測(cè)量誤差及測(cè)量平差

關(guān)于測(cè)量誤差及測(cè)量平差一、研究測(cè)量誤差的目的：

第一節(jié)測(cè)量誤差概述分析測(cè)量誤差產(chǎn)生原因、性質(zhì)和積累的規(guī)律；正確處理觀測(cè)結(jié)果，求出最可靠值；評(píng)定測(cè)量結(jié)果的精度；通過(guò)研究誤差發(fā)生的規(guī)律，為選擇合理的測(cè)量方法提供理論依據(jù)。第2頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天第一節(jié)測(cè)量誤差概述

二、誤差產(chǎn)生的原因（觀測(cè)條件）

儀器原因

儀器精度的局限,軸系殘余誤差,等。人的原因判斷力和分辨率的限制,經(jīng)驗(yàn),等。外界影響氣象因素(溫度變化,風(fēng),大氣折光,等)

三、真誤差（觀測(cè)誤差、誤差）：

觀測(cè)值與真值之差稱為測(cè)量誤差

Δ=l-X觀測(cè)值真值第3頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天

3.偶然誤差△3

在相同的觀測(cè)條件下對(duì)某量作一系列觀測(cè)，其誤差的出現(xiàn)，大小和符號(hào)都具有不確定性，但又服從于一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。也叫隨機(jī)誤差。

2.系統(tǒng)誤差△2

在相同的觀測(cè)條件下對(duì)某量作一系列觀測(cè)，其誤差的出現(xiàn)，大小、符號(hào)保持不變或按一定的規(guī)律變化，如經(jīng)緯儀豎盤(pán)指標(biāo)差等。四.測(cè)量誤差的分類第一節(jié)測(cè)量誤差概述1.粗差△1

在相同觀測(cè)條件下作一系列的觀測(cè)，其絕對(duì)值超過(guò)限差的測(cè)量偏差。觀測(cè)時(shí)的儀器精度達(dá)不到要求、技術(shù)規(guī)格的設(shè)計(jì)和觀測(cè)程序不合理，以及觀測(cè)者粗心大意和儀器故障或技術(shù)上的疏忽等。第4頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天四.測(cè)量誤差處理第一節(jié)測(cè)量誤差概述1.粗差

大級(jí)量的觀測(cè)誤差

盡量避免出現(xiàn)，含有粗差的觀測(cè)值都不能使用各類測(cè)量規(guī)范可有效防止粗差出現(xiàn)。

第5頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天

2系統(tǒng)誤差

對(duì)系統(tǒng)誤差，通常采用適當(dāng)?shù)挠^測(cè)方法或加改正數(shù)來(lái)消除或減弱其影響。

例如：在水準(zhǔn)測(cè)量中采用前后視距相等來(lái)消除

視準(zhǔn)軸不平行橫軸誤差、地球曲率差和大氣折光差；在水平角觀測(cè)中采用盤(pán)左盤(pán)右觀測(cè)來(lái)消除

視準(zhǔn)軸誤差、橫軸誤差和照準(zhǔn)部偏心差；在鋼尺量距時(shí)，加尺長(zhǎng)改正來(lái)消除尺長(zhǎng)誤差，

加溫度改正來(lái)消除溫度影響，

加高差改正來(lái)消除鋼尺傾斜的影響等。四.測(cè)量誤差處理第一節(jié)測(cè)量誤差概述第6頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天3偶然誤差

原因不固定、難以控制，既不可避免，又消除不了。但具有規(guī)律性如估讀誤差、照準(zhǔn)誤差、不斷變化的溫度、風(fēng)力等外界環(huán)境。

對(duì)偶然誤差，通常采用多次觀測(cè)來(lái)減少誤差、提高觀測(cè)成果的質(zhì)量。四.測(cè)量誤差處理第一節(jié)測(cè)量誤差概述第7頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.偶然誤差第一節(jié)測(cè)量誤差概述誤差區(qū)間為正值為負(fù)值個(gè)數(shù)頻率個(gè)數(shù)頻率0~0.2210.1300.650210.1300.6500.2~0.4190.1170.585190.1170.5850.4~0.6150.0930.465120.0740.3700.6~0.890.0560.280110.0680.3400.8~1.090.0560.28080.0490.2451.0~1.250.0310.15560.0370.1851.2~1.410.0060.03030.0180.0901.4~1.610.0060.03020.0120.0601.6以上000000∑800.495820.505第8頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.偶然誤差第一節(jié)測(cè)量誤差概述第9頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天偶然誤差的特性1、在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限值；（有界性）2、絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)多；（趨向性）3、絕對(duì)值相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等；（對(duì)稱性）4、當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增加時(shí)，偶然誤差的算術(shù)平均值趨于零。（抵償性）

第一節(jié)測(cè)量誤差概述第10頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天3偶然誤差四.測(cè)量誤差處理第一節(jié)測(cè)量誤差概述正態(tài)分布曲線

-21-15-9-3+3+9+15+21-24-18-12-60+6+12+18+24x=

y第11頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天第二節(jié)衡量觀測(cè)值精度的標(biāo)準(zhǔn)精度：是指在對(duì)某一量值的多次觀測(cè)中，各個(gè)觀測(cè)值之間的離散程度。若觀測(cè)值非常集中，則精度高；若觀測(cè)值非常離散，則精度低。主要取決于偶然誤差測(cè)量中常用的評(píng)定精度標(biāo)準(zhǔn)有：中誤差相對(duì)誤差極限誤差第12頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天例5-1

對(duì)某三角形內(nèi)角之和觀測(cè)了5次，與180°相比較其誤差分別為+4″、-2″、0″、-4″、+3″，求觀測(cè)值的中誤差。一.中誤差

i=Li-X解：第13頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天例5-2

對(duì)某三角形內(nèi)角和分別由兩組各作了10次等精度觀測(cè)，其真誤差如下，求其中誤差，并比較兩組的精度。第一組：-3″，-2″，2″，4″，-1″，0″，-4″，3″，2″，-3″；第二組：0″，1″，-7″，-2″，-1″，1″，8″，0″，3″，-1″。解：一.中誤差第14頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天

m1=2.7是第一組觀測(cè)值的中誤差；

m2=3.6是第二組觀測(cè)值的中誤差。一.中誤差計(jì)算結(jié)果表明m1＜m2,第一組觀測(cè)精度高于第二組觀測(cè)精度。不難看出，第一組誤差分布比較集中，而第二組誤差分布比較離散，表明第二組觀測(cè)結(jié)果不穩(wěn)定，精度比第一組低。中誤差的幾何意義為偶然誤差分布曲線兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)

第15頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天一.中誤差中誤差的幾何意義為偶然誤差分布曲線兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)

第16頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天二.相對(duì)誤差

相對(duì)誤差是中誤差的絕對(duì)值與觀測(cè)值之比

化成分子為1的分?jǐn)?shù)式

T2<T1，所以200m測(cè)量精度較高例：用鋼尺分別丈量了100米及200米兩段距離，觀測(cè)值中誤差均為±0.01米，則相對(duì)誤差為

0.0110.011T1=——=——；T2=——=——

1001000020020000第17頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天二.相對(duì)誤差

相對(duì)誤差越小，觀測(cè)結(jié)果越可靠

經(jīng)緯儀測(cè)角時(shí)，不能用相對(duì)誤差來(lái)衡量測(cè)角精度。距離測(cè)量相對(duì)較差：反映往返測(cè)量的符合程度，相對(duì)較差越小，結(jié)果越可靠

第18頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天三.極限誤差(容許誤差)

通常取兩倍或三倍中誤差作為極限誤差，也稱容許誤差：

限=2m偶然誤差分別出現(xiàn)在一倍、二倍、三倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率為：

大于一倍中誤差的偶然誤差出現(xiàn)的可能性為32%大于兩倍中誤差的偶然誤差出現(xiàn)的可能性為5%大于三倍中誤差的偶然誤差出現(xiàn)的可能性為0.3%

或限=3m

第19頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天●如果對(duì)某量進(jìn)行直接觀測(cè)，則可由觀測(cè)值的真誤差來(lái)計(jì)算出中誤差，從而判斷觀測(cè)成果的質(zhì)量?！竦趯?shí)際測(cè)量中，有些未知量往往不是直接測(cè)量得到的，而是通過(guò)觀測(cè)其他一些相關(guān)的量后間接計(jì)算出來(lái)的?！窀鳘?dú)立觀測(cè)值含有誤差時(shí)，則其函數(shù)必受其誤差的影響而相應(yīng)地產(chǎn)生誤差。這種函數(shù)誤差的大小除了受到觀測(cè)值誤差大小的影響外，也取決于函數(shù)關(guān)系?！耜U述函數(shù)中誤差與觀測(cè)值中誤差之間關(guān)系的定律稱為誤差傳播定律。

第三節(jié)誤差傳播定律

——觀測(cè)值函數(shù)的中誤差第20頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天第三節(jié)誤差傳播定律

一.觀測(cè)值的函數(shù)例：高差平均距離實(shí)地距離三角邊和或差函數(shù)線性函數(shù)倍數(shù)函數(shù)一般函數(shù)坐標(biāo)增量一般函數(shù)……第21頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天設(shè)有函數(shù)：

Z=f（X1，X2，…Xn）

式中X1，X2，…Xn為獨(dú)立變量，

X1，X2，…Xn中誤差分別為m1，m2，…mn，Z的中誤差為：一、一般函數(shù)的中誤差

第22頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、一般函數(shù)的中誤差

泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)第23頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、一般函數(shù)的中誤差

設(shè)每項(xiàng)獨(dú)立變量觀測(cè)了k次第24頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、一般函數(shù)的中誤差

函數(shù)中誤差：第25頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天Z=f（X1，X2，…Xn）

一、一般函數(shù)的中誤差

第26頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天

二、求觀測(cè)值函數(shù)的中誤差基本步驟1

按問(wèn)題的要求，列出具體的函數(shù)關(guān)系式2

對(duì)各觀測(cè)值求偏導(dǎo)數(shù)（或全微分）3

寫(xiě)出函數(shù)中誤差與觀測(cè)值中誤差的關(guān)系式4

計(jì)算相應(yīng)函數(shù)值的中誤差。

第27頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天

例5-3

有一長(zhǎng)方形建筑物，測(cè)得其長(zhǎng)為29.40米，寬為9.20米，測(cè)量中誤差相應(yīng)為±0.02米和±0.01米。求該建筑物的面積及其中誤差。解：設(shè)長(zhǎng)為x1,寬為x2，面積為S，則有

S=x1x2=29.40×9.20=270.48平方米該建筑物的面積為S=270.48±0.35平方米。

第28頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、幾種觀測(cè)值典型函數(shù)的中誤差1、和差函數(shù)的中誤差

設(shè)有和差函數(shù)：

按函數(shù)中誤差計(jì)算公式，得到當(dāng)?shù)染扔^測(cè)時(shí)：

上式可寫(xiě)成：Z=±x1±x2±···±xn第29頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天2、倍數(shù)函數(shù)的中誤差

設(shè)有倍數(shù)函數(shù)：

按函數(shù)中誤差計(jì)算公式，得到mz=kmx三、幾種觀測(cè)值典型函數(shù)的中誤差Z=kx第30頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天3、線性函數(shù)的中誤差

設(shè)有線性函數(shù)：

按函數(shù)中誤差計(jì)算公式，得到三、幾種觀測(cè)值典型函數(shù)的中誤差Z=k1x1+k2x2+···+knxn第31頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1：量得某圓形建筑物得直徑D=34.50m,其中誤差,求建筑物得圓周長(zhǎng)及其中誤差。四、中誤差計(jì)算解：圓周長(zhǎng)第32頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天四、中誤差計(jì)算第33頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天四、中誤差計(jì)算例3：用長(zhǎng)30m的鋼尺丈量了10個(gè)尺段，若每尺段的中誤差為5mm，求全長(zhǎng)D及其中誤差。第34頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天四、中誤差計(jì)算化為弧度第35頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天第四節(jié)

測(cè)量平差原理為了進(jìn)行檢核及提高觀測(cè)成果的精度，常采用重復(fù)測(cè)量。重復(fù)測(cè)量會(huì)形成多余觀測(cè)，在觀測(cè)值結(jié)果之間產(chǎn)生矛盾，也就是說(shuō)要產(chǎn)生閉合差。因此，必須對(duì)這些帶有偶然誤差的觀測(cè)成果進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。采用一定的估計(jì)原理處理各種測(cè)量數(shù)據(jù)求測(cè)量值和參數(shù)的最佳估值并進(jìn)行精度估計(jì)的工作稱為測(cè)量平差。測(cè)量平差的基本原理為最小二乘法原理。

第36頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天第四節(jié)

測(cè)量平差原理在相同條件下進(jìn)行的觀測(cè)是等精度觀測(cè)，所得到的觀測(cè)值稱為等精度觀測(cè)值。不同觀測(cè)條件下所獲得的觀測(cè)值稱為不等精度觀測(cè)值。對(duì)一個(gè)未知量的直接觀測(cè)值進(jìn)行平差，稱為直接觀測(cè)平差。等精度直接觀測(cè)平差，不等精度直接觀測(cè)平差。平差結(jié)果最接近真值，最或是值，最或是誤差

第37頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、算術(shù)平均值

在相同觀測(cè)條件下，對(duì)某一未知量進(jìn)行n次觀測(cè)，其觀測(cè)值分別為l1、l2、……、ln，則算術(shù)平均值是該量的最可靠的值:

第四節(jié)等精度觀測(cè)的直接平差最或是誤差：第38頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、觀測(cè)值的中誤差v為觀測(cè)值的改正值（最或是誤差）按觀測(cè)值的改正值計(jì)算觀測(cè)值的中誤差的公式第四節(jié)等精度觀測(cè)的直接平差第39頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、算術(shù)平均值的中誤差：由于是等精度觀測(cè)，m1=m2=···=mn=m，m為觀測(cè)值的中誤差，由此得到計(jì)算算術(shù)平均值的中誤差（最或是值的這些中誤差）第四節(jié)等精度觀測(cè)的直接平差對(duì)某觀測(cè)量進(jìn)行多次觀測(cè)(多余觀測(cè))取平均，是提高觀測(cè)成果精度最有效的方法。第40頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天例6距離誤差例5：對(duì)某距離用精密量距方法丈量六次，求①該距離的算術(shù)平均值；②觀測(cè)值的中誤差m

；③算術(shù)平均值的中誤差M

；④算術(shù)平均值的相對(duì)中誤差：第41頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天例6：對(duì)某水平角等精度觀測(cè)了5次，觀測(cè)數(shù)據(jù)如下，

68°25′30″、68°25′36″、68°25′24″、68°25′42″、68°25′18″，求算術(shù)平均值、觀測(cè)值的中誤差和算術(shù)平均值的中誤差。第四節(jié)等精度觀測(cè)的直接平差X=68°25′30″m=±9″mx=±4″第42頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天增加觀測(cè)次數(shù)可以提高算術(shù)平均值的精度增加到一定程度精度不再提高，應(yīng)設(shè)法提高觀測(cè)值本身的精度第43頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、權(quán)的概念

權(quán)用于非等精度觀測(cè)中；權(quán)用于衡量觀測(cè)值的質(zhì)量，觀測(cè)值的權(quán)表示該觀測(cè)值在這組觀測(cè)值中所占的比重。觀測(cè)值的精度越高，其權(quán)越大；精度越低，其權(quán)越小。權(quán)只有相對(duì)意義，只取正值。第五節(jié)不等精度觀測(cè)的直接平差第44頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.權(quán)的表示方法

一般取一次觀測(cè)、一測(cè)回、單位長(zhǎng)度等的測(cè)量誤差作為單位權(quán)中誤差。權(quán)p=1的中誤差稱為“單位權(quán)中誤差”，通常用或表示，所以權(quán)也表示為：式中c為任意正數(shù)。

權(quán)用字母p表示，并定義權(quán)

p與中誤差的平方成反比：

第45頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天二.加權(quán)平均值1.加權(quán)平均值的計(jì)算：對(duì)某一未知量，以不等精度觀測(cè)得n個(gè)觀測(cè)值：其中誤差分別為：觀測(cè)值的權(quán)為：上式也稱為加權(quán)平均值或廣義算術(shù)平均值。

則該未知量的最或是值為：計(jì)算加權(quán)平均值的實(shí)用公式：即第46頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天二.加權(quán)平均值1.加權(quán)平均值中誤差的計(jì)算：

單位權(quán)中誤差：加權(quán)平均值中誤差：第47頁(yè),共52頁(yè)，2024年2月25日，星期天例7：對(duì)某水平角進(jìn)行了三組觀測(cè)，各組分別觀測(cè)2，4，6測(cè)回計(jì)算該水平角的加權(quán)平均值。加權(quán)平均值的計(jì)算

組號(hào)測(cè)回?cái)?shù)各組平均值

L

權(quán)

PLPL

加權(quán)平均值：1240

20

14

4282440

20

17

74283640