2023-2024學(xué)年山西大學(xué)附中高一（上）第一次模塊診斷數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年山西大學(xué)附中高一（上）第一次模塊診斷數(shù)學(xué)試卷（10

月份）

一、單選題（本大題共8小題，共24.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知集合4={x|-1<x<1},B={-1,0,2},則4nB=（）

A.{-1,0}B.{-1,0,1,2}C.{-1,1}D.{0}

a

2.命題3x0>0,以一5xo+6>0”的否定是（）

A.Vx<0,x2-5x+6<0B.Vx>0,x2—5x+6<0

C.3x0<R,XQ-5x0+6<0D.3x0>0,XQ-5x0+6<0

3.設(shè)M=2磯a-2）+7,N=（a-2）（a-3）,則M與N的大小關(guān)系是（）

A.M>NB.M=NC.M<ND.無法確定

4.設(shè)全集（7=7*,集合4={2,3,469},集合B={處久>4,xCN*},則圖

中陰影部分所表示的集合是（）

A.{6,9}

B.{2,3}

C.{2,3,4}

D.{x|2<x<4}

5.荀子曰：“故不積蹉步，無以至千里；不積小流，無以成江海.”這句來自先秦時(shí)期的名言.此名言中

的“積度步”是“至千里”的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

6.已知a>b>c>0,則（）

A.2a<b+cB.a（b—c）>b（a—c）

r11D.（a-c）3>fb-

7.已知關(guān)于x的一元二次不等式/一（a+l）x+a<。的解中有且僅有“4個(gè)正整數(shù)，貝M的取值范圍是（）

A.-3WaV—2B.-3<aW—2C.4VQ45D.4Ma<5

1A

8.已知汽>0,y>0且：+三=1,若x+y>血2+86恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）

xy

A.{m\m>B.{m\m<-3}

C.{m\m>1}D.{m\—9<m<1}

二、多選題（本大題共4小題，共12.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.已知集合4={-1,2,3},B={x|-1<x<3},則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.=AB.4UB=BC.3cgBD.An(CRB)=0

10.在下列命題中，真命題有()

2

A.3x6/?,%2+x+3=0B.VxeQ,1x4-jx+1是有理數(shù)

C.3x,yGZ,使3x—2y=10D.VxGR,x3-x2+1<0

11.若（1+6=1（。>0*>0）,則下列結(jié)論正確的是（）

AS的最小值闿Bd+拄的最小值闿

C.\T~a+V"方的最大值為D.J：彳的最小值為:

a+2b2a+b3

12.已知不等式％2+QX+b>0（a>0）的解集是{x|xWd},則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）

A.a2—4b

B.a2+^>4

b

C.若不等式#2+QX_b<o的解集為則％1%2>0

D.若不等式/+Q%+b<c的解集為（%i，%2），且|%i-不1=4，則c=4

三、填空題（本大題共4小題，共16.0分）

13.設(shè)集合4={0,一研，B=[l,a-2t2a-2}f若力U8,則。=.

14.已知一1Wa+bW1,-1<a-b<1,求2a+3b的取值范圍____.

15.為凈化水質(zhì)，向一個(gè)游泳池加入某種化學(xué)藥品，加藥后池水中該藥品的濃度C（單位：mg/L）隨時(shí)間t（單

位：似的變化關(guān)系為c=*，則經(jīng)過八后池水中藥品的濃度達(dá)到最大.

16.若不等式X2”X+2：<o對(duì)一切％GR都成立，則實(shí)數(shù)小的取值范圍是.

四、解答題（本大題共4小題，共48.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題12.0分）

已知集合4={x\x2—4x—12<0},B={x\a-1<x<3a+2}.

（1）當(dāng)a=l時(shí)，求4U8,an（CRB）；

（2）若ZnB=8,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

18.(本小題12.0分)

(1)已知10<x<^,求y=-2%)的最大值;

(2)已知％<3,求y=+2x的最大值.

19.(本小題12.0分)

已知關(guān)于x的不等式c/+x+b<0的解集為{x|—1<x<g},關(guān)于x的不等式b/+x+c>0的解集為M,

關(guān)于x的不等式合+%<(^-a的解集為N,且滿足MU(CRN)=R.

(1)求集合M;

(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

20.(本小題12.0分)

如圖，計(jì)劃依靠一面墻建一個(gè)植物角.墻長(zhǎng)為187n.用柵欄圍成四個(gè)相同的長(zhǎng)方形區(qū)域種植若干種植物.

(1)若每個(gè)長(zhǎng)方形區(qū)域的面積為24nl2,要使圍成四個(gè)區(qū)域的柵欄總長(zhǎng)度最小，每個(gè)長(zhǎng)方形區(qū)域長(zhǎng)和寬分別是

多少米？并求柵欄總長(zhǎng)度的最小值；

(2)若每個(gè)長(zhǎng)方形區(qū)域的長(zhǎng)為》n(x>2),寬為長(zhǎng)的一半,每米柵欄價(jià)格為5元，區(qū)域的重建費(fèi)用為每平方米10

元.要使總費(fèi)用不超過180元，求長(zhǎng)方形區(qū)域的長(zhǎng)x的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】W："A=(x[-1<x<1),B={-1,0,2),

/IClB={x|-1<x<1}Cl{-1,0,2}={-1,0}.

故選：A.

直接利用交集運(yùn)算的概念得答案.

本題考查交集及其運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

2

【解析】解：因?yàn)槿?gt;0,詔-5x0+6>0,所以其否定為以>0,x-5x+6<0.

故選：B.

由特稱命題的否定的定義即可得出結(jié)果.

本題考查命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：<M—N=2a(a-2)+7-(a-2)(a-3)

——2a之—4a+7-(a?—5a+6)

=a2+a+1

23

=++->o

(a4

M>N

故選：A.

作差化簡(jiǎn)M-N=a?+a+1,從而比較大小.

本題考查了作差法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：因?yàn)槿?/='*,所以QB={x|xW4,xeN*}={l,2,3,4},

所以圖中陰影部分表示An(CuB)={2,3,4}.

故選：C.

根據(jù)Nenn圖表示的集合計(jì)算.

本題主要考查Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：由已知設(shè)“積蹉步”為命題P,“至千里”為命題q,

“故不積珪步，無以至千里”，即''若「P,則「q”,

其逆否命題為“若q則P”，

反之不成立，

所以命題P是命題q的必要不充分條件，

故選：C.

根據(jù)充要條件的定義即可判斷.

本題考查了充要條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)4

a>b>c>0,■■a+a>b+c,即2a>b+c,

故錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B,

當(dāng)a=3,b=2,c=l時(shí)，a(b—c)<b(a—c),

故錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,

■■■a>b>c>0,■■a—c>b—c>0,

a-cb—c

故錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D,

a>b>c>0,■,-a—c>b—c>0,

(a-c)3>(b—c)3，

故正確：

故選：D.

結(jié)合不等式的性質(zhì)，可判斷選項(xiàng)A,C,D；取a=3,b=2,c=l,可判斷選項(xiàng)注

本題考查了不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：由/-(a+l)x+a<0,得(x—a)(x—1)W0,

因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次不等式/一(a+l)x+aS0的解集中有且僅有4個(gè)正整數(shù)，

所以a>1,不等式的解為且4Wa<5,

故選：D.

先求解不等式，根據(jù)解集中正整數(shù)的個(gè)數(shù)確定a的取值范圍.

本題考查了一元二次不等式的求解，是基礎(chǔ)題.

8.【答案】D

【解析】解：因?yàn)閤>0,、>0且：1+三4=1,

xy

所以x+y=(x+y)?+；)=5+?+與25+4=9,當(dāng)且”?且;+；=1即x=3,y=6時(shí)取等號(hào)，

4yyj\ry人y

若K+y>m2+87n恒成立，貝ij9>m2+8m,

解得-9<m<1.

故選：D.

由已知不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求x+y的最小值，利用乘1法結(jié)合基本不等式可求.

本題主要考查了不等式的恒成立與最值關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，乘1法在基本不等式應(yīng)用條件配湊中的應(yīng)用，屬于

中檔題.

9.【答案】ABCD

【解析】解：由4={-1,2,3},B={x|-1<x<3},

得4nB={-1,2}中A,A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

4u8={x|-lSxS3}彳B,B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

CRB={x<-1或x23},3€CRB,元素與集合間的關(guān)系為屬于與不屬于關(guān)系，無包含關(guān)系，C選項(xiàng)錯(cuò)誤;

An(CRF)={3},故。錯(cuò)誤.

故選：ABCD.

根據(jù)集合間的計(jì)算結(jié)果，及元素與集合的關(guān)系分別判斷各選項(xiàng).

本題主要考查集合的包含關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BC

【解析】解：由于％2+X+3=(X+}2+?>O,故A錯(cuò)誤；

由于%為有理數(shù)，所以+1也為有理數(shù)，故3正確；

當(dāng)久=70,y=lOOH't,3x-2y=10,故選項(xiàng)C正確；

當(dāng)久=1時(shí)，x3-x2+1>0,故。錯(cuò)誤.

故選：BC.

直接利用關(guān)系式的變換判定A和B,利用賦值法的應(yīng)用判定C和。的正誤.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：關(guān)系式的變換，存在性問題和恒成立問題，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及

思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】BCD

【解析】解：由正實(shí)數(shù)a,b滿足a+b=l,則附±(竽)2=：,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=:時(shí)，等號(hào)成立，所以ab的

v2y42

最大值為右故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

2

由a?+b2=(a+b)2-2ab>(a+fe)2-2x(2i^)2=%")=：，

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=:時(shí)，等號(hào)成立，所以。2+及的最小值為全故B選項(xiàng)正確.

由(產(chǎn)+O=a+b+2y/~ab<2(a+b)=2，則廣+y/~b<<2.

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí)，等號(hào)成立，所以，q+C的最大值為，故C選項(xiàng)正確；

由--\\=r(3a+3b)(,+、：八7)—JL[V(a+2b)+(2a+b)](J(2+2：；；+:>

a+2b2a+b3、八a+2b2a+b3'、，」'a+2b2a+配3、a+2b2a+〃

1ciQIa+2b2a+b、_4

3(2+2J兩.通)=5，

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=:時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為￡故。選項(xiàng)正確.

2a+2b2a+b3

故選：BCD.

對(duì)于4,利用基本不等式分析判斷，對(duì)于B,由于a2+b2=(a+b)2-2ab,再結(jié)合基本不等式分析判斷，

對(duì)于C,對(duì)，W+C平方后利用基本不等式分析判斷，對(duì)于D,由』+』=J(3a+3b)(—x+』)=

7

Q+2b2a+o3、八a+2b2a+b

[[(a+2b)+(2a+匕)](。]2b+五g)化簡(jiǎn)后利用基本不等式判斷.

本題主要考查了基本不等式及相關(guān)結(jié)論在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題.

12.【答案】ABD

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于4,不等式/+Q%+b>0(a>0)的解集是{x|xHd},即方程%2+Q%+b=0有兩個(gè)相等的根％=d,

必有4=a2—4h=0,即彥=4b,A正確；

對(duì)于B,由4的結(jié)論，a2=4b,則a?+今=M+白2%當(dāng)且僅當(dāng)M=2時(shí)等號(hào)成立，3正確；

對(duì)于C,若不等式/+Q%一力v0的解集為(%i，%2)，即方程/+ax-b=0的兩個(gè)根為與、血，則有%1久2=

—b=—-7~<0?。錯(cuò)誤；

4

對(duì)于D,若不等式%2+Q%+bVc的解集為。1，%2)，即方程+QX+b=C的兩個(gè)根為%1、%2,

-2x222

若l%ix2\-4,則有(%i—x2)=(%]+2)—4X1X2=a—4(b—c)=a—4b+4c=16,解可得c=4,

D正確：

故選：ABD.

根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)，綜合可得答案.

本題考查命題真假的判斷，涉及一元二次方程與一元二次不等式的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】1

【解析】解：因?yàn)?UB,

若a—2=0,解得a=2,此時(shí)4={0,—2},B=[1,0,2],不符合題意；

若2a—2=0,解得a=1,此時(shí)4={0,-1},B=[1,—1,0},符合題意；

綜上所述：a=l.

故答案為：L

根據(jù)包含關(guān)系分a-2=0和2a-2=0兩種情況討論，運(yùn)算求解即可.

本題考查利用集合之間的包含關(guān)系求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】[一3,3]

【解析】解：設(shè)2a+3b=4(a+b)+〃(a-b),

則的:;，

解得'=2J

故2a+3b=5(Q+b)——(a—b)f

由一1<a4-b<1,

故一|w|(a+b)s|,

由一14Q—b41,

故_"<-6)<I，

所以2a+3be[—3,3].

故答案為：[-3,3].

利用待定系數(shù)法設(shè)2。+36=；19+匕)+4(￡1-8),得到方程組，解出入n，再根據(jù)不等式基本性質(zhì)即可得

到答案.

本題考查了不等式的性質(zhì)，屬中檔題.

15.【答案】2

?20t20_20_

【解析】解：。=/與=記三示|=5,當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí)取等號(hào).

因此經(jīng)過2人后池水中藥品的濃度達(dá)到最大.

故答案為：2.

利用基本不等式的性質(zhì)即可得出.

本題考查了基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】(一4,0]

【解析】解：X2—8%+20=(x—4)2+4>4>0.

mx2—mx-1<0>

當(dāng)m=0時(shí)，mx2—mx—1=—1<0,不等式成立；

設(shè)、=771/-77^-1,當(dāng)0時(shí)函數(shù)y為二次函數(shù)，y要恒小于0,拋物線開口向下且與x軸沒有交點(diǎn)，即

要m<0且d<0,

得到：綜上得到-4<m<0,

故答案為：(一4,0].

由分子恒大于0,得到分母恒小于0

mx2-mx-l=<0,當(dāng)m=0時(shí)，不等式顯然成立；當(dāng)m片0時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)得到m的取值

范圍.兩者取并集即可得到m的取值范圍

17.【答案】解：(1)解不等式/一4x-12W0,得一2<x<6,即4={x|-2<x<6].

當(dāng)a=1時(shí)，B={x|0<x<5},所以AUB={x|-2<x<6},

又CRB={x\x<0或x>5},所以4n(CRB)={x|-2<%<0或5<x<6).

(2)由(1)知，A={x\-2<x<6],由408=8,得BU4.

當(dāng)a—IN3a+2,即aW—g時(shí)，B=0,滿足BUA?因此a<一?；

當(dāng)a—l<3a+2,即Q>-]時(shí)，B手

則2，解得一1<a<^,因此—1<a<

13a+2<633

則a<—|或—1<a<p所以實(shí)數(shù)a的取值范圍(—8,—aU[―1,勺.

【解析】(1)當(dāng)a=1時(shí)，求出集合B,并求出集合4利用并集的定義可求出集合4UB,利用補(bǔ)集和交集的

定義可求出集合ZCKCRB)；

(2)分析可知Bc4分B=0、B手。兩種情況討論，根據(jù)Bc4列出關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式(組)，綜合可得出

實(shí)數(shù)a的取值范圍.

本題考查集合的運(yùn)算，由集合之間的關(guān)系確定參數(shù)的范圍，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：⑴由0<x<g,得1一2%>0,

則由基本不等式得'=；X2》(1一2%4(出產(chǎn))2=2，當(dāng)且僅當(dāng)2x=l—2x,即x=時(shí)取等號(hào),

所以當(dāng)x=：時(shí),y=1x(l-2x)取得最大值，.

(2)由x<3,得3-X>0,￡>0,由基本不等式得2(3-x)+白12J2(3-％)?￡=44，

當(dāng)且僅當(dāng)2(3-乃=c，即％=3-門時(shí)取等號(hào)，

故y=++2x=—[￡+2(3-x)]+6<6-

所以當(dāng)x=3-C時(shí)，、=提+2芯取得最大值6-4。.

【解析】(1)(2)利用配湊法，結(jié)合均值不等式求解即可.

本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)因?yàn)椴坏仁健?+%+匕<0的解集為｛x|-l<x<：｝,

所以一1和3是方程cx2+x+b=0的解，且c>0,

-1+1=--

由根與系數(shù)的關(guān)系知,2c解得c=2^b=—1.

/?、1b'

(-1)X2=c

所以不等式b/+%+。>0可化為—/+%+2>0,解得—1<x<2,

所以該不等式的解集為M