9.5 三角形的中位線 蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)素養(yǎng)綜合檢測(cè)(含解析)

第9章中心對(duì)稱圖形——平行四邊形9.5三角形的中位線基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)1三角形中位線定理1.【新獨(dú)家原創(chuàng)】如圖,△ABC中,點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn),點(diǎn)F、G分別是AD、AE的中點(diǎn),BC=8,則FG的長(zhǎng)為()A.1B.2C.3D.42.【一題多變】如圖,矩形ABCD中,AB=3,AD=2,E為CD邊的中點(diǎn),P為AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn)),F為CP的中點(diǎn),則EF長(zhǎng)度的最大值為.

[變式1·變結(jié)論]如上圖,矩形ABCD中,AB=3,AD=2,E為CD邊的中點(diǎn),P為AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn)),F為CP的中點(diǎn),△CEF的周長(zhǎng)的最小值為.

[變式2·變動(dòng)點(diǎn)P的位置]如圖,在Rt△ACD中,∠D=90°,AD=5,CD=12,點(diǎn)M是CD邊上一點(diǎn),點(diǎn)P為AC邊上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)E、F分別為DM、MP的中點(diǎn),則EF長(zhǎng)度的最小值是.

知識(shí)點(diǎn)2中點(diǎn)四邊形3.若順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形,則四邊形ABCD需滿足的條件是()A.對(duì)角線相等B.對(duì)角線互相平分C.對(duì)角線互相垂直D.對(duì)角線相等且互相平分能力提升全練4.(2022河南中考,5,★☆☆)如圖,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E為CD的中點(diǎn).若OE=3,則菱形ABCD的周長(zhǎng)為()A.6B.12C.24D.485.(2023江蘇南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期中,5,★☆☆)如圖,點(diǎn)E、F、G、H分別是任意四邊形ABCD中AD、BD、BC、CA的中點(diǎn),要使四邊形EFGH是菱形,那么可以添加的條件是()A.AC⊥BDB.AC=BDC.AB=CDD.AD=BC6.(2023四川瀘州中考,7,★★☆)如圖,?ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,∠ADC的平分線與邊AB相交于點(diǎn)P,E是PD的中點(diǎn),若AD=4,CD=6,則EO的長(zhǎng)為()A.1B.2C.3D.47.(2022湖北宜昌中考,15,★☆☆)如圖,在矩形ABCD中,E是邊AD上一點(diǎn),F,G分別是BE,CE的中點(diǎn),連接AF,DG,FG,若AF=3,DG=4,FG=5,則矩形ABCD的面積為.

8.(2023江蘇宿遷懷文中學(xué)月考,17,★☆☆)如圖所示,在四邊形ABCD中,對(duì)角線AC⊥BD,垂足為O,點(diǎn)E,F,G,H分別為邊AD,AB,BC,CD的中點(diǎn).若AC=8,BD=6,則四邊形EFGH的面積為.

9.(2022江蘇南京江寧期末,22,★★☆)如圖,△ABC的BC邊上的中線AF與中位線DE相交于點(diǎn)O.(1)求證:AF與DE互相平分;(2)當(dāng)△ABC滿足時(shí),四邊形ADFE是正方形?

素養(yǎng)探究全練10.【推理能力】(2023山東東營(yíng)中考)(1)用數(shù)學(xué)的眼光觀察:如圖①,在四邊形ABCD中,AD=BC,P是對(duì)角線BD的中點(diǎn),M是AB的中點(diǎn),N是DC的中點(diǎn).求證:∠PMN=∠PNM.(2)用數(shù)學(xué)的思維思考:如圖②,延長(zhǎng)圖①中的線段AD交MN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,延長(zhǎng)線段BC交MN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證:∠AEM=∠F.(3)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá):如圖③,在△ABC中,AC<AB,點(diǎn)D在AC上,AD=BC,M是AB的中點(diǎn),N是DC的中點(diǎn),連接MN并延長(zhǎng),與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,連接GD.若∠ANM=60°,試判斷△CGD的形狀,并進(jìn)行證明.圖①圖②圖③

答案全解全析基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練1.B∵點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn),∴DE是△ABC的中位線,∴DE=12∵點(diǎn)F、G分別是AD、AE的中點(diǎn),∴FG是△ADE的中位線,∴FG=12故選B.2.答案13解析如圖所示,連接DP,∵E為CD的中點(diǎn),F為CP的中點(diǎn),∴EF為△CDP的中位線,∴EF=12DP,當(dāng)PD的長(zhǎng)度取得最大值時(shí),EF的長(zhǎng)度也取得最大值易知當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí),PD最長(zhǎng),此時(shí)PD=BD=32+2∴EF長(zhǎng)度的最大值為132,故答案為13[變式1]答案4解析∵E為CD的中點(diǎn),∴CE=1.5,∵四邊形ABCD為矩形,∴CD=AB=3,連接DP,∵E為CD的中點(diǎn),F為CP的中點(diǎn),∴EF為△CDP的中位線,CF=12CP,∴EF=1∴△CEF的周長(zhǎng)=CE+EF+CF=1.5+12∴當(dāng)DP+CP的值最小時(shí),△CEF的周長(zhǎng)最小.如圖,延長(zhǎng)DA至點(diǎn)G,使得AG=AD=2,連接CG,交AB于點(diǎn)P,此時(shí)DP+CP的值最小,DP+CP=PG+CP=CG,在Rt△DGC中,DG=DA+AG=4,CD=3,根據(jù)勾股定理,得CG=5,∴DP+CP的最小值為5,故△CEF周長(zhǎng)的最小值為1.5+2.5=4.故答案為4.[變式2]答案30解析連接DP(圖略),∵點(diǎn)E、F分別為DM、MP的中點(diǎn),∴EF=12DP,∴當(dāng)DP最短時(shí),EF最短,易知當(dāng)DP⊥AC時(shí),DP最短在Rt△ACD中,AD=5,CD=12,∴AC=52∵S△ACD=12×5×12=12×13×DP,∴DP=6013,∴EF長(zhǎng)度的最小值=30133.CA.順次連接對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;B.順次連接對(duì)角線互相平分的四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;C.順次連接對(duì)角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形,故此選項(xiàng)正確;D.順次連接對(duì)角線相等且互相平分的四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤,故選C.能力提升全練4.C∵四邊形ABCD為菱形,∴BO=DO,AB=BC=CD=DA,∵OE=3,且點(diǎn)E為CD的中點(diǎn),∴OE是△BCD的中位線,∴BC=2OE=6,∴菱形ABCD的周長(zhǎng)為4BC=4×6=24.故選C.5.C∵點(diǎn)E、F、G、H分別為AD、BD、BC、CA的中點(diǎn),∴EF=GH=12AB,EH=FG=1∴四邊形EFGH是平行四邊形.∵當(dāng)EF=FG=GH=EH時(shí),平行四邊形EFGH是菱形,∴當(dāng)AB=CD時(shí),四邊形EFGH是菱形.故選C.6.A在平行四邊形ABCD中,AB∥DC,AB=CD,OD=OB,∴∠CDP=∠APD,∵DP平分∠ADC,∴∠CDP=∠ADP,∴∠ADP=∠APD,∴AP=AD=4,∵CD=6,∴AB=6,∴PB=AB-AP=6-4=2,∵E是PD的中點(diǎn),O是BD的中點(diǎn),∴EO是△DPB的中位線,∴EO=12PB=1,故選7.答案48解析在矩形ABCD中,∠BAE=90°,∠CDE=90°,∵F,G分別是BE,CE的中點(diǎn),∴FG是△BCE的中位線,∵FG=5,∴BC=2FG=10,在Rt△ABE中,F是BE的中點(diǎn),∴AF是Rt△ABE斜邊上的中線,∴AF=EF=BF=3,∴BE=6,同理,CE=8,在△BEC中,BE=6,EC=8,BC=10,∴BE2+EC2=BC2,∴△BEC是直角三角形,且∠BEC=90°.過(guò)E作EH⊥BC于H,如圖所示.∴S矩形ABCD=BC·EH=2S△BEC=2×12BE·EC=6×8=48,故答案為8.答案12解析∵點(diǎn)E、F分別為四邊形ABCD的邊AD、AB的中點(diǎn),∴EF∥BD,且EF=12同理,HG∥BD,且HG=12BD=3,EH∥AC∥GF,且EH=GF=12AC=4,又∵AC⊥BD,∴EF⊥HE,∴四邊形EFGH是矩形,∴四邊形EFGH的面積=EF·EH=3×4=12.9.解析(1)證明:由題意知D、E、F分別為AB、AC、BC的中點(diǎn),∴EF是△ABC的中位線,AD=BD=12AB,∴EF∥AB,EF=12AB=AD,∴四邊形DFEA是平行四邊形,∴AF與DE(2)當(dāng)△ABC滿足AB=AC,∠BAC=90°時(shí),四邊形ADFE是正方形.理由如下:由(1)得四邊形ADFE是平行四邊形,∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,又∵AF是△ABC的BC邊上的中線,∴AF⊥BC,∵DE是△ABC的中位線,∴DE∥BC,∴AF⊥DE,∴平行四邊形ADFE是菱形.又∵∠BAC=90°,∴四邊形ADFE是正方形.素養(yǎng)探究全練10.解析(1)證明:∵P是BD的中點(diǎn),M是AB的中點(diǎn),∴PM=12AD,同理,PN=1∵AD=BC,∴PM=PN,∴∠PMN=∠PNM.(2)證明:∵P是BD的中點(diǎn),N是DC的中點(diǎn),∴PN∥BC,∴∠PNM=∠F.同理,∠PMN=∠AEM.∵∠PMN=∠PNM,∴∠AEM=∠F.(3)△CGD是直角三角形.證明:如圖,取BD的中點(diǎn)P,連接PM,PN.∵M(jìn)是AB的中點(diǎn),P是BD的中點(diǎn),∴PM∥AD,PM=12同理,PN∥BC,PN