福建省2024年九年級數(shù)學下學期期末學情評估

期末學情評估一、選擇題(本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的)1．反比例函數(shù)y＝eq\f(4,x)的圖象經(jīng)過以下各點中的()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,4)))C．(4，－1)D．(－2，－2)2．“父親節(jié)”時，佳佳送給父親一個禮盒(如圖)，該禮盒的主視圖是()(第2題)(第4題)3．在雙曲線y＝eq\f(1－3m,x)上有兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜0＜x2，y1＜y2，則m的取值范圍是()A．m＞eq\f(1,3)B．m＜eq\f(1,3)C．m≥eq\f(1,3)D．m≤eq\f(1,3)4．如圖，某大橋主塔的正面示意圖是一個軸對稱圖形，小明測得橋面寬度AB＝am，∠OAB＝70°，則點O到橋面的距離是()A.eq\f(1,2)asin70°m B.eq\f(1,2)acos70°mC．a(chǎn)tan70°m D.eq\f(1,2)atan70°m5．如圖，P是△ABC的邊AC上一點，連接BP，以下條件中，不能判定△ABP∽△ACB的是()A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABCC.eq\f(AB,AP)＝eq\f(AC,AB) D.eq\f(BP,CB)＝eq\f(AB,AC)(第5題)(第7題)6．兩個相似三角形的最短邊長分別是5cm和3cm，它們的周長之差為12cm，那么較小三角形的周長為()A．14cmB．16cmC．18cmD．30cm7．一次函數(shù)y1＝k1x＋b和反比例函數(shù)y2＝eq\f(k2,x)(k1·k2≠0)的圖象如圖所示，當y1＞y2時，x的取值范圍是()A．－2＜x＜0或x＞1 B．－2＜x＜1C．x＜－2或x＞1 D．x＜－2或0＜x＜18．如圖，△ABO縮小后得到△A′B′O，其中A，B的對應點分別為A′，B′，點A，B，A′，B′均在格點上，若線段AB上有一點P(m，n)，則點P在A′B′上的對應點P′的坐標為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，n)) B．(m，n) C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(n,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，\f(n,2)))9．如圖是摩天輪的簡化示意圖，點O是摩天輪的圓心，AB是摩天輪垂直于地面的直徑，小嘉從摩天輪最低處B下來先沿水平方向向右行走20m到達C，再經(jīng)過一段坡度(或坡比)為i＝0.75，坡長為10m的斜坡CD到達點D，然后再沿水平方向向右行走40m到達點E(A，B，C，D，E均在同一平面內)，在E處測得摩天輪頂端A的仰角為24°，則AB的高度約為(參考數(shù)據(jù)：sin24°≈0.4，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45)()A．24.6mB．22.7mC．27.5mD．28.8m(第9題)(第12題)10．已知點A(x1，y1)在反比例函數(shù)y＝eq\f(2k,x)的圖象上，點B(x2，y2)在一次函數(shù)y＝kx－k的圖象上，當k＞0時，下列判斷正確的是()A．當x1＝x2＞2時，y1＞y2B．當x1＝x2＜2時，y1＞y2C．當y1＝y(tǒng)2＞k時，x1＜x2D．當y1＝y(tǒng)2＜k時，x1＞x2二、填空題(本題共6小題，每小題4分，共24分)11．日晷是我國古代的一種計時儀器，它由晷面和晷針組成．當太陽光照在日晷上時，晷針的影子會隨著時間的推移慢慢移動，以此來顯示時刻，則晷針在晷面上形成的投影是________投影．(填“平行”或“中心”)12．如圖，AB∥CD，AD與BC相交于點E，若AE＝3，ED＝5，則eq\f(BE,EC)的值為________．13．如圖是某工件的三視圖(單位：cm)，若俯視圖為直角三角形，則此工件的體積為________．14．無人機是利用無線電遙控設備和自備的程序控制裝置操縱的不載人飛機，在跟蹤、定位、遙測、數(shù)據(jù)傳輸?shù)确矫姘l(fā)揮著重要作用，在如圖所示的某次測量中，無人機在小山上方的A處，測得小山兩端B，C的俯角分別是45°和30°，此時無人機距直線BC的垂直距離是200m，則小山兩端B，C之間的直線距離是__________________m.(第14題)(第15題)15．如圖，銳角三角形ABC的邊AB，AC上的高線CE，BF相交于點D，請寫出圖中的兩對相似三角形：________________________．(用相似符號連接，寫出兩對即可)16．如圖，l1，l2分別是反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k＞2)和y＝eq\f(2,x)在第一象限內的圖象，點A在l1上，線段OA交l2于點B，作AC⊥x軸于點C，交l2于點D，延長OD交l1于點E，作EF⊥x軸于點F，連接BD，AE.下列結論：①S△AOD＝S四邊形CDEF；②BD∥AE；③eq\f(BD,AE)＝eq\f(2,k)；④EF2＝AC·CD.其中正確的是________．(填序號)三、解答題(本題共9小題，共86分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(8分)計算：sin60°＋cos245°－sin30°·tan60°.18．(8分)下表是小明填寫的綜合實踐活動報告的部分內容，請你借助小明的測量數(shù)據(jù)，計算河流的寬度AB.題目測量河流寬度AB目標示意圖測量數(shù)據(jù)BC＝1.5m，BD＝10m，DE＝1.8m19．(8分)如圖，在△ABC中，CD是邊AB上的中線，∠B是銳角，且sinB＝eq\f(\r(2),2)，tanA＝eq\f(1,2)，AC＝3eq\r(5).(1)求∠B的度數(shù)與AB的長；(2)求tan∠CDB的值．20．(8分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝－eq\f(1,3)x＋b與x軸交于點A，與雙曲線y＝－eq\f(6,x)在第二象限內交于點B(－3，a)．(1)求a和b的值；(2)過點B作直線l平行于x軸，交y軸于點C，連接AC，求△ABC的面積．21．(8分)如圖，在菱形ABCD中，點E在對角線AC上，延長BE交AD于點F.(1)求證：eq\f(EF,EB)＝eq\f(FA,BC)；(2)已知點P在邊CD上，請以CP為邊，用尺規(guī)作一個△CPQ與△AEF相似，并使得點Q在AC上．(只需作出一個△CPQ，保留作圖痕跡，不寫作法)22．(10分)如圖，廈門某中學數(shù)學興趣小組決定測量一下教學樓AB的高度，他們先在坡面上的E處測得樓頂A的仰角為45°，沿坡面向下走到坡腳C處，分別測得樓頂A的仰角為60°，E的仰角為30°，E到地面BF的距離EF為3m，求教學樓AB的高度．(結果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)23．(10分)小明家的電熱水壺接通電源就進入自動程序，開機加熱時每分鐘上升20℃，加熱到100℃，會沸騰1min后自動停止加熱，水溫開始下降，此時水溫y(℃)與通電時間x(min)成反比例關系，直至水溫降至20℃時電熱水壺又自動開機加熱，重復上述程序(如圖所示)．(1)求CD段的函數(shù)關系式，并求自變量x的取值范圍．(2)小明治療腸胃病需服用一種膠囊，醫(yī)囑要求：至少在飯后半小時用溫開水(水溫不能高于40℃)送服，若小明在早飯后立即通電開機，請問他至少需要等多長時間才可以直接用電熱水壺的水送服膠囊？24．(12分)如圖，AB是⊙O的直徑，過點A作⊙O的切線并在其上取一點C，連接OC交⊙O于點D，BD的延長線交AC于點E，連接AD.(1)求證：△CDE∽△CAD；(2)若AB＝2，AC＝2eq\r(2)，求AE的長．25．(14分)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，D，E分別是邊BA，BC的中點，連接DE.將△BDE繞點B順時針旋轉α(0°<α<90°)得到△BFG，點D的對應點是點F，連接AF，CG.(1)求證：∠BFA＝∠BGC；(2)若∠BFA＝90°，求sin∠CBF的值．

答案一、1.D2.C3.B4.D5.D6.C7.A8.D9.A10．C二、11.平行12.eq\f(3,5)13.30cm314.(200＋200eq\r(3))15．△ABF∽△ACE，△BDE∽△CDF(答案不唯一)16．①②④點撥：∵點A，點E在反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)的圖象上，∴S△AOC＝eq\f(k,2)＝S△OEF，∴S△AOD＝S四邊形CDEF，故①正確；過點B作BH⊥OC于H，∴BH∥AC，∴△OBH∽△OAC，∴eq\f(S△OBH,S△OAC)＝eq\f(OB2,OA2)＝eq\f(2,k)，∴eq\f(OB,OA)＝eq\r(\f(2,k))，同理可證：eq\f(OD,OE)＝eq\r(\f(2,k))，∴eq\f(OB,OA)＝eq\f(OD,OE)，又∵∠BOD＝∠AOE，∴△BOD∽△AOE，∴∠OBD＝∠OAE，eq\f(BD,AE)＝eq\f(OB,OA)＝eq\r(\f(2,k))，故③錯誤，∴BD∥AE，故②正確；設點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(k,a)))，則點Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(2,a)))，點C(a，0)，∴AC＝eq\f(k,a)，CD＝eq\f(2,a)，∴AC·CD＝eq\f(2k,a2).∵CD∥EF，∴△ODC∽△OEF，∴eq\f(CD,EF)＝eq\f(OD,OE)＝eq\r(\f(2,k))，∴EF2＝eq\f(2k,a2)＝AC·CD，故④正確．故答案為①②④.三、17.解：原式＝eq\f(\r(3),2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,2)×eq\r(3)＝eq\f(1,2).18．解：由題意可得CB⊥AD，ED⊥AD，∴∠ABC＝∠ADE＝90°.又∵∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE，∴eq\f(AB,AD)＝eq\f(BC,DE).∵BC＝1.5m，BD＝10m，DE＝1.8m，∴eq\f(AB,AB＋10)＝eq\f(1.5,1.8)，解得AB＝50m.答：河流的寬度AB為50m.19．解：(1)如圖，過點C作CE⊥AB于點E，設CE＝x.在Rt△ACE中，∵tanA＝eq\f(CE,AE)＝eq\f(1,2)，∴AE＝2x.∴AC＝eq\r(x2＋（2x）2)＝eq\r(5)x.∴eq\r(5)x＝3eq\r(5)，解得x＝3.∴CE＝3，AE＝6.在Rt△BCE中，∵sinB＝eq\f(\r(2),2)，∴∠B＝45°.易得△BCE為等腰直角三角形．∴BE＝CE＝3.∴AB＝AE＋BE＝9.(2)∵CD是邊AB上的中線，∴BD＝eq\f(1,2)AB＝4.5.由(1)知BE＝3，∴DE＝1.5.∴tan∠CDB＝eq\f(CE,DE)＝eq\f(3,1.5)＝2.20．解：(1)把B(－3，a)的坐標代入到反比例函數(shù)解析式中，得a＝－eq\f(6,－3)＝2，∴B(－3，2)．把(－3，2)代入到一次函數(shù)解析式中，得－eq\f(1,3)×(－3)＋b＝2，∴b＝1.(2)∵B(－3，2)，BC∥x軸，∴C(0，2)，∴BC＝3，∴S△ABC＝eq\f(1,2)BC·yB＝eq\f(1,2)×3×2＝3.21．(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠FAE＝∠ACB，又∵∠AEF＝∠CEB，∴△AEF∽△CEB，∴eq\f(EF,EB)＝eq\f(FA,BC).(2)解：如圖(答案不唯一)．22．解：作EG⊥AB于點G，則∠AEG＝45°，四邊形EFBG為矩形，∴EG＝FB，BG＝EF＝3m.在Rt△AEG中，∵∠AEG＝45°，∴易得AG＝EG.設AG＝EG＝xm，則FB＝xm.在Rt△ECF中，∵∠ECF＝30°，∴FC＝eq\f(EF,tan30°)＝3eq\r(3)(m)．∴BC＝(x－3eq\r(3))m.在Rt△ACB中，∵∠ACB＝60°，∴tan60°＝eq\f(AB,BC)＝eq\f(AG＋GB,BC)＝eq\f(x＋3,x－3\r(3))＝eq\r(3)，解得x≈16.38.∴AB≈16.38＋3≈19.4(m)．答：教學樓AB的高度約為19.4m.23．解：(1)由題意可得開機加熱到100℃所需時間為eq\f(100－20,20)＝4(min)，∴點B的坐標為(4，100)，∴點C的坐標為(5，100)，設CD段的函數(shù)關系式為y＝eq\f(k,x)，把(5，100)代入，得100＝eq\f(k,5)，解得k＝500，∴y＝eq\f(500,x).令y＝20，則20＝eq\f(500,x)，解得x＝25，則點D(25，20)．∴CD段的函數(shù)關系式為y＝eq\f(500,x)(5≤x≤25)．(2)由(1)可知從水溫20℃開機加熱到100℃、沸騰停止加熱、再到水溫下降回20℃為一個周期共用時25min，25<30，當水溫第二次加熱到40℃時所需時間為25＋eq\f(40－20,20)＝26(min)，26<30，當水溫第二次下降到40℃時所需時間為25＋eq\f(500,40)＝37.5(min)，37.5>30，∴他至少需要等37.5min才可以直接用電熱水壺的水送服膠囊．24．(1)證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°.∴∠ABD＋∠BAD＝90°.∵AC是⊙O的切線，∴AB⊥AC，即∠BAC＝90°.∴∠CAD＋∠BAD＝90°.∴∠ABD＝∠CAD.∵OB＝OD，∴∠ABD＝∠BDO＝∠CDE.∴∠CAD＝∠CDE.又∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD.(2)解：∵AB＝2，∴OA＝OD＝1.在Rt△OAC中，∠OAC＝90°，∴OA2＋AC2＝OC2，即12＋(2eq\r(2))2＝OC2.∴OC＝3(負值舍去)，∴CD＝2.∵△CDE∽△CAD，∴eq\f(CD,CA)＝eq\f(CE,CD)，即eq\f(2,2\r(2))＝eq\f(CE,2)，∴CE＝eq\r(2).∴AE＝AC－CE＝2eq\r(2)－eq\r(2)＝eq\r(2).25．(1)證明：∵D，E分別是邊BA，BC的中