獨立性及貝努里概型

關于獨立性及貝努里概型.1.獨立性的概念兩個事件的獨立性先看一個具體的例子

例1.5.1

設袋中有五個球（三新兩舊）每次從中解:

顯然

P(A)=

,P(B|A)=

.,P(B)=P(B|A)=P(B),取一個，有放回地取兩次，記A=｛第一次取得新球｝,B=｛第二次取得新球｝，求P(A),P(B),P(B|A).由此可得

P(AB)=P(A)P(B).第2頁,共35頁，2024年2月25日，星期天定義1.5.1

設A、B

F,若P(AB)=P(A)P(B)則稱根據定義，兩個事件的獨立性實質上就是一個事件和不可能事件

與任何事件都相互獨立的，因為事件A、B是相互獨立的，簡稱為獨立的.的發(fā)生不影響另一個事件的發(fā)生.必然事件必然事件與不可能事件的發(fā)生與否，的確不受任何事件的影響，也不影響其它事件是否發(fā)生.第3頁,共35頁，2024年2月25日，星期天例1.5.2

分別擲兩枚均勻的硬幣，令A=｛硬幣甲出現(xiàn)正面｝,B=｛硬幣乙出現(xiàn)正面｝,驗證事件A,B是相互獨立的.Ω=｛（正、正）（正、反）（反、正）（反、反）｝

A=｛（正、正）（正、反）｝,AB=｛（正、正）｝,

P(A)=P(B)=,P(AB)=

=P(A)P(B).

所以A、B是相互獨立的.

B=｛（反、正）（正、正）｝,驗證：第4頁,共35頁，2024年2月25日，星期天

實質上，在實際問題中，人們常用直覺來判斷事件間的”相互獨立”性，事實上，分別擲兩枚硬幣，硬幣甲出現(xiàn)正面與否和硬幣乙出現(xiàn)正面與否，相互之間沒有影響，因而它們是相互獨立的，當然有時直覺并不可靠.

例1.5.3

一個家庭中有男孩，又有女孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A=｛一個家庭中有男孩，又有女孩｝，B=｛一個家庭中最多有一個女孩｝.對下述兩種情形，討論A和B的獨立性.

1）家庭中有兩個小孩；2）家庭中有三個小孩.解:

1）有兩個小孩的家庭，這時樣本空間為：

Ω=｛(男、男),(男、女),(女、男),(女、女)｝

A=｛(男、女),(女、男)｝

B=｛(男、男),(男、女),(女、男)｝

第5頁,共35頁，2024年2月25日，星期天

AB=｛（男、女），（女、男）｝

于是

P(A)=,P(B)=,P(AB)=

由此可知

P(AB)

P(A)P(B).所以

A與B不獨立.2）有三個小孩的家庭，樣本空間Ω=｛（男、男、男），（男、男、女），（男、女、男），（女、男、男）（男、女、女），（女、女、男），（女、男、女），（女、女、女）｝

由等可能性可知，這8個基本事件的概率都是

這時A包含了6個基本事件，B包含了4個基本事件，P(AB)=,P(A)=,P(B)=.

AB包含了3個基本事件.第6頁,共35頁，2024年2月25日，星期天顯然

P(AB)=P(A)P(B)，從而A與B相互獨立.2)多個事件的獨立性定義1.5.2設三個事件A,B,C滿足P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)稱A,B,C相互獨立.

由三個事件的獨立性可知，若A、B、C相互獨立，則它們兩兩相互獨立，反之不一定成立.第7頁,共35頁，2024年2月25日，星期天例1.5.4

一個均勻的正四面體，其第一面染成紅色，第二面染成白色，第三面染成黑色,第四面上同時染上紅、黑、白三色，以A、B、C分別記投一次四面體，出現(xiàn)紅、白、黑顏色的事件，P(AB)=P(BC)=P(AC)=,P(ABC)=,故A、B、C兩兩相互獨立.但不能推出.也就是說由A、B、C兩兩.不能推出A、B、C兩兩相互則P(A)=P(B)=P(C)=相互獨立不能推出A、B、C相互獨立.同樣地由獨立.事件的獨立性可以推廣到多個隨機事件的情形.第8頁,共35頁，2024年2月25日，星期天定義1.5.3對個事件若對于所有有

=；

=;

……=則稱相互獨立.個事件相互獨立，則必須滿足個等式.顯然個事件相互獨立，則它們中的任意（2）個事件也相互獨立.可能的組合1第9頁,共35頁，2024年2月25日，星期天2.事件獨立性的性質定理1.5.1

四對事件{A、B}，{}，{A，、}中有一對相互獨立，則其它三對也相互獨立.}、

{證明不失一般性.設事件與獨立，僅證與相互獨立，其余情況類似證明

因為

又與獨立，所以

從而

所以，與

相互獨立.:用數(shù)學歸納法可以證明第10頁,共35頁，2024年2月25日，星期天定理1.5.2

設相互獨立，則將其中任意個（1）換成其對立事件，則所得個事件也相互獨立.特別地，若相互獨立，則也相互獨立.

第11頁,共35頁，2024年2月25日，星期天相互獨立事件至少發(fā)生其一的概率的計算相互獨立，則=1=1=1

這個公式比起非獨立的場合，要簡便的多，它在實際問題中經常用到.

3.事件獨立性的應用設第12頁,共35頁，2024年2月25日，星期天例1.5.6假若每個人血清中含有肝炎病的概率為0.4%，混合100個人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率？解:設={第個人血清中含有肝炎病毒}

可以認為相互獨立，所求的概率為

=1=1=0.33.

雖然每個人有病毒的概率都是很小，但是混合后，則有很大的概率.在實際工作中，這類效應值得充分重視.第13頁,共35頁，2024年2月25日，星期天

例1.5.7

張、王、趙三同學各自獨立地去解一道數(shù)學題，他們的解出的概率為1/5，1/3，1/4，試求（1）恰有一人解出的概率；（2）難題被解出的概率.

解:

設（i=1，2，3）分別表示張、王、趙三同學相互獨立.令A={三人中恰有一人解出難題}P(A)=

P(+P()+P()++

=

=

則A=由題設知解出難題這三個事件，第14頁,共35頁，2024年2月25日，星期天(2)令B={難題解出}=1=

對于一個電子元件，它能正常工作的概率它的可靠性，元件組成系統(tǒng)，系統(tǒng)正常工作的概率稱為該系統(tǒng)的可靠性.隨著近代電子技術組成迅猛發(fā)展，關于元件和系統(tǒng)可靠性的研究已發(fā)展成為一門新的學科------可靠性理論.概率論是研究可靠性理論的重要工具.2）在可靠性理論中的應用,稱為第15頁,共35頁，2024年2月25日，星期天例1.5.8如果構成系統(tǒng)的每個元件的可靠性均為0<<1,且各元件能否正常工作是相互獨立的,圖1

12

12

試求下面兩種系統(tǒng)的可靠性.第16頁,共35頁，2024年2月25日，星期天12

12

圖2

解:1)每條道路要能正常工作當且僅當該通路上各故障的概率為.由于系統(tǒng)是由兩通路并聯(lián)而上述系統(tǒng)的可靠性為=

2)每對并聯(lián)元件的可靠性為=1-系統(tǒng)由對并聯(lián)元件串聯(lián)而成，故其可靠性為.元件正常工作故其可靠性為,也即通路發(fā)生成的，兩通路同時發(fā)生故障的概率為，因此第17頁,共35頁，2024年2月25日，星期天利用數(shù)學歸納法可以證明n時,.

所以.因此雖然上面兩個系統(tǒng)同樣由構成作用也相同，但是第二種構成方式比第一種方式個元件可靠來得大，尋找可靠性較大的構成方式也是可靠理論的研究課題之一.第18頁,共35頁，2024年2月25日，星期天二、貝努里概型1.試驗的獨立性

如果兩次試驗的結果是相互獨立的，稱兩次試驗是相互獨立的.當然，兩次試驗是相互獨立的，由此產生的事件也是相互獨立.2.貝努里概型(1)貝努里試驗

若試驗E只有兩個可能的結果：A及，稱這個試驗為貝努里試驗.第19頁,共35頁，2024年2月25日，星期天(2)貝努里概型設隨機試驗E具有如下特征：1）每次試驗是相互獨立的；2）每次試驗有且僅有兩種結果：事件A和事件；3）每次試驗的結果發(fā)生的概率相同.即=p在每次試驗中保持不變.

稱試驗E表示的數(shù)學模型為貝努里概型.若將試驗次，則這個試驗也稱為重貝努里試驗.記為.由此可知“一次拋擲

枚相同的硬幣”的試驗可重貝努里試驗.做了以看作是一個第20頁,共35頁，2024年2月25日，星期天一個貝努里試驗的結果可以記作）其中（1或者為或者為，因而這樣的共有個,它們的全體就是貝努里試驗的樣本空間.…)如果（1中有個，則必有個..如果要求“重貝努里試驗中事件出現(xiàn)次”這記{

重貝努里試驗中事件出現(xiàn)次}.由概率的可加性=在貝努里試驗中,事件至少發(fā)生一次的概率為.(可以轉化為它的對立事件來求)一事件的概率于是由獨立性即得第21頁,共35頁，2024年2月25日，星期天

例1.5.9金工車間有10臺同類型的機床，每臺機床配備的電功率為10千瓦，已知每臺機床工作時，平均每小時實際開動12分鐘，且開動與否是相互獨立的，現(xiàn)因當?shù)仉娏┚o張，供電部門只提供50千瓦的電力給這10臺機床.問這10臺機床能夠正常工作的概率為多大？

解:50千瓦電力可用時供給5臺機床開動，因而10臺機床中同時開動的臺數(shù)為不超過5臺時都可以正常工作，而每臺機床只有“開動”與“不開動”的兩種情況，且開動的概率為12/60=1/5.不開動的概率為4/5.

設10臺機床中正在開動著的機床臺數(shù)為，則

,0第22頁,共35頁，2024年2月25日，星期天于是同時開動著的機床臺數(shù)不超過5臺的概率為=

由此可知，這10臺機床能正常工作的概率為0.994，也就是說這10臺機床的工作基本上不受電力供應緊張的影響.例1.5.10某人有一串只有一把能打開家門。有一天該人酒醉后回家，下把鑰匙中隨便拿一把去開門，問該次才把門打開的概率為多少？把外形相同的鑰匙其中意識地每次從人第第23頁,共35頁，2024年2月25日，星期天解:因為該人每次從不做記號又放回）所以能打開門的一把鑰匙在每次

，易知，這是一個次才把門打開，意味著前面次都沒有打開，于是由獨立性即得

P（第次才把門打開）=…=.把鑰匙中任取一把（試用后試用中恰被選種的概率為1/貝努里試驗，在第第24頁,共35頁，2024年2月25日，星期天例1.5.11（巴拿赫火柴問題）某數(shù)學家常帶有兩盒火柴（左、右袋中各放一盒）每次使用時，他在兩盒中任抓一盒，問他首次發(fā)現(xiàn)一盒空時另一盒有根的概率是多少？（，

為最初盒解:設選取左邊衣袋為“成功”，于是相繼選取衣的貝努里試驗.當某一時刻為先根火柴的事件次失敗發(fā)生在第其中從左袋中取了根，并且在還要從左袋中取，才能發(fā)現(xiàn)左袋已經取完，盒子中的火柴數(shù)）袋，就構成了發(fā)現(xiàn)左袋中沒有火柴而右袋中恰有相當于恰有根火柴，次取火柴第25頁,共35頁，2024年2月25日，星期天因此

P（發(fā)現(xiàn)左袋空而右袋室而右袋還有根）.

=由對稱性,首次發(fā)現(xiàn)右袋中沒有火柴而左袋中恰有根的概率為..故所求的概率為第26頁,共35頁，2024年2月25日，星期天習題1.51.兩射手獨立地向同一目標射擊，設甲、乙擊中目標的概率分別為0.9和0.8，求（1）兩人都擊中目標的概率；（2）目標被擊中的概率；（3）恰好有一人擊中目標的概率.

2.甲乙兩人獨立的對同一目標射擊一次，其命中率分別為0.6和0.7，現(xiàn)已知目標被擊中，求它是甲擊中的概率

3.三人獨立的解一道數(shù)學難題，它們能單獨解出的，求此難題被解出的概率.概率分別為第27頁,共35頁，2024年2月25日，星期天4.設相互獨立，證明獨立，也獨立5.求下列系統(tǒng)（如圖所示）的可靠度，假設原件的各原件正常工作或失效相互獨立。（1）123123可靠度為第28頁,共35頁，2024年2月25日，星期天(2)222131321(3)

第29頁,共35頁，2024年2月25日，星期天(4)12231116.甲乙兩人進行乒乓球比賽，每局甲勝的概率為.問對甲而言，采用三局兩勝制有利，還是7.若事件相互獨立且互不相容，試求.采用五局三勝制有利，設各局勝負相互獨立.第30頁,共35頁，2024年2月25日，星期天8.設，在以下情況下求（1）互不相容；（2）獨立；（3）.9.設兩兩獨立，且

（1）如果，試求的最大值；（2）如果，且求.,10.事件獨立，都不發(fā)生的概率為，發(fā)生不發(fā)生的概率與發(fā)生不發(fā)生的概率相等，求.第31頁,共35頁，2024年2月25日，星期天11.一個人的血型為型的概率分別為（2）此四人的血型全部相同的概率.12.一大樓裝有5個同類型的供水設備.調查表明在任一時刻

每個供水設備被使用的概率為0.1，求在同一時刻：（1）恰有2個設備被使用的概率；（2）至少有3個設備被使用的概率；（3