河南省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高三年級(jí)上冊一輪復(fù)習(xí)摸底測試卷數(shù)學(xué)二

2023-2024學(xué)年度高三一輪復(fù)習(xí)摸底測試卷

數(shù)學(xué)（二）

本試卷共4頁，22題.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、考號(hào)等填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上

的指定位置.

2.選擇題的作答：選出每小題答案后，用25鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在

試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3.填空題和解答題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草

稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

4.考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知集合。={1,3,5,7,9,11},4={1,3,9},3={3,5,9,11},則電（4B）=（）

A.{1,7,11}B.{1,5,7}C.{5,7,11}D.{1,5,7,11）

2.若復(fù)數(shù)z滿足（1—2i）z=10—5i,則z的虛部為（）

A.—3B.3C.3iD.4

3.如圖1所示，宮燈又稱宮廷花燈，是中國彩燈中富有特色的漢民族傳統(tǒng)手工藝品之一.圖2是小明為自家

設(shè)計(jì)的一個(gè)花燈的直觀圖，該花燈由上面的正六棱臺(tái)與下面的正六棱柱組成，若正六棱臺(tái)的上、下兩個(gè)底面的

邊長分別為4dm和2dm,正六棱臺(tái)與正六棱柱的高分別為1dm和6dm,則該花燈的表面積為（）

圖1圖2

A.(108+3073)dm2B.(72+3073)dm2C.(64+2473)dm2D.(48+24V3)dm2

4.已知向量0=（2—%3）1=（/1），則“一1<.<3”是“a與人的夾角為銳角”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

5.2023年5月21日，中國羽毛球隊(duì)在2023年蘇迪曼杯世界羽毛球混合團(tuán)體錦標(biāo)賽決賽中以總比分3:0戰(zhàn)

勝韓國隊(duì)，實(shí)現(xiàn)蘇迪曼杯三連冠.甲、乙、丙、丁、戊五名球迷賽后在現(xiàn)場合影留念，其中甲、乙均不能站

左端，且甲、丙必須相鄰，則不同的站法共有()

A.18種B.24種C.30種D.36種

6.若sin(10°—e)+sin(10°+e)+Gsin(20°+e)=0,則tan8=()

V3°g

.----B.--C.->/3D.G

3

7.在正四棱柱ABC。—A&GA中，A4,=245=4,點(diǎn)E,F,G分別是A4,,A4,用G的中點(diǎn)，則過點(diǎn)

E,EG的平面截正四棱柱ABC。-ABCQj所得截面多邊形的周長為()

A.272+3>/3B.2垃+3非C.272+473D.20+46

8.若定義在(—0,0)(0,+8)上的函數(shù)/(x)同時(shí)滿足：①/(x)為奇函數(shù)；②對(duì)任意的西,馬e(0,+8),

且玉片々，都有二則稱函數(shù)/(x)具有性質(zhì)P.已知函數(shù)/(%)具有性質(zhì)P,則不

石一々

/、/(X2-4)

等式)(x—2)<：+2，的解集為()

A.(―8,—1)B.(—3,2)C.(—co,—3)(—1,2)D.(―oo,—3)(2,+oo)

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知函數(shù)/'(x)=Asin(。尤+夕)[A>0⑷>0,0<e<^^勺部分圖象如圖所示，貝ij()

B./(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)卜今,0)對(duì)稱

D./(x)在區(qū)間(一胃,一。)上單調(diào)遞減

C./(x)的圖象關(guān)于直線x=一丁對(duì)稱

10.如圖，正三棱柱A8C—4及G的底面邊長為1,高為3,b為棱A4的中點(diǎn)，QE分別在棱8B1,CG

上，且滿足AO+OE+以取得最小值.記四棱錐A—用￡。、三棱錐R—AOE，A—的體積分別

為匕,匕,匕，則（）

C.2匕=3%D.匕=匕+匕

11.已知雙曲線C:鼻一一=1（。>°）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，居，月」耳居1=2石，點(diǎn)尸是C上一

。Q+3

點(diǎn)，則（）

A.C的離心率為石

B.若PK_Lx軸,則閥|=8

C.若戶用=2儼用，則歸。|=6（其中0為坐標(biāo)原點(diǎn)）

4

D.點(diǎn)P到C的兩條漸近線的距離之積為一

5

12.若實(shí)數(shù)滿足/+必+加=3,則（）

A.a—bNB.ci+2Z?<Q.y/3C.ad—bN—D.a~+3一

22

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若隨機(jī)變量X?N（5,<T2）,且P（X<0）=0.11,則P（5<X<10）=.

14.若直線y=—3x+g與曲線/（x）=e-3*+“相切，則。=.

15.己知點(diǎn)A（—2,0）,B（2,0）,點(diǎn)M是直線丁=履+3上任意一點(diǎn)，旦NAM8<90°,則實(shí)數(shù)A:的取值范

圍是.

22

16.已知橢圓C：L+與=1（0＜。＜2）的右焦點(diǎn)為F,C外的一點(diǎn)A滿足E4=2O尸（0為坐標(biāo)原點(diǎn)），過

4h~

點(diǎn)A的直線與C交于P,。兩點(diǎn)，且AP=PQ,若直線尸。，尸尸的斜率之積為-士3，則）=______.

4

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分10分）如圖，在四邊形A5CD中，AB_LBC,NAZJC=120°,AB=CZ）=2AZ）,AACD

⑴求sinZCAB：

（2）證明：ZCAB^ZCAD.

18.（本小題滿分12分）A市天文臺(tái)在該市朝陽區(qū)隨機(jī)調(diào)查了100位天文愛好者的年齡，得到如圖所示的樣

本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖.

（1）估計(jì)該朝陽區(qū)100名天文愛好者年齡的75%分位數(shù)（精確到0.01）；

（2）已知該朝陽區(qū)天文愛好者的占比為11%,且該朝陽區(qū)年齡位于區(qū)間［20,30）的人口數(shù)占該區(qū)總?cè)丝跀?shù)

的25%.用樣本的頻率估計(jì)總體的概率，從該朝陽區(qū)任選I人，若此人的年齡位于區(qū)間［20,30）,求此人是

天文愛好者的概率.（計(jì)算結(jié)果精確到0.01）

19.（本小題滿分12分）已知數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，數(shù)列｛2—1｝是公比為2的等比數(shù)列，且

?3=b2,ab+4=20.

（1）求數(shù)列｛凡｝,也,｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)[x]表示不超過X的最大整數(shù)(如:[3.5]=3,[—1.5]=—2),求集合

eN*|ant<[log2^]<?2,?,l</M<10|中元素的個(gè)數(shù).

20.(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐S-ABCZ)中，AB//CD,ABLBC,SA=SD=\,

AB=2CD=2BC=2,SB=6，點(diǎn)M為棱CD的中點(diǎn)，點(diǎn)N在棱S4上，且AN=3SN.

(1)證明："N〃平面SBC；

(2)求直線SC與平面S3。所成角的正弦值.

21.(本小題滿分12分)已知拋物線。：產(chǎn)=2〃叱〃>0)的焦點(diǎn)為/，準(zhǔn)線為/,C上的動(dòng)點(diǎn)A到點(diǎn)廠與到

直線尤=—2的距離之和的最小值為3.

(1)求C的方程；

(2)過點(diǎn)A作直線交C于另一點(diǎn)B,過點(diǎn)A作C的切線點(diǎn)P在/'上.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條

件，證明另一個(gè)成立.

①點(diǎn)P在/上；②直線依與C相切；③點(diǎn)尸在直線ABt.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

22.(本小題滿分12分)已知函數(shù)/(x)=Inx+eR.

(1)當(dāng)加=—3時(shí)，求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，若不等式/(x)<i恒成立，求利的取值范圍；

(3)設(shè)〃eN”,證明：21n+『+—^—+…+2?+1.

、'12+122+2/+〃

參考答案及解析

數(shù)學(xué)(二)

一、選擇題

1.D【解析】因?yàn)锳={1,3,9},6={3,5,9,11},所以A，B={3,9},所以d(A'B)={1,5,7,11}.故

選D.

10-5i_(10-5i)(l+2i)

2.B【解析】因?yàn)?1—2i)z=10—5i,所以z==(2—i)(l+2i)=4+3i,所

l-2i(l-2i)(l+2i)

以z的虛部為3.故選B.

3.A【解析】正六棱臺(tái)的斜高為JM+QG—GJ=2dm,所以該花燈的表面積為

gx(4+2)x2x6+6x2x6+當(dāng)x4?x6+中x22x6=108+30君(dm?).故選A.

(2-r)f+lx3>0

4.B【解析】若。與6的夾角為銳角，則且。與6不共線，所以〈1,解得

t*一

2

一1</<3且故選B.

2

5.C【解析】當(dāng)丙站在左端時(shí)，有A；=6種站法；當(dāng)丙不站在左端時(shí)，有C；A；A；=24種站法，所以一

共有30種不同的站法.故選C.

6.A【解析】因?yàn)?皿（10。一。）+則（10。+。）+>/^11（20。+6?）=2$皿10。85。+瘋缶20飛05。+

2sinl0°+瓜in20°2sin(30o-20o)+V3sin20°

J5cos20°sin。=0,所以tan0=

-V3cos20°-x/3cos20°

2xicos200---sin20°+Gsin20。廣

”2J：6

->/3cos20o3

故選A.

7.D【解析】如圖，延長GE交2A的延長線于點(diǎn)M,交2G的延長線于點(diǎn)N，連接ME并延長交

AD于點(diǎn)K,交的延長線于點(diǎn)T,連接力V,分別交C2CG于點(diǎn)/，”，連接K7,G",則六邊形

EEGH/K所在平面即為平面EEG.由全等三角形可知，K,/,“分別為A。,C。,CG的中點(diǎn)，因?yàn)?/p>

AA=2AB=4,所以EF=G”=EK=H/=J^,FG=K/=0,所以六邊形EFGH/K的周長為

2夜+4石.故選D.

8.C【解析】因?yàn)閷?duì)任意的內(nèi),we(0,+8),且玉Hx,,都有二/(%)一即對(duì)任意兩個(gè)不

王一犬2

./(一)一項(xiàng)/(尤2)〃王)/(々)

相等的正實(shí)數(shù)%,馬，都有.......-.......=—^-------%—<0,所以函數(shù)g(X)=/(0是(0,+8)

x}-x2x]—x2X

上的減函數(shù)，因?yàn)椤▁)為奇函數(shù)，所以g(x)為偶函數(shù)，所以g(x)在(-00,0)上單調(diào)遞增.當(dāng)x-2>0,

x2-4)f(x2-4)

即x>2時(shí)，由/(x—2)<、-----L,得〃——土、——->所以％—2>f—4,此時(shí)無解；當(dāng)

,)x+2x-2X2-4

x—2<0,即無<2時(shí)，由小_2)<,得".二)>/(：；),所以,一2|<,2-4,解

f(x2-4]

得x<—3或一l<x<2.綜上所述，不等式/(x_2)<'+2’的解集為(fo,—3)u(—1,2).故選C.

二、選擇題

yrn

9.BD【解析】由圖象可得A=2,且f(O)=2sinp=l,又0<9<,,所以。二^，所以

f(%)=2sincoxH—,因?yàn)?—=2sin------1—=-2,所以-----1——----F2k兀,keZ,解得

k6)I3JV36/362

2427r

0=3左+2,kGZ,由圖象可知T=—>—,解得@<3,又0>0,所以④=2,故A錯(cuò)誤；所以

co3

"17乃71

/(x)=2sin(2x+?,當(dāng)x=-----時(shí),2%+-=0,故B正確；當(dāng)了=——時(shí)，2x+—=34，此時(shí)

126126

77r71I71(711

/(x)不取最值，故C錯(cuò)誤；當(dāng)xe——2x+-e-7T--,此時(shí)y(x)單調(diào)遞減，故D正

\12376\2J

確.故選BD.

10.ABD【解析】正三棱柱ABC—AgG的體積為

匕BCG=S"B￡-44,=gxlxlx*x3=￥，由圖可知匕+匕+匕＜匕如一.￡，所以

K+K+匕〈乎，所以A正確；沿著側(cè)棱AA將棱柱展開得到一個(gè)矩形A￡P(guān)A,連接4尸，

因?yàn)?O+OE+E4取得最小值，即線段A7,所以。耳=1,EQ=2,因?yàn)槭瑸锳4的中點(diǎn)，所以

._1V3_11z,.X.6_._113.V3_V3

vzcvz

\=1542,3=3*5、(1+2)*1*?-=彳，V2=瞑_年&=

匕=%-,0=%-廿。=匕，所以B正確，C不正確，D正確?故選ABD-

11.ACD【解析】因?yàn)殚|用=2石，所以。2+/+3=5,解得。2=1,故雙曲線。：/一?=1.對(duì)

于A,雙曲線C的離心率e=6,故A正確；對(duì)于B,由題可得耳卜石,0),又P￡_Lx軸，所以

v2

Xp=—JL則5-牛=1,解得力=±4,所以|尸制=4,故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,因?yàn)槿杂?2戶用，且

戶制一|「用=2,所以|尸用=4,|P閭=2,所以|P制2+歸閭2=]4圖2,所以9_LPK，所以

|「。|=；|耳國=6,故C正確；對(duì)于D,設(shè)P?,%),則%；—1=1,因?yàn)殡p曲線C的漸近線方程為

x—2=0或%+2=0,所以點(diǎn)P到雙曲線C的兩條漸近線的距離之積為

22

故D正確.故選ACD.

a+—b=y/3cos0

22

【解析】由"2得

12.ABD+ab+b=3,令<r，得

2)

—b=V^sin。

2

a=V5cossin。

，所以。-b=V3cos0-3sin0=26cos故A正確；因?yàn)?/p>

b=2sin。

故正確；，

a+2b=Geos。+3sin6=25/3sin,+26,26],BQ+g/?=Gcos-sinO+

sin6=V§COS6E[一6,G],故C錯(cuò)誤；a1+6-ab=3-lab=3-2V3cos0-sinj-2sin0=

3-46cos/in0+4sin%=3-2百sin26+2(1—cos2。)=5-41sin2。+；cos2。=

5—4sin(26+總e[l,9],故D正確.故選ABD.

三、填空題

13.0.39【解析】因?yàn)閄~N(5,cr2),所以正態(tài)曲線的對(duì)稱軸是直線〃=5,因?yàn)镻(X<0)=0.11,所

以P(5<X<10)=P(0WX<5)=0.5—0.11=0.39.

21

14.--【解析】設(shè)切點(diǎn)為（%,%），則及）=一3%+§，且％=e'+",由/（X）=e-3x+",得

2?

/'（x）=—3e-3x+。，所以-3e—+〃=-3,所以一3x0+a=0,所以為=1，所以/=一§，則。=一

15.J【解析】以線段AB為直徑的圓的方程為/+y2=4,因?yàn)镹A"5<90。，所以點(diǎn)河

I22）

3

在以線段A3為直徑的圓外，所以圓心（0,0）到直線丁=麻+3的距離d=1pq>2,解得

~~~~<k<,所以實(shí)數(shù)Z的取值范圍是一避^.

22122J

16.百【解析】如圖，取線段PQ的中點(diǎn)為連接

3

則由題意可得，|以|=2|外4,又|A丹=2|R9|,所以P/〃MO.因?yàn)橹本€PQ,PF的斜率之積為,

日+y=1

所以即設(shè)尸（X1，M）,Q（X2，%），則2b\，兩式相減可得（%+々）（％—.）+

4-，咚=14

14b2

（y+型必一%）=0,整理得'+%1'|%,=_貴,即A自“=一￡=一3,所以/=3,所以

xx

b~（%1+x2）（i~2）444

b=V3.

四、解答題

17.解：（1）設(shè)CD=2AZ）=勿,a>0,

因?yàn)闀?huì)必。。的面積為3,NADC=120。，

2

所以』x2axaxsinl2（）o=正，解得a=l,

22

所以A8=CD=2,AD=1.

在AACD中，由余弦定理得4。2=4。2+。。2一2/1￡）-30$120。=1+4-2乂2乂1乂（一3）=7,

所以AC=4.

在RtAABC中，AB±BC,AB^2,所以3C=JAC?一至？=夜一4=6

AC7

(2)由(1)可得CD=2,AC=S，

CDAC

在八48中，由正弦定理得

sinZCAD-sinZADC'

所以sinNG40=COsinNAOC=_苒=叵，且0。<NCW<60。.

ACV77

J21

由(1)可得sin/CABn^^—，又0。<NC4B<90°,

7

所以NC4B=NC4￡).

18.解：(1)記該朝陽區(qū)100名天文愛好者年齡的75%分位數(shù)為x,

則10x0.016+10x0.036+(x—20)x0.028=0.75,

解得xa28.21,

故估計(jì)該朝陽區(qū)100名天文愛好者年齡的75%分位數(shù)為28.21歲.

(2)記事件A為：“任選一人，此人年齡位于區(qū)間[20,30)”，

事件8為：“任選一人，此人是天文愛好者”，

由條件概率公式可得，/>(胴)=以等=以萼誓=小型H暨二?！?32，。[2,

v17P(A)P(A)25%

故此人是天文愛好者的概率約為0.12.

19.解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為d,

1

由題意可知an=\+(n—\^d,bn—1=(Z>,—1)-2">

因?yàn)樯?"，。6+2=20,

所以1+a=2(4一1)+1,1+54+4(4-1)+1=20,

解得白=3,4=2,所以a“=2〃-1也=2"+1.

(2)因?yàn)?*<2"+1<2*+:所以左<1。82(2*+1)<z+1,所以[log24]=h

因?yàn)?2機(jī)一1,4〃？=4/〃-1,所以當(dāng)加=1時(shí)，ax<[log2^]<tz2，

則1v左v3；當(dāng)利=2時(shí)，42V[log24]v4，則3<Zv7；

當(dāng)根=3時(shí)，生<Rogzd]v4，則5vkv11；

依次類推，當(dāng)初=10時(shí)，4()v[logzd]v%o，則19〈人〈39,

又AeN*,且集合中的元素互異，

所以集合卜eN〔am<[log2/?A.]<a2m,l<m<10|

中元素的個(gè)數(shù)為1+3+5++19—（1+3+…+15）=17+19=36個(gè).

20.解：（1）在平面A8CQ內(nèi)過點(diǎn)〃作M交A8于點(diǎn)連接橋，

則四邊形MCBF為平行四邊形，

所以FB=MC='CD=L,所以AF=3EB,

22

又A7V=3SN,所以NF〃SB,

因?yàn)槿霊簦?平面S8C,S6u平面SBC,所以版〃平面SBC.

因?yàn)镸F//BC,MF?平面SBC,BCu平面SBC,所以MF//平面SBC,

又NFMF=F,NF,MFu平面MNF,所以平面"A/〃平面SBC,

又MNu平面MNF,所以MN〃平面SBC.

（2）取AO的中點(diǎn)O,連接SO,80,

因?yàn)锳B//CD,AB_LBC,AB=2CD=28C=2

所以AO=BO=0,所以從。2+3。2=AB2,所以仞工班），

i/y

又SA=SD=1,AD=6.,所以54_15。,5。，49,所以5。=—AD=Y-.

22

在△300中，BO2=BD2+0D2=-,

2

又SB=6所以582=5。2+8。2,所以SOLQB,

又AO80=。,4）,80（=平面43?！辏?所以SO_L平面ABC。.

過B作Bz//SO,則Bz±平面ABCD,則BA,BC,Bz兩兩垂直，

所以以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，84,BC,8z所在的直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

I5、

則8（0。0）,。（0,1,0）,0（1,1,0）,5,

7

所以交］,BO=(1,1,0),SC=

222、1

設(shè)平面SBD的法向量為n=(x,y,z),

31y+冬=0

n-BS—x+—

則422

n?BD=x+y=0

取X=l,則〃=1,—0),

設(shè)直線sc與平面SB。所成的角為e,

31,

-+1

SCn22百

則sin。=cos(SC,n

SC2百~6

即直線SC與平面SBD所成角的正弦值為g

6

21.解：(1)設(shè)A(%,%),%30，由題意知準(zhǔn)線/"=一日，/々,0

由拋物線的定義可知點(diǎn)A到點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)A到準(zhǔn)線/的距離，

所以點(diǎn)A到點(diǎn)尸的距離與到直線x=-2的距離之和為%+5+%+2=2/+2+g

由題意知當(dāng)x°=0時(shí)，距離之和最小,

所以2+j=3,解得〃=2,所以拋物線C的方程為J/=4尤.

(2)由(1)可得/(1,0).由題意可知直線/'的斜率不為0,

故設(shè)直線/':x—玉=m(y-y),

聯(lián)立"一"(''J,化簡得丁_4相＞+4/孫一4項(xiàng)=0,

曠=4x

2

則△=16m-16my]+16再=0,

2

即△=16m-16myl+4y；=4(2m一M『=0,解得m=^-9

所以直線「：工—玉=甘（,一必），即yy=2（x+xJ.

若選擇①②作為條件，證明③成立：

設(shè)6（工2，%），，2不丁尸0，

同理可得直線PB:y2y=2（x+/），

設(shè)P（—,則0]=2（-1+X]）,“2=2（—1+尤2），

所以點(diǎn)48在直線）=2（工一1）上，

所以點(diǎn)尸在直線AB上，即③成立.

若選擇②③作為條件，證明①成立：

設(shè)。0，

同理可得直線PB:y2y=2（x+w），

y2y=2%+亍

yy=2(x+x)即|I

聯(lián)立〈22

yy=2(x+xj(2

%y=2x+^-

解得Xp=怨1.

設(shè)直線AB:x=<y+l,聯(lián)立［得/一4b一4=0,

/=4x

則△=16r2+16>0,凹%=一4,所以與=苧=-1,

所以點(diǎn)P在/上，即①成立.

若選擇①③作為條件，證明②成立：

設(shè)5（工2，%），必/X。0，

同理若直線夕8與C相切，則直線依：%丁=2（%+%），

在直線yy=2（x+xJ中，令x=-1,得丁=義三~,

所以p'1,2?-L).

IMJ

x=(y+1°

設(shè)直線AB:x=)+l,聯(lián)立4,J,得/一4)-4=0,

y=4x

則△=16『+16>0,%%=-4,

4144、

則上=----，所以6-7,----

MIKyj

_4_2(^-1)

XX_-4y-2(4-l)y

所以即8=

±+l-4+y；

-郛+對(duì)1(4)2

4+y；4+y；22y2)y2

則直線PB:y-2(~二0=2(x+l),

y