2023-2024學年寧德市一中高二數(shù)學上學期10月考試卷附答案解析

2023-2024學年寧德市一中高二數(shù)學上學期10月考試卷

考試時間：120分鐘；時間滿分：150分

第I卷（選擇題）

一、單選題

1.若直線/經(jīng)過點人（I詞?卜2,2@,則直線/的傾斜角為（）

A.30°B,60°c.120。D.150。

h

=ad-bei?

2.定義d,已知數(shù)列MJ為等比數(shù)列，且“3=1)

A.4B.+4C.8D.+8

3.已知點4（HQ），8（3,2）,若直線ar+y+2=（）與線段AB沒有交點，則”的取值范圍是（

)

54

2,3

4.“直線2x+“y-3=0與直線ax+2y+5=0相互平行,，是“。=2?的（）

A.充分必要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

5.設等差數(shù)列｛4｝的前"項和為若邑=16,邑=8,則兀=（）

A.-50B.-60C.-70D.-80

6.已知A?！唬?，3（一1，2）,若ZAC3的角平分線所在直線方程是＞=x+l,則直線AC方程為

.5

V--A+

A.x-2y-l=0B.-22C.y=2x-5D2x+y-7=0

7.科赫曲線是一種外形像雪花的幾何曲線，一段科赫曲線可以通過下列操作步驟構(gòu)造得到，任畫一條線

段，然后把它均分成三等分，以中間一段為邊向外作正三角形，并把中間一段去掉，這樣，原來的一條

線段就變成了4條小線段構(gòu)成的折線，稱為“一次構(gòu)造”；用同樣的方法把每條小線段重復上述步驟，得

到16條更小的線段構(gòu)成的折線，稱為“二次構(gòu)造”，…，如此進行“〃次構(gòu)造”，就可以得到一條科赫曲線.

若要在構(gòu)造過程中使得到的折線的長度達到初始線段的1000倍，則至少需要通過構(gòu)造的次數(shù)是（）.

（取lg3=0.4771,lg2?0.3010）

A.16B.17C.24D.25

°=&a=^33a；-a；7二嫌］一4(雇之

8,數(shù)列間滿足8,'一33,(4>°),~,則%?！?()

&石］里

A.64B.64c.32D.32

二、多選題

9.若兩平行線分別經(jīng)過點A（5,0）,B（0,12）,則它們之間的距離d可能等于（）

A.14B.5C.12D.13

10.等差數(shù)列｛%｝中，4>°,公差為其前n項和，對任意正整數(shù)n,若點（"，色）在以下4條曲

線中的某一條上，則這條曲線不可能是（）

II.已知動直線m2x_y+/l=O和〃:x+4y_3_2；l=0,尸是兩直線的交點，A8是兩直線“和〃分別過

的定點，下列說法正確的是（）

A.B點的坐標為（3，-2）B.曠軸上的點到點距離之差的最大值為2夜

C.|叫閥的最大值為I。D.點8到直線加距離的最大值為26

1二2%

12.已知數(shù)列｛4｝的前"項和是滿足S"d+1對"wN*成立，則下列結(jié)論正確的是（）

A.q=±lB.｛%｝一定是遞減數(shù)列

C.數(shù)列｛*｝是等差數(shù)列D.?2023^^/2024->/2023

三、填空題

13.已知直線1經(jīng)過點P（0,1）且一個方向向量為（2,1）,則直線1的方程為

14.等比數(shù)列｛an｝中，公比q=3,S80=32,則a2+a4+a6+…+a80=.

15.過原點。有一條直線/,它夾在兩條直線4：2》->-2=°與，2：x+y+3=°之間的線段恰好被點。平

分，則直線/的方程為

16.記正項數(shù)列｛“"｝的前〃項和為S",且滿足詢一芯一147%一14（〃+1）若不等式

"S，「4+l恒成立，則實數(shù)4的取值范圍是

四、解答題

17.直線/過點喉T.

⑴若直線/與直線x+y+i=°平行，求直線/的方程;

2

(2)若點A92)到直線/的距離為1,求直線/的方程.

18.數(shù)列間滿足“?，1=M+2"(〃eN)入為常數(shù)

(1)是否存在實數(shù)入，使得數(shù)列｛""｝成為等比數(shù)列，若存在，找出所有的入，及對應的通項公式；若不存

在，說明理由；

(2)當a=2時，記'=擊，求數(shù)列低｝的前n項和.

19.已知等比數(shù)列S”｝均為正數(shù)，4=1°24,且4s4=5邑,(S“為｛凡｝的前“項和)

(1)求數(shù)列｛“"｝的通項公式；

(2)若I是數(shù)列S"｝的前”項積，請求出，，及當I取最大值時對應的"的值.

20.已知等差數(shù)列｛%)滿足:4+3,仰，雙成等差數(shù)列，且4,%,%成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛""｝的通項公式

(2)在任意相鄰兩項4與4+|(無=1，2,...)之間插入2，個2,使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)歹

求數(shù)列也"｝的前200項和“。。.

7x5x1

4：y=--1—L'y=—I—j5/fA/f

21.如圖，直線-44與22相交于點M.直線4與x軸交于點例I過點例?作x軸的垂

線交直線12于點M,過點乂作y軸的垂線交直線4于點“2,過點”2作X軸的垂線交直線12于點N;…,

這樣一直作下去，可得到一系列點，.…點％5=1,2,3,)的橫坐標構(gòu)成數(shù)列｛%｝.

⑴求為,々，W的值，并求%與4的關(guān)系式;

⑵設""=%，，求數(shù)列｛“"｝的前n項和S，.

[log2=2%-1,ZwN*

22.已知數(shù)列｛叫滿足4>°,[2""+2,〃=2/"€N.

(1)判斷數(shù)列｛%"—｝是否是等比數(shù)列？若是，給出證明；否則，請說明理由；

b=-------5------￡

⑵若數(shù)列｛“"｝的前10項和為361,記n"(唾2"2向卜％”.2,數(shù)列色｝的前〃項和為7,,求證：T"<2.

3

1.c

【分析】利用直線斜率等于其傾斜角的正切值求解即可.

2A/3-Grr

tana=--------=一。3

【詳解】設直線/的傾斜角為a,則一2-（-1），因為直線傾斜角的范圍為［0加），

所以

a衛(wèi)=120°

3

故選：C

2.C

【分析】根據(jù)題意得到64=%a=*,再結(jié)合為=i即可求解%的值.

【詳解】依題意得64=4?%=.，

又為>°,所以％=8.

故選：C.

3.B

【分析】求出直線CA，CB的斜率，結(jié)合圖形得出。的范圍.

,=_5=4

【詳解】直線6+"2=°過定點C（°，-2）,且AC—2,BC~3,

54

--<-Q,<一

由圖可知直線與線段48沒有交點時，斜率一“滿足23,

解得（32人

【分析】先通過直線平行的判斷公式求出“，再根據(jù)充分性和必要性的概念得答案.

【詳解】因為直線2》+--3=0與直線ar+2y+5=0相互平行，

則2x2=axa,解得a=12,

又當a=±2時，兩直線均不重合，

故4=±2,

4

所以“直線2x+e-3=0與直線or+2y+5=0相互平行,，是“q=2?的必要不充分條件

故選：C.

5.D

【分析】由等差數(shù)列片段和的性質(zhì)可得出邑、臬-53、Sg-Se、Sg-Sg成等差數(shù)列，即可求得兀的值.

【詳解】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，邑、$6-53、S「S八品成等差數(shù)列，

且該數(shù)列的公差為HFY=-8-16=-24,則S9-S6=(56-53)-24=-32,

所以，S12-S9=(S9-S6)-24=-56；

5

因此，i2=^+(56-S3)+(S9-S6)+(512-S9)=-80

故選：D.

6.A

【分析】本題主要考查的是點關(guān)于直線的對稱點、直線關(guān)于直線的對稱直線，可通過設B的對稱點，再

根據(jù)對稱性質(zhì)進行求解.

【詳解】分析試題：由題意可知直線AC和直線BC關(guān)于直線y=x+l對稱.設點8(-1,2)關(guān)于直線＞=、+1

的對稱點為8("。'為),則有12一2*,即8(1,0).因為8'(1，°)在直線AC上，所以直

k=—=-

線AC的斜率為3-12,所以直線AC的方程為yJ_1=l2(x_3),即x-2y-l=0.

故A正確.

【點睛】解決直線的對稱性問題對考生來說相對較抽象，可結(jié)合草圖來加強理解.

7.D

a仁］＞1000

【解析】由折線長度變化規(guī)律可知“〃次構(gòu)造”后的折線長度為131,由此得到【3J,利用運算

n＞一一

法則可知2xlg2-lg3,由此計算得到結(jié)果.

4a⑶2a

【詳解】記初始線段長度為。，貝心一次構(gòu)造”后的折線長度為“二次構(gòu)造”后的折線長度為0,

以此類推，“〃次構(gòu)造”后的折線長度為13J,

⑶a＞1000a⑶＞1000

若得到的折線長度為初始線段長度的1000倍，則,即

5

,但G）=〃lgg=〃（lg4-lg3）="（21g2-lg3）Nlgl000=3

n>----------:--------p24.02

即2x0.3010-0.4771,至少需要25次構(gòu)造.

故選：D.

【點睛】本題考查數(shù)列新定義運算的問題，涉及到對數(shù)運算法則的應用，關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造原則得到

每次構(gòu)造后所得折線長度成等比數(shù)列的特點.

8.A

22

【分析】將遞推式化為“34a

%'-',從而得到是常列數(shù)，進而得到是等差數(shù)列,

a?=廣

由此求得力?+31,據(jù)此解答即可.

【詳解】因為“3吮"

1121111

-2+-__

---------------~2~+~2~~Z+--------2~~---~\n~

所以可T4+1,即4-1%+1,則勺T4用可，故％4

%=旦a『叵±-±=33-32=1

又8,-33,所以對4,

所以〔4+1是以首項為1的常數(shù)列，則禽+1%,

-4=32±-±=1W

又4,44，所以14"是以首項為32,公差為1的等差數(shù)列,

g=32+（"-l）xl=〃+31an=-^^

故可，則"+31,

_]_]_]_V2

所以"""一《2017+31.72048.3242~64

故選：A.

9.BCD

【分析】由題意可知當兩平行線與A,B兩點所在直線垂直時，兩平行線間的距離d最大，求得0<d§3,

即可得出答案.

【詳解】因為兩平行線分別經(jīng)過點A(5,0),B(0,12),

易知當兩平行線與A,B兩點所在直線垂直時，兩平行線間的距離d最大，

MM=W=J(5_0)2+(0一12—13,所以0<小13,

6

故距離d可能等于5,12,13.

故選：BCD.

10.ABD

【分析】等差數(shù)列的前〃項和關(guān)于n的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，判斷圖象的開口方向，可

判斷A,B；判斷圖象對稱軸位置，判斷C,D,即可到答案.

【詳解】等差數(shù)列｛"J中，4>°,公差”<0,S"為其前〃項和，

cn（n-1）」d2/d、

S=na+--------xd=_〃-+（q）n

nA222,

，點（說）在曲線冶八山今上，

〃<0,二次函數(shù)開口向下，故A,B不可能；

d

x=-----—>0

對稱軸d，，對稱軸在y軸的右側(cè)，故C可能，D不可能.

故選：ABD

11.BCD

【分析】根據(jù)直線方程確定定點AB的坐標判斷A的正誤，應用對稱性判斷B的正誤；由48是定點結(jié)

合機_L”可得|PA「+|P3「=20,結(jié)合基本不等式分析判斷，根據(jù)直線加過定點A（T，°）分析判斷D的正

誤.

【詳解】對于直線加:心-丫+2,可得i（x+D,

令X=-1,可得y=o,所以直線機過定點A（T°）；

對于直線〃:X+…3-22=0,可得（》_3）+川_2）=0,

令y=2,可得x=3,所以直線〃過定點'（3,2）,故A錯誤；

對于選項B：取點A（T°）關(guān)于y軸的對稱點A"⑼，

對于y軸上的點M,則有慳HM=12卜版何碼=20

當且僅當三點共線時，等號成立，

所以軸上的點到點距離之差的最大值為2&,故B正確；

7

對于選項C：因為，xl+lx(T)=°,可知：mYn,

即PA±PB,可得附2+|冏2AM?=20,

又因為|*+閥之22陷?閥,即20M叫網(wǎng),解得照?閥G0,

當且僅當歸川=儼叫=加時，等號成立，

所以歸，叫尸"的最大值為］0,故C正確；

對于選項D：因為直線皿過定點A(T°),

所以點B到直線機距離的最大值為MSI=2石，故口正確；

故選：BCD.

12.AC

【分析】根據(jù)給定的遞推公式，結(jié)合“〃22,。“=5”-5,1，,探討數(shù)列｛氏｝的性質(zhì)，再逐項判斷作答.

2s“=《,+，_2S?=S?-S?.1+—

［詳解］由S"””+1得：4,,當〃22時，貝ijS"一"T,

1_2$

整理得s：-s3=i,顯然ES：+l,則s：=i,因此數(shù)列｛0｝是等差數(shù)列，首項為1,公差為1,C正

確：

a'=5>2=1,解得q=±1,A正確；

S；=l+(〃-l)xl=〃，當S“>0時，SK=G,當“22時，a“,“1=1滿足上式，

11

因此《，=五一疝"，此時,而斤+〃，"田<”"，｛4｝是遞減數(shù)列，

當S"<0時，s“=M,當“22時，q=-i滿足上式，

_1_1

因此4，=fG+病7，此時"冊+冊=T,'I疝！+〃，4用>4，，｛%｝是遞增數(shù)列，B錯

誤；

當S〃>0時an—y/n—yJn—1%()23=J2023—J2022

當S〃<0時，an=-y/n+\jn-\a2023=72023+J2022口錯誤

故選：AC

【點睛】方法點睛：給出S"與“”的遞推關(guān)系，求凡，常用思路是：一是利用S，“|-S"=4,轉(zhuǎn)化為4,的遞

推關(guān)系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為S，，的遞推關(guān)系，先求出S，，與n之間的關(guān)系，再求

8

y=-x+l

13.2

【分析】根據(jù)方向向量可得直線的斜率，進而根據(jù)點斜式求解方程即可.

—y-]=一(%—0)

【詳解】因為直線1的一個方向向量為(2,1),所以其斜率為2,所以直線1的方程為.2'

11

y=-x+1

即2.

y=L+l

故答案為：2

14.24

【詳解】設SI=a2+a4+a6+…+a80,

工

S2=al+a3+a5+…+a79.貝I」$2=q=3即S1=3S2.

4

又Sl+S2=S80=32,.?.3-81=32,解得Sl=24.

即a2+a4+a6+…+a80=24.

4

y=-x

【解析】設兩交點分別為4“，2"-2),B也-3-b),利用中點為原點求解a,b,得到A點坐標，即得解.

【詳解】設兩交點分別為4.2L2),B(b「3-b),

a+h=0

2a-5-b=0

則

4

y=-x

所以直線/的方程為5.

4

y=-x

故答案為：5

【點睛】本題考查了直線與直線的位置關(guān)系，考查了學生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸的能力，屬于中檔題.

16.)

1111n

-2-------12----------*2--------,**2------------=----------\

【分析】由4-1%-1+寫出〃的式子，通過兩式相減化簡得出

c,「(3+2〃+1卜72c12〃+2

a?=2n+1,S?=------------=〃-+2〃2>------

2,再利用不等式恒成立問題，得出n-+2n進而分析右側(cè)式子

的最值，即可求出結(jié)果.

9

+~r—+^r—+

【詳解】因為"I"T"J4(〃+l)①,

1111n-\

-272722=-

所以當〃之2時，q-1a2_1〃3-1an-\-14"②.

nn-\

①一②，得a：T4(n+1)4n4n(n+l))

所以"；=4〃~+4〃+1=(2〃+,

因為數(shù)列｛""｝是正項數(shù)列，則°”=2〃+l(*).

當”=1時，a'~l4x(l+l),則4=3,符合(*)式，

從而%=2〃+1,｛q｝是首項為3,公比為2的等差數(shù)列,

c〃(3+2〃+1),?

S?=----------L=”2+2”

所以2,

由他2+1,得義(〃~+2””2〃+2,即-f^+2n

(「2〃+22(〃+1)2

八")一〃2+2”一(“+1)2_1一，

令''〃+1,

因為)〃+1在"eN時單調(diào)遞增，

/(?)=-------f-

(?+1)--------

所以"+1單調(diào)遞減，

則當〃=1時，/(〃)取得最大值，且為3,所以-3.

4

—,+oo

故答案為:3

17.(i)x+y-i=°

【分析】(1)設出直線/的方程，利用待定系數(shù)法求得正確答案.

(2)根據(jù)直線/的斜率是否存在進行分類討論，結(jié)合A到直線/的距離來求得直線/的方程.

【詳解】(1)設直線方程為x+y+c=°，c*i

10

將P（2，T）代入得c=-1,

所求直線方程是x+yT=°

（2）若直線/的斜率不存在，

則過P的直線為x=2,到A的距離為1,滿足題意；

若直線/的斜率存在，設斜率為3

則/的方程為丘—y_2Z-1=0

\k-2-2k-^_\-k-^t

由A到直線/的距離為1,可得病有護W.

k-A

解得3,

—X—y—2|—I—1=0

所以直線方程為3I3J,即4x+3y-5=0

綜上得所求的直線方程為》-2=0或4x+3y-5=O.

18.(1)存在，2=1,%=2”

S=〃(〃+3)

⑵“4

【分析】（1）假設存在實數(shù)3使得數(shù)列｛/｝成為等比數(shù)列，根據(jù)療=4.3可求出久可得答案;

（2）當4=2時，由2向2-2根據(jù)等差數(shù)列的定義和求和公式可得答案.

【詳解】（1）假設存在實數(shù)3使得數(shù)列｛%｝成為等比數(shù)列，

W

則有"士=43n（2，+2）=2（24~+22+4）=，=1an+|=an+2

i_2”

+-4T）+-+Q_4）+4=2"'+2片+…+2+2=0+1=2；

_^

因為=2,所以數(shù)列｛4｝成為等比數(shù)列，存在a=1,。，，=2"；

4="+1

（2）當a=2時，由2"*2"2可知：

數(shù)列也｝是以要=1為首項，3為公差的等差數(shù)列

,./1〃+1cn(n-l)1〃(〃+3)

“=1+(〃-1n)?一=---S?---^x-=—---L

故”v722,224

11

=2"-,,(/IGN，

19.⑴""

n(2\-n)

(2)(=22，〃=1°或11

【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列定義及其基本量的計算即可求得數(shù)列｛“"）的通項公式為a"=2,?eN*）；

n（21-w）

（2）易知數(shù)列｛“"｝的前〃項積1=2,，再由二次函數(shù)性質(zhì)即可求得當"=10或11時，I取最大值.

【詳解】（1）設數(shù)列｛《J的公比為°,則9>°,

當4=1時，454*552,不合題意；

.6（1-/）at（1-^2）

Ax、____L=5x、____L.

當4工1時，由條件可得i-q"q,

,l~qi=5

化簡得4（1一力=5（1-4）則l-q4.

1+^2=—cq==

故4,又4>。，解得"2,

=1024x（"=21

從而⑵

所以數(shù)列的通項公式為%=2""（〃eN）

w（10+ll-w）n（2l-?）

（2）若I是數(shù)列｛叫的前〃項積，則%,=2限2隈…x2"-"=22=2-

n[2\—n）

（取最大值時，當且僅當一2—取最大值

"（2?〃）一幾_0丫+也

因為2212）8,

-￡（10,11）"⑵一"）

又2，，所以當〃=10或11時，2取最大值

故當7"取最大值時〃=1?；?1.

20.（1）《，=3"+1；（2）477.

【分析】（1）根據(jù)等差中項的性質(zhì)，可求得d值，根據(jù)等比中項的性質(zhì)，可求得可,代入公式，即可得

答案.

（2）分析可得新數(shù)列出｝中，4M前面（包括4”）共有2+22+2'++2*+便+1）=2*"+1項,令

2<+,+^-1<200,小=1，2，）,可解得k的范圍，分析可得所以的前面包括劭共有133項，所以的后面

12

（不包括的）還有67個2.利用分組求和法，代入對應的求和公式，即可求得答案.

【詳解】（1）設等差數(shù)列｛""｝的公差為必

由題意得4+3+。4=2%,即24+3+34=24+4",解得&=3,

又即+7x3）=（q+2x3）,解得q=4,

所以q=3〃+1

⑵在新數(shù)列｛"”｝中，。川前面（包括%）共有2+22+2、+2?+（"1）=2印+"1項，

令2?”+氏一14200,（1=1，2,）,則無46,

所以4,出,%,%,%,%,%出現(xiàn)在新數(shù)列出｝的前200項中，

當％=6時，2"、％-1=133,所以由前面包括內(nèi)）共有133項，所以的后面（不包括％）還有67個2.

所以（oo=（4+7++22）+2（2+22+23++26+67）=91+386=477

注：%,%,%,%,%,?6,%出現(xiàn)在新數(shù)列也｝的前200項中，實際上表明：數(shù)列加"｝的前200項

中，有7項是4,%，％,“4,牝,?6,為其余193項都是2.

【點睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，并靈活應用，難點在于，需讀懂題意，分析可

得數(shù)列低｝的前200項中，有7項是%%,%,?4,%,即，生其余193項都是2.再代入公式，求解

即可，屬中檔題.

21.（1）W=5,々=-7,w=17,x,,+|=-2x“+3；

04j（”+l）（3”+1）（-2產(chǎn)

⑵929

【分析】（1）由題易得由V4J可得12人I2人即得；

（2）利用遞推關(guān)系可求%=（-2）""+1,進而可得知=〃（一2）'"'+〃，再利用分組求和法及錯位相減法即

求.

【詳解】（1）因為M（5,0）,所以西=5,

M（5,3）,所以以（-7,3）,所以赴=-7,

%式-7,-3),所以％(17,-3),所以X3=17,

5f玉+11+1

X—11---

此七，用，2

因為I4,所以I2,所以

13

X"+l_"5

故244,即X“M=_2X,,+3；

(2)因為XT=-2X“+3,

所以