文科高考數(shù)學必背公式及我的高考-橢圓知識點總結(jié)

PAGEPAGE1文科高考數(shù)學必背公式高中數(shù)學誘導公式全集：常用的誘導公式有以下幾組：公式一：設(shè)α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)公式二：設(shè)α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α與-α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六：π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)注意：在做題時，將a看成銳角來做會比較好做。誘導公式記憶口訣※規(guī)律總結(jié)※上面這些誘導公式可以概括為：對于π/2*k±α(k∈Z)的三角函數(shù)值，①當k是偶數(shù)時，得到α的同名函數(shù)值，即函數(shù)名不改變;②當k是奇數(shù)時，得到α相應(yīng)的余函數(shù)值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.(奇變偶不變)然后在前面加上把α看成銳角時原函數(shù)值的符號。(符號看象限)例如：sin(2π-α)=sin(4·π/2-α)，k=4為偶數(shù)，所以取sinα。當α是銳角時，2π-α∈(270°，360°)，sin(2π-α)<0，符號為“-”。所以sin(2π-α)=-sinα上述的記憶口訣是：奇變偶不變，符號看象限。公式右邊的符號為把α視為銳角時，角k·360°+α(k∈Z)，-α、180°±α，360°-α所在象限的原三角函數(shù)值的符號可記憶水平誘導名不變;符號看象限。#各種三角函數(shù)在四個象限的符號如何判斷，也可以記住口訣“一全正;二正弦(余割);三兩切;四余弦(正割)”.這十二字口訣的意思就是說：第一象限內(nèi)任何一個角的四種三角函數(shù)值都是“+”;第二象限內(nèi)只有正弦是“+”，其余全部是“-”;第三象限內(nèi)切函數(shù)是“+”，弦函數(shù)是“-”;第四象限內(nèi)只有余弦是“+”，其余全部是“-”.上述記憶口訣,一全正,二正弦,三內(nèi)切,四余弦#還有一種按照函數(shù)類型分象限定正負：函數(shù)類型第一象限第二象限第三象限第四象限正弦++——余弦+——+正切+—+—余切+—+—同角三角函數(shù)基本關(guān)系同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式倒數(shù)關(guān)系:tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1商的關(guān)系：sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα平方關(guān)系：sin^2(α)+cos^2(α)=11+tan^2(α)=sec^2(α)1+cot^2(α)=csc^2(α)同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法六角形記憶法：(參看圖片或參考資料鏈接)構(gòu)造以"上弦、中切、下割;左正、右余、中間1"的正六邊形為模型。(1)倒數(shù)關(guān)系：對角線上兩個函數(shù)互為倒數(shù);(2)商數(shù)關(guān)系：六邊形任意一頂點上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個頂點上函數(shù)值的乘積。(主要是兩條虛線兩端的三角函數(shù)值的乘積)。由此，可得商數(shù)關(guān)系式。(3)平方關(guān)系：在帶有陰影線的三角形中，上面兩個頂點上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點上的三角函數(shù)值的平方。兩角和差公式兩角和與差的三角函數(shù)公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)二倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式(升冪縮角公式)sin2α=2sinαcosαcos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan2α=2tanα/[1-tan^2(α)]半角公式半角的正弦、余弦和正切公式(降冪擴角公式)sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)另也有tan(α/2)=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)萬能公式萬能公式sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]萬能公式推導附推導：sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))*，(因為cos^2(α)+sin^2(α)=1)再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))然后用α/2代替α即可。同理可推導余弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正弦比余弦得到。三倍角公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3α=3sinα-4sin^3(α)cos3α=4cos^3(α)-3cosαtan3α=[3tanα-tan^3(α)]/[1-3tan^2(α)]三倍角公式推導附推導：tan3α=sin3α/cos3α=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα-sin^3(α))/(cos^3(α)-cosαsin^2(α)-2sin^2(α)cosα)上下同除以cos^3(α)，得：tan3α=(3tanα-tan^3(α))/(1-3tan^2(α))sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα=2sinαcos^2(α)+(1-2sin^2(α))sinα=2sinα-2sin^3(α)+sinα-2sin^3(α)=3sinα-4sin^3(α)cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα=(2cos^2(α)-1)cosα-2cosαsin^2(α)=2cos^3(α)-cosα+(2cosα-2cos^3(α))=4cos^3(α)-3cosα即sin3α=3sinα-4sin^3(α)cos3α=4cos^3(α)-3cosα三倍角公式聯(lián)想記憶★記憶方法：諧音、聯(lián)想正弦三倍角：3元減4元3角(欠債了(被減成負數(shù))，所以要“掙錢”(音似“正弦”))余弦三倍角：4元3角減3元(減完之后還有“余”)☆☆注意函數(shù)名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示?！锪硗獾挠洃浄椒?正弦三倍角:山無司令(諧音為三無四立)三指的是"3倍"sinα,無指的是減號,四指的是"4倍",立指的是sinα立方余弦三倍角:司令無山與上同理和差化積公式三角函數(shù)的和差化積公式sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]積化和差公式三角函數(shù)的積化和差公式sinα·cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]和差化積公式推導附推導：首先,我們知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2同理,若把兩式相減,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2同樣的,我們還知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb所以,把兩式相加,我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb所以我們就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2同理,兩式相減我們就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2樣,我們就得到了積化和差的四個公式:sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2好,有了積化和差的四個公式以后,我們只需一個變形,就可以得到和差化積的四個公式.我們把上述四個公式中的a+b設(shè)為x,a-b設(shè)為y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2把a,b分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個公式:sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)橢圓知識點一、橢圓的定義

平面內(nèi)一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數(shù),這個動點的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距.注意：若，則動點的軌跡為線段；

若，則動點的軌跡無圖形.二、橢圓的標準方程

1．當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中2．當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中；注：1．只有當橢圓的中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸建立直角坐標系時，才能得到橢圓的標準方程；

2．在橢圓的兩種標準方程中，都有和；

3．橢圓的焦點總在長軸上.當焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標為，；當焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標為，三、橢圓的簡單幾何性質(zhì)

橢圓：的簡單幾何性質(zhì)

（1）對稱性：對于橢圓標準方程說明：把換成、或把換成、或把、同時換成、、原方程都不變，所以橢圓是以軸、軸為對稱軸的軸對稱圖形，并且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心。（2）范圍：橢圓上所有的點都位于直線和所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點的坐標滿足，。（3）頂點：①橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。

②橢圓與坐標軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標分別為，，，③線段，分別叫做橢圓的長軸和短軸，,。和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。（4）離心率：①橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用表示，記作。

②因為，所以的取值范圍是。越接近1，則就越接近，從而越小，因此橢圓越扁；反之，越接近于0，就越接近0，從而越接近于，這時橢圓就越接近于圓。當且僅當時，，這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。注：橢圓的圖像中線段的幾何特征（如右圖）：（1）；；（橢圓的第二定義）；（2）；；；

（3）；；；四、橢圓與的區(qū)別和聯(lián)系標準方程圖形性質(zhì)焦點，，焦距范圍，，對稱性關(guān)于軸、軸和原點對稱頂點，，軸長長軸長=，短軸長=離心率準線方程焦半徑，，注：關(guān)于橢圓與的說明：相同點：形狀、大小都相同；參數(shù)間的關(guān)系都有和，；不同點：兩種橢圓的位置不同；它們的焦點坐標也不相同。規(guī)律方法：1、如何確定橢圓的標準方程？

任何橢圓都有一個對稱中心，兩條對稱軸。當且僅當橢圓的對稱中心在坐標原點，對稱軸是坐標軸，橢圓的方程才是標準方程形式。此時，橢圓焦點在坐標軸上。確定一個橢圓的標準方程需要三個條件：2、橢圓標準方程中的三個量的幾何意義

橢圓標準方程中，三個量的大小與坐標系無關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的。分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關(guān)系為：，，且?？山柚覉D理解記憶：

顯然：恰構(gòu)成一個直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊。3、如何由橢圓標準方程判斷焦點位置橢圓的焦點總在長軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看，的分母的大小，哪個分母大，焦點就在哪個坐標軸上。4、方程是表示橢圓的條件方程可化為，即，所以只有A、B、C同號，且AB時，方程表示橢圓。當時，橢圓的焦點在軸上；當時，橢圓的焦點在軸上。5、求橢圓標準方程的常用方法：①待定系數(shù)法：由已知條件確定焦點的位置，從而確定橢圓方程的類型，設(shè)出標準方程，再由條件確定方程中的參數(shù)的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；②定義法：由已知條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。6．共焦點的橢圓標準方程形式上的差異

共焦點，則c相同。與橢圓共焦點的橢圓方程可設(shè)為，此類問題常用待定系數(shù)法求解。7．判斷曲線關(guān)于軸、軸、原點對稱的依據(jù)：

①若把曲線方程中的換成，方程不變，則曲線關(guān)于軸對稱；②若把曲線方程中的換成，方程不變，則曲線關(guān)于軸對稱；③若把曲線方程中的、同時換成、，方程不變，則曲線關(guān)于原點對稱。8．如何求解與焦點三角形△PF1F2（P為橢圓上的點）有關(guān)的計算問題？思路分析：與焦點三角形△PF1F2有關(guān)的計算問題時，?？紤]到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結(jié)合的方法進行計算解題。將有關(guān)線段，有關(guān)角()結(jié)合起來，建立、之間的關(guān)系.焦點三角形面積公式：(P為橢圓上任一一點)9．如何計算橢圓的扁圓程度與離心率的關(guān)系？

長軸與短軸的長短關(guān)系決定橢圓形狀的變化。離心率，因為，，用表示為。顯然：當越小時，越大，橢圓形狀越扁；當越大，越小，橢圓形狀越趨近于圓。（一）橢圓及其性質(zhì)1、橢圓的定義（1）平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距。（2）一動點到定點的距離和它到一條定直線的距離的比是一個內(nèi)常數(shù)，那么這個點的軌跡叫做橢圓其中定點叫做焦點，定直線叫做準線，常數(shù)就是離心率2、橢圓的標準方程：3、橢圓的參數(shù)方程4、離心率:橢圓焦距與長軸長之比5、橢圓的準線方程：左準線右準線（二）、橢圓的焦半徑橢圓的焦半徑公式：焦點在x軸上的橢圓的焦半徑公式：（其中分別是橢圓的左右焦點）焦點在y軸上的橢圓的焦半徑公式：（其中分別是橢圓的下上焦點）（三）、直線與橢圓問題（韋達定理的運用）1、弦長公式：若直線與圓錐曲線相交與、兩點，則：弦長例1.已知橢圓及直線y＝x＋m。（1）當直線和橢圓有公共點時，求實數(shù)m的取值范圍；（2）求被橢圓截得的最長弦所在的直線的方程。2、已知弦AB的中點，研究AB的斜率和方程AB是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一條弦，中點M坐標為(x0，y0)，則AB的斜率為－eq\f(b2x0,a2y0).運用點差法求AB的斜率，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．B都在橢圓上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(1,2),a2)＋\f(y\o\al(1,2),b2)＝1，,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，))兩式相減得：eq\f(x\o\al(1,2)－x\o\al(2,2),a2)＋eq\f(y\o\al(1,2)－y\o\al(2,2),b2)＝0，∴eq\f(x1－x2x1＋x2,a2)＋eq\f(y1－y2y1＋y2,b2)＝0，即：eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2x1＋x2,a2y1＋y2)＝－eq\f(b2x0,a2y0).故：kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0).例2、過橢圓內(nèi)一點引一條弦，使弦被點平分，求這條弦所在直線的方程。（四）、四種題型與三種方法四種題型1、已知橢圓C：內(nèi)有一點A（2，1），F(xiàn)是橢圓C的左焦點，P為橢圓C上的動點.求：｜PA｜+｜PF｜的最小值。2、已知橢圓內(nèi)有一點A（2，1），F(xiàn)為橢圓的左焦點，P是橢圓上動點.求：｜PA｜+｜PF|的最大值與最小值。3、已知橢圓外一點A（5，6），l為橢圓的左準線，P為橢圓上動點，點P到l的距離為d，求：|PA|+的最小值。4、定長為d()的線段AB的兩個端點分別在橢圓上移動.求：AB的中點M到橢圓右準線的最短距離。三種方法1、橢圓的切線與兩坐標軸分別交于A,B兩點，求：三角形OAB的最小面積。2、已知橢圓和直線l:x-y+9=0，在l上取一點M，經(jīng)過點M且以橢圓的焦點為焦點作橢圓，求M在何處時所作橢圓的長軸最短，并求此橢圓方程。3、過橢圓的焦點的直線交橢圓A,B兩點，求面積的最大值。課后同步練習1.橢圓的焦點坐標是,離心率是________，準線方程是_________.2.已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，過F1的直線與橢圓交于M、N兩點，則△MNF2的周長為()A．8B．16C．25D．323.橢圓上一點P到一個焦點的距離為5，則P到另一個焦點的距離為（）A.5B.6C.4D.104.已知橢圓方程為,那么它的焦距是（）A.6B.3C.3D.5.如果方程表示焦點在軸上的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是A.（0，+∞）B.(0,2)C.(1,+∞)D.(0,1)6．設(shè)為定點，||=6，