拋物線的焦點弦性質(zhì)

關(guān)于拋物線的焦點弦性質(zhì)xOyABF過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的一條直線和拋物線相交,兩交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),則(1)|AB|=x1+x2+p(2)通徑長為2p第2頁,共20頁，2024年2月25日，星期天AXyOFBlA1M1B1M過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的一條直線和拋物線相交,兩交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),則(5)以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.故以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.第3頁,共20頁，2024年2月25日，星期天XyFAOBA1B1過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的一條直線和拋物線相交,兩交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),則(6)焦點F對A、B在準(zhǔn)線上射影的張角為90o。123456第4頁,共20頁，2024年2月25日，星期天過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的一條直線和拋物線相交,兩交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),則(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;證明：思路分析：韋達定理xOyABF第5頁,共20頁，2024年2月25日，星期天xOyABF第6頁,共20頁，2024年2月25日，星期天F過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的一條直線和拋物線相交,兩交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),則(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;法3：利用性質(zhì)焦點F對A、B在準(zhǔn)線上射影的張角為90°。第7頁,共20頁，2024年2月25日，星期天代入拋物線得y2－２ｐmｙ－２ｐs＝０，練習(xí)(1).若直線過定點M(s,0)(s>0)與拋物線y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),求證:x1x2=s2;y1y2=-2ps.證明：設(shè)AB的方程為ｘ=mｙ＋s（m∈Ｒ）

(2).若直線與拋物線y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),且有x1x2=s2;y1y2=-2ps.求證：直線過定點(s,0)(s>0)證明：lyy2=2pxAMxB第8頁,共20頁，2024年2月25日，星期天過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的一條直線和拋物線相交,兩交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),則(4)若直線AB的傾斜角為θ,則|AB|=2p/sin2θxOyABFθ證明:思路分析|AB|=|AF|+|BF|=

思考：焦點弦何時最短？過焦點的所有弦中，通徑最短第9頁,共20頁，2024年2月25日，星期天xOyABF過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的一條直線和拋物線相交,兩交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),則第10頁,共20頁，2024年2月25日，星期天例2.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的一條直線和拋物線相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(1)AO交準(zhǔn)線于C,則直線CB平行于拋線的對稱軸.xyFABCO第11頁,共20頁，2024年2月25日，星期天例2.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的一條直線和拋物線相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(2)過B作BC⊥準(zhǔn)線l,垂足為C,則AC過原點O共線.xyFABCO第12頁,共20頁，2024年2月25日，星期天例3.

A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的

兩點，且OA⊥OB，

1.求A、B兩點的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積；

2.求證：直線AB過定點；

3.求弦AB中點P的軌跡方程；

4.求△AOB面積的最小值；

5.求O在AB上的射影M軌跡方程.二、拋物線中的直角三角形問題第13頁,共20頁，2024年2月25日，星期天例3.

A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點，且OA⊥OB，

(1)求A、B兩點的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積；[解答](1)設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，中點P(x0,y0)，∵OA⊥OB∴kOAkOB=-1，∴x1x2+y1y2=0∵y12=2px1，y22=2px2

∵y1≠0,y2≠0,∴y1y2=

4p2∴x1x2=4p2.第14頁,共20頁，2024年2月25日，星期天例3.

A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點，且OA⊥OB，(2)求證：直線AB過定點；[解答](2)∵y12=2px1，y22=2px2∴(y1

y2)(y1+y2)=2p(x1

x2)∴AB過定點T(2p,0).第15頁,共20頁，2024年2月25日，星期天同理，以代k得B(2pk2,-2pk).例3.

A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點，且OA⊥OB，

(3)求弦AB中點P的軌跡方程；即y02=px0-2p2，∴中點M軌跡方程y2=px-2p2(3)設(shè)OA∶y=kx，代入y2=2px得:k0，第16頁,共20頁，2024年2月25日，星期天(4)當(dāng)且僅當(dāng)|y1|=|y2|=2p時，等號成立.例3.

A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點，且OA⊥OB，(4)求△AOB面積的最小值；第17頁,共20頁，2024年2月25日，星期天(5)法一：設(shè)M(x3,y3),則例3.

A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點，且OA⊥OB，(5)求O在AB上的射影M軌跡方程.由(1)知，y1y2=-4p2，整理得：x32+y32-2px3=0，∴點M軌跡方程為x2+y2-2px=0(去掉(0,0)).第18頁,共20頁，2024年2月25日，星期天∴M在以O(shè)T為直徑的圓上∴點M軌跡方程為(x-p)2+y2=p2,去掉(0,0).

評注：此類問題要充分利用(2)的結(jié)論.∴

∠OMT=90

,又OT為定線段法二：∵