2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)中考培優(yōu)訓(xùn)練第11講阿氏圓最值模型（解析版）

中考數(shù)學(xué)幾何模型11:阿氏圓最值模型

名師點(diǎn)睛------------------------------------------------撥開云霧開門見山

在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了“kPA+PB”最值問題，其中P點(diǎn)軌跡是直線，而當(dāng)P點(diǎn)軌跡變?yōu)?/p>

圓時，即通常我們所說的“阿氏圓”問題.

【模型來源】

“阿氏圓”又稱為“阿波羅尼斯圓”，如下圖，已知A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足PA：PB=k（脖1）,則滿足條

件的所有的點(diǎn)P的軌跡構(gòu)成的圖形為圓.這個軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”.

【模型建立】

2

如圖1所示，的半徑為R,點(diǎn)A、B都在。0外，P為。0上一動點(diǎn)，已知R=：OB,

5

2

連接PA、PB,則當(dāng)“PA+二PB”的值最小時，P點(diǎn)的位置如何確定？

5

22

解決辦法：如圖2,在線段0B上截取0C使OC=gR,則可說明△BPO與APCO相似，則有^PB=PC。

2

故本題求“PA+mPB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值，其中與A與C為定點(diǎn)，P為動點(diǎn)，故當(dāng)A、

P、C三點(diǎn)共線時，“PA+PC”值最小。

【技巧總結(jié)】

計(jì)算B4+晨的最小值時，利用兩邊成比例且夾角相等構(gòu)造母子型相似三角形

問題：在圓上找一點(diǎn)P使得+k.P5的值最小，解決步驟具體如下:

1.如圖，將系數(shù)不為1的線段兩端點(diǎn)與圓心相連即OP,OB

2.計(jì)算出這兩條線段的長度比"=左

OCPC

3.在OB上取一點(diǎn)C,使得——=k,即構(gòu)造△P0MS/\B0P,則一=k,PC=k-PB

OPPB

4.則K4+匕？當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時可得最小值

典題探究啟迪思維探究重點(diǎn)

例題1.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作圓C,分別交AC、BC

于D、E兩點(diǎn)，點(diǎn)P是圓C上一個動點(diǎn)，則!上4+尸3的最小值為.

【分析】這個問題最大的難點(diǎn)在于轉(zhuǎn)化工PA,此處P點(diǎn)軌跡是圓，注意到圓C半徑為2,CA=4,

2

連接CP,構(gòu)造包含線段AP的ACPA,在CA邊上取點(diǎn)M使得CM=2,

連接PM,可得ACPAs^CMP,故PA：PM=2:1,gpPM=lpA.

2

問題轉(zhuǎn)化為PM+PB2BM最小值，故當(dāng)B,P,M三點(diǎn)共線時得最小值，直接連BM即可得

變式練習(xí)>>>

1.如圖1,在RT/XABC中，ZACB=90°,CB=4,CA=6,圓C的半徑為2,點(diǎn)P為圓上一動點(diǎn)，連接ARBP,

求①②2AP+BP,③!4尸+3尸，④AP+33P的最小值.

［答案］:?=V37；②=2屈，③=3畀，④=2月.

解答：如圖2,連接CP,因?yàn)镃P=2,AC=6,BC=4,簡單推算得?=；，g=而題

rp

目中是求UAP+-1BPn其中的“k1J”,故舍棄在“'上取點(diǎn)，應(yīng)用“"=1!”，所以在

22CB2

rnCPPD1

C8上取點(diǎn)D,使8=1,則有：<=*二=上=上，無論尸如何移動，，APCD與4BCP

CPCBBP2

始終相似，故PD=、BP始終成立,^\^AP+-BP=AP+PD,其中4、。為定點(diǎn)，故4、P、

22

。三點(diǎn)共線時最小，AP+LBP=AP+PD=AD=4AC?+3=歷(思考：若求如+%/1呢？)

23

例題2.如圖，點(diǎn)C坐標(biāo)為(2,5),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(7,0),OC的半徑為M，點(diǎn)B在。C上一動點(diǎn)，OB+gAB

的最小值為.

［答案］:5.

變式練習(xí)>>>

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，A(6,-l),M(4,4),以M為圓心，2a為半徑畫圓，。為原點(diǎn)，P是。

M上一動點(diǎn)，則PO+2PA的最小值為.

例題3.如圖，半圓的半徑為為直徑,4。、2。為切線，—，2。=2,尸為立上一動點(diǎn)，求返PC+PD

2

的最小值.

【解答】解：如圖當(dāng)A、P、。共線時，返PC+P。最小.理由:

2

連接PB、CO,AD與CO交于點(diǎn)M,

"：AB=BD=4,8〃是切線，AZABD=90°,ZBAD=ZD=45°,

'：AB是直徑，ZAPS=90°,

：.ZPAB=ZPBA=45°,：.PA=PB,POLAB,

'：AC=PO=2,AC//PO,四邊形AOPC是平行四邊形,

：.OA^OP,/AOP=90°,四邊形AOPC是正方形,

:.PM="^PC,：.^PC+PD^PM+PD^DM,

22

此時返PC+Z）「最小=4。-AM=2料-返=宣2.

'：DM±CO,

222

變式練習(xí)>>>

3.如圖，四邊形A8CD為邊長為4的正方形，的半徑為2,P是上一動點(diǎn)，貝UPD+LPC的最小值

2

為5；揚(yáng)D+4PC的最小值為10亞.

【解答】解：①如圖，連接尸8、在BC上取一點(diǎn)E,使得BE=1.

VPB2=4,BE?BC=4,：.PB~=BE'BC,.?.里=里,:NPBE=/CBE,

BCPB

:APBEs^CBE,PE=PB_=J^,；.PD+LPC=PD+PE,

PCBC22

"：PE+PD<DE,在RtADCE中，DE=J^2~^2=5,

.?.PD+1_PC的最小值為5.

2

②連接。8,PB,在8。上取一點(diǎn)E,使得BE=返,連接EC,作￡F_LBC于?

2

\"PB2=4,BE-BD=y-^-x4\J2=4,：.BP~=BE-BD,

2

.?里=里VZPBE=ZPBD,:.△PBEs^DBP,

BDBP

.?.上豈=里=返，；.PE=^-PD,

PDBD44

：.y[2PD+4PC=4(返PO+PC)=4(PE+PC),

4

FC4，EC=平,

'：PE+PC>EC,在RtAEBC中，

...揚(yáng)D+4PC的最小值為10圾.故答案為5,10&.

例題4.如圖，已知正方ABCD的邊長為6,圓B的半徑為3,點(diǎn)P是圓B上的一個動點(diǎn)，則尸。_!尸。的

2

最大值為.

【分析】當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動到BC邊上時，此時PC=3,根據(jù)題意要求構(gòu)造,在BC上取M使得此時PM=-,

22

則在點(diǎn)P運(yùn)動的任意時刻，均有PM=』PC，從而將問題轉(zhuǎn)化為求PD-PM的最大值.連接PD,對于APDM,

2

PD-PM<DM,故當(dāng)D、M、P共線時，PD-PM=DM為最大值一.

2

變式練習(xí)>>>

4.(1)如圖1,已知正方形A2CZ)的邊長為9,圓2的半徑為6,點(diǎn)尸是圓2上的一個動點(diǎn)，那么PD+-1pC

的最小值為PD-2pc的最大值為_近瓦

--------3--------

(2)如圖2,已知菱形ABC。的邊長為4,NB=60。，圓B的半徑為2,點(diǎn)尸是圓8上的一個動點(diǎn)，那么

【解答】解：(1)如圖3中，在2c上取一點(diǎn)G,使得BG=4.

PB-6_3BC_9_3

BG42PB62

里="'：ZPBG^ZPBC,

BGPB

△PBGsACBP,

PG=BG=2?pr一2

PCPB33

PD2PC=DP+PG,

3

DP+PG>DG,

?.當(dāng)。、G、P共線時，PO+ZPC的值最小，最小值為。G=

3

：PD-2PC=PD-PG<DG,

3

當(dāng)點(diǎn)尸在DG的延長線上時，PO-Uc的值最大，最大值為。6=萬后.

2

故答案為｛106,V106

(2)如圖4中，在BC上取一點(diǎn)G,使得BG=1,作。尸_LBC于E

??PB—2—QBC—4—Q

BG1PB2

APB=BC；vZPBG=ZPBC,

BGPB

:.APBGSACBP,

???PG一_BG_1—,

PCPB2

:.PG^LPC,

2

：.PD+LPC=DP+PG,

2

?：DP+PG>DG,當(dāng)。、G、尸共線時，尸。+工尸。的值最小，最小值為。G,

2

在RtACDF中，Z￡)CF=60°,C￡>=4,

.?.■DF=CZ>sin60°=2V5：CF=2,________

在R3GO尸中，DG=q(2沉)2+⑸2=師

,:PD-LPC=PD-PG<DG,

2-

當(dāng)點(diǎn)尸在。G的延長線上時，PO-Uc的值最大(如圖2中)，最大值為DG=J所.

2

故答案為《而，V37.

例題5.如圖，拋物線y=-x2+bx-K：與直線AB交于A(-4,-4),B(0,4)兩點(diǎn)，直線AC：y=-；x-6

交y軸于點(diǎn)C.點(diǎn)E是直線AB上的動點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF，x軸交AC于點(diǎn)F,交拋物線于點(diǎn)G.

(1)求拋物線y=-x2+bx+c的表達(dá)式；

(2)連接GB,EO,當(dāng)四邊形GEOB是平行四邊形時，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；

(3)①在y軸上存在一點(diǎn)H,連接EH,HF,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到什么位置時，以A,E,F,H為頂點(diǎn)的四邊形是

矩形？求出此時點(diǎn)E,H的坐標(biāo)；②在①的前提下，以點(diǎn)E為圓心，EH長為半徑作圓，點(diǎn)M為。E上一動

點(diǎn)，求一AM+CM它的最小值.

2

【解答】解：(1)：點(diǎn)人(-4,-4),B(0,4)在拋物線y=-x2+bx+c上,

C-16-4b+c=-4(b=-2

,Ac=4,.?.(c=4,...拋物線的解析式為丫=_*2-2*+4；

(2)設(shè)直線AB的解析式為y=kx+n過點(diǎn)A,B,

fn=4(k=2

...〔-4k+n=-4,...1n=4,...直線AB的解析式為y=2x+4,

設(shè)E(m,2m+4),G(m,-m2-2m+4),

四邊形GEOB是平行四邊形，EG=OB=4,

-m2-2m+4-2m-4=4,m=-2,；.G(-2,4)；

(3)①如圖1,

由(2)知，直線AB的解析式為y=2x+4,.?.設(shè)E(a,2a+4),

;直線AC：y=--x-6,/.F(a,--6),設(shè)H(0,p)，

22

?..以點(diǎn)A,E,F,H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，

?.?直線AB的解析式為y=2x+4,直線AC：y=-；x-6,

；.AB_LAC,；.EF為對角線，

一(-4+0)=—(a+a),—(-4+p)=—(2a+4~—a-6),

22222

；.a=-2,P=-1,；.E(-2,0).H(0,-1)；

②如圖2,

由①知，E(-2,0),H(0,-1),A(-4,-4),

；.EH=J^,AE=26,設(shè)AE交。E于G,取EG的中點(diǎn)P,，PE=^,

2

連接PC交。E于M,連接EM,，EM=EH=\/^,

,PET_1..MEJ51,PEME1

ME也2'AEI252,,ME~AE~2

PEME1

VZPEM=ZMEA,.,.△PEM^AMEA,??------------

MEAE2

1

；.PM=—AM,/.-AM+CM的最小值=PC,設(shè)點(diǎn)P(p,2p+4),

2

VE(-2,0),；.PE2=(p+2)2+(2p+4)2=5(p+2)2,

V55

VPE=.--，A5(p+2)2一“

24

5、3

?*-p=---或p=——(由于E(-2,0),所以舍去),Z.P-1),

222

(-》+(-1+6)25百

15出

VC(0,-6),：.PC=-i2即Rn：一AM+CM=----.

222

變式練習(xí)>>>

5.如圖1,拋物線丫=加+(。+3)x+3(G#0)與x軸交于點(diǎn)A(4,0),與y軸交于點(diǎn)8,在x軸上有一

動點(diǎn)E(m,0)(0<m<4),過點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N,交拋物線于點(diǎn)P,過點(diǎn)尸作

于點(diǎn)M.

(1)求。的值和直線的函數(shù)表達(dá)式；

c

(2)設(shè)的周長為Ci,AAEN的周長為C2,若一1=旦，求機(jī)的值；

C25

(3)如圖2,在(2)條件下，將線段OE繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)得到。月，旋轉(zhuǎn)角為a((T<a<90。)，連

接FA、E'B,求的最小值.

【解答】解：(1)令y=0,貝|加+(〃+3)%+3=0,

(x+1)(QX+3)=0,.*.%=-1或-芻，

a

???拋物線>=加+(Q+3)X+3(存0)與x軸交于點(diǎn)A(4,0),

-上=4,：.a=-上.VA(4,0),B(0,3),

a4f/

設(shè)直線AB解析式為尸丘+b,則0=3,解得Jk=R,

l4k+b=0[b=3

/.直線AB解析式為y=-雪'+3.

4

(2)如圖1中，'：PM±AB,PELOA,

:.NPMN=/AEN,'：ZPNM=ZANE,:.叢PNMs叢ANE,.?.m=@

AN5

'：NE//OB,/.AN=AE,：.AN=^-(4-m),

AB0A4

???拋物線解析式為y=-當(dāng)2+義什3,

44

/.PN=--^m2+-^-m+3-(-_5_m+3)=--5-m2+3m,

4444

32q

+3m

--------=—,解得根;2.

5

(3)如圖2中，在y軸上取一點(diǎn)M使得。的=-1,連接AM',在AM上取一點(diǎn)￡使得OE'=OE.

3

：0E'=2,OM'?OB=&x3=4,

3

?.OE'OM'OB,

\口E"=OB-?；/BOE'=ZM'OE',

OM'OE'

△M'OE'S/^E'OB,

?M'E'=0E'=2

，-BF-OBT

?.ME=2-BE,

3

AE'+^BE'=AE'+E'M'=AM',此時4匕+25￡最小

33

(兩點(diǎn)間線段最短，A、M'、￡共線時)

達(dá)標(biāo)檢測領(lǐng)悟提升強(qiáng)化落實(shí)

1.如圖，在RTAABC中，ZB=90°,AB=CB=2,以點(diǎn)B為圓心作圓與AC相切，圓C的半徑為0，點(diǎn)P為

6

圓B上的一動點(diǎn)，求AP+"PC的最小值.

2

［答案］:75.

2.如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為。O,P是。。上一動點(diǎn)，則、歷PA+PB的最小值為.

［答案］:2氐

3.如圖，等邊△ABC的邊長為6,內(nèi)切圓記為。0,P是。0上一動點(diǎn)，則2PB+PC的最小值為.

4.如圖，在Rt/XABC中，ZC=90°,CA=3,CB=4,。的半徑為2,點(diǎn)P是上的一動點(diǎn)，則+

的最小值為?

P

圖2

解答?如圖2,連接“，口算?=馬、g=?，故選擇在C8上取點(diǎn)，構(gòu)造“核武器”

CA3CB2

“母子型相似模型”，取點(diǎn)從使c〃=i,則有*CH=C蕓PPH=1*所以無論。如何移動，

CPCBBP2

△PCH與△8CP始終相似，故PH=-BP始終成立，所以心+=AP+PH,其中從4為

22

定點(diǎn)，故〃、P、4三點(diǎn)共線時最小，AP+-PB=AP+PH=4CH2+AC2=V10.（思考：若求

2

8P+》尸呢？）

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，4（2,0）,B（0,2）,C（4,0）,D（3,2）,P是4AOB外部第一象限內(nèi)的

一動點(diǎn)，且/BPA=135°,則2PD+PC的最小值是多少？

［答案］40

6.如圖，RtAABC,ZACB=90°,AC=BC=2,以C為頂點(diǎn)的正方形CDEF（C、D、E、尸四個頂點(diǎn)按逆

時針方向排列）可以繞點(diǎn)C自由轉(zhuǎn)動，且C￡）=J2，連接AF,BD

（1）求證：ABDC0AAFC；

（2）當(dāng)正方形CDEF有頂點(diǎn)在線段AB上時，直接寫出返A(chǔ)D的值；

2

（3）直接寫出正方形。）EF旋轉(zhuǎn)過程中，的最小值.

24

圖1

【解答】(1)證明：如圖1中，

???四邊形CDEF是正方形，

:?CF=CD,ZDCF=ZACB=90°,

：.NACF=/DCB,

9：AC=CB,

：./\FCA^/\DCB(SAS).

(2)解：①如圖2中，當(dāng)點(diǎn)。，石在A3邊上時,

*：AC=BC=2,NACB=90。，

：.AB=2^

VCDXAB,

：?AD=BD=圾,

：.BD+返A(chǔ)D=6+1.

2

②如圖3中，當(dāng)點(diǎn)E,￡在邊AB上時.

BD=CF=V2?AZ)=JBD?+AB2=710,

/.BD+2Z1AD=V2+V5.

(3)如圖4中.取AC的中點(diǎn)M.連接。M,BM.

,:CD=?,CAf=l,C4=2,

：.CD-=CM-CA,

；CD=CM；vZDCM=ZACD,

CACD

AZ)CM^AAC￡),

?DM=CD=V2

"AD年~

：.DM^y^AD,

2

BD+HAD=BD+DM,

2

...當(dāng)8,D,/共線時，返A(chǔ)D的值最小,

._2

最小值={CB2+CM2=A-

7.(1)如圖1,在△ABC中，AB=AC,8。是AC邊上的中線，