2023-2024學年江蘇省南京市高一年級上冊期末數(shù)學試題（含答案）

2023-2024學年江蘇省南京市高一上冊期末數(shù)學試題

一、單選題

1.函數(shù)y=ln(x+l)的定義域為()

A.B.(-l,+oo)

C.[-1,-K?)D.S，-l)

【正確答案】B

【分析】根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零可得岀關于x的不等式，即可解得函數(shù)y=m(x+i)的定義域.

【詳解】令x+l>0,解得x>-l,

故函數(shù)y=ln(x+l)的定義域為(-1,+co).

故選：B.

2宀>1”是“爐>1”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】A

【分析】根據(jù)充分條件與必要條件的定義判斷即可.

【詳解】解：因為x>l,則爐>1,但是d>i不一定有x>l,所以“x>l”是成立

的充分不必要條件.

故選：A.

3.在某個物理實驗中，測得變量x和變量)，的幾組數(shù)據(jù)，如下表：

X0.500.992.013.98

y-0.990.010.982.00

則下列選項中對x,y最適合的擬合函數(shù)是()A.y=2A-B.y=x2-1

C.y=2x-2D.y=log2x

【正確答案】D

【分析】根據(jù)所給數(shù)據(jù)，代入各函數(shù)，計算驗證可得結論.

【詳解】解：根據(jù)x=0.50,y=-0.99,代入計算，可以排除A；

根據(jù)x=2Ql,y=0.98,代入計算，可以排除8、C；

將各數(shù)據(jù)代入檢驗，函數(shù)y=logzx最接近，可知滿足題意

故選：D.

本題考查了函數(shù)關系式的確定，考查學生的計算能力，屬于基礎題.

4.《九章算術》是一部中國古代的數(shù)學專著.全書分為九章，共收有246個問題，內(nèi)容豐富,

而且大多與生活實際密切聯(lián)系.第一章《方田》收錄了38個問題，主要講各種形狀的田畝的

面積計算方法，其中將圓環(huán)或不足一匝的圓環(huán)形天地稱為“環(huán)田”.書中提到這樣一塊“環(huán)田”:

中周九十二步，外周一百二十二步，徑五步，如圖所示，則其所在扇形的圓心角大小為（）

（單位：弧度）（注：匝，意為周，環(huán)繞一周叫一匝.）

卜周（外弧長）

周（內(nèi)弧

[—A徑（兩弧半徑差）

A.4B.5C6D.7

【正確答案】C

【分析】設中周的半徑是段,外周的半徑是冬圓心角為a,根據(jù)中周九十二步，外周一

百二十二步，徑五步，列關系式即可.

aR}=92

【詳解】設中周的半徑是與，外周的半徑是凡,圓心角為a,<=122,解得a=6.

R2-R}=5

故選：C

cosx,x<0r/、-]的值為（）

5.已知函數(shù)〃同=1,則//Y

2

X9X>0Lk3）

A.V2B.—C4D.-

24

【正確答案】B

【分析】根據(jù)分段函數(shù)運算求解.

【詳解】由題意可得：dj）=cos（T=cos

rp故

故選：B.

6.函數(shù)/(x)=x2sinr的圖像大致為()

【正確答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)/")=V麗曲是奇函數(shù)，且函數(shù)在xe(O,兀)時函數(shù)值的正負，從而得出結

論.

(詳解】由函數(shù)=遇山定義域為R,/(-%)=(-x)2sin(-x)=-x2sinx=-/(x)，故

〃_￥)=或位為奇函數(shù)，

故它的圖像關于原點對稱，可以排除C和D；

又函數(shù)〃力=烏加在xe(O㈤時涵數(shù)〃力=島加>(),可以排除B,所以只有A符合.

故選:A.

7.在科學技術中，常常使用以e=2.71828…為底的對數(shù)，這種對數(shù)稱為自然對數(shù).若取

e3?20,e7a1100,則In55a()

711,

A.-B.—C.4D.6

33

【正確答案】c

【分析】根據(jù)題意結合指、對數(shù)運算求解.

【詳解】由題意可得.In55=In—aIn￡?=Ine4=4

20e3

故選：C.

8.函數(shù)f(x)=x+log2X-4的零點為X1,函數(shù)g(x)=x+log“(xT)-5(a>l)的零點為巧,

若W-%>1,則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(1,^)B.(1,2)C.(夜，”)D.(2,+oo)

【正確答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，再由鄉(xiāng)-%>1確定范圍,即可確定實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】B^n/(x)=x+log2x-4,g(x)=x+loga(x-l)-5(a>l),

函數(shù)/(x)=x+bg2X-4的零點為為,

函數(shù)g(x)=x+log〃(xT)-5(a>l)的零點為巧，

則%,+log?玉-4=^+log?(^-l)-5=0

X\+log2X|-4=為一1+Iog“(%2—1)—4

Xj+log2j^=x,-l+loga(x,-l)

X[〈工2—]

又因為y=犬+1082工丿=了+108“(》-1)-1(。>1)這兩函數(shù)均單調(diào)遞增，

當尤I<%一1時,岫演>log?(x2-l)，解得a>2.

故選:D.

二、多選題

9.已知角夕的終邊經(jīng)過點P(2a,a)(a>0),則()

A.sin6=苴-B.cos0=

55

C.tan(9=1D.tan6?=2

2

【正確答案】AC

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義計算即可.

【詳解】因為角。的終邊經(jīng)過點尸(2。,。)(。>0),

a専故A正確;

所以sin°=

心療+片

A2a275

c°s〃=-rk^=k，故B錯誤;

J(2.+/5

tan"f=：,故C正確，D錯誤.

2a2

故選：AC.

10.若Ovsvlvavb,則()

A.tri1<nthB.am<b,n

hci

c.log,,,?>log,,,/?D.------>-------

a+mb+m

【正確答案】BCD

【分析】對于A：構造函數(shù)〃x)=”,利用單調(diào)性判斷；對于B：構造函數(shù)g(x)=x",，利

用單調(diào)性判斷；對于C：構造函數(shù)力(x)=log〃,x,利用單調(diào)性判斷；對于D：利用作差法比

較大小.

【詳解】對于A：因為0＜加＜1,所以/(x)=M單調(diào)遞減.

因為a＜6,所以故A錯誤；

對于B：因為0＜加＜1,所以g(x)=x"'單調(diào)遞增.

因為所以a"1故B正確;

對于C：因為0＜帆＜1,所以厶(x)=log,"x單調(diào)遞減.

因為a<b,所以log,“a>log,“6.故C正確;

l,、，bab2+bm-a2-am(b-a)(b+a-m]})a

對于D：因為酢一不=(a+醐Hm)=(a+〃,)("M所以—>異7

故D正確.

故選：BCD

11.已知函數(shù)/(x)=tanx+——,貝?。?)

tanx

A./(x)的最小正周期為兀B.〃x)的圖象關于V軸對稱

c.“X)的最小值為2D.“X)在(相)上為增函數(shù)

【正確答案】AD

【分析】先利用三角函數(shù)基本關系式化簡得〃尤)=忑念，再利用周期函數(shù)的定義與誘導公

式即可判斷A正確；舉反例即可排除B；取特殊值計算即可判斷C錯誤；利用三角函數(shù)的

單調(diào)性與復合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷D正確.

【詳解】對于A,因為〃x)=tanx+丄=皿+土="山立=」一，

tanxcosxsinxsinxcosxsin2x

,、22

設f(x)的正周期為7,則.f(x+7)=F(x)，即許用=痂7，

所以sin(27+2x)=sin2x,

由誘導公式可得2T=2E,%wZ,即7=E,AeZ,

又T>0,故E>0,即k>0,貝必21,故T=E2;t,

所以T的最小值為兀，即/(X)的最小正周期為兀，故A正確；

/■(」］=tan+————r-=-2,/f—1=tan—+——=2

對于B,因為/4)I4丿tanpE)匕丿4tan^,

又卜：,-2)與(：,2)不關于y軸對稱，

所以“X)的圖象關于y軸對稱，故B錯誤；

對于C,因為=-2,所以2不是f(x)的最小值，故C錯誤；

對于D,因為:<x<］,所以;<2x<兀，故丫=$皿2%在］；,￡］上單調(diào)遞減，且sin2x>0,

2

又丫=—在(O,+8)上單調(diào)遞減，

X

所以〃x)=-2丁在偉外單調(diào)遞增，故D正確.

sin2x142丿

故選：AD.

12.已知函數(shù)y=f(x),對于任意x,ywR,y^y=/(x-y),則()

A./(o)=lB./(x2)=2/(x)

C./W>0D.亨)

【正確答案】ACD

【分析】通過賦值法，取具體函數(shù)，基本不等式等結合已知條件分選項逐個判斷即可.

【詳解】令*='=綱=/（O）n〃O）=l，故A正確;

由已知號9=/(x-y)=f(x)=〃y)/(x-y)=/(x+y)=〃x)/(y),①

J\丿丿

令=績,ae(O,l)J(l,4^)滿足題干要求,2f(x)=2a',f(x2)=J,則f(x2)^2f(x),

故B錯誤；

2

，）（

由①可知，令x=y=B則〃x=/0山）

又因為黑=〃x-y）,則所以f（無）=嗚］＞0,故c正確;

因為〃x）＞。，所以/（力+/（.）22"'（力/（），）=2"（工+y）,

又由①，令》=受，則〃x+y）=/（亨）］受卜［｛巖）］,

所以/（x）；〃y）N/（亨）故D正確.

故選：ACD.

三、填空題

13.函數(shù)V=2cosx的圖象關于點中心對稱.（寫出一個正確的點坐標即可）

【正確答案】（^,0）（答案不唯一）

71

【分析】y=2cosx對稱中心的橫坐標滿足》=広+,次？Z,取火=0得到

【詳解】y=2COSX對稱中心的橫坐標滿足：x=E+］/?Z,取k=0得到對稱中心為6,0）.

故負,0）

14.已知關于x的不等式以+6＞0的解集為（-3,物），則關于x的不等式以?+法＜0的解集

為.

【正確答案】（-3,0）

【分析】先根據(jù)不等式的解集可得的關系及“的符號，再根據(jù)一元二次不等式的解法即

可得解.

【詳解】由ar+b>0的解集為(-3,+o5),

可得a>0,且方程如+匕=0的解為-3,

所以-纟=一3,則。=3”，

a

所以ox2+bx=a^x2+3x)<0=>x2+3x<0=>-3<x<0,

即關于x的不等式*+法<0的解集為(-3,0).

故答案為.(-3,0)

15.已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(x+4)=〃x),且當xe[0,4)時，."X)=2'+M,

若“2023)=3/(1),則，”=.

【正確答案】1

【分析】由題意可得函數(shù)的周期為4,根據(jù)題意結合周期性可得答案.

【詳解】由〃x+4)=/(x)可得的函數(shù)f(x)周期為4,則

/(2023)=/(505X4+3)=/(3)=8+H?,

由/(2023)=3/(1),則8+%=3(2+加)，解得機=1.

故1.

四、雙空題

/、f0,xA7

16.對于非空集合M,定義①x=,、/,若A,5是兩個非空集合，且AqB,則

①人(司[1-%(》)]=；A=j.rsinx>^|,B=(a,2a),且存在xeR,

①式x)+中(x)=2,則實數(shù)〃的取值范圍是.

【正確答案】01用]詈,+?>)

【分析】第一空分xeA,xeB和xeA且xeB三種情況來研究，第二空根據(jù)已知分析出

的大致范圍，最后列出不等式求解即可.

【詳解】厶勺8即xeA則一定有xeB,所以分三段研究：

xeA時，中式刈=1,①B(X)=1，即①A(X)[1-①B(X)]=O；

x定8時，中式》)=0,①B(X)=O,即①A(X)[1-5(X)]=()；

xeA且xe8時，①A(X)=O,①g(x)=l,即①-①

綜上所述，①①&(*)]=0；

由己知0(同+爲(刈=2=①八(x)e(x)=l

且A=卜今+2上乃<x<+2k7T,kGz1,8=(a,2a)=a>0

4444

要滿足題意則ACBH0,此時區(qū)間長度時一定滿足，故下研究0<。<一時，(其

33

中第=?+2%-些，即為集合A的補集中一段的區(qū)間長)

366

此時0<a<2a<萼，因此滿足題意的反面情況有0<a<2a〈J或￥wa<2aW學，

3666

解得或￥《“4冬，因此滿足題意的0范圍為佰

12612\126丿I12)

五、解答題

17.求下列各式的值:

⑵log28-log?9+eln3

3

【正確答案】⑴128

(2)8

【分析】(1)根據(jù)指數(shù)幕的運算求解：

(2)根據(jù)對數(shù)和指數(shù)的運算性質(zhì)求解.

(2>66?

【詳解】(1)2"2"=2'23丿=27=128.

,n3

(2)log28-logI94-e=3+2+3=8

3

18.若5sina+4sin已+a=cos(兀+a)+l.

(1)求sina?cosa的值;

(2)若a?0㈤,求tana的值.

12

【正確答案】(l)sinacosa=-石

⑵4

【分析】(1)化簡得到sina+cosa=],平方得至打+24!1&8$。=￡,得到答案.

4

sina=一

127

(2)根據(jù)sinacosa=-----<0得到sina-cosa=—,解得，得到答案.

255

cosa=--

5

.(兀

(5Usina+4sin—+a=COS(兀+。)+1,則5§皿二+4850=一850+1,

【詳解】1)【2

sina+cosa=-,(sina+cosa)2=—,14-2sin?cosa=—,則sinacosa=--

517252525

12K

(2)sinacosa=-----<0,所以一<。<兀，B|Jsina>0,cosa<0,

252

sina-cosa=J(sina+cosa)~-4sinacosa=7

5

.7?4

sina-cosa=—sina=—9?

5sina4

解得，tana=-------

3'cosa3

sina+cosa=-cosa=——

55

N爲>1}，8={X|(X-2,")(

19.已知集合厶=-3)<0}

(1)若m=-3,求AuB；

(2)在①AB=B,②Ac5=0這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答該問題.

若.,求實數(shù)機的取值范圍.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【正確答案】(1)A=8=(YO,0)；

(2)選①(-8,-7]U{3};若選②[-2,+8).

【分析】(1)代入m的值，求出集合8,用并集的運算性質(zhì)計算即可.

(2)若選①，4「8=8即8=厶，則對"?的值進行分類討論，根據(jù)集合包含關系即可得到山

的取值范圍.若選②，對加的值進行分類討論，依次根據(jù)Ac8=0,求實數(shù)，〃的取值范圍.

【詳解】(1)w=-3=>(x+6)x<0=>-6<x<0,即3=(-6,0),

YY—Y—44,

而——>ln--->0n——<0=>x<-4,即A=(-oo,-4),所以Au笈=(ro,0)；

x+4x+4x+4

(2)若選①AB=B即

機>3時，2/%>n?+3,即8=(機+3,2〃。，要滿足題意則2機KY,與前提矛盾，舍；

機=3時、2m=m+3f即8=0,符合題意；

〃z<3時，2m<〃2+3,即3=(2祖,/%+3),要滿足題意則6+34一4,即機W-7.

綜上所述，實數(shù)機的取值范圍是(―,-7]33}.

若選②，若Ac8=0,

機>3時，2"?>〃?+3,即B=(〃?+3,2加)，要滿足題意則Ac8=0,則滿足〃z+32Y,解

得m>-7,則m>3；

若優(yōu)=3時，2m=m+3,BPB=0,滿足AcB=0；

m<3時，2"<加+3,即8=(2機"+3),要滿足題意則2相2-4,解得m2-2,即一24/<3；

綜上，實數(shù)〃?的取值范圍是卜2,田).

20.函數(shù)/(x)=Asin(<yx+e)A>O,0>OO<。<兀在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示.

⑴求“X)的解析式;

⑵將的圖象向右平移號個單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖象，設//（x）=/（x）-g（x）,

證明:林力為偶函數(shù).

【正確答案】（D〃x）=2sin（2x+年）

（2）證明見解析

【分析】⑴由圖得到4=2,7=71,求得。=2,代入點卜色,2卜求得

TTJT,7T

-臺+*=W+2E*eZ）,結合題意得到*=?,即可求得函數(shù)的解析式；

623

（2）由三角函數(shù)的圖象變換求得g（x）=2sin[2x-g）,根據(jù)偶函數(shù)的定義證明即可.

【詳解】（1）由最值得A=2,

由相鄰兩條對稱軸距離得建工-（-身=5,則7=如=兀，即0=2,

212112）23

止匕時/(0=2$m(2犬+8),

代入點(唱金得：5泊(-巳+、|=1,

則一二+9=a+2航(ZeZ),^(p=—+2kn(k&Z),

623

27r

又因為0<0〈兀，所以A=O，S=T，

故〃x)=2sin?+與.

27r

(2)由題意得g(x)=2sin2x---+2兀=2sin[2x--

I3

(

貝Ijh^x)=2sin2x+g-2sin|2x--

I3

,.f_271]_.

因為h(—x)=2sinf—2.x+j—2sin1—2x——j—-2sin|2x-----+2sin2x+yj=/2(x),

(3丿

所以/2（x）為偶函數(shù).

21.某企業(yè)為響應國家節(jié)水號召，決定對污水進行凈化再利用，以降低自來水的使用量.經(jīng)

測算，企業(yè)擬安裝一種使用壽命為4年的污水凈化設備.這種凈水設備的購置費（單位：萬

元）與設備的占地面積x（單位：平方米）成正比，比例系數(shù)為0.2.預計安裝后該企業(yè)每年

需繳納的水費C（單位：萬元）與設備占地面積X之間的函數(shù)關系為C（x）=W（x>0）.將

該企業(yè)的凈水設備購置費與安裝后4年需繳水費之和合計為y(單位：萬元).

(1)要使y不超過7.2萬元，求設備占地面積x的取值范圍；

(2)設備占地面積X為多少時，的值最??？

【正確答案】(1)[11,20]

(2)設備占地面積為15m2時，g的值最小.

0()

【分析】(1)由題意解不等式0.2X+--^7.2,即可求得；

x+5

(2)利用基本不等式即可求解.

【詳解】(1)由題意得y=0.2x+工

x+5

要滿足題意，則yW7.2,

QA

即0.2x+^-W7.2,詢翠得.ll〈x<20

x+5

即設備占地面積X的取值范圍為[11,20].

八c80x+580I、。lx+580,__ry.r

(2)y=0.2xH-------=-------H----------122J-------x---------1=25/l6-1=7,

x+55x+5V5x+5

1con

當且僅當r號=?=x=15時等號成立.

5x+5

所以設備占地面積為15m2時，V的值最小.

22.已知函數(shù)〃x)=g(2*+2-'),g(x)=；(2*-2-*).

(1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義，證明：“X)在區(qū)間[0,8)上是增函數(shù)；

⑵已知F(x)=4尸(x)—4〃礦(x)+9,其中切是大于1的實數(shù)，當xwjAlog?冋時，F(xiàn)(x)>0,

求實數(shù)小的取值范圍；

g(x)

(3)當aN0,判斷與4(彳)+(1-4)的大小,并注明你的結論.

f(x)

【正確答案】(1)證明見解析

⑵(1,3]

⑶嗯<4(x)+(一)

【分析】按照函數(shù)單調(diào)性的定義的證明步驟：設值，作差，變形，定號，下結論，即可證明;

(2)先換元，再分離常數(shù)，最后再利用基本不等式即可求出實數(shù)，力的取值范圍;

(3)采用作差法，結合基本不等式和指數(shù)函數(shù)的值域即可比較岀大小.

【詳解】⑴解：%>芻川,f(xj_/(1)=g(21+2f_泄+2勺

i2電-2M

_2J|-V*1+Tx'-2'X2_2*'+2宀_2*'-

2―2-—2

因為%>工2*0，所以2%-2*2>0,2頃+*2>1，所以〃5)-/仇)>(),

即〃x)在[0,”)上是增函數(shù).

2工+2一“1(2X+Tx\

(2)解：由已知尸(x)=4?Z_4〃厶+9

、2丿(2丿

-1

>*y~x"I

設1=丄/，由(1)得“X)在［0,log2〃?］上單調(diào)遞增，即re1,—y見

9

所以尸（力2004/一4m/+920<=>4mt4/2+9onzW/+1，

①〃?2丘叵時，竺血>3，即t+222A=3,當且僅當『=，時取等，

22124，V42

此時要滿足〃?Wf+2恒成立，即〃?三。+3）=3,所以史2&