2023年新高考全國(guó)I數(shù)學(xué)試卷押題數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2023年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)押題卷

第I卷（選擇題）

一、單選題

1.已知集合人=卜|/<2x},集合5={x|log2(x-l)<l},則AB=()

A.{40<》<3}B.1x|l<x<21C.1x|2<x<3}D,{x[0<x<2}

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z-i|=l,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x,y),則()

A.(x+1)2+y2=\B.(x-l)2+y2=lC.x2+(y-l)2=1D.x2+(y+l)2=1

3.在高一期中考試中，甲、乙兩個(gè)班的數(shù)學(xué)成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下表:

班級(jí)人數(shù)平均分?jǐn)?shù)方差

甲202

乙30生3

其中濡=三，則兩個(gè)班數(shù)學(xué)成績(jī)的方差為（）

A.3B.2

C.2.6D.2.5

4.衣柜里有灰色，白色，黑色，藍(lán)色四雙不同顏色的襪子，從中隨機(jī)選4只，已知取出兩

只是同一雙，則取出另外兩只不是同一雙的概率為（）

A.2B.iC.AD.§

55159

5.已知奇函數(shù)/（x）=sin（s+0）-Gcos（0x+0）,（其中G>0,/cR）在有7

個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)叩的取值范圍是（）

A.(3,4]B.(3]，44]

C.[3,4)D.[3肛4乃）

6.(1+x)+(l+x)-4-+（1+X）9的展開(kāi)式中V的系數(shù)是（）

A.60B.80C.84D.120

7.已知函數(shù)/（%）=1時(shí)-&（x-l）恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則2的取值范圍為（）

A.（—l,0）u（l,+co）B.（—°o,-C.（—1,O）U（O,1）D.（-°o,—1）

尤2v2

8.己知雙曲線(xiàn)E:\-4=l（a>0,6>0）的左，右焦點(diǎn)分別為匕，尸2，過(guò)用作圓

a~b~

0：Y+y2=/的切線(xiàn)，切點(diǎn)為T(mén),延長(zhǎng)叱交雙曲線(xiàn)E的左支于點(diǎn)兒若|產(chǎn)段>2|叫

則雙曲線(xiàn)E的離心率的取值范圍是（）

D.（加,右）

二、多選題

9.下列命題中，正確的命題是（）.

A.數(shù)據(jù)1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的70%分位數(shù)是7

B.若隨機(jī)變量X則O（X）=[

C.在回歸分析中，可用相關(guān)系數(shù)/?的值判斷模型的擬合效果，國(guó)越趨近于1,模型的擬

合效果越好

D.若隨機(jī)變量XN（2,a2）,P（X>l）=0.68,貝ljP（2VX<3）=0.18

10.正四棱柱A8CO-A耳GA,AA=348=3,P是側(cè)棱4人上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），下列

說(shuō)法正確的是（）

A.4>=1時(shí)，三棱錐P-BCR的體積為:

B.設(shè)平面AgC=M,則

C.平面8%?截正四棱柱所得截面周長(zhǎng)的最小值為2M

D.PG與A8所成角余弦值的取值范圍為興（

11.己知函數(shù)f(x)=cos2x+卜inx|,則()

A./(x)是一個(gè)最小正周期為7=27的周期函數(shù)

B./(x)是一個(gè)偶函數(shù)

C.“X)在區(qū)間售,獲j上單調(diào)遞增

D./(x)的最小值為0,最大值為七

12.已知函數(shù)＜(x)=sin"x+cos"x(〃wN*),記力(x)的最小值為%,數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)

和為5“，下列說(shuō)法正確的是()

C.gin(1+q)<2

/=1

]"1

D.若數(shù)列也｝滿(mǎn)足"=二]心丁,則￡匕瓦夙

1IU&2Uni=]4

第II卷(非選擇題)

三、填空題

13.已知隨機(jī)變量X的概率分布為尸"=〃)=常大(〃=123,-一,10),則實(shí)數(shù)。=

14.《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬(wàn)象變化的古老經(jīng)典，其中八卦深邃的哲理解釋了自然、

社會(huì)現(xiàn)象.如圖1所示的是八卦模型圖，其平面圖形(圖2)中的正八邊形

ABCDEFGH,其中。為正八邊形的中心，邊長(zhǎng)AB=1,則ACAO=

15.滕王閣，江南三大名樓之一，因初唐詩(shī)人王勃所作《滕王閣序》中的“落霞與孤鷲齊

飛，秋水共長(zhǎng)天一色”而名傳千古，如圖，在滕王閣旁水平地面上共線(xiàn)的三點(diǎn)4B,C處

測(cè)得其頂點(diǎn)P的仰角分別為30。，60°,45°,且AB=3C=60米，則滕王閣的高度OP=

_______米.

16.已知函數(shù)f(x)=x(lnx+l)-4eM-xlna,若對(duì)任意兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)%馬,都有

f(xjT㈤<2,則實(shí)數(shù)0的取值范圍為.

四、解答題

2

17.已知數(shù)列｛/｝的前"項(xiàng)和為S"，滿(mǎn)足S”=3(q-1),“cN".

(1)求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式;

(2)記〃=a,「si嗒，求數(shù)列間的前100項(xiàng)的和小.

18.在凸四邊形ABC￡＞中，N8AO=90。，NBCD=T20°,AD=3,AB=4.

AD

(1)若NABC=45。，求C￡＞；

(2)若NBC￡＞的角平分線(xiàn)交對(duì)角線(xiàn)3。于點(diǎn)E,求8C+CE+C。的最大值.

19.某工廠車(chē)間有6臺(tái)相同型號(hào)的機(jī)器，各臺(tái)機(jī)器相互獨(dú)立工作，工作時(shí)發(fā)生故障的概率

都是!，且一臺(tái)機(jī)器的故障能由一個(gè)維修工處理.已知此廠共有甲、乙、丙3名維修工，

現(xiàn)有兩種配備方案，方案一：由甲、乙、丙三人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)2臺(tái)機(jī)器；方案二：由甲

乙兩人共同維護(hù)6臺(tái)機(jī)器.

(1)對(duì)于方案一，設(shè)X為甲維護(hù)的機(jī)器同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)

期望E(X)；

(2)在兩種方案下，分別計(jì)算機(jī)器發(fā)生故障時(shí)不能得到及時(shí)維修的概率，并以此為依據(jù)來(lái)

判斷，哪種方案能使工廠的生產(chǎn)效率更高？

20.如圖四棱錐S-A8C￡>,AC=2,6,。在以AC為直徑的圓上，SA_L平面

JT

A8C￡),/D4C=-,E為SC的中點(diǎn),

(2)當(dāng)二面角D-SC-A的正切值為卡時(shí)，求點(diǎn)B到平面S8距離的最大值.

21.已知圓。的方程為f+y2=4,尸為圓上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸坐標(biāo)為（1,0）,連OP,FP.過(guò)點(diǎn)

P作直線(xiàn)FP的垂線(xiàn)/,線(xiàn)段尸P的中垂線(xiàn)交OP于點(diǎn)例，直線(xiàn)尸例交/于點(diǎn)兒

（1）求點(diǎn)A的軌跡方程；

（2）記點(diǎn)A的軌跡為曲線(xiàn)C,過(guò)點(diǎn)G（4,0）作斜率不為0的直線(xiàn)“交曲線(xiàn)C于不同兩點(diǎn)

sS

s,R,直線(xiàn)x=l與直線(xiàn)”交于點(diǎn)從記2=〃=問(wèn)：4?〃是否為定值?若

,△HFS'&GFR

是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.已知圓。的方程為f+y2=4,尸為圓上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸坐標(biāo)為(1,0),連OP,FP.過(guò)點(diǎn)

P作直線(xiàn)FP的垂線(xiàn)/,線(xiàn)段尸P的中垂線(xiàn)交OP于點(diǎn)例，直線(xiàn)尸例交/于點(diǎn)兒

(2)記點(diǎn)A的軌跡為曲線(xiàn)C,過(guò)點(diǎn)G(4,0)作斜率不為0的直線(xiàn)“交曲線(xiàn)C于不同兩點(diǎn)

ss

S,R,直線(xiàn)x=l與直線(xiàn)〃交于點(diǎn)H,記入=$膽.〃問(wèn)：義?〃是否為定值?若

是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.已知函數(shù)〃x)=5-3函數(shù)g(x)="〃x與直線(xiàn)y=2x相切，設(shè)函數(shù)〃(x)=/(x)-g(x),其中

Xe

a、cCR,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)討論〃(x)的單調(diào)性：

(2)九⑴在區(qū)間弓⑵內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn).

①求〃的取值范圍；

②設(shè)函數(shù)〃(x)的極大值和極小值的差為M,求實(shí)數(shù)M的取值范圍.

★參考答案★

一、單選題

1.B

K解析H因?yàn)锳={X|Y<2X},丁_2》<0,

可得0cx<2,

因?yàn)?={x|log2(x—l)<l},log2(x-l)<l,

B|J0<x-l<2,可得l<x<3,

取交集可得AC8={X1<X<2},

故選：B.

2.C

K解析UZ=x+yi,z-i=x+(y-l)i,|z-i|=J>+(y-l)2=1,則△+(y-l)2=1.故選

C.

3.C

K解析》由題意可知兩個(gè)班的數(shù)學(xué)成績(jī)平均數(shù)為嚏=焉=豆，則兩個(gè)班數(shù)學(xué)成績(jī)的方差為

52$x(20x2+30x3)=2.6.

故選：C.

4.D

K解析》從四雙不同顏色的襪子中隨機(jī)選4只，記“取出的襪子至少有兩只是同一雙“為事

件4,記“取出的襪子恰好有兩只不是同一雙”為事件B,

事件A包含兩種情況：“取出的襪子恰好有兩只是同一雙”，“取出的襪子恰好四只是兩

雙”，則尸(A)=C；C；q；+C；=||,

Cc；c；c；24

又P(AB)=

-E—~35

Q

即隨機(jī)選4只，已知取出兩只是同一雙，則取出另外兩只不是同一雙的概率為x.

9

故選：D.

5.D

R解析』/(x)=2sin(0x+e-1J,且為奇函數(shù)，.?.夕一三=①，kwZ,

/(x)=±2sin(ox),

令/(x)=0,得x=3,由題意且恰有7整數(shù)%滿(mǎn)足.則滿(mǎn)足條件的整數(shù)%為-3,

CD口

3兀

—,,1

co

-2,-1,0,1,2,3,故彳4兀，即3%,切<4兀故選D.

—>1

co

6.D

K解析》(l+x『+(l+x)3++(l+x)9的展開(kāi)式中/的系數(shù)是c；+c；+c：++C；

因?yàn)镃；；-1+C：=C2且為=C；,所以C；+C；=C；+C；=C；,

所以c；+c；+c；=c；+c：=c；,

以此類(lèi)推，a+C；+C；++禺=C"號(hào)C：oJOx9x8=]20.

3x2x1

故選：D.

7.D

R解析》因?yàn)椤▁)=|l時(shí)-6X—1),

所以“1)=0,所以x=l為函數(shù)“X)一個(gè)零點(diǎn)，

若x>l,函數(shù)=可化為/(x)=lnx-A(x-l),

則/'(司=：_4=9，

當(dāng)“1時(shí)，/'(x)<0,函數(shù)/(x)在(1,內(nèi))上單調(diào)遞減，又〃1)=0,

此時(shí)函數(shù)〃x)=|l間T(x—1)在(1,包)上沒(méi)有零點(diǎn)，

當(dāng)A40時(shí)，八")>0,函數(shù)〃x)在(1,—)上單調(diào)遞增，又/(1)=0,

此時(shí)函數(shù)〃》)=|1間-%(了-1)在(1,討)上沒(méi)有零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，令r(x)=o,可得》=工，

當(dāng)時(shí)，八")>0,函數(shù)〃x)在［,［上單調(diào)遞增，

當(dāng):<X<+00時(shí)，/(x)<o,函數(shù)/(X)在(5+8)上單調(diào)遞減，

又"1)=0,所以當(dāng)1<X<：時(shí)，/(x)>0,U>°，

又=—髭4+4<0,所以函數(shù)在(：,+8)上存在一個(gè)零點(diǎn)，

若0cxe1,函數(shù)/(x)=|lnx|-k(x-l)可化為=

當(dāng)上20時(shí)，r(x)<0,函數(shù)Mx)在(0,1)上單調(diào)遞減，又/⑴=0,

此時(shí)函數(shù)〃x)=|l詞-k(x-l)在(0,1)上沒(méi)有零點(diǎn),

當(dāng)—1/<0時(shí)，r(x)<0,函數(shù)〃x)在(0,1)上單調(diào)遞減,

此時(shí)函數(shù)〃x)=|l詞-Z(x-l)在(0,1)上沒(méi)有零點(diǎn),

當(dāng)人＜—1時(shí)，令/'(x)=0,可得x=_J,

K

當(dāng)0<x<.時(shí)，/(x)<0,函數(shù)/(X)在(0,-￡|上單調(diào)遞減,

當(dāng)一?<》<1時(shí)，/［吊>0,函數(shù)/?(x)在(一?，1］上單調(diào)遞增,

又"1)=0,所以當(dāng)—《<x<l時(shí),〃x)＜0,/-：＜。，

又/(9)=一％-依"+%>0,所以函數(shù)在(0,1)上存在一個(gè)零點(diǎn),

綜上可得當(dāng)/<-1時(shí)，函數(shù)〃x)=|l叫有兩個(gè)零點(diǎn),

當(dāng)一14A<0時(shí)，函數(shù)/(x)=|lru|-Z(x-1)有一個(gè)零點(diǎn),

當(dāng)0<%<1時(shí)，函數(shù)/(力=|1時(shí)一發(fā)(3-1)有兩個(gè)零點(diǎn),

當(dāng)時(shí)，函數(shù)/(x)=|lnx|-Z(x-l)有一個(gè)零點(diǎn)，

所以及的取值范圍為(―,-1)=(0,1).

故選：D.

8.D

k解析》過(guò)K作《P用于M,

OTIPF2。為F,F2的中點(diǎn),

:.\MF]\=2\OT\=2a,\MF2\=2\TF2\=2b,

令P6=r>0,貝1」尸石=，一2%怎八=—/，

b

:.\PM\=\PF2\-\MF2\=t-2b,

在“尸孫中，(t-2a)2=(2a)2+(t-2b)2

h2h2

解得/=育=|P段，|P周>2]7耳|,.?.育>2〃

BP-<2，：.el+[<6,

a

且空與左支有交―即?

:.e>\/2，

：?ee(0,逐).

故選：D.

二、多選題

9.CD

K解析》對(duì)于A,一共是10個(gè)數(shù)，10x70%=7,即70%分位數(shù)就是第7個(gè)數(shù)和第8個(gè)

數(shù)的平均值，即7寄_LR=7.5,錯(cuò)誤；

(1>147124

對(duì)于B,XB6,-,/./?=6,p=-f-,l-p=-,￡>(X)=n/?(l-p)=6x-x-=-,錯(cuò)誤；

對(duì)于C,網(wǎng)表示變量之間相關(guān)的程度，|R|越大表示相關(guān)程度越高，擬合效果越好，正

確；對(duì)于D,XN（2,〃），根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性，

P（X<3）=0.68,..P（X<1）=P（X>3）=1-0.68=0.32,

P（KX<3）=1-2x0.32=0.36,P（2<X<3）=P（KX<3）=0.18,正確；

故選：CD.

10.ACD

K解析D對(duì)于A項(xiàng)，如下圖所示，延長(zhǎng)QP、DA交于E,連接EC,由條件易得

V

Dl-EBC=%-/>??=gx3xgxlxl-gxlxgxlxl=g,故A正確;

對(duì)于B項(xiàng)，如上圖所示，連接AC、BD交于O,連接。8、8。交點(diǎn)即為“,

顯然空，=處=8*故B錯(cuò)誤;

BtDt2MD,

對(duì)于C項(xiàng)，如圖所示，延長(zhǎng)。尸、D4交于￡,連接破，交。C的延長(zhǎng)線(xiàn)于尸點(diǎn)，連接

交CG于G點(diǎn)，

故四邊形RP8G為該截面，易知四邊形RP8G為平行四邊形，

設(shè)AP=x,則C：=251+（3-才+2>/1壽,即點(diǎn)（x,l）至U（0,0）、（3,0）的距離之和的二

倍，如圖所示，利用將軍飲馬可求其最小值為2，（0-3『+（2-O'=2內(nèi),

故C正確;

E

對(duì)于D項(xiàng)，如圖所示，可得PG與A3所成角為NPCQ,設(shè)AP=x(xe[°，R)，

易知qpy*聯(lián)器=—'

顯然％=0時(shí)，此時(shí)COS/PCQmax=(■；X=3時(shí)，此時(shí)COS/PCQmin=

故D正確;

故選：ACD

11.BC

K解析X對(duì)于A選項(xiàng)，/(x+7t)=cos[2(x+7c)]+|sin(x+7t)|=cos(2x+2K)+|-sinx|

=cos2x+|sinx|=/(x),

所以，函數(shù)/(x)為周期函數(shù)，且該函數(shù)的最小正周期不是2兀，A錯(cuò)；

對(duì)于B選項(xiàng)，對(duì)任意的％wR,f(-x)=cos(-2x)+|sin(-x)|=cos2x+|sinx|=/(x)o

所以，函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，B對(duì)；

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，-<sinx<l,

262

1Y9

f(x)=cos2x+sinx=-2sin2sin1=-2sinx—H—,

4)8

令F=sinx,則因?yàn)楹瘮?shù)y=-2上單調(diào)遞減,

函數(shù)Z=sinx在，叫)上單調(diào)遞減，

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)/(九)在區(qū)間上單調(diào)遞增，C對(duì);

2

對(duì)于D選項(xiàng)，/(x)=cos2x+|sinx|=-2|sinx|+|sinx|+l=-2^|sinx|--^-j1+9

因?yàn)?4卜山可41,令“=卜出X)6[0,1],g(〃)=_2(〃-j+1,

則二次函數(shù)g(〃)在°，；上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，?(?)_=?

又因?yàn)間(o)=l,g(l)=0，所以,g(")mm=°，

o

因此，“X)的最小值為0,最大值為/D錯(cuò).

O

故選：BC.

12.ACD

R解析2A選項(xiàng)，/(x)=sin2x+cos2x=l,故q=l,

由基本不等式可得2卜抽41+8541”卜足2"+85。)~=1,故加X(jué))2],當(dāng)且僅當(dāng)

sin2x=cos2x時(shí)，等號(hào)成立，

故生=：，A正確；

B選項(xiàng)，由柯西不等式得

于3(x)=sin6x+cos6x=(sin6x+cos6xj(sin2x+cos2x)>^sin3x-sinx+cos3x-cosx)之；,

當(dāng)且僅當(dāng)sii?x=cos2x時(shí)，等號(hào)成立，

故四=；,

2(sin'x+cos8x)>(sin4x+cos4x)>,故力(x)=sin8x+cos8,當(dāng)且僅當(dāng)

sin2x=cos2xff'f,等號(hào)成立，

故4=:，

o

依次類(lèi)推，可得力(x)=sin2"x+cos2"x*J,當(dāng)且僅當(dāng)Sin』cos2x等號(hào)成立，

故f

=1+〈+)+：=■'B錯(cuò)誤；

Z4oo

C選項(xiàng)，設(shè)/z(x)=ln(l+x)-x,x>0,

則//(力=~^-1=日<0在(0，+8)上恒成立，

故/i(x)=ln(l+x)-X在(0,+8)上單調(diào)遞減,

所以〃3<〃(。)=0,故ln（l+x）＜x在（0,+e）上恒成立,

￡in(i^.)=￡m1+(丁2一(；]?<2,C正確;

/=1r=l

b7—____1___—______1____—_1

D選項(xiàng)，“-1-1嗚/一|?口丫一‘一"，

i。%3

11__________1_

bh+Ms-.\

z(z+l)(z+02)2z(/+l)-(z+l)(z+2)

1___________]

故=------------1-------------------------1~

tr2^1x22x32x33x47?(72+1)(〃+l)(〃+2).

2_rj_________1__

；一可品詞＜；，D正確.

21x2(〃+1)(〃+2),

故選：ACD

三、填空題

13.—

10

R解析）1依題意，尸（X=〃）=〃（1--1），

nn+1

|。111iii11

由分布列的性質(zhì)得2：尸5=〃）=仇（1-7）+（不一學(xué)++（7T--）]=—=L解得39,

”1乙乙3IU11111U

所以實(shí)數(shù)a=*

故K答案U為：技

14.-y[2+2

2

K解析X如圖所示，連接AC,AD,

E

由ABCDEFGH為正八邊形可知/AOB=NBOC=-,R.OD/MC,

4

7T

則NAOC=土，

2

所以|OA+0C卜閩OA卜夜網(wǎng)，即OB=等（04+,

AC=OC-OA

且OQ=曰AC=￥（OC-OA）,

歷

所以AO=OO-OA=5-OC-OA,

V2（42}

則AC.A￡>=（OC-OA）.-OC--+1OA

22

\O^+\OBZ-詞2喇-1_血

在.AOB中，由余弦定理cosZAOB=J_L_l---------L

2網(wǎng)OB2|。4『2

解得國(guó)2=3包，

所以AC.AD=（&+1）|OA1=半+2,

故K答案》為：|夜+2.

15.12VL5

PCpc

K解析D設(shè)OB=/Z,因?yàn)?PBO=60,tan60°=—-=-,貝|。尸=6/?

OBh

又/尸AO=30-NPCO=45,

?PO?"DC

所以嬴五一正一'，0C=—^=同,.

--tan45

3

在/XOBC中，OC2=OB2+BC2-2OB-BC-cosZOBC.

BP3/z2=/z2+6O2-2x60-/i-cosZOBC?.>

在，OAB中，04=OB2+AB2-2OB.AB-cosNOBA，

即9/?2=/Z2+602-2X60/?COSZOBA?,

因?yàn)閏osZOBC+cosAOBA=0,

所以由①②兩式相加可得：12/?2=2"+2X6O2,解得：h=T2非,

則。尸=耳=12行，

故K答案》為：12后.

16.

1_2e)

K解析』若對(duì)任意兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)內(nèi),々都有—"W)<2恒成立,

王一天

不妨設(shè)司>々，所以,/■(與)一/(%2)<25—2電，即/(演)一2%<〃%2)-2X2,

☆g(x)=./.(x)-2x=x(lnx+l)-ae2*-xlna-2x=x(lnx-l)-ae2*-xlna,則

g(xj<g(xj，

所以函數(shù)g(x)在(0，+s)單調(diào)遞減，

則g'(x)=Inx-2a^xTnaW0,(x>0)恒成立，

則令川萬(wàn)”如工-2瞪-山,。,。:)。),即〃(x)心40即可，

11,

//(%)=--4?e2\因?yàn)椤?(x)在(0,+8)單調(diào)遞減，存在零點(diǎn)%,使得一=4ae』，

xX0

即；=四2&,兩邊取對(duì)數(shù)可得ln/-=ln(ae2'，>)=lna+2x。，即Ina=-In4%-2%,

4玉)4“0

所以當(dāng)x?0,%)時(shí),〃(x)>0,/7(x)在(0,修)上單調(diào)遞增，

當(dāng)xe(左,+00)時(shí)，〃'(x)<0,〃(x)在小,+oo)上單調(diào)遞減，

2Ab

所以〃(x)max="(X。)=InX。-2ae-Ina=In%0--+In4%0+2x?

91

=ln4x0+2x()---<0,

2x°

i7I

令t=2x。,則/2(r)=21nf+r-；(r>0),〃'(/)=：+1+M>0,

力（。在（0,+e）上單調(diào)遞增，且可1）=0,要求/7（。W0,

解得：Oc/Ml,即0<2x（）41,則0</4一，

因?yàn)椋?&即〃=白而，令燈》）=￡參,xdO,g

40r"人（）cT?人,v

3（1+2x）xe（0,；,所以《（x）<0,火（x）在（o,g上單調(diào)遞減,

'）（4x.e2t）21

當(dāng)x△時(shí)，叫5卜7T^二五

24x--e2

2

當(dāng)x趨近于0時(shí)，刈力趨近于正無(wú)窮，所以攵⑺七5,十。故4€1，+8].

_2eJ

故K答案》為：1，+81

四、解答題

22

17.解：⑴當(dāng)〃22時(shí)，/=S“-S“T=§（a“-l）-§（a,i-l），

整理得烏-=-2,

a?-\

2

又4=S]得《=-2

則數(shù)列｛q｝是以?2為首項(xiàng)，-2為公比的等比數(shù)列.

則a”=（一2）",nwN.

4A

（2）當(dāng)〃=4kZwN"時(shí)，b4k=（-2）sin^^=O,

當(dāng)〃=4左一1,AwN*時(shí)，4j=（一2）"'?sin^^y^^=2"T,

412

當(dāng)n=4k-2,kwN"時(shí)，Z?4jt_2=（-2）--sinG”=0,

當(dāng)〃=4%-3,%eN?時(shí)，々j=（-2廣3.sin=_2?-\

則Too=&+4+&++4oo=—（2+2，++2"）+（23+2，++2。9）

2-2-（24）2523-23-（24）252,01-2

=-------1-------=---

1-241-245

18.解：（1）連接8D,如圖,

B

AD

RtBAZ)中，AB=4,AD=3fZBAD=90°fZABC=45°,

34

所以BD=5,sinZABD=—,cosZABD=-

所以sinNDBC=sin(450-ZABD)=也x(±」=也,

25510

CDBD

△38中,

sinZDBC~sinZDCB

e_BD?5遍

.CD=-------------sin/DBC=-tx—=—

..sinZDCBy]3103.

2

(2)△BCD中，BD2=BC2+CD2-2BC-CD-cos120°,

22BC+CP)2

25=(fiC+CD)-BCCD>(BC+CD)-^=-(BC+CD),當(dāng)且僅當(dāng)8cC￡＞時(shí)取等

44

號(hào),

?.?阿+的喈，即：0VBC+CD彗,

?S&BCD=S&BCE+S&CDE

：.-BCCDsinl20°=-BCCEsin600+-CZ)CEsin60o,

222

JBCCD=BC?CE+CDCE,

.?BCCD(BC+CD)2-25

??CE=-----------=--------------------

BC+CDBC+CD

CE+CD+BC=(gC+CP)~25+BC+CD,

BC+CD

令1=BC+CD,

.?“+8+叱=寧+,310"竽,

?；尸2一，在（0,苧］上單調(diào)遞增,

2x偵-25二254

.?.當(dāng)，=華時(shí)，y取得最大值為

310百一6

3

??.BC+CE+8的最大值為等,

19.(1)解：由題意可知，X?

則P(X=O)=圖三,”.瀉,P(X=2)=B=A，

所以，隨機(jī)變量X的分布列如下表所示:

(2)解：對(duì)于方案一：“機(jī)器發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修”等價(jià)于“甲、乙、丙三人中，至少

有一

人負(fù)責(zé)的2臺(tái)機(jī)器同時(shí)發(fā)生故障”，考查反面處理這個(gè)問(wèn)題.

其概率為6=1-[1-P(X=2)1=1-

對(duì)于方案二：機(jī)器發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率為

仁-故明自7?⑶加-T江鼎

所以，p2<plt即方案二能讓故障機(jī)器更大概率得到及時(shí)維修，使得工廠的生產(chǎn)效率更高.

20.(1)證明：記AC的中點(diǎn)為O,連結(jié)EO,則。為圓心,

又E為SC的中點(diǎn)，所以E。SA,

因?yàn)镾A_L平面ABC￡>,所以EO_L平面ABC。，

連接3。，取連接。。并延長(zhǎng)，交A8于點(diǎn)”，

因?yàn)?D4C=工,/BAC=工，所以ND4B=色，

663

由對(duì)稱(chēng)性可知AB=AD,故△43。為等邊三角形，

又因?yàn)?。為?W。的外心，所以。為△M￡)的中心，故ZW1AB,

EO_L平面ABCD,ASu平面ABCD,

:.EOYAB,

VDM\EO=O,￡>聞,后0匚平面￡：0￡>,

A3,平面EO￡),

￡)Eu平面EOD,

.'.DEVAB.

(2)解：過(guò)點(diǎn)。作。"_LAC于〃，作“N_LSC于N,連接DV,

因?yàn)镾A_L平面ABC。，￡Wu平面ABC。，

所以SAJ_Q”，

因?yàn)锳CcSA=A,AC,SAu平面ASC,

所以O(shè)H_L平面4SC,

因?yàn)镾Cu平面SAC,

所以DHLSC,

因?yàn)榧觃LSC,DHC\HN=H,DH,HNu平面DHN,

所以SC,平面DHN,

因?yàn)椤闣u平面OHN,

所以。VJ_SC,

故ZDN”為二面角D-SC—A的平面角，

S、

jrjr

因?yàn)镹D4C==,所以NDOC==,故08為等邊三角形,

63

由題意知DO=CO="=1,

Ri

:.DH=—,HC=~,

22

B

:.tan/DNH=—=2=瓜'

NHNH

NH=-,

4

.,.在Rt7WC中，sinZSCA=—=—,

HC2

:.ZSCA=45，

?.?三角形A5C為直角三角形，

三角形A5C為等腰直角三角形,

SA=AC=2,

又由AD=G，

由勾股定理得：SD=\ISAi+AD2=>/7>

因?yàn)镾A_L平面A8CQ,QCu平面A8CQ,

所以SA±DC,

因?yàn)锳C為直徑，所以AOLOC,

因?yàn)锳ScAD=A,AS,AQu平面AS。，

所以O(shè)CJ_平面ASD,

因?yàn)镾Ou平面AS。，

所以DC±SD,

：.SSCD=；DCSD=*,

由于點(diǎn)8在半圓弧AC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)3位于線(xiàn)段C。中垂線(xiàn)上時(shí)，△88的面積取得最大

設(shè)點(diǎn)8到平面S8距離為",

廠x22+625+際

根據(jù)^B-SCD—Xv-BCD=d=:BCD<

即點(diǎn)B到平面SQ9距離的最大值為2近+6~

21.解：⑴記耳（-1,0）,則。為尸產(chǎn)的中點(diǎn)，M為四中點(diǎn),

所以|4制=2|OM|,

\AF]\+\AF\^2\OM\+2\MF\=2\OM\+2\MP\^2（\OM\+\MP\）,

=2舊=4>|朋I，

所以點(diǎn)A的軌跡是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,焦距為2的橢圓，

22

所以點(diǎn)A的軌跡方程為土+乙=1；

43

（2）設(shè)尸到直線(xiàn)”的距離為力，設(shè)S（x“y）,/?小，%），〃（%，%），

」

HR,hHRSGFS_fGS.h=GS

HFR__2_____

HS'SLyR.hGR

HFS--HShCFR

22

4HRGS

HSGR~(yH-y])y2

—y

聯(lián)立忖+可,消去X,得(3『+4)丁+24)+36=0,

x=ry+4

1—24/363/、

所