2023-2024學年銀川市上游中學高二數(shù)學第一次月考試卷附答案解析

2023-2024學年銀川市上游中學高二數(shù)學第一次月考試卷

(考試時間120分鐘；試卷滿分150分)

一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的)

1.下列向量中，與向量。=(2,-3,1),平行的是()

A.(1,1,1)B.(—2,3,1)C.f-1D.(—2,—1,1)

2.如圖，在平行六面體A8CD—A/B/GD中，E為A/G的中點，若+yAB+zAO，貝！I().

x=l,產(chǎn)Z=——B.x=l,尸一萬，z=-

5'22

1z，

y=l,z=—D.y=l,

)2’22

3.在空間直角坐標系中，已知點尸(1,2,3),則下列說法錯誤的是()

A.點P關(guān)于坐標原點對稱點的坐標為(-1,-2,-3)

B.點P在x軸上的射影點的坐標為(1,0,0)

C.點尸關(guān)于Oyz平面對稱點的坐標為(1,-2,-3)

D.點尸在Oyz平面上的射影點的坐標為(0,2,3)

4.若直線x+my+3=0與直線4〃a+y+6=0平行，則，"=()

A.gB.-yC.■^或一；D.不存在

5.已知直線4的一個方向向量&=(2,4,力，直線4的一個方向向量人=(2,y,2),若同=6,且/i*則

x+y=()

A.-3或1B.3或-1C.-3D.1

6.已知向量。=(2,—1,3),b=(-1,4-2),c=(7,5,2),若a,b，c共面，則實數(shù);1=()

62八64-60.65

A.—B.—C.—D.—

7777

7.已知直線/：5-y-2=0和點P(2,l),2(-3,2),若/與線段PQ相交，則實數(shù)a的取值范圍是()

32324343

A.——B.a4—或—C.—4a4—D.aM—或“2—

43433232

8.如圖，在棱長為1的正方體ABCO-A4G2中，E為線段?？诘闹悬c，尸為線段8片的中點.直線FG

到平面的距離為().

二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項

是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分)

9.下列說法正確的有().

A.直線丫=以-3。+2過定點(3,2)

B.過點(2,-1)且斜率為-6的直線的點斜式方程為y+l=-G(x-2)

C.斜率為-2,在y軸上的截距為3的直線方程為y=-2x±3

D.經(jīng)過點(1,1)且在x軸和y軸上截距相等的直線方程為x+y-2=0

10.已知向量d=(l,T,m),b=(-2,〃?-l,2),則下列結(jié)論中正確的是()

A.若|"|=2,則/〃=+-y2

B.若d/b，貝！J/n=-l

C.不存在實數(shù)八，使得“=

D.右a.b=—I，則a+各=(-1,-2,2)

11.給出下列命題，其中正確的是()

uuuuuUUUUUUUU

A.對空間任意一點。和不共線的三點A,B,C,若0P=2O4_20B_20C，則P，A，B,C四點共面

B.若〃，人是兩個不共線的向量，且建心+4(X,〃eR,2,0),則構(gòu)成空間的一

個基底

一―.1一3一

C.若空間四個點P,A,B,C滿足=+則A,B,C三點共線

44

D.平面a的一個法向量為。=(1,3,-4),平面用的一個法向量為。=(-2,-6#).若a〃￡,則A=8

12.在四面體RABC中，下列說法正確的是()

12

A.若AO=§AC+1A8,則BC=3BO

2

B.若Q為△ABC的重心，則PQ=gpA+gp8+gpC

C.若PA-BC=O，PCAB=O>則AC-PB=O

D.若四面體/MBC的棱長都為2,點M,N分別為以，BC的中點，則|例叫=1

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.已知直線:后-y-5=0,若直線4，心則直線4的傾斜角大小為.

14.已知空間向量。=(1,1,2),/?=(2,3,2),則向量”在向量。上投影向量的坐標是.

15.已知直線/的一個方向向量為機=(1,3,-1),若點「(-為直線/外一點，4(4,1,-2)為直線/

上一點，則點P到直線/的距離為.

16.自然界中，構(gòu)成晶體的最基本的幾何單元稱為晶胞，其形狀一般是平行六面體，具體形狀大小由它

的三組棱長。、b、c及棱間交角/、V(合稱為“晶胞參數(shù)”)來表征.如圖是某種晶體的晶胞，其中

a=2,6=c=l,夕=60。，4=90。，y=120°,則該晶胞的對角線AG的長為.

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.三角形的三個頂點是A(4,0),8(6,7),C(0,3).

(1)求BC邊上的高所在直線的方程.

(2)求8C邊的垂直平分線的方程.

18.己知a=(x,4,l),c=(3,-2,z),allb>b1c>求：

Wa,b,c；

(2)4+^與8+°所成角的余弦值.

19.如圖，在長方體ABCD-ABCIA中，A}A=2AB=2BC=2fE為線段的中點，F(xiàn)為線段6耳的

中I占，、、、?

(1)求直線尸4到直線AE的距離；

(2)求點A到平面44￡的距離.

20.如圖，四棱錐P—ABCD中，平面P3C/平面ABC。，8C/平面PCD,DAIIBC,

3

CB=CD=CP=3AD=3.點F為84的中點，點E在8上，且CE=1.

⑴求證：BEA.CF-,

(2)求平面與平面3PC夾角的余弦值.

21.如圖，梯形ABC。中，AB=BC=1,AD=2,ZCBA=ZBAD=90°,沿對角線AC將/BC折起,

使點B在平面ACO內(nèi)的投影。恰在4c上.

⑴求證：平面BCD；

(2)求異面直線BC與AD所成的角;

22.如圖，在三棱柱ABC-中，側(cè)面A4CC，底面ABC,4A=AC=4C=2,AB=BC，且

ABIBC,。為4c中點.

(1)求直線AC與平面AAB所成角的正弦值；

(2)在BG上是否存在一點E,使得0E〃平面\AB，若不存在，說明理由;若存在，確定點E的位置.

4

1.c

【分析】根據(jù)空間向量共線的等價條件判斷即可.

2-31

【詳解】對于A,因為所以兩向量不平行；

2-31

對于B,因為==于/；,所以兩向量不平行；

-231

對于c,因為]?=T=II=-，所以兩向量平行；

-3-3

對于D,因為《2片-―3力：I,所以兩向量不平行.

-2-1I

故選：C.

2.B

【分析】利用空間向量的加減及數(shù)乘運算法則進行計算，解決空間向量基本定理問題.

【詳解】由題意得：BE=BBt+B]Ai+AiE=AAi-AB+^(AlB]+AiD])

1111

=AA-AB+-AB+-AD=AA,——AB+-AD,

“22122

所以x=l,y=_g,z=；

故選：B

3.C

【分析】利用空間直角坐標系中點的對稱性特征可判斷.

【詳解】點P"2,3)關(guān)于原點的對稱點為(-1,-2,-3).故選項A正確；

點P(l,2,3)在x軸上的射影即為過點尸作x軸的垂線所得垂足，其坐標為(L0,0).故選項B正確；

點P(l,2,3)關(guān)于Oyz平面的對稱點與點尸橫標互為相反數(shù)，縱坐標與豎坐標保持不變.故選項C錯誤：

點P(l,2,3)在平面O)，z上的射影即為過點P作平面Oyz的垂線所得垂足，其坐標為(0,2,3).故選項D正確.

故選：C.

4.B

【分析】根據(jù)兩直線平行，列出方程，去掉兩直線重合的情況，即可得到結(jié)果.

4m2=11

【詳解】由直線x+〃zy+3=。與直線4/nx+y+6=0平行，可得:〈,解得加=一一.

12相。62

故選:B.

5.A

【分析】根據(jù)空間向量的模的坐標表示結(jié)合卜|=6即可求得x的值，再根據(jù)“功=0,列出方程，即可求

5

得），，從而可得答案.

【詳解】因為忖=6+42+^2=6,所以x=±4,又…,所以4m=0,

所以。=2x2+4y+2x=0,所以y=-l-gx,

所以當x=4時，y=-3,則元+y=l,當％=-4時，y=l,則x+y=-3,

所以x+y=-3或1.

故選：A.

6.D

【分析】利用空間向量共面定理進行求解.

【詳解】若。，b,。共面，則存在實數(shù)盯了，

使得c=xa+yh,

即（7,5㈤=x（2,-l,3）+y（—l,4,—2）,

33

x=—

7=2x-y7

17

gfJ<5=-x+4y,解得

A=3x-2y

/65

A=—

7

故選：D.

7.D

【分析】結(jié)合已知條件作圖并求出直線/的定點A,然后分別求出直線AP和直線AQ的斜率，結(jié)合圖像

求解即可.

【詳解】由直線/：依-），-2=0可知直線/必過定點八（0,-2）,且直線/的斜率為。，如下圖所示：

由斜率公式可知，直線AP的斜率為a”=8=5=萬，

-2-24

直線AQ的斜率為k=———,

AQU—（一3

34

若/與線段PQ相交，只需要。之心「=彳或。4心。=—

6

43

故實數(shù)a的取值范圍是a4或a2水

故選：D.

8.D

【分析】將直線FG到平面A4E的距離轉(zhuǎn)化為點G到平面AB￡的距離，建立直角坐標系，表示出相應(yīng)

點的坐標以及向量和法向量，利用距離公式即可求出.

【詳解】AE\平面A4E,AEU平面做E,.?.尸Gg平面

因此直線FC、到平面AgE的距離等于點C,到平面AB、E的距離，

如圖，以。點為坐標原點，D4所在的直線為x軸，QC所在的直線為y軸，所在的直線為z軸，建

立直角坐標系.

則A(I,O,O),B,(1,1,1),C,(0,1,1),E(0,0,1),F(l,l,g)

/G=(-1,0,=(-1,0,1),ABt=(0,1,1),C,fi,=(1,0,0)

設(shè)平面AB]E的法向量為〃=(x,y,z),則

n-AE=-x+—z=0

<2，令z=2,貝iJ〃=(L—2,2)

n-AB1=y+z=0

設(shè)點G到平面AB避的距離為"，則

故直線rc,到平面ABE的距離為g.

故選：D.

9.AB

【分析】求出直線過的定點判斷A；寫出直線的點斜式方程判斷B；求出直線斜截式方程判斷C；求出

直線方程判斷D作答.

【詳解】對于A,直線＞=。（》-3）+2恒過定點（3,2）,A正確；

對于B,過點（2,-1）且斜率為一6的直線的點斜式方程為丫-（-1）=-&（x-2）,B正確；

7

對于C,斜率為-2,在y軸上的截距為3的直線方程為y=-2x+3,C錯誤；

對于D,經(jīng)過點(1,1)且在x軸和y軸上截距相等的直線過原點時，方程為>=犬，

當該直線不過原點時，方程為x+y-2=o,D錯誤.

故選：AB

10.ACD

【分析】運用空間向量的垂直、共線的表示及應(yīng)用，以及空間向量的數(shù)量積的運算、模的運算，逐項判

斷即可.

【詳解】對于A項，由|。|=2可得jF+(—]y+加2=2,解得加=±0,故A項正確；

對于B項，由a_L〃可得4m=-2+1-"?+2"?=0，解得加=1,故B項錯誤；

I=-2A?

對于C項，假設(shè)存在實數(shù)幾，使得〃=助，貝==所以不存在實數(shù)2,使得〃=必，

tn=22?

故c項正確；

對于D項，由=-1可得一2+1—,〃+2加=—1,解得機=0,所以a+b=(-l,-2,2),故D項正確.

故選：ACD.

11.CD

【分析】對于A選項：由四點共面的充要條件即可驗證；對于B選項：由構(gòu)成基底的條件即可判斷；對

于C選項：由三點共線的充要條件即可判斷；對于D選項：若兩個平面平行，則它們的法向量也對應(yīng)平

行，然后由向量平行的充要條件即可判斷.

【詳解】對于A選項：若P,A,B,C四點共面，由于A,B,C三點不共線，

所以由平面向量基本定理有=+〃AC,

進一步有40+8=4(/10+08)+個0+g),整理得OP=(l-/l-〃)OA+/lQ5+〃OC,

所以此時0Ao8,OC的系數(shù)之和恒為1,

若茄=2岌1-武器-方達，則有。4,08,。。的系數(shù)之和2+(-2)+(-2)=-2?1；故A選項不符合題意.

對于B選項：若a,8是兩個不共線的向量，且<?=九￡/+/?必(4，〃eR,4,〃H。)，則c,a,b共面,

所以｛a,b,c｝不能構(gòu)成空間的一個基底；故B選項不符合題意.

13131313

對于C選項：若PC=：PA十二PB,則有:尸。+:尸。=:尸A+整理得；AC=：C8,即AC=3C8,

44444444

所以A,B,。三點共線；故C選項符合題意.

對于D選項：若。〃夕，則它們對應(yīng)的法向量。=(1,3,-4)與〃=(-2,-6?)也平行，

-2=2,

(A=—2

所以9ER,有。=而，即-6=3"解得；故D選項符合題意.

,…K=8

8

故選：CD.

12.ABC

【分析】根據(jù)立體幾何的向量運算法則、重心的向量表示法則以及向量的模值計算進行逐項判斷即可.

【詳解】解：由題意得：

12

對于A：VAD=-AC+-AB,3AO=AC+2A8，2AD-2AB=AC-AD>

uuuuuu

2BD=DC)：,3BD=BD+DC，即38。=8c

故A正確；

對于B：若。為△ABC的重心，則QA+Q8+QC=(),.?.3PQ=3PQ+QA+Q8+QC=PA+P8+PC,，

PQ=-PA+-PB+-PC

333

故B正確；

對于C：VPABC=O<PCAB=O

：.PABC+PCAB=PABC+PC(AC-BC)

=PABC+PCAC-PCBC=(PA-PC)BC+PCAC=CABC+PCAC

=ACCB+PCAC=AC(CB+PC)=ACPB=O,

故C正確；

對于D：MN=PN-PM=L(PB+PC)-1PA=L(PB+PC-PA),

222

'-\PB+PC-P^=\IPA+PB2+PC2-2PAPB-2PAPC+2PB-PC

=,22+22+22-2x2x2x--2x2x2x-+2x2x2x-=2>/2

V222

|M/V|=V2

故D錯誤.

故選：ABC

9

13.—##150

6

【分析】根據(jù)直線方程4：6x-y-5=0可求出勺；根據(jù)外4=-1求出*進而可求出直線4的傾斜角.

【詳解】直線方程5=0,勺=6/2,4，勺&=-1二除=-弓，直線4的傾斜角大小為

5乃

~6

故答案為：野

o

(182718、

14-出行司

【分析】由投影向量的定義結(jié)合向量數(shù)量積的坐標運算和向量模的坐標運算求解.

【詳解】空間向量a=(l,1,2),6=(2,3,2),

則向量￡在向量讓投影向量為Mah?『b藥Ix?2+=lx^3+(22x2,3,小2.)=行9小(2,.3八,2)=((1萬8,2行7,可18|1.

―故答案為“：fUl'8n27,n商J

15.歷

【分析】直接利用空間中點到線的距離公式計算即可.

m

【詳解】由題意可得/的一個單位方向向量為同=CF"2),

AP=(-5,0,1),

故點P到直線/的距離4=AP-AP消=J26-9=歷.

\[\m\)

故答案為：V17.

16.M

【分析】數(shù)形結(jié)合以及使用向量的方法，可得4cL=A8+AD+AA，然后先平方再開方可得結(jié)果.

二【詳解】如圖所示：

2c

所以A￡=AC+CG=AB+AD+C￡=A3+4)+A4,

10

依題可知：,母二2,卜A卜卜4=1,

a=ZA,AB=60，分二幺A。=90，/BAO=180-/=60

.2,>2.2

所以AC「=AB-+M+A4「+2AB-AD+2AB-A4,+2AD-A4,

所以AC】=4+l+l+2x2xlxcos60+2x2xlxcos60+2xlxlcos90

則AC：=10,故|AG卜加

故答案為：M

17.（1）3x+2y-12=0；（2）3x+2y-19=0.

3

【解析】（1）利用兩點求出8C的斜率，進而求出8c邊上的高所在直線的斜率為再由直線經(jīng)過點

A（4,0）,利用點斜式即可求解.

（2）由（1）可得垂直平分線的斜率，利用中點坐標公式求出BC的中點坐標，利用點斜式即可求解.

【詳解】（1）BC邊所在的直線的斜率上=抬=:

6-03

因為8c邊上的高與8c垂直，

3

所以BC邊上的高所在直線的斜率為

又8C邊上的高經(jīng)過點A（4,0）

所以BC邊上的高所在的直線方程為y-0=-1（x-4）

即3x+2y-12=0.

2

（2）由（1）得，BC邊所在直線斜率％=§

所以8c邊垂直平分線斜率為

BC的中點坐標（3,5）

所以B。邊垂直平分線方程y-5=-京1-3）

即3x+2y-19=0

18.（1）。=（2,4,1）,h=（-2,-4,—1）,c=（3,-2,2）⑵-歷

【分析】（1）向量平行轉(zhuǎn)換為對應(yīng)坐標分量成比例，向量垂直轉(zhuǎn)換位對應(yīng)數(shù)量積為0即可得解.

（2）由向量數(shù)量積公式變形一下即可得到向量夾角余弦值公式，并結(jié)合向量數(shù)量積的坐標運算即可得解.

【詳解】⑴因為d/序,。=（%4/），

11

x41

所以N=0不滿足要求，故F=-=-7，解得x=2,y=-4,

-2y-1

所以a=(2,4,1),0=(—2,T,—1),

又因為b工c，所以b-c=0，即—2x3—4x(—2)—z=0,解得z=2,

因此c=(3,—2,2).

(2)由(1)得三+1=(2,4,1)+(3,-2,2)=(2+3,4—2,1+2)=(5,2,3),

同理，+1=(-2,T,T)+(3，-2,2)=(_2+3T_2,T+2)=(l,Y,l),

所以區(qū)+|=]『+5=6+22+32=5,

|/J+c|=+=JF+(-6)-+]2=5/38)

(a+c)(^+c)=(5,2,3)-(l,-6,l)=5xl+2x(-6)+3xl=^.

因此"+心%富瑞)二品

【分析】(1)根據(jù)題意建立空間直角坐標系，可證明FC//AE,求出點F到直線AE的距離即可求出結(jié)

果；

(2)利用空間向量并代入點到平面的距離公式計算即可求得結(jié)果.

【詳解】(1)根據(jù)題意，建立如圖所示以ZM、DC、0A為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標系，如下圖

則。(0,0,0),4(1,0,0),D,(0,0,2),8(1,1,0),￡(0,0,1),C,(0,l,2),耳(1,1,2),尸(1,1,1),

=44=(。，1,0)，尸C=(T,0,l)，A￡=(-l,0,l),

故EF=(1,1,0),

設(shè)直線FC、到直線AE的距離為4,則4即為尸到直線AE的距離；

12

\2

因此4=歸尸(AEEF

一2

則直線FG到直線AE的距離為在.

2

,、ri-AE=-x+z=0

(2)設(shè)平面AB|E的法向量為〃=(x,y,z),則，

nB}E=-x-y-z=O

令x=l,貝!|y=-2,Z=1,所以"=(1,-2,1)

設(shè)點A到平面AB,E的距離為d2,可得d2=崢J=皎,；)片"=亭，

;?V1+4+13

則點A到平面ABtE的距離為逅.

3

20.(1)證明見解析(2)叵

11

【分析】⑴以C為坐標原點，建立空間直角坐標系，分別求得=(3,1,0),CF=(-；,|,|),結(jié)合

BECF=0,即可證得8E_LCF；

(2)分別求得平面3cp和ABP的一個法向量為，〃=(0,1,0)和〃=(3,-2,-3),結(jié)合向量的夾角公式，即

可求解.

【詳解】(1)證明：因為平面PBC1平面ABC。，因為ZBCP=90。，可得PCLBC,

又因為平面PBCc平面ABC￡)=BC,且PCu平面PBC,所以PC_L平面ABC。，

以C為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

1QQ

可得A(-l,3,0),B(-3,0,0),C(0,0,0),D(0,3,0),￡(0,1,0),可-3就)，

133

所以BE=(3,l,0),CF=

則BE-Cf'=3x(-g)+lx|+0xm=0,所以BE_LCF，所以BELCF.

(2)解：由已知得平面8CP的一個法向量為加=(0,1,0),

因為CP=3,又由8A=(2,-3,0),8P=(3,0,3),

n'BA=2x+3y=0

設(shè)平面ABP的法向量”=(x,y,z),則，

n-BP=3x+3z=0

取x=3,可得y=-2,z=-3,所以“=（3,—2,—3）,

13

/\m-n0x3+lx(-2)+0x(-3)V22

則COS

5")=麗=1x72211

所以平面/WP與平面8PC夾角的余弦值為叵.

II

21.(1)證明見解析(2)60。

【分析】(1)由AC2+DC2=A￡>2,得到AC，8，再由點B在平面AC。內(nèi)的投影。恰在AC上，得

到3。工平面AC。，則BO_L8,從而CDJ?平面A8C,則CZ5_LAB,然后利用線面垂直的判定定理證明:

(2)以。為坐標原點，OA,OE,。8所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)異面

??\AD-BC\

直線BC與AD所成的角為0,由cos0=cos<AD,BC>=$口:求解.

11|AD|.|BC|

【詳解】(1)解：因為他=BC=1,ZCBA=9Q°,

所以4。=〃序+叱=0,

又AD=2,ZM￡>=90°,故NC4T)=45°,

由余弦定理得CD?=AC2+A￡>2-2AC-AOCOS45°=2+4-2XV^X2X^=2,所以￡>C=夜,

2

AC2+DC2=AD2,AC±DC.

由題意得8。上平面AC￡),CDu平面AC￡>,ABOLCD,

"：BOr>AC=O,BO,ACu平面ABC,

CO_L平面ABC,

；ABu平面48C,：.CD1AB,

■:BCcCD=C,BC,CDu平面BCQ,

/.ABI平面BCD；

(2)取AD的中點E,連接OE,則OECD,

故ACLOE.

以。為坐標原點，04OE,OB所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系.

14

則C~~~~,0,0tD--^-,>/2,0

BC=-*,?！笭帯?ID=(-72,72,0),

設(shè)異面直線2c與AO所成的角為。，

\AD-BC\

co