河南省名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三年級上冊11月段考數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年河南省名校聯(lián)盟高三（上）段考數(shù)學(xué)試卷（11月

份）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（5分）命題Tx>0,/__!<（）"的否定為（）

X

A.3x>0,/-B.x2-—^0

XX

C.V尤>0,%2-工》0D.VxWO,/-120

XX

2.(5分)已知集合人={y}，B={x|3x-2<7}<則ans=()

x2+l

A.(1,3)B.(0,3)C.[1,3)D.[0,3)

3.（5分）已知函數(shù)，（歷x）=小則/（0）=（）

A.產(chǎn)B.eC.1D.0

5,

4.(5分)已知a=31og32,b=log25,c=(y)則()

A.c<a〈bB.b〈c〈aC.a〈b〈cD.b<a<c

1+a1

5.（5分）已知數(shù)列｛即｝滿足即+1=........-,且41=2,若即=工，則根的值可能為（）

1-an3

A.2021B.2022C.2023D.2024

6.（5分）己知函數(shù)戶無）的定義域?yàn)镽,/（2x+l）為奇函數(shù)，/（x-1）（-%-1）,則（）

A.f（0）=0B.f（3）=0C.f（7）=0D.f（5）=0

7.（5分）笛卡爾在信中用一個能畫出心形曲線的方程向公主表達(dá)愛意的故事廣為流傳，其

實(shí)能畫出心型曲線的方程有很多種.心形曲線如圖所示，其方程為/+/=1+|尤|y,若A

為曲線上一點(diǎn)，0A的取值范圍為（）

8.（5分）對稱性是數(shù)學(xué)美的一個重要特征，幾何中的軸對稱，中心對稱都能給人以美感,

在菱形A8CZ）中，ZABC=120°,以菱形A8CD的四條邊為直徑向外作四個半圓，P是

這四個半圓弧上的一動點(diǎn)，若而=入忝+同慶（）

22

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

（多選）9.（5分）已知等比數(shù)列｛金｝的公比為q,且m=l,47=8,貝lj（）

A.q=V2B.『=2C.a4=2V2D.013=64

10.（5分）下列函數(shù)的圖象不可能與直線y=2x+m,"￡R相切的是（）

A.f（x）=7+xB.f（x）=x3+ex

2

Cf（x）=lnx+^-D.f（x）=Vx+2x

（多選）11.（5分）已知函數(shù)/（x）=sin2x+acos2x（a€R）,且\/x￡R,f（x）

則下列說法正確的是（）

A.于（x）在（0,弓_）上單調(diào)遞增

B.f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（且L,0）對稱

3

C.將/（x）的圖象向右平移笥個單位長度，得到函數(shù)y=2cos2x的圖象

D.f（x）在（0,弓_）上的最大值為2

（多選）12.（5分）若函數(shù)/（無）的定義域?yàn)?。，對于任意Xie。，都存在唯一的X2C。，使

得了（尤1）/（X2）=1,則稱無）為“A函數(shù)”（）

A.函數(shù)/（%）=/總是“A函數(shù)”

B.已知函數(shù)/（x）,的定義域相同，若了（尤）是“A函數(shù)”，則也是“A函

f（x）f（x）

數(shù)”

C.已知/（x）,g（無）都是“A函數(shù)”，且定義域相同，則/（尤）+g（尤）也是“A函數(shù)”

D.已知m>0,若/'（x）=m+sinx,x￡[-彳,弓-]是“A函數(shù)"，則

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）已知Z，E均為單位向量，且|彳三|=$,則7與E夾角的余弦值

2

為.

14.（5分）已知正實(shí)數(shù)x,y滿足2孫-2x-y=0,則—-―的最小值

2x-ly-1

為.

15.（5分）邯鄲叢臺又名武靈叢臺，相傳始建于戰(zhàn)國趙武靈王時期，是趙王檢閱軍隊(duì)與觀

賞歌舞之地，某學(xué)習(xí)小組為了測量邯鄲叢臺的高度A3,選取了與臺底在同一水平面內(nèi)的

兩個測量基點(diǎn)C,D,ZBDC=86°,。=40米，則叢臺的高度為米.（結(jié)

果精確到0.1米,取tan精。=1.19,sin64°=0.90）

A

16.（5分）已知x€（號，，則不等式esiiu-cosx-tan%20的解集

為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）已知x=l是函數(shù)/（x）=/-cu5+x+b的一個極值點(diǎn).

（1）求。的值；

（2）若/（x）有3個零點(diǎn)，求b的取值范圍.

18.（12分）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知acosB-26cosA=6+c.

（1）求tanA；

（2）若@=/萬，△ABC的面積為求△ABC的周長.

19.（12分）遞增的等差數(shù)列｛劭｝的前〃項(xiàng)和為品，已知S3=2ai+13,且的-2是4和公

的等比中項(xiàng).

（1）求｛斯｝的通項(xiàng)公式;

（2）若b=------------,數(shù)列｛阮｝的前〃項(xiàng)和為T”，證明：T〈二

nanan+lan+2n168

20.（12分）如圖，在△ABC中，ABLAC,且N3AM=30°,AM=2.

(1)若AcJ，求CM的長;

(2)求A2?AC的最小值.

a1+aoa1+an+aoai+ac+…+a_

21.（12分）己知數(shù)列｛斯｝滿足a,+—5------------------——1+…-----2-----------=.2n-

123nn

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列(&■｝的前n項(xiàng)和Sn.

n

x-1

eR

22.(12分)已知函數(shù)f(x)①一+e(lnx-x)>?-

X

(1)若/(x)在(1,+°°)上單調(diào)遞增，求〃的取值范圍；

(2)當(dāng)軟》$時，證明：f(x)+(e-1)x>^1(1-Inx)+elnx.

2023-2024學(xué)年河南省名校聯(lián)盟高三(上)段考數(shù)學(xué)試卷(11月

份)

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.(5分)命題“*>0,?-1<OW的否定為()

X

A.3x>0,7-120B.3x^0,

XX

C.V尤>0,/-上20D.VxWO,x2--1^0

XX

【分析】存在改任意，將結(jié)論取反，即可求解.

【解答】解："3x>0,，-1<0”的否定為：Vx>0,?-1^0.

XX

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查特稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.

2.(5分)已知集合人={y|y=x2T—}，B={x|3x-2<7}，貝口汨=()

x2+l

A.(1,3)B.(0,3)C.[1,3)D.[0,3)

【分析】由基本不等式求集合A中函數(shù)的值域，得到集合A,解集合8中的不等式，得

到集合3,再求兩個集合的交集.

[解答]解：因?yàn)閄2+==x2+3.—1>2J(X5+1)-^-1=5-1=1-

xJ+lx+7Vxb+l

當(dāng)且僅當(dāng)x'+l」一，即x=0時，則4=[8,

x8+l

不等式3x-2<5解得x<3,貝IJB=(-8,

所以An8=[l,8).

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查集合的運(yùn)算，難度不大.

3.(5分)已知函數(shù)/(歷X)=",則/(0)=()

A.才B.eC.1D.0

【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式，令1=1,計(jì)算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)/(/心)=",令x=l,則/(/〃1)=f(0)=e6=e.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)值的計(jì)算，注意特殊值法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5y

4.（5分）已知aKlog??，b=log25,c=（y）則（）

A.c<a<bB.b<-c<-aC.a<b<cD.b〈a〈c

【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷。，b,c三個數(shù)的范圍即可得出它

們的大小關(guān)系.

【解答】解：因?yàn)椤?31og32=log38,

由對數(shù)函數(shù)y=log8x的圖象與性質(zhì)知l=log34Vlog38Vlog69=2,

???8VaV2；

???由對數(shù)函數(shù)y=log2x的圖象與性質(zhì)知Iog55>log27=2,

:?b>2；

???由指數(shù)函數(shù)y二（卷廣的圖象與性質(zhì)知0<

A0<c<5；

:?c〈a〈b.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于

中檔題.

1+a-I

5.（5分）已知數(shù)列｛?！ǎ凉M足劭+1=......—,且。1=2,若麗=」，則根的值可能為（）

1-an3

A.2021B.2022C.2023D.2024

【分析】先根據(jù)題干遞推公式及ai的值逐項(xiàng)代入即可發(fā)現(xiàn)數(shù)列｛a〃｝是以4為最小正周期

的周期數(shù)列，再根據(jù)周期數(shù)列的性質(zhì)及麗=」即可判斷出m的可能取值.

3

【解答】解：由題意，可知“1=2,

1+al1+6

“3==7,

3-a[1-2

._1+a5_4-3__1

Lftlj-----...-，

l-a21+42

l+a?12

1

6

，數(shù)列｛?｝是以4為最小正周期的周期數(shù)列,

1

3

根為7的倍數(shù)，

?.,2024=4X506,

：.m的值可能為2024.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查周期數(shù)列的判定及周期性的應(yīng)用.考查了整體思想，轉(zhuǎn)化與化歸

思想，迭代法，周期性的應(yīng)用，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬中檔題.

6.(5分)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,八2尤+1)為奇函數(shù)，/(x-1)(-%-1),則()

A.f(0)=0B.f(3)=0C.f(7)=0D.f(5)=0

【分析】根據(jù)已知可得出/(1)=0,/(-x)—-f(x+2),/(-x)—f(x-2),進(jìn)而

推得了(尤-2)=-/(x+2).賦值即可得出答案.

【解答】解：由/(2x+l)為奇函數(shù)，可得/(I)=7,

且/(2x+l)=-/<-6x+l),所以7(x+1)=-f(-x+8).

又了(尤-1)—f(-x-1),所以-尤)—f(x-2),

所以/(x-2)=-/(尤+2).

令尤=4可得，/(1)=-f(5).

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

7.(5分)笛卡爾在信中用一個能畫出心形曲線的方程向公主表達(dá)愛意的故事廣為流傳，其

實(shí)能畫出心型曲線的方程有很多種.心形曲線如圖所示，其方程為/+/=1+|尤|?若A

為曲線上一點(diǎn)，的取值范圍為()

【分析】記。4與x軸非負(fù)半軸所成的角為3點(diǎn)A（xo,yo）,則xo=。4cos仇yo=OAsin0

（e<三），代入曲線方程化簡可求得結(jié)果.

2%%2

【解答】解:記OA與無軸非負(fù)半軸所成的角為仇心形曲線關(guān)于y軸對稱e<—

22

設(shè)點(diǎn)A（X8,yo）,則xo=04cos8,y8=0Asin。，代入曲線方程可得0A2=l+OA5|cos6|sin0,

則OA?1]

2-|cos0|sin0l-^-sin28

A-TTW28WTT,

3%%2

卷《—sin29

則^■《4-^sin604"I"'

得《2，§POA2€Ev'2「

7^sin793

,?OA€,V2].

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查曲線與方程，訓(xùn)練了利用三角函數(shù)求最值，考查運(yùn)算求解能力，是中

檔題.

8.（5分）對稱性是數(shù)學(xué)美的一個重要特征，幾何中的軸對稱，中心對稱都能給人以美感,

在菱形ABCD中，ZABC=120°,以菱形ABC。的四條邊為直徑向外作四個半圓，P是

這四個半圓弧上的一動點(diǎn)，若而=入瓦+|1反（）

B

P

A.5B.3D-i

【分析】根據(jù)題意，由條件可得當(dāng)斯與圖形下面半圓相切時，入+U取得最大值，再結(jié)合

圖形，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【解答】解：如圖，設(shè)血=k五，DF=kDC.設(shè)P是直線￡尸上一點(diǎn)，

令而=x而切布，貝Ux+y=L

因?yàn)槭撬膫€半圓弧上的一動點(diǎn)，

所以當(dāng)所與圖形下面半圓相切時，入+R取得最大值,

設(shè)線段A2的中點(diǎn)為線段AC的中點(diǎn)為。1,

連接MP,連接DO1并延長使之與EF交于點(diǎn)。2,

過M■作MN_LZ）02,垂足為N,

因?yàn)?ABC=120°,42=81=1,

3

O7O2=O1N+NO4=O1N+MP=-

貝I」DOC工，由△OACsADER得k理=5^=芻

uu27KDADC）12

故A+n的最大值為立.

5

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查平面向量基本定理，屬中檔題.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

（多選）9.（5分）已知等比數(shù)列｛礪｝的公比為q,且m=l,s=8,則（）

A.q=&B./=2C.a4=2^/2D-。13=64

【分析】由已知條件結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)，求出公比q,解得04和。13,驗(yàn)證選項(xiàng)即可.

6

【解答】解：因?yàn)閙=l,a8=aiq=5'

所以/=8,有［4=2,解得q=±J5,5選項(xiàng)正確；

當(dāng)q=加時，@4=@中2=2^歷；

2

當(dāng)q=-而時，a4=aiq=-2V2>故C選項(xiàng)錯誤，

a13=a2^^=^)故。選項(xiàng)正確?

故選：BD.

【點(diǎn)評】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

10.(5分)下列函數(shù)的圖象不可能與直線y=2x+m,"￡R相切的是()

A.f(九)=f+xB.f(x)—x3+^

2

Cf(x)=lnx+^-D.f(x)=vx+2x

【分析】題目轉(zhuǎn)化為函數(shù)/(x)=2有解，則直線y=2x+m就可以為該函數(shù)圖象的切

線，則逐項(xiàng)檢驗(yàn)即可得結(jié)論.

【解答】解：若導(dǎo)函數(shù)/(%)=2有解，則直線y=2x+機(jī)就可以為該函數(shù)圖象的切線,

對于選項(xiàng)A,令/(x)=3x+l=2x=^-,滿足條件；

對于選項(xiàng)8,因?yàn)?(x)=3/+/在(0,+8)上單調(diào)遞增，/(2)=12+/>3,所

以方程/(x)=3/+/=3有解，滿足條件；

對于選項(xiàng)G令f，(x)二+x=2，解得1=3;

x

對于選項(xiàng)，f，(x)=~~/+3〉2，不滿足條件.

2Vx

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義與切線方程的求法，屬于中檔題.

(多選)11.(5分)已知函數(shù)/(x)=sin2x+6zcos2x(tzGR),且\/x€R,f(x)

則下列說法正確的是()

A./⑴在(0,/_)上單調(diào)遞增

B./(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(且L,0)對稱

3

C.將/(X)的圖象向右平移」需個單位長度，得到函數(shù)y=2cos2x的圖象

D.f(x)在(0,二)上的最大值為2

【分析】利用函數(shù)的最小值點(diǎn)求出。，得到函數(shù)解析式，由正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷單調(diào)區(qū)間,

對稱中心，最值和平移后的函數(shù)解析式.

【解答】解：f（x）=sin2x+acos2x=V?+a2sin（2x+0）,其中tancp=a,

因?yàn)閈/x€R,所以8X（弓）+。=-5+2卜冗，kCZ，

則。=~~^~+2k冗,k€Z,tan（t）=a=V3>f（x）=2sin（2xT->

oo

當(dāng)5<x<等時，/<2*4<等，，（x）不單調(diào)；

NOoD

當(dāng)時，3x—=3兀，f（等）=2sin2兀=0,故/（X）的圖象關(guān)于點(diǎn)（等，0）>

B正確；

f（X荃）=8sin（2xE）#2cos2x，所以將7（x）的圖象向右平移爸，得不到

函數(shù)y=2cos2x的圖象；

由7Vx〈年，得/〈7x4〈等，當(dāng)2x/4,即x與時，（x）取最大

NdoooZ1Z

值為2.

故選：BD.

【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

（多選）12.（5分）若函數(shù)/（無）的定義域?yàn)椤＃瑢τ谌我庥?6。，都存在唯一的X26。，使

得/（X1）/（X2）=1,則稱/（X）為“A函數(shù)”（）

A.函數(shù)/'（x）=/nx是"A函數(shù)"

B.已知函數(shù)/（無），的定義域相同，若/（x）是“A函數(shù)”，則也是“A函

f（x）f（x）

數(shù)”

C.已知/（x）,g（無）都是“A函數(shù)”，且定義域相同，則/（尤）+g（無）也是“A函數(shù)”

D.已知m>0,若/(x)=m+sinx,W［號，皆］是“A函數(shù)”,則m=V2

【分析】題干給出了“A函數(shù)”的定義，按照定義，判斷函數(shù)是否是“A函數(shù)”，其中一

定注意/（x）W0在定義域中恒成立，選項(xiàng)中不正確的舉出反例，正確的嚴(yán)格按照“A函

數(shù)”的定義證明即可.

【解答】即：對于選項(xiàng)A,當(dāng)Xl=l時，f（X5）=0,此時不存在尤2,使得了（X5）/（尤2）

=1.A不正確；

對于選項(xiàng)8,由/(%),—二，若了(無)是“A函數(shù)”16。，都存在唯一的X26。，使得

f(X)

/(X8)/(X2)=1,則對于任意X3&D,都存在唯一的X2C。，使得一/—

皿2X2)f(x)

也是“A函數(shù)”;

對于選項(xiàng)C,不妨取/(%)X，g(x)T，+8)，令F(x)=f(x)+g(x)=x4>2

1)F(X7)24,

故/(x)+g(x)不是“A函數(shù)”.。不正確;

二兀

對于選項(xiàng)。，因?yàn)?(%)m+sinx,7T

xW［亍力

所以機(jī)+sinx#0在［,；-］上恒成立，所以機(jī)-l>02)(m+sinx2)1,

即對于任意,都存在唯一的X26

,_1

sinx=~~:----f，

f0im+smxj

因?yàn)閙-8^m+sinxi^m+l,所以一^――1r----1-----m4一~-

m+1m+sinx5m-1

即一irt<sinx24'4

m+1/m-1

+41

由,解得IR=3歷.

卷-Ml

故選：BD.

【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)定義域的求解，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)已知Z,E均為單位向量，且iZE尸上，則Z與E夾角的余弦值為上.

2—16—

【分析】由平面向量模的公式可求得？?1=一2,再由平面向量的夾角公式計(jì)算即可.

016

【解答】解：設(shè)之與E的夾角為0,

因?yàn)閆，E均為單位向量立，

2

235

所以|；-2b|=；-4；-b+4b^

4

即l-4a,b+dzBF'，解得

416

____5

awb_16__5

所以cos|a||bl=lx6=^6

故答案為：二

16

【點(diǎn)評】本題考查平面向量的數(shù)量積與夾角，屬于基礎(chǔ)題.

14.（5分）已知正實(shí)數(shù)無，y滿足2孫-2x-y=0,則_1_」一的最小值為_2、巧

2x-ly-1

【分析】變形得到二^J-=4x+y-3,結(jié)合工3=2,利用基本不等式“1”的妙用

2x-ly-1xy

求出最小值.

【解答】解:12―7x~iy-3

2x-7+y-l2xy-7x-y+l

由2呼-2x-y=5,得2孫=2x+y,故工二■=2,

xy______

則7x+y_3](4x+y)(―+-^-)-3=^~+^~=2點(diǎn)，

2xy2xyV2xy

，6x+y=2xyf2+V2

當(dāng)且僅當(dāng)(二瓦,即-4時，等號成立.

2xy|y=V2+1

故的最小值為

2x-ly-1

故答案為：272.

【點(diǎn)評】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題.

15.（5分）邯鄲叢臺又名武靈叢臺，相傳始建于戰(zhàn)國趙武靈王時期，是趙王檢閱軍隊(duì)與觀

賞歌舞之地，某學(xué)習(xí)小組為了測量邯鄲叢臺的高度AB,選取了與臺底在同一水平面內(nèi)的

兩個測量基點(diǎn)C,D,ZBDC=86°,0=40米，則叢臺的高度為26.4米.（結(jié)果

精確到0.1米,取tan50°=1.19,sin64°=0.90）

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦定理，以及三角形的性質(zhì)，即可求解.

【解答】解：因?yàn)镹BC￡>=30°,/BDC=86：

則/C8O=180°-ZBCD-ZBDC=64°,

在△BCD中，——膽——=——也——，

sinZBCDsinZCBD

則en=CD"sinzLBCD=4°Xsin30°022”,

sin/CBDsin64°

在Rt^AB。中，AB±BD,

所以AB=BDtanZADB=22.2X2.19^26.4米.

故答案為：26.4.

【點(diǎn)評】本題主要考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

16.(5分)已知xC(工，工)，則不等式esi皿-cosx-tanx'0的解集為

XL22

(工，—]-

(24-

【分析】令f(x)d，將不等式化為f(cosx)可(siirv),利用導(dǎo)數(shù)求得/(x)單調(diào)

ex

性，進(jìn)而得到cosxNsiru,由此求得不等式解集.

sinx.

【解答】解：不等式esixcosx-tanx20可化為：——》巨漢

cosx

eCOSX

當(dāng)x—T，2)時‘的>0"0,可得甯a喘

乙佳ee

令f(X)=，，則/(cos%)(sinx),

ex

求導(dǎo)數(shù)，得f，(x)/r,當(dāng)在(-8,/(x)>0,+8)時.

ex

所以/(%)在(-8,1)上單調(diào)遞增，+8)上單調(diào)遞減.

當(dāng)x€（時，cosxG（0,sinxG（-2,得cosx2sinx,

即當(dāng)x￡（一^-，￡*）時，,a1n'W2x€

即不等式6$.一cosx-tanx、4的解集為（一2L,2L1.

〈24」

故答案為：(工，2L1.

〈34」

【點(diǎn)評】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、同角三角函數(shù)關(guān)系與三角恒等變形、

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，考查了計(jì)算能力、邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)已知x=l是函數(shù)/(無)=尤3-辦2+了+。的一個極值點(diǎn).

(1)求a的值；

(2)若/(%)有3個零點(diǎn)，求b的取值范圍.

【分析】(1)函數(shù)的極值點(diǎn)為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，可求。的值并檢驗(yàn);

(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，由函數(shù)極值的符號確定零點(diǎn)的個數(shù).

【解答】解：(1)因?yàn)?(x)=x3-ax^+x+b,所以/(x)=2x2-2ax+S.

因?yàn)閤=l是/(x)的一個極值點(diǎn)，所以/(1)=4-4a=0.

經(jīng)檢驗(yàn)知，當(dāng)。=2時，故〃=2.

(2)由(1)可知，f(x)=x3-2X4+X+Z?,

則(x)=3x2-7x+l=(3x-2)(x-1).

當(dāng)?或九>1時；當(dāng)時，f(%)<°，

85

f(x)在(-8,和(L在/，1)上單調(diào)遞減.

因?yàn)榱?尤)有7個零點(diǎn)，所以,f(T)=^7r-T4T+b>0,

,f(l)=8-2+l+b<5,

解得益<b<0,故》的取值范圍為(號，0).

【點(diǎn)評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)求參數(shù)的

取值范圍，考查了方程思想和轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

18.(12分)△A5C的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為a,b,c,已知QCOSB-2/?cosA=Z?+c.

(1)求tanA；

(2)若aAABC的面積為K歷，求AABC的周長.

【分析】(1)根據(jù)正弦定理，得cosA=-2，從而求得tanA；

3

(2)根據(jù)面積公式和余弦定理即可求得AABC的周長.

【解答】解：(1)因?yàn)閍cosB-2Z?cosA=Z?+c,所以sinAcosB-2sin8cosA=sin8+sinC.

又sinC=sin(A+8)=sinAcosB+cosAsinB,所以-7sin8cosA=sinB.

因?yàn)閟inBWO,所以cosA=-^.

又Ae(0,it)sinA=-^^->tanA=-2炳.

(2)△ABC的面積S=_^_bcsinA=^^_bc=2W'則bc=6,

Hn2_.72cL_.52得(b+c)2=a2壹c=25，

出a=b+c-2lbccosA=b+c

所以b+c=5,故△ABC的周長為7WT7.

【點(diǎn)評】本題考查了正弦定理，余弦定理和面積公式，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

19.(12分)遞增的等差數(shù)列｛劭｝的前〃項(xiàng)和為品，已知S3=2m+13,且〃3-2是m和公

的等比中項(xiàng).

(1)求｛即｝的通項(xiàng)公式；

(2)若b=------------,數(shù)列｛阮｝的前w項(xiàng)和為T”，證明：T<—■

nanan+lan+2n168

3ai+3d=2a?+13

【分析】(1)設(shè)｛劭｝的公差為d(J>0),依題意有I_,解

(a1+2d-2)二(a+4d)

出ai和d,即可得｛劭｝的通項(xiàng)公式；

(2)根據(jù)數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消求前〃項(xiàng)和，可證得不等式成立.

【解答】解：(1)設(shè)｛“〃｝的公差為d(d>0),因?yàn)镾3=2m+13,

所以3〃8+3d=2〃8+13,即611=13-3d,

又〃4-2是m和〃8的等比中項(xiàng)，所以(軟々-2)5=@1@/

J1u

即8

(a5+2d-2)=ai(ai+6d)-

將m=13-3d代入，整理得心+/-12=0,

解得d=3或d=-6(舍去)，貝ljm=13-3d=5,

所以礪=m+(n-1)d=3〃+l；

(2)證明：由(1)可得，

二1__________二8「1_______________11

n(6n+l)(3n+5)(3n+7)6(7n+l)(3n+3)(3n+4)(3n+7)

同T7「1511,3_______________1_______

n飛>"287070130(3n+l)(2n+4)(5n+4)(3n+3)」

—1、，「21r/8、，17

6L28(3n+5)(3n+7)」628168

【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查裂項(xiàng)相消法求和，屬中檔題.

20.(12分)如圖，在△ABC中，AB±AC,且NR4M=30°,AM=2.

(1)若ACh|"，求CM的長；

(2)求的最小值.

【分析】(1)根據(jù)條件求出NC4M=60°,利用余弦定理進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)在中，利用正弦定理求出在△人□/中，利用正弦定理求出AC,得到

ABAC,再進(jìn)行化簡后，利用基本不等式即可求出最小值.

【解答】解：(1)因?yàn)?8_LAC,ZBAM=30°.

又AM=2,AC用，

4

所以CM之=AC2+AM~2AC-AM-cosZCAM4+4-2X春X2X《

4224

所以?二里。

4

(2)在△ASM中，-----,皿----「二用1則AR=紂一⑸一邛),

sin(1500-B)sinBsinB

在△ACM中，-----,三----_=_^L,則Ac/En(120°。,

sin(1200-C)sinCsinC

所以ABAC-5sin(150。@2sin(1200-C)

sinBsinC

2sin(1500-B)2sin(300+B)Ssin'B+c。s,B+

sinBcosBsinBcosB

=7tanB+—^+2^/8>473-

tanB

當(dāng)且僅當(dāng)tanB=?，即B工時，等號成立

36

【點(diǎn)評】本題考查三角形的正弦定理、余弦定理和三角函數(shù)的恒等變換，考查方程思想

和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題.

a1+aoai+ac+a。ai+ac+…+a_

21.(12分)已知數(shù)列｛即｝滿足a+~~?----+-^------——1+…-------------巴=n，2n-

123n

(1)求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列(&■｝的前n項(xiàng)和Sn.

n

【分析】(1)由題意可得：ai+a2+—+an=(n+l)n?2n-l，"Nl，則

n-2

ai+a2+...+an_1=n(n-l)-2'兩式相減可求解；

(2)由(1)可得：至“"？)，？*,則5“=4?2、+5?2°+...+(11+3)?2=2,

n11

即2Sn=4,20+5-21+...+(n+3)兩式相減可求解?

【解答】解：(1)已知數(shù)列｛an｝滿足

a+aa+a+a十安+河+…+a

l2l33,a?2n，

“1"―2—43.n

則a〃+----—++----------------2_Z_=(?-l)?8nl,〃>2,