2022年廣東省梅州市藍(lán)坊中學(xué)高二數(shù)學(xué)文摸底試卷含解析

2022年廣東省梅州市藍(lán)坊中學(xué)高二數(shù)學(xué)文摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.命題“若x，y都是偶數(shù)，則x＋y也是偶數(shù)”的逆否命題是() A．若x＋y是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)B．若x＋y是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)C．若x＋y不是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)D．若x＋y不是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)參考答案：C略2.橢圓的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D3.對于上可導(dǎo)的任意函數(shù),若滿足,則必有

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略4.若雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則該雙曲線的離心率為（

）A. B. C. D.2參考答案：A【分析】由垂直關(guān)系得出漸近線的斜率，再轉(zhuǎn)化為離心率的方程即可．【詳解】∵雙曲線的一條漸近線與直線垂直，∴，，，∴．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的漸近線，掌握兩直線垂直的充要條件是解題基礎(chǔ)．5.已知|z|＝3，且z＋3i是純虛數(shù)，則z＝()A．－3i

B．3i

C．±3i

D．4i參考答案：B6.若橢圓+=1與雙曲線﹣=1有相同的焦點(diǎn)，則a的值是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．2參考答案：A【考點(diǎn)】KF：圓錐曲線的共同特征．【分析】求出雙曲線的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)，即為橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到m，b的值，然后根據(jù)橢圓的定義得到a，最后利用a，b，c的關(guān)系即可求出b的值，得到橢圓及雙曲線的方程．【解答】解：由題意可知橢圓的半焦距c的平方為：c2=4﹣a2雙曲線的半焦距c的平方為：c2=a+2；∴4﹣a2=a+2，解得：a=1．（負(fù)值舍去）故選A．7.用紅、黃、藍(lán)等6種顏色給如圖所示的五連圓涂色，，要求相鄰兩個圓所涂顏色不能相同，且紅色至少要涂兩個圓，則不同的涂色方案種數(shù)為（

）A．610

B．630

C．950

D．1280參考答案：B8.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且過兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略9.設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)有下列結(jié)論中一定成立的是A．有極大值和極小值

B．有極大值和極小值C．有極大值和極小值D．有極大值和極小值參考答案：D略10.下列數(shù)列中，既是遞增數(shù)列又是無窮數(shù)列的是（）A．1，，，，… B．﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，…C．﹣1，﹣，﹣，﹣，… D．1，，，…，參考答案：C【考點(diǎn)】數(shù)列的概念及簡單表示法．【專題】點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法．【分析】根據(jù)遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、無窮數(shù)列、有窮數(shù)列的定義，對各個選項依次判斷．【解答】解：A、此數(shù)列1，，，，…是遞減數(shù)列，則A不符合題意；B、此數(shù)列﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，…是遞減數(shù)列，則B不符合題意；C、此數(shù)列﹣1，﹣，﹣，﹣，…是遞增數(shù)列又是無窮數(shù)列，則C符合題意；D、此數(shù)列1，，，…，，是有窮數(shù)列，則D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的分類，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.用等值算法求294和84的最大公約數(shù)時，需要做

次減法.參考答案：412.有如下四個推斷：①由＝2n－1，求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推斷：數(shù)列{}的前n項和為；②由f（x）＝xcosx滿足f（－x）＝－f（x）對R都成立，推斷：f（x）＝xcosx為奇函數(shù)；③由圓x2＋y2＝r2的面積S＝r2，推斷：橢圓的面積為S＝ab；④由（1＋1）2＞21，（2＋1）2＞22，（3＋1）2＞23，…，推斷：對一切，其中推理中屬于歸納推理且結(jié)論正確的是＿＿＿＿（將符合條件的序號都填上）。參考答案：①13.已知（為常數(shù)），在上有最小值，那么在上的最大值是 參考答案：57略14.已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：x0123y1357則y與x的線性回歸方程為必過點(diǎn)的坐標(biāo)為

參考答案：11.(1.5,4)，略15.定義在R上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且滿足f（3）=1，f（﹣2）=3，當(dāng)x≠0時有x?f'（x）＞0恒成立，若非負(fù)實(shí)數(shù)a、b滿足f（2a+b）≤1，f（﹣a﹣2b）≤3，則的取值范圍為．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】根據(jù)x?f'（x）＞0恒成立得到函數(shù)的單調(diào)性，從而將f（2a+b）≤1化成f（2a+b）≤f（3），得到0≤2a+b≤3，同理化簡f（﹣a﹣2b）≤3，得到﹣2≤﹣a﹣2b≤0．然后在aob坐標(biāo)系內(nèi)作出相應(yīng)的平面區(qū)域，得到如圖所示的陰影部分平面區(qū)域，利用直線的斜率公式即可求出的取值范圍．【解答】解：由x?f'（x）＞0恒成立可得：當(dāng)x∈（﹣∞，0）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，又∵a，b為非負(fù)實(shí)數(shù)，∴f（2a+b）≤1可化為f（2a+b）≤1=f（3），可得0≤2a+b≤3，同理可得﹣2≤﹣a﹣2b≤0，即0≤a+2b≤2，作出以及a≥0和b≥0所對應(yīng)的平面區(qū)域，得到如圖的陰影部分區(qū)域，解之得A（0，1）和B（1.5，0）而等于可行域內(nèi)的點(diǎn)與P（﹣1，﹣2）連線的斜率，結(jié)合圖形可知：kPB是最小值，kPA是最大值，由斜率公式可得：kPA==3，kPB==，故的取值范圍為[，3]故答案為：16.已知線段AB的長為2，動點(diǎn)C滿足（為常數(shù)，），且點(diǎn)C始終不在以B為圓心為半徑的圓內(nèi)，則的范圍是

．參考答案：17.已知函數(shù)（其中）在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為

▲

。參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2．（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若對于任意的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．（3）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）﹣a（x﹣1），其中a∈R，求函數(shù)h（x）在[1，e]上的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）先求出其導(dǎo)函數(shù)，再讓其導(dǎo)函數(shù)大于0對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間，小于0對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間即可．（注意是在定義域內(nèi)找單調(diào)區(qū)間）（2）已知條件可以轉(zhuǎn)化為a≥lnx﹣x﹣恒成立，對不等式右邊構(gòu)造函數(shù)，利用其導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的最大值即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）由已知得h′（x）=lnx+1﹣a，由h′（x）=0時，x=ea﹣1．由此利用分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)h（x）在[1，e]上的最小值．【解答】解：（1）f′（x）=lnx+1，令f′（x）＜0得：0＜x＜，∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，）令f′（x）＞0得：x＞，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（，+∞）；（2）g′（x）=3x2+2ax﹣1，由題意2xlnx≤3x2+2ax+1，∵x＞0，∴a≥lnx﹣x﹣恒成立①，設(shè)h（x）=lnx﹣x﹣，則h′（x）=﹣+=﹣，令h′（x）=0得：x=1，x=﹣（舍去）當(dāng)0＜x＜1時，h′（x）＞0；當(dāng)x＞1時，h'（x）＜0∴當(dāng)x=1時，h（x）有最大值﹣2，若①恒成立，則a≥﹣2，即a的取值范圍是[﹣2，+∞）．（3）∵f（x）=xlnx，∴h（x）=f（x）﹣a（x﹣1）=xlnx﹣a（x﹣1），∴h′（x）=lnx+1﹣a，∴h′（x）=0時，x=ea﹣1．∴①當(dāng)ea﹣1＜1時，即a＜1時，h（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，故在x=1處取得最小值為0；②當(dāng)1≤ea﹣1≤e時，即1≤a≤2時，h（x）在[1，e]內(nèi)，當(dāng)x=ea﹣1取最小值為：ea﹣1（a﹣1）﹣aea﹣1+a=a﹣ea﹣1；③當(dāng)ea﹣1＞e時，即a＞2時，h（x）在[1，e]內(nèi)單調(diào)遞減，故在x=e處取得最小值為：e﹣a（e﹣1）=（1﹣a）e+a．19.已知圓M的方程為，直線l的方程為，點(diǎn)P在直線l上，過P點(diǎn)作圓M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B.（1）若，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）若P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1)，過P作直線與圓M交于C，D兩點(diǎn)，當(dāng)時，求直線CD的方程.參考答案：（1）設(shè)，由條件可知，所以，解之得：，，故所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為或（2）設(shè)直線CD的方程為：，易知k存在，由題知圓心M到直線CD的距離為，所以，解得：或.故所求直線CD的方程為：或.

20.已知數(shù)列中，前項和（1）求這個數(shù)列的通項公式，并證明該數(shù)列是等差數(shù)列；（2）當(dāng)為何值時，取得最小值，此時最小值是多少。參考答案：解：（1）

當(dāng)n≥2時，

當(dāng)n＝1時，適合上式

故………………4分

當(dāng)n≥2時，

故數(shù)列｛a-n｝是以a1=－18為首項，以2為公差的等差數(shù)列……4分（2）

∴當(dāng)n＝9或10時有最小值－90………4分

21.（12分）已知函數(shù)f（x）=在x=1處取得極值2．（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；（2）當(dāng)m滿足什么條件時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，2m+1）上單調(diào)遞增？參考答案：（1）因?yàn)閒′（x）=，而函數(shù)f（x）=在x=1處取得極值2，所以，即，解得．故f（x）=即為所求．（2）由（1）知f′（x）=，令f′（x）＞0，得﹣1＜x＜1，∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[﹣1，1]．由已知得，解得﹣1＜m≤0．故當(dāng)m∈（﹣1，0]時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，2m+1）上單調(diào)遞增．22.過拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為﹣4．（1）求拋物線C的方程；（2）已知點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，0），若過D和B兩點(diǎn)的直線交拋物線C的準(zhǔn)線于P點(diǎn)，求證：直線AP與x軸交于一定點(diǎn)．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），設(shè)直線AB的方程為x=my+，聯(lián)立方程組，根據(jù)A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為﹣4，即可求出p的值，（2）表示出直線BD的方程可表示為，y=（x﹣4）①，拋物線C的準(zhǔn)線方程為，x=﹣1②，構(gòu)成方程組，解得P的坐標(biāo)，求出直線AP的斜率，得到直線AP的方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可．【解答】解：（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），設(shè)直線AB的方程為x=