2024年中考數(shù)學(xué)核心幾何模型重點突破-幾何變換之翻折模型（解析版）

專題31幾何變換之翻折模型

內(nèi)容導(dǎo)航：模型分析T典例分析一

【理論基礎(chǔ)】

翻折和折疊問題其實質(zhì)就是對稱問題，翻折圖形的性質(zhì)就是翻折前后圖形是全等的，對

應(yīng)的邊和角都是相等的。以這個性質(zhì)為基礎(chǔ)，結(jié)合圓的性質(zhì)，三角形相似，勾股定理設(shè)方程

思想來考查。那么碰到這類題型，我們的思路就要以翻折性質(zhì)為基礎(chǔ)，結(jié)合題中的條件，或

利用三角形相似，或利用勾股定理設(shè)方程來解題。

對于翻折和折疊題型分兩個題型來講，一類題型就是直接計算型，另一類是涉及到分類討論

型，由淺入深難度逐步加大，，掌握好分類討論型的翻折問題，那么拿下中考數(shù)學(xué)翻折題型

就沒問題了。

解決翻折題型的策略

1.利用翻折的性質(zhì)：

①翻折前后兩個圖形全等。對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等

②對應(yīng)點連線被對稱軸垂直平分

2.結(jié)合相關(guān)圖形的性質(zhì)（三角形，四邊形等）

3.運用勾股定理或者三角形相似建立方程。

翻折折疊題型（一），直接計算型，運用翻折的性質(zhì)，結(jié)合題中的條件，或利用三角形相似，

或利用勾股定理設(shè)方程來解題。一般難度小，我們要多做一些這些題型，熟練翻折的性質(zhì)，

以及常見的解題套路。

翻折折疊題型（二），分類討論型，運用翻的性質(zhì)，結(jié)合題中的條件，或利用三角形相似，或

利用勾股定理設(shè)方程來解題。般難度較大，需要綜合運用題中的條件，多種情況討論分析，

需要準確的畫圖，才能準確分析。

【例1】如圖，在中，點。是線段48上的一點，過點。作。E〃/C交3c于點E,

將"DE沿DE翻折，得到"'DE，若點C恰好在線段B7）上，若NBCD=90°,DC：CB'=3：

2,AB=16也，則的長度為（）

B'

A.472B.D-2

【答案】C

【分析】設(shè)DC=3無，CB'=2x,貝l]D3=5x,由折疊的性質(zhì)得出。2=D8,,NBDE=NB'DE,

BE=B'E,由勾股定理求出8C=8近，設(shè)CE=a,則8￡=8近-.=88，由勾股定理列

出方程求出。的值，則可得出答案.

【解析】解：設(shè)。C=3x,CB'=2x,貝ljD8'=5x,

將沿DE翻折，得到"'DE，

:.DB=DBr,/BDE=/B'DE,BE=B'E,

DE//AC,

;./A=/BDE,ZACD=ZCDE,

：.ZA=ZACD,

/.CD=AD=3x,

/.AB=AD+DB=3x+5x=8x=16\/2，

X=2V2>

:.CD=6亞，BD=\Q6，B'C=4V2，

BC=^BD2-CD2=872,

設(shè)CE=。，則BE=8C-a=B'E，

■：CE~+B'C2=B'E2,

2

解得a=3A/2，

:.CE=3m，

故選C.

【例2】如圖，點E是菱形45CD的邊CO上一點，將△/D￡沿/E折疊，點。的對應(yīng)點產(chǎn)

DF

恰好在邊3c上，設(shè)匕=左

CE

A

--,D

（1）若點尸與點C重合，貝！U=

（2）若點/是邊8C的中點，貝！U=

【答案】12

【分析】（1）若點尸與點C重合，則可知即可得出結(jié)果；

（2）點尸是邊8c的中點，延長/E,與8C的延長線交于點H,根據(jù)折疊的性質(zhì)以及菱形

的性質(zhì)證明即可得出答案.

【解析】解：（1）當點尸與點C重合時，DE=CE,

CE

故答案為：1;

（2）延長ZE,與的延長線交于點H,

AD//BC,AD=BC,

ADAH=/FHA,

由折疊的性質(zhì)知：AD=AF,/DAH=/FAH,

：.ZFAH=ZFHA,

：.FH=FA=AD,

???點廠是邊5C的中點，

CF=-BC,

2

：.CF=-FH,

2

CH=CF=-FH=-AD,

22

???AD//CH,

：.AADE^AHCE,

.DEAD0

CEHC

故答案為：2.

【例3】(1)發(fā)現(xiàn)：如圖①所示，在正方形48CD中，E為/。邊上一點，將△/匹沿

翻折到△BE尸處，延長所交8邊于G點，求證：△BFGHBCG.

(2)探究：如圖②，在矩形4BCD中，E為/。邊上一點，且4D=8,AB=6.將△/班

沿BE翻折到ABE尸處，延長所交8c邊于G點，延長3尸交CD邊于點X,S.FH=CH,

直接寫出/￡的長.

9

【答案】(1)證明見解析；(2)|

【分析】(1)根據(jù)將△/仍沿BE翻折到跖處，四邊形ABCD是正方形，得AB=BF=BC,

ZBFE=ZA=90°,可得/瓦％=90。=/。，可得結(jié)論；

(2)延長4)交于。，設(shè)FH=HC=x,可得82+/=(6+x『，可得x的值，由尸G"叢BCH,

6_BGFG

§=，=尸'可得尸6,由石?！?8,。?！?。8,可求。。，進而可求/E；

33

【解析】(1)證明：?.?將沿BE翻折到△5￡尸處，四邊形/BCD是正方形.

：.AB=BF=BC,ZBFE=ZA=90°,

ZBFG=90°=ZC,

,:BG=BG,

：.RtABFG沿RtABCG；

(2)解：延長交于。，如圖，

設(shè)FH=HC=x,由矩形及對折可得：AB=BF=CD=6,AD=BC=8,

在Rt叢BCH中，BC2+CH2=BH2,

/.82+X2=(6+X)2,解得x=g,

：.DH=DC-HC=—,

3

，/BFG=/BCH=9。。,/HBC=/FBG,

:.ABFGsABCH,

6BGFG

BFBG黑，即8

6+Z~T

~BCBHHC

33

5G嚀FG=(

EQ//GB,DQ//CB,

:.AEFQSAGFB,/\DHQ^/\CHB,

7

BCCHan87

：'~DQ=~DH'即而=TT'

J

DQ=y

設(shè)AE=EF=m，貝lj￡)E=8-m,

.ccc88144

??EQ=DE+DQ=S-m+—=--------m

7

YEFQsAGFB,

144

-------777

???以絲，即

BGFG257

44

Q

解得m=~,

2

一、單選題

1.一張正方形的紙片，如圖進行兩次對折，折成一個正方形，從右下角的頂點，沿斜虛線

剪去一個角剪下的實際是四個小三角形，再把余下的部分展開，展開后的這個圖形的內(nèi)角和

是（）度.

A.1080°

【答案】A

【分析】根據(jù)題意可得展開圖的這個圖形是八邊形，進而求出內(nèi)角和.

【解析】解：展開圖的這個圖形是八邊形，故內(nèi)角和為：（8-2）x180。=1080°.

故選：A.

2.如圖，四邊形A8CD為平行四邊形，若將△NC3沿對角線/C翻折得到連接成＞,

則圖中與度數(shù)一定相等（除NC4。外）的角的個數(shù)有（）

A.2個B.4個C.5個D.7個

【答案】B

【分析】設(shè)/。與CE交于點。，由平行四邊形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得到證明

△O4C和△OEO都是等腰三角形即可得到答案.

【解析】解：設(shè)/。與CE交于點。，

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB=CD,ZB=ZODC,AD//BC,BC=AD,

：.ZCAD=ZACB,

由折疊的性質(zhì)可得：AE=AB,/B=NAEO,BC=CE,

：.AE=CD,ZAEO=ZCDO,AD=CE,

又：ZAOE=ZCOD,

：./XAOE^/^COD(AAS),

：.OD=OE,

：.OA=OC,

：.ZCAD=ZACO,ZOED=ZODE,

,：ZAOC=ZEOD,

AZOED+ZODE=ZOAC+ZOCA,

：.ZCAD=ZACO=ZOED=ZODE,

.?.與NC4D度數(shù)一定相等的角的個數(shù)為4個,

故選B.

3.如圖，點D,E是正兩邊上的點，將△8AE沿直線DE翻折，點3的對應(yīng)點恰好

落在邊ZC上，當NC=5/尸時，些的值是()

【答案】A

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到N4=N2=NC=60。，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到/。雁=

DF)JD_DF)4F

N5=60。，BD=DF,BE=EF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到器=二=笑,設(shè)//=

BECFCE

x,則4C=5x,CF=4x,解方程組即可得到結(jié)論.

【解析】解：???△45C是等邊三角形，

,ZA=ZB=ZC=60°,

??,將△5OE沿直線DE翻折，點B的對應(yīng)點恰好落在邊4。上，

：?NDFE=/B=60。,BD=DF,BE=EF,

：.ZAFD+ZADF=ZAFD+ZCFE=120°,

NADF=/CFE,

：.AADFsACFE,

.BDAD

??而一三'

.BDAB-BDAF

,?耘一CF一~CE'

'：AC=5AF,

???設(shè)//=x,則4C=5x,CF=4x,

.BD_5x-BD_x

BE4x5x—BE

：.9BD=6BE,

?BD2

??=一,

BE3

故選：A.

4.如圖，在△45C中，AB<AC,ZC=45°,AB=5,BC=4e,點。在4C上運動，連

接5。，把△BCD沿5。折疊得到△BC。，BC交AC于點、E,CD〃AB,則圖中陰影部

分的面積是（）

A

——JC

20

D.—

7

【答案】D

【分析】作N足L3C,利用等腰直角三角形和勾股定理求出NC,再利用△功『-△/eg求

出/E,從而利用A/3￡SA￡）C￡求出和CD,作8G_L/C,求出8G,即可求解.

【解析】解：如圖，過點/作NFLBC于點尸，

VZC=45°,

：.AF=CF,AC=41CF,

?：AB=5,BC=4也，

：.BF=BC-CF=4yj2-CF,

在RtzX/8尸中，

AB2=BF2+AF2,

即52=(4V2-CF)2+CF2,

解得：CF=旦或應(yīng),

22

'AB<AC,

.AC=42CF=1,

,/\BCD沿BD折疊得到△BCD,

.CD=C'D,NC'=NC=45°,

'CD//AB,

.ZABE=ZC'=45°,

ZABC=ZABE+ZCBE=45°+ZCBE,/ABE=/C+/CBE=45。+NCBE,

?：/ABC=/ABE,

：.△ABCS^AEB,

,AEAB

即A

57

；.AE=",

7

?24

：.CE=AC-AE=—,

7

：.CrD=CD=CE-DE=——DE,

7

,:CDIIAB,

：.^ABE^^DCE,

.CD_DE

??同一元’

24

——DE

DE

即7

7

解得：DE=y,

,.?S^5C=-/lF?SC=lx—X4J2=14,

222

如圖，過點8作3GL4C于點G,

.,.14=-x7x5G,

2

：.BG=4,

.111020

??S網(wǎng)影部分=-DE'BG=-x-x4=-.

故選：D.

5.如圖，正方形48。中，AB=4,延長。C到點尸（0<CF<4）,在線段C3上截取點P,

使得CP=CF,連接3RDP,再將△DC尸沿直線DP折疊得到△￡>￡/.下列結(jié)論：

①若延長。P,則。尸_LE8；

②若連接CE,則CE〃68；

③連接尸尸，當E、P、下三點共線時，CF=4Q-4；

④連接/￡、AF、EF,若是等腰三角形，則C尸=40-4；其中正確有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】C

【分析】證明烏△3CF,利用全等三角形的性質(zhì)與三角形的內(nèi)角和定理可判斷①，證

明。尸J_EC,結(jié)合5尸，。尸，可判斷②，當E,P,尸共線時，求解/。尸。=/。尸￡=

1OQO_/CPF

-----------------=67.5°.在CD上取一點J,使得CJ=CP,則ZCJP=ZCPJ=45°,DJ=JP,

2

設(shè)G7=CP=x,則D/=〃=0x,可得收x+x=4,解方程可判斷③，連接C￡,BD.由③

可知，當CF=4虛-4時，ZCDP=ZEDP=22.5°,證明點￡在。8上，EA=EC,可得

ZECF>ZEFC,EF>EC,可判斷④，從而可得答案.

【解析】解：①如圖1中，延長DP交BF于點、H.

D

AB

圖1

:四邊形/BCD是正方形，

：.CD=CB,/DCP=NBCF=90。,

在△DC尸和△BC尸中，

CD=CB

<ZLDCP=NBCF,

CP=CF

:.ADCP沿4BCF(SAS),

:./CDP=NCBF,

■:/CPD=NBPH,

，ZDCP=ZBHP=90°,

：.DP±BF,故①正確.

@VC,￡關(guān)于。尸對稱，

：.DP±EC,

■:BF上DP,

：.EC//BF,故②正確.

③如圖2中，當E,P,F共線時，ZDPC=ZDPE=-"比=67.5°.

圖2

在CD上取一點J,使得CJ=CP,則/CJP=/C7V=45。,

NJDP=90°-67.5°=22.5°,

Z.JDP=4JPD=22.5°,

：.DJ=JP,

設(shè)C7=CP=x,則

??x+x=4,

??X=44?

；.CF=4亞-4,故③錯誤，

④如圖3中，連接CE,BD.

圖3

由③可知，當。尸=4逝-4時，ZCDP=ZEDP=22.5°,

：.ZCDE=45°,

二點E在。8上，

'：A,。關(guān)于2D對稱，

：.EA=EC,

'：ZECF>ZEFC,

：.EF>EC,

：.EF>EA,

...此時△，￡尸不是等腰三角形，故④錯誤.

故選：C.

3

6.已知：如圖，在中，ZA=90°,48=8,tanZABC=~,點N是邊NC的中點，

2

點M是射線上的一動點（不與3,C重合），連接兒W,將△CW沿MN翻折得△EMM

連接BE,CE,當線段BE的長取最大值時，sin/NCE的值為（）

【答案】D

【分析】由翻折可知：NC=NE,所以點￡在以N為圓心，NC長為半徑的圓上，點8,N,

E共線時，如圖所示：此時BE最大，由翻折可知：是CE的垂直平分線，延長GN交

AB于點D,可得DN平分NANB,過點。作D//_L3N,然后證明必△/ND也必AffiVO(HL),

可得NN=//N=6,根據(jù)勾股定理即可解決問題.

【解析】解：如圖，由翻折可知：NC=NE,

所以點E在以N為圓心，NC長為半徑的圓上，點8,N,E共線時，如圖所示：此時BE最

大，

在放△N3C中，ZA=90°,

4c3

*.*AB=8,tan/ABC==—，

AB2

：.AC=12,

???點N是邊ZC的中點，

：.AN=CN=6,

:?NE=6,

由翻折可知：MN是C￡的垂直平分線，

/ENG=NCNG,

延長GN交N8于點。，

，ZBND=ZAND,

:.DN平濟/ANB,

■:DALAN,

過點D作DHLBN,

：.DA=DH,

：.DB=AB-AD=S-DH,

在Rt/\AND和RtAHND中,

\DN=DN

[DA=DH，

：.Rt/\AND^Rt^HND(HL),

：.AN=HN=6,

在中，4B=8,AN=6,

BN=>JAB2+AN2=10，

BH=BN-HN=lQ-6=4,

在RtADBH中,DB=S-DH,根據(jù)勾股定理得：

DB2=DlP+BH2,

/.(8-D/f)2=DH2+42,

解得DH=3,

在此△//中，DH=DA=3,AN=6,根據(jù)勾股定理得:

DN2=AD2+AN2,

/.W=32+62=45,

：.DN=3y[5,

VZA=ZNGC=90°,ZAND=ZGNC,

：.ZADN=ZNCG,

AN6_2y[5

VsinZADN=—

DN

k

：.smZNCG=sinZNCE=—9

5

7.如圖，nABCD^,對角線ZC與3。相交于點E,/ADE=15。,BD=2?，將沿

/C所在直線翻折180。到其原來所在的同一平面內(nèi)，若點2的落點記為玄，恰好夕E,

若點/為8C上一點，則B戶的最短距離是（）

【答案】C

【分析】由折疊的性質(zhì)，可得NBCB'=2NACB,NAEB=ZAEB',BC=BC,由'和

ZADE=15°,可得ND/￡=30。，由平行四邊形和折疊的性質(zhì)可求得N8C8'=60。，連接，

易知△55'C是等邊三角形，繼而可得NB'BC=60。，然后根據(jù)平行四邊形和折疊的性質(zhì)可求

得，利用勾股定理可求得B2'=2,由垂線段最短可知，當8'尸，時，8戶最短，然后根

據(jù)勾股定理即可求得答案.

【解析】解：由折疊的性質(zhì)，可得：ZBCB'=2ZACB,NAEB=ZAEB',BC=BC,

?/BE±B'E,

NBEB'=90°,

NAEB'=45°,

NADE=15°,

：./D/￡=30。，

?；四邊形ABCD是平行四邊形，

J.ADHBC,

：.NACB=ZDAC=3(F,

NBCB'=2NACB=60°,

如圖，連接89，作

/.△33'C是等邊三角形，

/LB'BC=60°,

V四邊形ABCD是平行四邊形，

DE=BE=-BD=-X2A/2=y[i=B'E,

22

在RtABB'E中,BE=B'E=4i，

BB'=y)BE2+B'E2=2，

由垂線段最短可知，當BNLBC時，B'F最短,

在R2YB3'尸中，ZB'BF=60°,B'B=2,

/.BF=-BB'=\,

2

B'F=ylB'B2-BF2二下＞■

故選：C.

8.如圖，將四邊形紙片/BCD沿過點A的直線折疊，使得點3落在CD上的點/處，折痕

為AP；再將△尸CM,△/￡＞河分別沿尸M,4W折疊，此時點C,。落在/尸上的同一點N

處.下列結(jié)論不正確的是（）

A.W是CD的中點

B.MN1AP

C.當四邊形/尸是平行四邊形時，AB=43MN

D.AD//BC

【答案】B

【分析】由折疊的性質(zhì)可得CM=MN,即"是的中點；故①正確；ZB=

ZAMP,NDAM=/MAP=NPAB,NDMA=/AMN,NCMP=NPMN,/D=NANM,

ZC^ZMNP,由平角的性質(zhì)可得ND+NC=180。，ZAMP=90°,可證4D〃8C,由平行線

的性質(zhì)可得/D48=90。，由平行四邊形和折疊的性質(zhì)可得NN=PN,由直角三角形的性質(zhì)

可得AB=#,PB=CMN.

【解析】解：由折疊的性質(zhì)可得：DM=MN,CM=MN,

：.DM=CM,

即M是CO的中點；故A正確；

由折疊的性質(zhì)可得：ZB=ZAMP,ZDAM=ZMAP=ZPAB,ZDMA=ZAMN,/CMP

=ZPMN,ZD=ZANM,/C=/MNP,

,/ZMNA+ZMNP=ISO°,

：.Z￡>+ZC=180°,

：.AD〃BC,故D正確；

ZB+ZDAB^1SO°,

'：ZDMN+ZCMN=180°,

：.ZDMA+ZCMP^9Q0,

：.乙4Mp=90°,

：.NB=N4MP=90°,

：.ZDAB=90°,

若MNLAP,

則ZADM=ZMNA=ZC=90°,

則四邊形/BCD為矩形及/CD,而題目中無條件證明此結(jié)論，故B不正確；

???ZDAB=90°,

：.ZDAM=ZMAP=NK45=30。，

由折疊的性質(zhì)可得：AD=AN,CP=PN,

???四邊形APCD是平行四邊形，

：.AD=PC,

：.AN=PN,

又丁ZAMP=90°,

:?MN=；AP,

VZPAB=3009NB=90。,

：?PB=；AP,

：.PB=MN

:.AB=CPB=MMN,故C正確；

故選：B.

二、填空題

9.如圖，在直角坐標系中，一次函數(shù)y=-2x+2的圖象與x軸相交于點4與了軸相

交于點B.將“80沿直線AB翻折得到AABC.若點C在反比例函數(shù)了=々左*0)的圖象上,

X

貝!U=.

32

【答案】石

【分析】過點C作CDLx軸于。，過點3作2ELDC交。C的延長線于E,求出04=1,

OB=2,由折疊的性質(zhì)得：NC=CM=1,BC=OB=2,NACB=N4OB=90。,然后證明

Ar\r)cAC1kk

/\ADC~ACEB可得-==—,設(shè)C(a,—),則CD=—，OD=a,求出AD

fCEEBBC2aa

左左

=〃-1,CE=2~~,EB=a,可得左二—,然后由CE=24D得2一—=2(q—1),求出〃

a2a

的值，進而可得上的值.

【解析】解：如圖，過點。作軸于。，過點3作交QC的延長線于E,

在一次函數(shù)V=-2x+2中，

令y=0,即—2x+2=0,解得：x=l,

令x=0,可得尸-2x+2=2,

：.A(1,0),B(0,2),

：.OA=1,OB=2,

由折疊的性質(zhì)得：AC=OA=\,BC=OB=2,ZACB=ZAOB=90°,

：.ZACD+ZBCE=90°,

???ZACD+ZCAD=90°,

：.ZBCE=ZCAD,

又,:NADC=NE=90。,

：.AADC?ACEB,

.ADDCAC_1

??CE~EB~BC~2"

:?CE=2AD,EB=2DC,

設(shè)C(a,-),則CZ)=±,OD=a,

aa

,k

..AD=a~\,CE=2——,EB=a,

a

由班=2。。得：〃=竺，即左=必，

〃2

k

由CE=2AD得：2——=2(0—1),

a

.'.2——=2(a—1),

2

Q

解得：

10.如圖，在中，ZA=90°,AB=46,AC=4,點。是48的中點，點、E是邊BC

上一動點，沿DE所在直線把△8DE翻折到△皮〃￡的位置，B'D交邊BC于點F,若ACB'F

為直角三角形，則C夕的長為

【答案】2⑺或4

【分析】當△），尸為直角三角形時，需要分類討論，點C,B',廠分別為直角頂點時，畫

出圖形求解即可.

【解析】解：在中，ZA=90°,AB=4C，/C=4,點。是48的中點，

:.BC=8,ZB=30°,AD=BD=273.

由折疊可知，BD=B'D=273,

AD=BD=B'D=273

①由點運動可知點C不可能是直角頂點；

②如圖，當點歹為直角頂點，即/CF夕=90。，

:.DF=；BD=0,BF=y/3DF=3,

B，F(xiàn)=6CF=5,

CB'=7(V3)2+52=277;

③如圖，當點*是直角頂點時，即/CSN=90。，連接CD,

在RtZ\/CD與Rt△B歸D中，

[CD^CD

[AD=B'D

：.RtZUCD=Rt△3'CD(HL),

CB'=CA=4,

故答案為：2⑺或4.

11.如圖，將口/2CX?沿對角線NC折疊，使點8落在點"處，若/1=38。，Z2=31°,則

ZD=

【答案】140°

【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)得/B//CD，進而得出/比1夕=4=38。，利用折疊的性質(zhì)

得/B4C=/B'4C,進而求出/8/。=工/切夕=工、38。=19。，利用三角形內(nèi)角和定理求出

22

DB,即可求解.

【解析】解：在口/3C〃中，AB//CD,

.-.ZBABr=Zl=38°,

"/BCD沿對角線/C折疊，使點B落在點"處，

ABAC=AB'AC,

ZBAC=-ZBAB'=-x3S°=19°,

22

在ZU8C中，/8=180。-/3/。-/2=180。-19。-31。=140°.

ZD=140°,

故答案為：140。.

12.如圖，/尸。。=90。，定長為。的線段端點/,3分別在射線。尸，。。上運動（點/,B

不與點。重合），C為4B的中點，作AO/C關(guān)于直線OC對稱的△O4C,40交4B于點D,

當H）BD是等腰三角形時，ZOBD的度數(shù)為.

【答案】67.5?；?2°

【分析】結(jié)合折疊及直角三角形斜邊中線等于斜邊一半的性質(zhì)可得/COA=ZCOA'=NBAO,

ACOA=ZCOA'=ZBAO=x°,然后利用三角形外角和等腰三角形的性質(zhì)表示出

ZBCO=2x°,ZA'OB=90°-2x°,NOBD=90。一x°,NBDO=NAOD+/BAO=3x。,從而

利用分類討論思想解題.

【解析】解：,?,NPO0=9O°,。為48的中點，

OC=AC=BC,

ZCOA=ZBAO,ZOBC=ZBOC,

又由折疊性質(zhì)可得=,

ZCOA=ZCOA'=ZBAO,

ACOA=ACOA=ABAO=x°,則/8CO=2尤。，NA'OB=90。-2x。,ZOBD=90°-x°,

ZBDO=ZAOD+ZBAO=3x°,

①當08=OD時，ZABO=ZBDO,

:.90°-x°=3x°,

解得x=22.5。,

ZOBD=90°-22.5°=67.5°；

②當=OD時，ZOBD=NA'OB,

.?.90。-苫。=90。-2尤。，方程無解，

...此情況不存在；

③當08=￡)8時，ZBDO=ZA'OB,

.?.3X°=90°-2X°,

解得：x=18。，

.?./。3。=90°-18°=72°；

綜上，的度數(shù)為67.5?；?2。，

故答案為：67.5?；?2。.

13.如圖，拋物線y=/-2x-3與x軸相交于4,8兩點，點C在對稱軸上，且位于x軸

的上方，將△48C沿直線NC翻折得到若點"恰好落在拋物線的對稱軸上，則點

C的坐標為.

【答案】（1,巫）

【分析】先求出點4,8的坐標，設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點X,則〃點的坐標為（1,

0）,AH=2,由翻折得/9=/8=4,然后解直角三角形即可.

【解析】解：令了=0,則/-2x-3=0,

x=

解得：iT，X2=3,

.,.拋物線與x軸交于/（-1,0）,B（3,0）,

：.AB=4,拋物線的對稱軸為直線x=l,

如圖：

設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點X,則8點的坐標為（1,0）,4H=2,

由翻折得AB'=AB=4,ZCAH=ZCAB'=-ZHAB',

2

在RMAB'H中，

/B'AH=60。,

：.NCAH=30。,

在中，

CH=tan300-AH=也x2=友,

33

平）,

故答案為：（1,正）.

14.四邊形為平行四邊形，己知48=而，8C=6,NC=5,點￡是3c邊上的動點,

現(xiàn)將沿/￡折疊，點夕是點3的對應(yīng)點，設(shè)CE長為x,若點夕落在△/￡>￡內(nèi)（包括

邊界），則x的取值范圍為

B'

E

【答案】6-V13<x<3V3-2

【分析】如圖1,當2,在/。上，易證由四邊形CDB，E為平行四邊形，得到CE==6-而；

如圖2,過點工作于點G,過點。作DHL8c交3c的延長線于點X,當B，在DE

上，此時//班=//匹=/。/￡,DA=DE=岳,在?△4BG和mZX/CG中，利用勾股

定理求出3G=2,可得/G=3=D〃，在RtADEH中,由勾股可得：￡77=3#,可求得CE

的另一個臨界值，問題得解.

【解析】解：如圖1，

當夕在上，此時，AB=AB',ZB=ZAB'E=ZD,

：.BE〃CD,

'：AD//BC,

...四邊形CDB'E為平行四邊形，

：.CE=DB'^6-y/l3-,

如圖2,過點/作《GL3C于點G,過點。作。XL8C交8C的延長線于點區(qū)

當3'在?！晟?，此時N/￡8=//￡8=ND4￡,

??DA=DE=J13，

在RtAABG和RtAACG中，

AG1=AB1-BG2=AC1-CG1

：.(713)2-502-52-(6-SG)2

：.BG=2,

:.AG=3=DH,

在放△￡>￡//中，由勾股可得：EH=3應(yīng),

:.CE=3出一2；

綜上：x的取值范圍為：6-V13<x<3V3-2.

15.如圖，點/、2分別在平面直角坐標系xQy的y軸正半軸、x軸正半軸上，且04=4,

（95=3,將△/0B沿48折疊，O的落點為尸，若雙曲線產(chǎn)人過點P,則七.

【答案】魯

【分析】設(shè)尸（x,y）,過尸作心，》軸于。，過/作NCL尸。于C,由垂直定義得

OB=ZODC=ZC=90°,進而得/為C+N/PC=90。，再由折疊的性質(zhì)得為=。4=4,

PB=OB=3,/AP3=90。,從而得N/PC+/3Pz>=90。，ZBPD=ZPAC,進而證明△/CPsZ\p￡）g,

由相似三角形的性質(zhì)即可求得點P的橫、縱坐標，即可求解.

【解析】解：如圖，設(shè)P（尤，y）,過尸作PD_Lx軸于。，過/作/C_LP。于C,

：P￡>_Lx軸，AC±PD,x軸」_y軸，

/.ZAOB=ZODC=ZC=90°,

：.ZPAC+ZAPC=90°,

\-0A=4,0B=3,將△/。2沿折疊，。的落點為P,

：.PA=0A=4f尸5=05=3,ZAPB=90°f

ZAPC+ZBPD=90°9

：.ZBPD=ZPACf

：.△ACPsgDB

.ACAPCP日nx_4_4-y

’.而二茄=茄，即丁3=二？'

解得：x=H，

:雙曲線尸勺過點p,

X

,,96726912

??kr=------X-------------------

2525625

故答案為：黑

625

16.如圖，過點/折疊邊長為2的正方形/BCD,使8落在"，連接點尸為。*的

中點，則。下的最小值為.

【答案】V5-1

【分析】連接N凡證明//ED=90。，則有尸在以/。為直徑的圓上，取/D的中點G,連

接CG交圓于點R則C戶為最小值，采用勾股定理即可求解.

【解析】解：連接/凡

:四邊形/8C〃是正方形，

：.AB=AD,

:折疊邊長為2的正方形/BCD,使3落在",

：.AB'=AB,

J.AB'^AD,

:尸為。2,的中點,

C.AFLDB',

：.ZAFD=90°,

，尸在以4D為直徑的圓上，取4D的中點G,連接CG交圓于點尸，則CF為最小值,

CG=yjDG2+CD2=打=石,

CF=V5-1.

故答案為：V5-1.

三、解答題

17.如圖，四邊形/BCD中，AC=AD,ABAC=90°,ZBDC=45°.

(1)求/4BC的度數(shù)；

⑵把A3CO沿BC翻折得到ABCE,過點/作/TUBE,垂足為尸，求證：BE=2AF；

⑶在(2)的條件下，連接DE,若四邊形/BCD的面積為45,8c=10,求?！甑拈L.

【答案】(1)45。

(2)見解析

⑶12

【分析】(1)以點/為圓心，NC為半徑作圓/,根據(jù)題意得N8/C=2N8OC,即可得點8

在圓/上，根據(jù)圓的性質(zhì)得48=/C,則A4BC是等腰直角三角形，即可得；

(2)過點N作/GL8D交8。于點G,則/ZGB=90。，由等腰直角三角形的性質(zhì)得

ZABD=ZADB,BG=DG=-BD,由折疊的性質(zhì)得，BE=BD,CE=CD,NCBE=NCBD,

2

設(shè)ACBE=NCBD=x,則/ABG=45°—x,ZABF=45°+x,根據(jù)AFLBE得NBFA=90°,

即可得AABG=ZBAF,利用AAS可證LABF沿LBAG，即/尸=8G,即可得BE=2AF；

(3)作交于點M,CNLAD交于點、N,延長BC交DE于點、H,則SJ_￡￡>,

根據(jù)題意運用勾股定理即可得45=5/，即可得三角形/BC的面積，即可得CN的長度，

在RtzX/CN中，根據(jù)勾股定理即可得/N的長度，用44s證明A/BM之ACN,即可得

BM=AN=3y/2,即可得三角形BCD的面積為:8。?！?30,可得。2/=6,即可得.

【解析】(1)解：如圖所示，以點/為圓心，/C為半徑作圓/,

ABAC=90°,ZBDC=45°,

ABAC=22BDC,

二點2在圓/上，

，AB=AC,

.-.A/BC是等腰直角三角形，

ZABC=45°；

(2)證明：如圖所示，過點/作NG,助交2。于點G,

則ZAGB=90°,

由（1）得，ZABC=45°,AB=AD,

：.ZABD=NADB,BG=DG=~BD,

2

由折疊的性質(zhì)得，BE=BD,CE=CD,ZCBE=ZCBD,

設(shè)NCBE=/CBD=x,則//3G=45°-x,ZABF=450+x,

???AFVBE,

/BE4=90。，

???/BAF=90。—ZABF=90°-(45°+x)=45。一%

???AABG=ZBAF,

在"5月和"/G,

ZBFA=ZAGB

</BAF=ZABG

AB=BA

：?AABF會ABAG(AAS),

JAF=BG,

：.BE=2AF；

(3)解：如圖所示，作交于點w,CNtAD交于點、N,延長交OE于點凡

則CHLED,

?；CE=CD,

：.DH=EH,

???△/BC是等腰直角三角形，SC=10,

，AB2+AC2=BC2

2AB2=1QO

AB=5C，

**,^/\ARC==—x5A/2X5A/2=25,

ZXADC.22

:四邊形ABCD的面積為45,

：.S^ZX,ALc.Un=-2AEhCN=^5-25=20

』x5五xCN=20

2

CN=4也

在Rt^/CN中，根據(jù)勾股定理得，

AN=slAC2-CN2=7(5V2)2-(4A/2)2=372，

???ZSAC=90°f

???/BAM+/ABM=/BAM+/CAN=90°,

???ZABM=ZCAN,

在MBM和△C4N中，

ZAMB=ZCNA

<ZABM=ZCAN

AB=CA

:“ABMACAN(AAS),

:,BM=AN=3日

.??S=-AD^BM=-x5V2x3應(yīng)=15，

△ADD22

SABCD=S四邊物BCD一Z.0=45-15=30=；BGDH,

即180?！?30,

2

-xlOxD/f=30

2

DH=6,

即DE=2DH=12.

18.(1)［初步嘗試］如圖①，在三角形紙片N3C中，/4CB=90。,將△/SC折疊，使點3

與點C重合，折痕為則⑷/與3M的數(shù)量關(guān)系為18；

(2)［思考說理］如圖②，在三角形紙片N2C中，AC=BC=6,48=10,將折疊，使

點2與點C重合，折痕為求瞿的值；

BM

(3)［拓展延伸］如圖③，在三角形紙片/2C中，AB=9,BC=6,ZACB=2ZA,將△/8C

沿過頂點C的直線折疊，使點8落在邊/C上的點夕處，折痕為CW.

①求線段ZC的長；

②若點。是邊NC的中點，點尸為線段02'上的一個動點,將沿尸加■折疊得到AA'PM,

、、PF

點力的對應(yīng)點為點H,AM與CP父于點F,求大的取值范圍.

MF

c

o.

AW

“圖①"個圖②J圖③

【答案】（1）AM=BM；（2）與；（3）①.；②jWV:

【分析】（1）利用平行線分線段成比例定理解決問題即可.

（2）利用相似三角形的性質(zhì)求出即可.

（3）①證明△BCMsag/c,推出f=f=F，由此即可解決問題.②證明

ABBCAC

PFPA'PFPA'

APFAsAMFC,推出—=上,因為CM=5,推出三二="即可解決問題.

FMCMFM5

【解析】（1）解：如圖①中，

C

折疊，使點5與點。重合，折痕為MN,

?垂直平分線段5C,

???CN=BN,

,/ZMNB=ZACB=90°,

：.MN//AC9

.BN_BM

,?CNAM'

■:CN=BN,

：.AM=BM.

故答案為：AM=BM.

(2)解：如圖②中，

■:CA=CB=6,

/A=/B,

由題意得：MN垂直平分線段5C,

：.BM=CM,

：.NB=NMCB,

：.ZBCM=N4,

???/B=NB,

:ABCMs^BAC,

,BCBM

」而一熱

.6_BM

>?=,

106

.\AM=AB-BM=IO=—,

55

32

.AM_5_16

一麗—18~~9'

5

（3）解：①如圖③中，

由折疊的性質(zhì)可知，CB=CB'=6,ZBCM=ZACM,

,：/ACB=2/A,

???ZBCM=ZACM=ZA.

?:/B=/B,

：?ABCMs/\BAC,

.BC_BM_CM

??益―茲一工，

.6_BM

??—―，

96

：.BM=4,

：.AM=CM=5,

.6_J_

"9~AC，

AMB

圖③-1

^4鈿近彳aCF,PFA=^MFC,PAPA,

：.VPFA^VMFC,

.PFPA'

"FM~CM'

?：CM=5,

.PF_PA'

??麗一丁’

?.?點尸在線段。夕上運動，ON=OC=?,AB'=^-6=^,

：.-<PA'<—,

24

?3<PF<3

*'10-FM-4'

19.綜合與實踐

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師和學(xué)生都學(xué)習(xí)到了新知識，掌握了許多新技能.例如教材八年級下冊的

數(shù)學(xué)活動一折紙，就引起了許多同學(xué)的興趣.在經(jīng)歷圖形變換的過程中，進一步發(fā)展了同

學(xué)們的空間觀念，積累了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.

實踐發(fā)現(xiàn)：

對折矩形紙片48CD,使/。與2C重合，折痕為斯，把紙片展平：再一次折疊紙片，使點

/落在罰上的點N處，并使折痕經(jīng)過點8,折痕為破，把紙片展平，連接/N,如圖①；

圖③

(1)折痕8河所在直線是否是線段/N的垂直平分線？請判斷圖中A/