2023屆浙江省浙南聯(lián)盟招生全國統(tǒng)一考試·數(shù)學(xué)試題

2023屆浙江省浙南聯(lián)盟招生全國統(tǒng)一考試?數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.關(guān)于函數(shù)/(x)=；——9+cos2》,下列說法正確的是()

1+tan-x

A.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽

3471

B.函數(shù)f(x)一個(gè)遞增區(qū)間為一丁,g

OO

C.函數(shù)/(X)的圖像關(guān)于直線X=J對(duì)稱

O

D.將函數(shù)y=J^sin2x圖像向左平移g個(gè)單位可得函數(shù)y=/(x)的圖像

O

r2

2.已知雙曲線C：?=1(。>0,b>0'),以點(diǎn)P(h。)為圓心，a為半徑作圓P,圓P與雙曲線C的一條

漸近線交于M,N兩點(diǎn)，若NMPN=90°,則C的離心率為()

A.J2B.J3C.立D.—

22

(1n\(17C\

3,關(guān)于函數(shù)/(x)=4sin-^+-+4cos+-,有下述三個(gè)結(jié)論:

7T

①函數(shù)/(X)的一個(gè)周期為一；

2

7734

②函數(shù)/(X)在上單調(diào)遞增；

24

③函數(shù).f(x)的值域?yàn)閇4,4&].

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是()

A.①②B.②C.②③D.③

4.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物

不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二.問物幾何？現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)

的問題：將1到2020這2020個(gè)自然數(shù)中被5除余3且被7除余2的數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成一個(gè)數(shù)列,

則該數(shù)列各項(xiàng)之和為()

A.56383B.57171C.59189D.61242

5.博覽會(huì)安排了分別標(biāo)有序號(hào)為“1號(hào)”“2號(hào)”“3號(hào)”的三輛車，等可能隨機(jī)順序前往酒店接嘉賓.某嘉賓突發(fā)奇想，

設(shè)計(jì)兩種乘車方案.方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的車序號(hào)大于第一輛車的車序號(hào)，就乘坐此車，否則乘坐

第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車.記方案一與方案二坐到“3號(hào)”車的概率分別為Pl,P2,則（）

115

A.Pi?P=-B.Pi=P=-C.Pi+P=-D.Pi<P

2432622

x>0,y>0

6.已知x,）‘滿足條件（A為常數(shù)），若目標(biāo)函數(shù)z=3x+y的最大值為9,貝！U=（）

2x+y+k40

7.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝中，存在兩項(xiàng)4,,4,使得J。,”,，=3q,%=2%+3%,則\+：的最小值是（）

3一八9

A.-B.2C.-D.一

234

8.記等差數(shù)列｛4｝的公差為d,前〃項(xiàng)和為S..若50=40,4=5,則（）

A.6?=3B.4（）=12C.520-280D.《=一4

9.已知點(diǎn)A是拋物線/=4）的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)b為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上且滿足|Q4|=m|P目，

若，〃取得最大值時(shí)，點(diǎn)P恰好在以AF為焦點(diǎn)的橢圓上，則橢圓的離心率為（）

A.>/3-1B.V2-1C.D.1-

22

10.下列函數(shù)中，值域?yàn)镽的偶函數(shù)是（）

A.y=x2+]B.y=ex-e~xC.y=lg|x|D.丫=后

IL已知雙曲線與-丁2=1的一條漸近線方程是丫二正方，則雙曲線的離心率為（

a~3

A百>/6「百2>/3

A.RB.C.Dn.--------

3323

12.已知直線23+/“=2（加>0,〃>0）過圓（％-1）2+（丁—2）2=5的圓心，則,+1的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

e'+2019,x<0

13.設(shè)函數(shù)/(x)=,則滿足了（f-4）＞/（-3x）的x的取值范圍為

2020/>0

14.曲線/（x）=4x-e'在點(diǎn)（0,/（0））處的切線方程為

15.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體ABC?！狝AG2中，點(diǎn)”,N,E分別為棱的中點(diǎn)，以A為圓心，1為半

徑，分別在面和面A3CO內(nèi)作弧MN和NE,并將兩弧各五等分，分點(diǎn)依次為M、《、鳥、乙、鳥、N

以及N、Q?、Q、E.一只螞蟻欲從點(diǎn)《出發(fā)，沿正方體的表面爬行至則其爬行的最短距離為

,參考數(shù)據(jù)：cos90=0.9877；cos18°=0.9511；cos270=0.8910)

16.在一底面半徑和高都是2m的圓柱形容器中盛滿小麥，有一粒帶麥銹病的種子混入了其中.現(xiàn)從中隨機(jī)取出的2〃/

種子，則取出了帶麥銹病種子的概率是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）在考察疫情防控工作中，某區(qū)衛(wèi)生防控中心提出了“要堅(jiān)持開展愛國衛(wèi)生運(yùn)動(dòng)，從人居環(huán)境改善、飲食習(xí)

慣、社會(huì)心理健康、公共衛(wèi)生設(shè)施等多個(gè)方面開展，特別是要堅(jiān)決杜絕食用野生動(dòng)物的陋習(xí)，提倡文明健康、綠色環(huán)

保的生活方式”的要求.某小組通過問卷調(diào)查，隨機(jī)收集了該區(qū)居民六類日常生活習(xí)慣的有關(guān)數(shù)據(jù).六類習(xí)慣是：（1）衛(wèi)

生習(xí)慣狀況類；（2）垃圾處理狀況類；（3）體育鍛煉狀況類；（4）心理健康狀況類；（5）膳食合理狀況類；（6）作息

規(guī)律狀況類.經(jīng)過數(shù)據(jù)整理，得到下表：

衛(wèi)生習(xí)慣狀垃圾處理狀體育鍛煉狀心理健康狀膳食合理狀作息規(guī)律狀

況類況類況類況類況類況類

有效答卷份數(shù)380550330410400430

習(xí)慣良好頻率0.60.90.80.70.650.6

假設(shè)每份調(diào)查問卷只調(diào)查上述六類狀況之一，各類調(diào)查是否達(dá)到良好標(biāo)準(zhǔn)相互獨(dú)立.

（1）從小組收集的有效答卷中隨機(jī)選取1份，求這份試卷的調(diào)查結(jié)果是膳食合理狀況類中習(xí)慣良好者的概率;

（2）從該區(qū)任選一位居民，試估計(jì)他在“衛(wèi)生習(xí)慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理狀況類”三類習(xí)慣方面，至少具

備兩類良好習(xí)慣的概率；

（3）利用上述六類習(xí)慣調(diào)查的排序，用=1”表示任選一位第4類受訪者是習(xí)慣良好者，“4=0”表示任選一位第

改類受訪者不是習(xí)慣良好者=1,2,3,4,5,6）.寫出方差嶼,小,%,%,。短的大小關(guān)系.

221

18.（12分）已知橢圓T：\+==1（。>/,>0）的離心率為萬，直線/：x+y-太=0與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓C

的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.A為左頂點(diǎn)，過點(diǎn)G（l,0）的直線交橢圓T于8,C兩點(diǎn)，直線AB,AC分別交直線x=4

于Af,N兩點(diǎn).

（1）求橢圓T的方程；

（2）以線段MN為直徑的圓是否過定點(diǎn)？若是，寫出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.

19.（12分）已知四棱錐P-ABC。中，底面ABCD為等腰梯形，ADBC,/%=AZ>=AB=CO=2,BC=4,

/%_L底面ABCD.

（1）證明：平面24C_L平面R4B；

（2）過24的平面交8C于點(diǎn)E，若平面A4七把四棱錐P-A8CD分成體積相等的兩部分，求二面角A—PE—3的

余弦值.

20.（12分）如圖，已知橢圓E的右焦點(diǎn)為6。，0）,P,。為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PQQ周長(zhǎng)的最大值為8.

(I)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(II)直線/經(jīng)過尸2,交橢圓￡于點(diǎn)A,3,直線加與直線/的傾斜角互補(bǔ)，且交橢圓E于點(diǎn)M,N,|MN『=4|A8|,

求證：直線加與直線/的交點(diǎn)T在定直線上.

21.(12分)已知數(shù)列｛4｝滿足：x?+l=<-6,neN*,且對(duì)任意的〃wN*都有當(dāng)<當(dāng)二1

(I)證明：對(duì)任意〃wN*,都有一3Kz4上叵

"2

(H)證明：對(duì)任意〃eN*,都有|/+|+2]22|七+2|；

(ni)證明：玉=一2.

x=tcosa,x=sinB,

22.(10分)已知曲線G的參數(shù)方程為產(chǎn)i+反吟"為參數(shù))'曲線G的參數(shù)方程為,--（。為參

y=x/l+cos26,

數(shù)）.

(1)求G與的普通方程;

(2)若G與相交于A,B兩點(diǎn),且|48|=血，求sina的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】

化簡(jiǎn)到/(%)=夜sin(2x+?J,根據(jù)定義域排除ACD,計(jì)算單調(diào)性知8正確，得到答案.

【詳解】

/(JC)=2tan：+?os2%=sin2x+cos2x=5/2sin|2x+—|,

l+tan2x(4)

71

故函數(shù)的定義域?yàn)閤xWu+Z萬次eZ,故A錯(cuò)誤；

2

\jrJT71717T

當(dāng)xw---時(shí)，2x+—e-—，函數(shù)單調(diào)遞增，故8正確；

_88J4L22_

TTTT7T

當(dāng)》=一工，關(guān)于X=J的對(duì)稱的直線為X=g不在定義域內(nèi)，故C錯(cuò)誤.

482

平移得到的函數(shù)定義域?yàn)镽,故不可能為y=/(x),。錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角恒等變換，三角函數(shù)單調(diào)性，定義域，對(duì)稱，三角函數(shù)平移，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.

2、A

【解析】

求出雙曲線的一條漸近線方程，利用圓。與雙曲線C的一條漸近線交于M,N兩點(diǎn)，且NM/W=90。，則可根據(jù)圓心

到漸近線距離為注a列出方程，求解離心率.

2

【詳解】

不妨設(shè)雙曲線C的一條漸近線法-ay=0與圓P交于M,N,

因?yàn)镹MPN=90°,所以圓心P到。x一4=0的距離為：-^==—=—?,

J/+/c2

即2c2—2/=島o，因?yàn)閑=￡>l,所以解得6=血.

a

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于中檔題.對(duì)于離心率求解問題，關(guān)鍵是建立

關(guān)于a，c的齊次方程，主要有兩個(gè)思考方向，一方面，可以從幾何的角度，結(jié)合曲線的幾何性質(zhì)以及題目中的幾何關(guān)

系建立方程；另一方面，可以從代數(shù)的角度，結(jié)合曲線方程的性質(zhì)以及題目中的代數(shù)的關(guān)系建立方程.

3、C

【解析】

TT37r171去等,gx+a)，再利用單調(diào)性

①用周期函數(shù)的定義驗(yàn)證.②當(dāng)xw-，時(shí),—x+—ef(x)=4&n

T23

1兀

判斷.③根據(jù)平移變換，函數(shù).f(x)=4sin：x+=|+4cos+的值域等價(jià)于函數(shù)

23237

1X的值域，而g(x+/)=g(x),當(dāng)xw[O,加時(shí)，g(x)=4夜sin(gx+g]

g(x)=4singx+4cosg再求值域.

2

【詳解】

因?yàn)?[-^+―fl7萬17兀、\71](1吟

—XH----+---4cos-x-\-----4cos—XH------+4sin—XH------(x),故①錯(cuò)誤;

(212212)(212；(212；

,7t34」171ITTJ17兀，所以y(x)=4sin(；1x+qn)-4cos+?171

當(dāng)xe——時(shí),—X+——E=4>/2sin—X+一

2423122423212

1nTTI\TT7TT137r

一XH----€y,—所以/(x)在上單調(diào)遞增，故②正確;

21224

函數(shù)/(x)=4sin：1x+=兀|+4cos+=71|的值域等價(jià)于函數(shù)g(x)=4sin；x+4cos；1x的值域，易知

23232

,g(x)=4而in(g71

g(X+%)=g(X),故當(dāng)上￡[0,乃]時(shí)—XH-----e[4,472],故③正確.

3

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于中檔題.

4、C

【解析】

根據(jù)“被5除余3且被7除余2的正整數(shù)”，可得這些數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，然后根據(jù)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，可得結(jié)果.

【詳解】

被5除余3且被7除余2的正整數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為23,

公差為5x7=35的等差數(shù)列，記數(shù)列{4}

貝!|an=23+35(〃-1)=35〃—12

2

令為=35〃-1242020,解得〃458—.

35

CQ*S7

故該數(shù)列各項(xiàng)之和為58x23+x35=59189.

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題。

5、C

【解析】

將三輛車的出車可能順序一一列出，找出符合條件的即可.

【詳解】

三輛車的出車順序可能為：123、132、213、231、312,321

3

方案一坐車可能：132、213、231,所以，Pi=-；

6

2

方案二坐車可能：312、321,所以，P!=-;

6

所以Pl+P2=—

6

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了古典概型的概率的求法，常用列舉法得到各種情況下基本事件的個(gè)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

6,B

【解析】

x廊,y0

由目標(biāo)函數(shù)z=3x+），的最大值為%我們可以畫出滿足條件件＜y,,x依為常數(shù)）的可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)

2x+y+k?O

的解析式形式，分析取得最優(yōu)解的點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)分析列出一個(gè)含參數(shù)攵的方程組，消參后即可得到女的取值.

【詳解】

0

畫出X,）‘滿足的為x（A為常數(shù)）可行域如下圖：

2x+y+k?0

由于目標(biāo)函數(shù)z=3x+y的最大值為9,

可得直線＞=0與直線9=3x+y的交點(diǎn)8（3,0）,

使目標(biāo)函數(shù)z=x+3），取得最大值，

將x=3,y=0代入2x+y+A=0得：k=-6.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

如果約束條件中含有參數(shù)，我們可以先畫出不含參數(shù)的幾個(gè)不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，分析取得最優(yōu)解是哪兩條直線的

交點(diǎn)，然后得到一個(gè)含有參數(shù)的方程（組），代入另一條直線方程，消去》,丁后，即可求出參數(shù)的值.

7、C

【解析】

由已知求出等比數(shù)列｛4｝的公比，進(jìn)而求出根+〃=4,嘗試用基本不等式，但加,〃eN"取不到等號(hào)，所以考慮直

接取以〃的值代入比較即可.

【詳解】

ab~2a5+3a4,：.-2^-3=0,；.q=3或g=-l（舍）.

r2

yjain-an=3",am-an=a；-y""-=9a^,:.m+n=4.

147

當(dāng)根=1,屋=3時(shí)一+—=—；

mn3

145

當(dāng)"2=2,〃=2時(shí)一+-=一；

tnn2

當(dāng)m=3,〃=1時(shí)，—+—=所以最小值為一.

mn33

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算及最小值，屬于基礎(chǔ)題.

8、C

【解析】

由SO=（4+；O）?1O=5（%+4）=4O,和4=5,可求得見=3,從而求得d和4,再驗(yàn)證選項(xiàng).

【詳解】

因?yàn)镋o=(4+；°)?10=5(%+4)=40,4=5,

所以解得%=3,

所以d=4-%=2,

所以Go=%+4"=5+8=13,4=%—4d=3—8=—5,S->n-20a,+190i/=-100+380—280,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和公式，還考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

9、B

【解析】

設(shè)P(x,y),利用兩點(diǎn)間的距離公式求出加的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)求出，"的最大值時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合橢

圓的定義以及橢圓的離心率公式求解即可.

【詳解】

設(shè)尸(x,y),因?yàn)锳是拋物線V=4y的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)口為拋物線的焦點(diǎn)，

所以4(0,-1),60,1),

則加=粵=卜+可+匚卜+可+-

222

附\(y-l)+x]1(y-l)+4y

當(dāng)y=0時(shí)，m=l,

14y,41+——^==V2

m=14--z-------=1H-----：---<

2

當(dāng)y>0時(shí)，Vy+2y+lI2j2+2層’

Vy

當(dāng)且僅當(dāng)y=l時(shí)取等號(hào)，，此時(shí)P(9,1),

\PA\=2y/2,\PF\=2,

點(diǎn)P在以A,尸為焦點(diǎn)的橢圓上，2c=|AF|=2,

由橢圓的定義得2a=|PA|+|PF|=20+2,

所以橢圓的離心率e=￡=爭(zhēng)=cc=O-\，故選B.

a2a2J、2+2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查橢圓的定義及離心率，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率

有以下幾種情況：①直接求出。，。，從而求出e；②構(gòu)造a,c的齊次式，求出e；③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定

義來求解.

10、C

【解析】

試題分析：A中，函數(shù)為偶函數(shù)，但yNl,不滿足條件；B中，函數(shù)為奇函數(shù)，不滿足條件；C中，函數(shù)為偶函數(shù)且

yeR,滿足條件；D中，函數(shù)為偶函數(shù)，但yNO,不滿足條件，故選C.

考點(diǎn)：1、函數(shù)的奇偶性；2、函數(shù)的值域.

11、D

【解析】

雙曲線的漸近線方程是y=±'x,所以1=正，即。為=1,/="+/=4，即。=2,e=￡=2百，

aa3a3

故選D.

12、D

【解析】

圓心坐標(biāo)為(1,2),代入直線方程，再由乘1法和基本不等式，展開計(jì)算即可得到所求最小值.

【詳解】

圓(x—If+(y—2尸=5的圓心為(1,2),

由題意可得2〃z+2〃=2,即〃2+力=1,m，n>09

II!jnmnrnl

則—+—=(—+—)(m+〃)=2+—+—..4,當(dāng)且僅當(dāng)一=—且加+〃=1即m="=一時(shí)取等號(hào)，

mninnmnmn2

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查最值的求法，注意運(yùn)用乘1法和基本不等式，注意滿足的條件：一正二定三等，同時(shí)考查直線與圓的關(guān)系，

考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、(1,+<?)

【解析】

當(dāng)xWO時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)為常數(shù)，故需滿足X2—4>—3X，且—3X<0,解得答案.

【詳解】

7*+2019%<0

/(%)=i'一，當(dāng)x40時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)為常數(shù)，

2020,x〉0

/(/-4)>/(—3x)需滿足/一4>一3X，且一3x<0,解得x>l.

故答案為：(l,4w).

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.

14、3x-y-1=0

【解析】

求導(dǎo)，得到./(。)和/(0)，利用點(diǎn)斜式即可求得結(jié)果.

【詳解】

由于/(O)=T，/'(x)=4—，，所以/''(0)=4—1=3,

由點(diǎn)斜式可得切線方程為3x-y-l=0.

故答案為：3x-y-i=0.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，屬基礎(chǔ)題.

15>1.7820

【解析】

根據(jù)空間位置關(guān)系，將平面旋轉(zhuǎn)后使得各點(diǎn)在同一平面內(nèi)，結(jié)合角的關(guān)系即可求得兩點(diǎn)間距離的三角函數(shù)表達(dá)式.根據(jù)

所給參考數(shù)據(jù)即可得解.

【詳解】

棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。一4402中，點(diǎn)",N,E分別為棱的中點(diǎn)，以A為圓心，1為半徑，分別在

面ABgA和面A8C。內(nèi)作弧MN和NE.

將平面ABCD繞A8旋轉(zhuǎn)至與平面A6g4共面的位置，如下圖所示:

1Qf)

則N6AQ4=*-X8=144，所以怩&|=2sin72；

將平面ABC。繞AO旋轉(zhuǎn)至與平面AOAA共面的位置，將ABB4繞A4旋轉(zhuǎn)至與平面ADD|A共面的位置，如下

圖所示:

因?yàn)閟in63<sin72?且由誘導(dǎo)公式可得sin63=cos27，

所以最短距離為用@=2sin63=2x0.8910=1.7820,

故答案為：1.7820.

【點(diǎn)睛】

本題考查了空間幾何體中最短距離的求法，注意將空間幾何體展開至同一平面內(nèi)求解的方法，三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的應(yīng)

用，綜合性強(qiáng)，屬于難題.

1

16、一

4萬

【解析】

求解2"?3占圓柱形容器的的總?cè)莘e的比例求解即可.

【詳解】

21

解：由題意可得：取出了帶麥銹病種子的概率=——：—=—.

萬x2~x24萬

故答案為：—.

4萬

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了體積類的幾何概型問題,屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)0.104(2)0.766(3)>D^2

【解析】

(1)設(shè)“選取的試卷的調(diào)查結(jié)果是膳食合理狀況類中習(xí)慣良好者”的事件為A，根據(jù)古典概型求出即可：

(2)設(shè)該區(qū)“衛(wèi)生習(xí)慣狀況良好者“，"體育鍛煉狀況良好者“、“膳食合理狀況良好者”事件分別為A,B,C,設(shè)事

件七為“該居民在“衛(wèi)生習(xí)慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理狀況類”三類習(xí)慣方面，至少具備兩類良好習(xí)慣“，則

p(E)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC),求出即可；

(3)根據(jù)題意，寫出即可.

【詳解】

(1)設(shè)“選取的試卷的調(diào)查結(jié)果是膳食合理狀況類中習(xí)慣良好者"的事件為A,

有效問卷共有380+550+330+410+400+430=2500(份)，

其中受訪者中膳食合理習(xí)慣良好的人數(shù)是400x0.65=260人，

故P⑴=蕓卜0104；

2500

(2)設(shè)該區(qū)“衛(wèi)生習(xí)慣狀況良好者“，"體育鍛煉狀況良好者“、"膳食合理狀況良好者”事件分別為A,B,C,

根據(jù)題意，可知尸(A)=0.6?(B)=0.8,P(C)=0.65,

設(shè)事件E為“該居民在“衛(wèi)生習(xí)慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理狀況類”三類習(xí)慣方面，至少具備兩類良好習(xí)慣“

貝(IP(E)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=P(A)P(5)P(d)+P(A)P(耳)P(C)+P(X)P(5)P(C)+P(A)P(5)P(C)

=0.6x0.8x0.35+0.6x0.2x0.65+0.4x0.8x0.65+0.6x0.8x0.65

=0.168+0.078+0.208+0.312

=0.766.

所以該居民在“衛(wèi)生習(xí)慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理狀況類”三類習(xí)慣至少具備2個(gè)良好習(xí)慣的概率為0.766.

(3)必=%>必>必>必>

【點(diǎn)睛】

本題考查了古典概型求概率，獨(dú)立性事件，互斥性事件求概率等，考查運(yùn)算能力和事件應(yīng)用能力，中檔題.

22

18、(1)亍+]_=1；(2)是，定點(diǎn)坐標(biāo)為(7,0)或(1,0)

【解析】

(1)根據(jù)相切得到b=JJ,根據(jù)離心率得到a=2,得到橢圓方程.

_6t_

(2)設(shè)直線8c的方程為x=<y+l，點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為(玉,X),(x,y),聯(lián)立方程得到*+%=

223*+4

%%=--二，計(jì)算點(diǎn)”的坐標(biāo)為(從'；],點(diǎn)N的坐標(biāo)為圓的方程可化為

(x-4)(x-4)+/+6ry-9=0,得到答案.

【詳解】

(D根據(jù)題意：61°+°二"|=6,因?yàn)?=所以。=2,

V2a2

X2丫2

所以橢圓T的方程為2-+乙=1.

43

(2)設(shè)直線8C的方程為x="+l,點(diǎn)8、C的坐標(biāo)分別為(x，x),(x2,y2),

把直線BC的方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)得到(3/+4)V+6)一9=0,

s?6，9

所以乂+曠一內(nèi),乂％=一=,

4_12/8

所以玉工2=/y%+/(X+%)+1=，3元屋，玉+工2=以+1++1=3r+4，

因?yàn)橹本€的斜率3=會(huì),所以直線AB的方程1黃5(x+2),

所以點(diǎn)”的坐標(biāo)為4,且J,同理，點(diǎn)N的坐標(biāo)為4,出1

I玉+2JIX2+2)

故以MN為直徑的圓的方程為(x—4)(x-40,

36)心-36凹為=36x9

v-9,

(x,+2)(X2+2)xtx2+2(x,+x,)+436

6y+6%=6%+6%=12)跖+18(y+%)=_6?

X+2X2+2ty,+3ty2+3ry,y2+3f(y,+y2)+9

所以圓的方程可化為(1-4)(%-4)+9+6)—9=0,令y=0,則有(％—4?=9,

所以定點(diǎn)坐標(biāo)為(7,0)或(1,0).

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓方程，圓過定點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.

4

19、(1)見證明；(2)-

7

【解析】

(D先證明等腰梯形ABCD中ACJ.AB,然后證明出_LAC,即可得到AC_L平面Q43,從而可證明平面PAC

_L平面PAB；(2)由V:梭錐=%棱錐P_ASCO，可得到5MBE=S梯形.6,列出式子可求出BE,然后建立如圖的空

間坐標(biāo)系，求出平面E場(chǎng)的法向量為勺，平面PBE的法向量為的，由cos(〃|,〃,)=—n—可得到答案.

?|||?2

【詳解】

(1)證明：在等腰梯形ABC。，ADBC,AD=AB=CD=2,

易得NA5C=60°

在AABC中，AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC=4+16-8=12,

則有AB2+AC2=8。2,故AC,

又平面ABC。，4。匚平面48。。，二m_1_4。,

ACLAB

即>=>4CJ_平面故平面PACJ_平面

ACLPA

(2)在梯形ABC。中，設(shè)BE=a,

-K三棱維P-ABE=喉棱錐P-ABCO>_S^BE=S梯形Age。'

1(CE+AD)xh=1—_-廣

-xBAxBEsinZABE=-----L—，而〃=722-12=73，

an1c6(4—a+2)X百

即一x2xax、一=--------L----,：.a=3.

222

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AC所在直線為》軸，AP所在直線為z軸，建立如圖的空間坐標(biāo)系，則

fi3/?、

A（0,0,0）,尸（0,0,2）,6（2,0,0）,E—,工,0,

、22,

'i3^/^、

設(shè)平面Q4￡的法向量為勺=（x,y,z）,AE=-,-^-,0,AP=（0,0,2）,

\)

?13>/3八

"i_LAE—x-\y=0

由“AP得"2'，

事[2z=0

取x=l,得丁=----，z=0,，％=L——,0,

-919

同理可求得平面的法向量為〃2=，

131

設(shè)二面角A-PE-B的平面角為。，

,,1一旦走+0xl|

nl/\丹?%934

貝!1cos6=cos(n.J=~n~\~1?=—，

加卜導(dǎo)。#27

4

所以二面角A—P￡—8的余弦值為,?

I

xY

【點(diǎn)睛】

本題考查了兩平面垂直的判定，考查了利用空間向量的方法求二面角,考查了棱錐的體積的計(jì)算，考查了空間想象能

力及計(jì)算能力，屬于中檔題.

22

20、(I)—+21=1；(II)詳見解析.

43

【解析】

(I)由橢圓的定義可得，p。工周長(zhǎng)取最大值時(shí)，線段PQ過點(diǎn)可求出。，從而求出橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(n)設(shè)直線/:y=HxT)(ZwO),直線=-Z(x+t)，A(石,yj,B?,%)，〃(當(dāng)，必)，"(如”).把

直線m與直線/的方程分別代入橢圓E的方程，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式求出|MN『和|,根據(jù)|MN「=41A用求

出t的值.最后直線相與直線/的方程聯(lián)立，求兩直線的交點(diǎn)即得結(jié)論.

【詳解】

(I)設(shè)PQ月的周長(zhǎng)為L(zhǎng),

則乙=歸用+依用+|PQ|=2a-|P￡|+2?TQZ|+|PQ|=4a-(|PK|+|Q￡|)+|PQ|

<4aPQ|+1=4a,當(dāng)且僅當(dāng)線段PQ過點(diǎn)F.時(shí)“=”成立.

；.4a=8,:.a=2,又c=l,:.b=陋,

22

二橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+二=1.

43

(II)若直線/的斜率不存在，則直線機(jī)的斜率也不存在，這與直線加與直線/相交于點(diǎn)T矛盾，所以直線/的斜率存

在.

設(shè)/:y=左(》一1)(左#0),m:y=-k(x+t),A(3,y),3(々,必)，〃(毛,%)，^(x4,y4).

將直線機(jī)的方程代入橢圓方程得：(3+4公卜2+8/枕+4,2/—3)=o.

8k2t4伊2—3)

/.X-y+X=------------

343+4攵23+4公

。+。詈號(hào)

49k2+9_12(1+二)

同理，\AB\=yll+k2

3+4公