2023-2024學(xué)年河北省金科大聯(lián)考高三年級上冊10月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題及答案

絕密★啟用前

2024年普通高等學(xué)校全國統(tǒng)一模擬招生考試

高三10月聯(lián)考

數(shù)學(xué)

全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼拈貼在答題卡上

中

丹的指定位五.

淤

2.請按題號順序在冬題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非

答題區(qū)域均無效。

3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡

上作答；字體工整，筆跡清焚。

4.考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交。

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.設(shè)z=a+i(a€R),若zi+元=0,貝lj|z|=

A.72B.1C.V3D.2

2.設(shè)集合A={x\y=y/x—1},B={y|_y=2*+2},則A\JB=

A.{x|x>l}B.C.{Z|H>2}D.{X|X>2)

3.設(shè)a=log3,fe=-z-,c=log.0.3,則

2土02

A.6>a>cB.6>c>aC.a>6>cD.a>c>b

4.設(shè)，（工）為/（工）的導(dǎo)函數(shù)，若/（工）=（工+1）^-，（0）］,則曲線*=/（工）在點(diǎn)（0,/（0））處的

米

切線方程為

A.y=—x+lB.y=—2x+\C,y=2x+lD.y=x+l

5.設(shè)0V6<￡"，若（sin6+cos5）2+V3cos2。=3,則sin26=

A.當(dāng)C.§D，4

6.在平行四邊形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，DE與BF相交于點(diǎn)G,則啟=

A.B.-yAB+4-AD

C.jAB+yADD.-J-AB4--I-AD

JJ33

7?記^ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,6,c,且/+2a6+〃=c2+2,若^ABC的面積為

4■?則cosC=

A—n2「3n4

3B.彳C.yD.|

轂數(shù)學(xué)試題第1頁(共4頁)

8,已知函數(shù)/(x)=(2x+37^0,則函數(shù)g(z)=［f(z)T-/［f(z)］的所有零點(diǎn)之和為

(x-2)2,x>0,

A.2B.3C.OD.1

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知a,b為平面上的單位向量，且|a+b|=2|a-b|,則

A.向量a與b的夾角的余弦值為高

B.|。一川=筆

C.(a+2b)_L(2a-b)

9

D.向量a—b在向量a上的投影向量為三。

0

10.已知函數(shù)/(N)=Acos(3r+p)(A>0,3>0,IMV/)的部分圖象如圖所示，則

A.f(z)的最小正周期為n斗

C.將曲線y=f(z)向右平移合個(gè)單位長度后得到的圖象關(guān)于y/o\；/聘F

軸對稱J|\!/

D.若/(工)在區(qū)間(一%。)上單調(diào)遞增，則0<?！秾?/p>

11.已知函數(shù)義］)是定義在R上的奇函數(shù)，且義］-1)+/(幻+/(H+1)=0,則

A./Gr)的一個(gè)周期為3B.f(好的圖象關(guān)于直線?對稱

2022

C./(1)=0D.E/W=o

12.已知a>0,設(shè)函數(shù)/(x)=ln則下列說法正確的是

A.當(dāng)a=l時(shí),/(z)在定義域上單調(diào)遞增

B.當(dāng)OVaVl時(shí),f(z)有兩個(gè)極值點(diǎn)

C.若x,,x2為f(z)的極值點(diǎn)，則工［工2=1

D.若X,，耳為八工)的極值點(diǎn)，則/(X.)+/(/)=0

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在aABC中，內(nèi)角人，8,。所對的邊分別為。"",若6=a+2,c=a+4,C=120°,則a=

*

14.寫出同時(shí)滿足如下三個(gè)條件的一個(gè)函數(shù)解析式/(x)=.

①/(幻為偶函數(shù)；②/(幻的定義域?yàn)镸③八工)的值域?yàn)椋?，口

15.已知正實(shí)數(shù)a,6滿足笳+加=1,則(4a+2)(46+給的最小值為.

3x2

16.設(shè)/(x)=ae—3x+xlnN+?Z,若/(幻》。.則a的取值范圍是.

數(shù)學(xué)試題第2頁(共4頁)

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

17.（本小題滿分10分）

記AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,6,c,B-A=^,46=3慮公

（1）求tanA；

（2）若c=V2,^AABC的外接圓的面積.

18.（本小題滿分12分）

設(shè)命題/>：“對任意x>l—（a+Dz+a+l20恒成立且命題p為真命題.

（D求實(shí)數(shù)。的取值集合A；

（2）在（1）的條件下，設(shè)非空集合8={川雨+1<]</-1},若“GB"是。SA”的充分條

件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

19.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)/（H）=Cr+D（z-a）2,其中。2一1.

（D討論人]）的單調(diào)性；

⑵當(dāng)心>一1時(shí)，設(shè)為，Z分別為/（工）的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，且點(diǎn)A（1i，f3））,

8（與J（B）），若直線AB在y軸上的截距大于返抖，求a的取值范圍.

0

)p

20.（本小題滿分12分）

記函數(shù)/（H）=2COS（3N+P）（SWN?，0VpV幼的最小正周期為T.

⑴若f（T）=l，且直線?為人]）的圖象的一條對稱軸，求f（給；

■?I.?.*

（2）若子為f（z）的一個(gè)零點(diǎn)，且/（工）在區(qū)間（0,“）上至多有兩個(gè)零點(diǎn)，求T.

0

21.（本小題滿分12分）

--z

已知函數(shù)y（x）=log?x+logx4（x>l）?g（x）=4*+4*-a,2*—a?2+l.

（D求/（z）的最小值；

（2）設(shè)不等式f（z）43的解集為集合A,若對任意為GA,存在工2€[0,1],使得為=g（工2）,

求實(shí)數(shù)a的值?J,

22.（本小題滿分12分）

（1）證明：當(dāng)工》0時(shí).X—sin工20；

（2）已知函數(shù)/（x）=sinx—x+axsinHNGIOEIRGR,，（工）為/（工）的導(dǎo)函數(shù).

（I）當(dāng)4>0時(shí)，證明：,（工）在區(qū)間（0,學(xué)）上存在唯一的極大值點(diǎn)；

（ii）若/（幻有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

數(shù)學(xué)試題第4頁（共4頁）

2024年普通高等學(xué)校全國統(tǒng)一模擬招生考試

高三10月聯(lián)考?數(shù)學(xué)

參考答案、提示及評分細(xì)則

題號12345678

答案ABcI)BAcI)

題號91011)2

答案ABDADADACD

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共川分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.【答案】A

【解析】由：i+e=（a+i）i+“-i=（“一l）i+”-l=0.解褥”=1.所以|?|=故選A.

2.【答案】B

【解析】由，一1）0.解得.r2l,所以A=（.r|.r2l）.因?yàn)閥=2T2>2.所以B=口卜>2}.故A（JB=用141},

故選B.

3.【答案】C

【解析】<=log,,:0,3<log,,10.2=1“=log..3>log..2々=9=/>>I.所以“>/,>一故選C.

4.【答案】D

【解析】因?yàn)?（0）=1./'3）=（,+2）/—，（0）,所以/（0）=2一/'（0）.所以（0）=1.由/（0）=1./（?。┰?/p>

點(diǎn)（0./（0））處的切線方程為5，一/（0）=/（0）（l一0）.所以/（.「）在（0./（0））處的切線方程為.y=.r+l.故

選D.

5.【答案】B

【解析】因?yàn)椋╯in0+coz。尸+伍cos20=I+2sintfeos。+伍cos20=3.

所以2sinOcos0+Gcos20=sin20+伍cos20=2.即2sin（2。+■^■）=2.

所以20+T"=g"?所以sin20=新子=4.故選B.

3L6I

6.【答案】A

【解析"IF為（'。的中點(diǎn).E為*的中點(diǎn).行I汁、』十?。?可得說=2懣,書花一茄=2（無方一花）,有

AG=^-AE-F-^-AD.乂由戒=沛+淀=茄+,有益=4（Ali+^Al））+?茄=曰茄+^-'AD.

故選A.

7.【答案】（’

【解析】依照意.有“―』2-2人有2aAeos（'=2—2必所以ab=,..設(shè)△ABC面積為S,所以S

1十cos（

H

=！〃〃sinC=0,1V'~TTT=-J-?彳j*2sinC=1+cosC?\\1（1—cos'C）=（1+cosC）2,解cosC=或

22（14-cos（）45

cosC=-1(舍去)?故cos('=卷.故選C.

o

數(shù)學(xué)答案第1頁（共6頁）

8.【答案】D

【解析】不妨設(shè)則/為方程〃=〃/)的解.

當(dāng)/>0時(shí)，/=(/一2尸.解得/=1；當(dāng)/40時(shí)，/=2/+3,解得/=-1.

當(dāng)/=1時(shí),八］)=1的解為-1.1,3；當(dāng)/=-1時(shí)，八才)=一1的解為一2.

所以*")的所有零點(diǎn)之和為-1+1+3+(—2)=1.故選D.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對

的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.【答案】ABD

【解析】因?yàn)閨。|=|引=1.且|a+W=2|a—b|,則|0+b|2=4|a-b|2.

即2+2a?6=8—8a-b.解得a?b=±■.所以cos(a.&>=-Arrr=.A選項(xiàng)正確；

5101sl送

\a-b\=5/2—2a?b=,B選項(xiàng)正確；

(a+2h),(2a—b)=2cH—G?b+4a?。-2"=3G?力￥().C選項(xiàng)錯(cuò)談；

向址4一b在。上的投影向鼠為舊前"血=("一。..D選項(xiàng)正確?故選ABD.

I。卜5

10?【答案】AD

【解析】閃為弓=嶗一孕=S所以3=2.T=A,故A正確；

41LSLU)

由八=2./慮)=2cos(學(xué)+3)=-2,可得§=T，故B錯(cuò)切

illA.B選項(xiàng)nf知./(.r)=2cos(2.i),向右平移居個(gè)中.位，所得函數(shù)g(.r)=2cosF2(.1,一卷)-

**ICL14J」

2cos(2.r-y)=2sin2『的圖象關(guān)于原點(diǎn)時(shí)稱,C選項(xiàng)借識1

/(“?)在(一作.彌)上雎謝遞增?故0V”&￡,D選項(xiàng)正確.故選AD.

、36，6

11.【答案】AD

【解析】由/(.r-l)4-/(.r)+/(.r+l)=0可知/(.r)+/(.r+1)+/(.r+2)=0.所以/(,r-1)=/(.r+2).H|1

/(.r)=/(.r+3),/(.r)的一個(gè)周期為3.A選項(xiàng)正確；

又因?yàn)?(才)為奇函數(shù).所以/?(.r)=/(.r+3)=—一才),即-H+3)+/(一為=0.所以/(.r)的圖象關(guān)于

點(diǎn)(卷.0)對稱.B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

因?yàn)?。+3)+/(一］)=0.令1=-1,則/(2)+/(1)=0J(l)的大小不能確定.C選項(xiàng)錯(cuò)誤?

由于/(1)+/(2)=0./(0)=/(3)=0,所以/(1)+/(2)+/(3)=0,由于/(.r)的一個(gè)周期為3,且2022=3

X674,所以費(fèi)/凌)=0.D選項(xiàng)正確.故選AD.

*=I

12.【答案】ACD

_//+(2-4-+1

【解析】/(r)=

(.r2+l)2=(T2+1)2T

當(dāng)“=1時(shí)./(.r)=點(diǎn)!=>。，/(.「)單調(diào)遞增.A選項(xiàng)正確；

/1.2r?1/xkx?1)x

當(dāng)0<?<1時(shí).令/(.r)=0.設(shè)/=./.即/+(2—4“)/+1=0.△=(2—4?)J—4=16——16a=16u(a—IX

0,所以r+(2-4a)/+l>O./Cr)無極值點(diǎn).B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

數(shù)學(xué)答案第2頁(共6頁)

由B選項(xiàng)可知”>1時(shí).產(chǎn)+《2—4a)，+1=0存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根./(.r)存在兩個(gè)極值點(diǎn)?所以.苦品=1.即

心心=1(選項(xiàng)正確；

,±-1?

/(.ri)+/(.r：)=/(.ri)+/(—)=In.?-)~a八J+In-.....a-------In(,r(,—)-a1,41=

'.ri7.rj+1.ri-L+]'-ri'.rj+1,rj+1

1r|

O.D選項(xiàng)正確?故選ACD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.【答案】3

【解析】由余弦定理有<‘=</+//+“/人有("+4>=”-'+(“+2尸+”(“+2》?整理為-3—6=。?解得a=3

或“=一2(含去).故“=3.

14.【答案】Isin或Icos或1+J"或JgH2.r+?或與魯,斗斗(答案不唯一)

【解析】考慮三加函數(shù)或過點(diǎn)(0.0).極大值為1的函數(shù).

15.【答案】12

【解析】因?yàn)椤埃?6=122“〃?所以0V3y.

(.1\/.1\[公,I1,2a,2b],1,2(<?+b￡)..,9.9

(4ia+丁)(Mo+Z7I=16uA+7-7+-：—I16a〃+y-;H---------;—16a6+T"72216aA?-7-7=102?

'Lafvlb1\abba\abab\abV4?〃

當(dāng)且僅當(dāng),，〃=[■時(shí)等號成立.

O

16.【答案】「里.+8)

L3e9

【解析】由題意?/(.「)=ae3j—3.r?+.rln.r+.r^0?即由---3.r+In.r+120?

即acir,n*—3.r+In.r+l20?設(shè)/=g(.r)=3/?一In.r.則/(.r)=3----=—?

所以當(dāng).rC(0.；)時(shí)./(.r)V0.g(.r)單謝遞減.當(dāng).r6(』".+<?)時(shí)./(.r)>0.g(.r)單謝遞增.當(dāng).r=J

?*?>?|

時(shí).K(.r)取得極小值K(y)=l+ln3.所以“一/+120對任意/2l+ln3恒成立,即

諛〃⑺=寧.則，⑺=寧.Ji⑺在[1+In3.+8)上單調(diào)遞減,所以“2加1+In3)=噤.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

17.【答案】(1)2(2)25&

【解析】(1)由正弦定理磊^=就不有腦n〃=3夜xinA=4zin(人+手，.......................2分

l!|l3>/2sinA=2^sin人+29cozA.解得tnnA=2t.....................................................................................4分

<2)tan8=tan(A+:)=:/十]==-3.............................................................................................5分

'I7I-tanA1-2

=

因?yàn)锳+8+('=n?所以tan('=tan[K—(B+A)]=-tan(A+B)=-7^7'^；4"*........................6分

1-(—6)7

由tanC=J■可知('6(0.當(dāng)),所以sinC='.所以—7；=卑=2K...................................................9分

7'2'5Msin(_1_

572

解得R=5.所以△ABC的外接網(wǎng)的面積為251t..............................................................................

數(shù)學(xué)答案第3頁(共6頁)

18.【答案】(l)A={a|<i43}(2){“山”=2或一24,"〈一1)

【解析】(1)/(1)=上一(a+lkr+a+l》O值成立.即x2-.r+l>a(x-1),

y-—r-4-1

BII?C--早2對任意,r>l恒成立.........................................................2分

.r-1

^.r2-.r+1-2.r+1+.r-1+1…1i】「八

“E--------;-=-----------------;--------------=i-1H-------r+1?.................................................................................5分

x-1x-1.r-1

因?yàn)?r-I+占+1+1=3(當(dāng)且僅當(dāng).r=2時(shí)取“=").所以?<3.

綜上皿的取值集合為A={“|a43h.................................................................................................................7分

（2）依題意.m:—12,"+1.解得，”》2或-1.............................................................................................9分

因?yàn)槭?GA”的充分條件,所以M-143.解得-2&,”42...........................................................11分

所以，”的取值范圍為"”|，”=2或一24攢《一】}.............................................12分

19.【答案】（1）當(dāng)。=-1時(shí)./（.r）在R上單調(diào)遞增?當(dāng)a>-l時(shí)?八工）在（一8.^^薩）和（a?+8）上單調(diào)遞

增.在（三.a）上單調(diào)遞減（2）a>2

【解析】（l）r（1）=（.r—a）?+2（.r+1）（］—〃）=（.r—u）（3.r+2—a）.

R

當(dāng)〃=一1時(shí)?，（.r）=3（.r+l）22oj（r）在上單調(diào)遞增；...................................2分

當(dāng)a>~l時(shí).令/（.r）=0,解得.r=a或.r=1.

所以當(dāng).r￡（一8.一）時(shí),/（『）>0./加）單謝遞增.

<>

當(dāng).re（音“）時(shí).，（.r）VO./（.r）單謝遞減.

當(dāng)才6（U.+8）時(shí).，（.r）>O./（.r）單瀏遞增.................................................4分

綜上.當(dāng)0=-1時(shí)./（，）在R上單調(diào)遞增.

當(dāng)”>一1時(shí)./（r）在（一8.三）和儲.十8）上單調(diào)遞增.在（4.“）上單調(diào)遞減；............6分

（2）由（1）知.當(dāng)&>一1時(shí).h=3^,丁2=人且f（xt）=O.

則直線AB：y-/（.）="不）一"'）（了一不）............................................................................................8分

才1—XZ

a+1/_2a+2\"

人niiiii/(?n)/、313)2a(a+l)2

.rj—a_十，9

3

依題意.2"（滬”>.|?1?+1>0可化為/+6>0.解得“>2.

所以0的取值范用是a>2...................................................................................................................................12分

20.1答案】（1）1（2）T=2K

【解析】（D閃為八?。?/（§）=2COS火=1,且0〈BV￡............................................................................2分

所以3=T-./（.r）=2cos（3.r+手），........................................................3分

OO

因?yàn)槎?1?為/《工）圖象的一條對稱軸.所以等+g=K”（AGN?）..............................5分

006

數(shù)學(xué)答案第4頁（共6頁）

所以3=6A—2(A￡N?)?/(作)=2cos(2々穴一年+專)=1；................................................................6分

*.>?>?>

⑵由譽(yù)為/(?r)的一個(gè)零點(diǎn)?可知等+p=4n+g"(A6Z).....................................................................7分

?*?*c?

乂〃.r)在(0.腦內(nèi)至多有兩個(gè)零點(diǎn)?所以s+衿.......................................8分

|f|0〈伊〈辛?有?可得Xill3GN,?可得w=1或2?.............................................9分

①當(dāng)3=1時(shí)./(.r)=2cos(x+y)?乂由/(--)=2cos(小+中)=0?由+yj<-jrn?

療中"+3=￡-?可得3=序■，有/(>)==2cos(.r+y-)?在區(qū)間((),〃)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn).r=T.符合題意,.....

............................................................................................................................................................1()分

②當(dāng)“2時(shí)J(.r)=2cos(2.r+6,又由/(手)=2??(冬+中)=0.由"V與+「=[?”,沒有滿足條件的外

............................................................................................................................................................11分

由上知3=l.T=2K..............................................................................................................................12分

21.【答案】(1)2々(2)y

【解析】(1).「>I時(shí)?log，.r>0.所以f(.r)=log..r+log,4=log..r+:---)2々.

1。&?r

當(dāng)且僅當(dāng)1。處，=1、.即「二*時(shí).等號成立.所以/(.「)的最小值為29；.........................................4分

log2.r

2

(2)/(.r)=logr+;-----&3?l!|J(log2.r)?—3(log^.r)+2^0?

2logj.r

解得141。、，42?即24?r&4?故A=[2?4]........................................................................................6分

說，=2，+2:則當(dāng)[0,1],即2,￡[1,2]時(shí),由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知￡

而小.r)=(2'+2,>1-a(2*+2')-1=/2-a/-1.

設(shè)=則由題意得人=[2.4]為當(dāng)￡[2."I?1時(shí),4⑺的值域的子集.................8分

.僅(2)=3-2“42.

1°當(dāng)冬42,即a<1時(shí),易知“，)在|"2.年]上單網(wǎng)遞增.故1/5\215得”=.....9分

2L2」|4f)=T-f??-2

2°當(dāng)2<y<y,W4<a<5時(shí),〃⑺在[2.伊]上的最大值即?、坪腿f(￡)中的較大仙

令["2)=3-2“2J1!!“4—I.令人(個(gè))=4—得■,而4VaV5.故不合題意i......H分