jìn)一種每件價(jià)格為100元的新商品，在商場試銷發(fā)覺：銷售單價(jià)x（元/件）與每天銷售量y（件）之間滿意如圖所示的關(guān)系：（1）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）寫出每天的利潤W與銷售單價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式；若你是商場負(fù)責(zé)人，會(huì)將售價(jià)定為多少，來保證每天獲得的利潤最大，最大利潤是多少？**11.某商場經(jīng)營某種品牌的玩具，購進(jìn)時(shí)的單價(jià)是30元，依據(jù)市場調(diào)查：在一段時(shí)間內(nèi)，銷售單價(jià)是40元時(shí)，銷售量是600件，而銷售單價(jià)每漲1元，就會(huì)少售出10件玩具。（1）不妨設(shè)該種品牌玩具的銷售單價(jià)為x元（x＞40），請你分別用x的代數(shù)式來表示銷售量y件和銷售該品牌玩具獲得的利潤w元，并把結(jié)果填寫在表格中：銷售單價(jià)（元）x銷售量y（件）__________銷售玩具獲得利潤w（元）__________（2）在（1）問條件下，若商場獲得了10000元銷售利潤，求該玩具銷售單價(jià)x應(yīng)定為多少元。（3）在（1）問條件下，若玩具廠規(guī)定該品牌玩具銷售單價(jià)不低于44元，且商場要完成不少于540件的銷售任務(wù)，求商場銷售該品牌玩具獲得的最大利潤是多少？**12.為激勵(lì)高校畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市政府出臺(tái)了相關(guān)政策：由政府協(xié)調(diào)，本市企業(yè)按成本價(jià)供應(yīng)產(chǎn)品給高校畢業(yè)生自主銷售，成本價(jià)與出廠價(jià)之間的差價(jià)由政府擔(dān)當(dāng)。李明依據(jù)相關(guān)政策投資銷售本市生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈。已知這種節(jié)能燈的成本價(jià)為每件10元，出廠價(jià)為每件12元，每月銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系近似滿意一次函數(shù)：y＝－10x＋500。（1）李明在起先創(chuàng)業(yè)的第一個(gè)月將銷售單價(jià)定為20元，那么這個(gè)月政府為他擔(dān)當(dāng)?shù)目偛顑r(jià)為多少元？（2）設(shè)李明獲得的利潤為w（元），當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月可獲得最大利潤？（3）物價(jià)部門規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷售單價(jià)不得高于25元。假如李明想要每月獲得的利潤不低于3000元，那么政府為他擔(dān)當(dāng)?shù)目偛顑r(jià)最少為多少元？一、選擇題1.A解析：設(shè)每件商品的售價(jià)上漲x元（x為正整數(shù)），則每件商品的利潤為：（60－50＋x）元，總銷量為：（200－10x）件，商品利潤為：y＝（60－50＋x）（200－10x）＝（10＋x）（200－10x）＝－10x2＋100x＋2019。故選：A。*2.D解析：令y＝0，則－n2＋15n－36＝0，∴n2－15n＋36＝0，解得n1＝3，n2＝12，∵a＝－1＜0，∴拋物線開口向下，∴n＝1和n＝2時(shí)，y＜0，∴該企業(yè)一年中應(yīng)停產(chǎn)的月份是1月，2月，3月，12月。故選D。*3.C解析：設(shè)生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品一天的總利潤為y元（其中x為正整數(shù)，且1≤x≤10），則y＝[10＋2（x－1）][76－4（x－1）]＝－8x2＋128x＋640＝－8（x－8）2＋1152，所以生產(chǎn)第8檔次的產(chǎn)品一天能獲得最大利潤1152元。**4.B解析：因?yàn)榇藪佄锞€過原點(diǎn)，所以設(shè)其解析式為y＝ax2＋bx。由題意可知，x＝1時(shí)，y＝1.5；x＝2時(shí)，y＝5，分別代入y＝ax2＋bx，得eq\b\lc\{(\a\al(a＋b＝1.5,4a＋2b＝5))，解得a＝1，b＝eq\f(1,2)，∴y＝x2＋eq\f(1,2)x。設(shè)g＝33x－100－x2－eq\f(1,2)x，則g＝－x2＋32eq\f(1,2)x－100。當(dāng)x＝3時(shí)，g＝－9＋eq\f(65,2)×3－100＜0，當(dāng)x＝4時(shí)，g＝－16＋130－100＝14（萬元），即第4年可收回投資并起先贏利。二、填空題*5.40，360解析：設(shè)削減x棵黃瓜秧苗，使得黃瓜收獲最多，由題意得：y＝（100－x）（eq\f(x,1)×0.1＋2）＝－0.1x2＋8x＋200＝－0.1（x－40）2＋360，∴當(dāng)x＝40棵時(shí)，y最多＝360千克。故答案為：40，360。**6.4%≤x%≤8%，6%，144解析：設(shè)收取的稅金為y萬元，則y＝（80－eq\f(20,3)x）×60×eq\f(x,100)＝－4x2＋48x＝－4（x－6）2＋144。解－4x2＋48x＝128，得x1＝4，x2＝8，因?yàn)閽佄锞€開口向下，所以當(dāng)4≤x≤8時(shí)，y≥128，即稅金不少于128萬元時(shí)稅率x%的范圍是4%≤x%≤8%。當(dāng)x＝6時(shí)，y最大＝144，即當(dāng)稅率x%＝6%時(shí)收取的稅金最多，為144萬元。依題意有：征附加稅x元（叫做稅率x%），每年銷售量將削減eq\f(20,3)x萬件，則銷量變?yōu)椋?0－eq\f(20,3)x）萬件，要使每年在此項(xiàng)經(jīng)營中所收取的附加稅額不少于128萬元，可以建立如下不等式：（80－eq\f(20,3)x）×60×eq\f(x,100)≥128，解得：4≤x≤8。∴4%≤x%≤8%，W＝（80－eq\f(20,3)x）×60×eq\f(x,100)＝－4x2+48x，當(dāng)x＝－＝6時(shí)，W最大＝144。**7.6解析：設(shè)每床每日應(yīng)提高x元，每日獲利為y元，則y＝（10＋x）（100－eq\f(x,2)×10）＝－5（x－5）2＋1125（2＜x＜10），∵a＝－5＜0，∴函數(shù)圖象開口向下，二次函數(shù)有最大值，∴為了投資少而獲利大，當(dāng)x＝6時(shí)，每日獲利y最大。故填6元。留意本題是以每提高2元的方案進(jìn)行的，雖然x＝4和x＝6都獲利大，但當(dāng)x＝4時(shí)租出的床位數(shù)大于x＝6時(shí)租出的床位數(shù)，投資會(huì)多一些，所以當(dāng)x＝6時(shí)投資少而獲利大。**8.4解析：設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝ax2，點(diǎn)B（6，－5.6）在拋物線的圖象上。∴－5.6＝36a，解得a＝－eq\f(7,45)，∴拋物線的表達(dá)式為y＝－eq\f(7,45)x2。設(shè)窗戶上邊所在直線交拋物線于C、D兩點(diǎn)，D點(diǎn)坐標(biāo)為（k，t），已知窗戶高1.6m，∴t＝－5.6+（1.6）＝－4，有－4＝－eq\f(7,45)k2，解得k＝5.07（負(fù)值舍去），∴CD＝5.07×2＝10.14m，又設(shè)最多可安裝n扇窗戶，∴1.5n＋0.8（n＋1）≤10.14，解得n≤4.06。即最多可安裝4扇窗戶。三、解答題9.解：設(shè)每天銷售利潤為y元，而售價(jià)為x元，則由題意得y＝（x－100）（120－eq\f(x－120,5)×10）＝－2x2＋560x－36000（100<x<180）。將其配方化成標(biāo)準(zhǔn)形式得y＝－2（x－140）2＋3200。所以當(dāng)x＝140時(shí)，函數(shù)有最大值3200元。即商場將售價(jià)定為140元時(shí)，每天的銷售利潤最大，最大利潤為3200元。10.解析：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b（k≠0）。由所給函數(shù)圖象得eq\b\lc\{(\a\al(130k＋b＝50,150k＋b＝30))，解得eq\b\lc\{(\a\al(k＝－1,b＝180))?！嗪瘮?shù)關(guān)系式為y＝－x＋180。（2）W＝（x－100）·y＝（x－100）（－x＋180）＝－x2＋280x－18000＝－（x－140）2＋1600，當(dāng)x＝140時(shí)，W最大＝1600。∴售價(jià)定為140元/件時(shí)，每天最大利潤W＝1600元。**11.解：（1）y＝6