人教版六年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練講義-第十一講 表面積和體積一 （含答案）

第十一講表面積和體積(一)

第一部分：趣味數(shù)學(xué)

小希帕蒂婭巧算箱子體積

希帕蒂婭是歷史上有記載的第一位女?dāng)?shù)學(xué)家,她出生在埃及。希帕蒂婭小時(shí)候很聰明,有一

次,父親的朋友來拜訪,送給希帕蒂婭一件禮物,裝在一個(gè)用繩子捆起來的箱子里。小希帕蒂婭

高興地解開繩子,正要去打開箱子，父親對(duì)她說：

“別急，你先拿一把尺子量量繩子的長(zhǎng)度?！?/p>

小希帕蒂婭用尺子量了量散落在地上的3根繩子,一根長(zhǎng)210厘米,一根長(zhǎng)250厘米,還有

一根長(zhǎng)290厘米。父親說：“假設(shè)這些繩子打結(jié)的時(shí)候，都用去了10厘米，希帕蒂婭，請(qǐng)你算一

算,這個(gè)箱子的體積是多少？”

“沒問題,爸爸?！毙∠Ｅ恋賸I拿出一支筆,在地上列起式子來：

長(zhǎng)+寬=(290-10)4-2=140厘米,長(zhǎng)+高=(250-10)4-2=120厘米

寬十高=(210-10)4-2=100厘米。

怎么才能求出長(zhǎng)、寬、高呢?小希帕蒂婭歪著頭想了想，低

頭算了起來。她用第2個(gè)式子減去第3個(gè)式子，得到:長(zhǎng)一寬

=20厘米,再加上第1個(gè)式子,就能求出長(zhǎng)=80厘米。知道了長(zhǎng)，強(qiáng)

她很快就求出了寬=60厘米,高等于40厘米。所以箱子的體積V；：

\\_j-.

就T

長(zhǎng)x寬x高=80X60X40=192000立方厘米。

算完了，父親笑著點(diǎn)點(diǎn)頭，說：“現(xiàn)在，你打開箱子拿出禮

物吧！”

父親的朋友一直在旁邊看著,不禁驚嘆道:好聰明的小丫頭,將來一定會(huì)成為有名的數(shù)學(xué)家!

第二部分：習(xí)題精講

小學(xué)階段所學(xué)的立體圖形主要有四種長(zhǎng)方體、正方體、圓柱體和圓錐體。從平面圖形到立

體圖形是認(rèn)識(shí)上的一個(gè)飛躍，需要有更高水平的空間想象能力。因此，要牢固掌握這些幾何圖

形的特征和有關(guān)的計(jì)算方法，能將公式作適當(dāng)?shù)淖冃?，養(yǎng)成“數(shù)、形”結(jié)合的好習(xí)慣，解題時(shí)

要認(rèn)真細(xì)致觀察，合理大膽想象，正確靈活地計(jì)算。

在解答立體圖形的表面積問題時(shí)，要注意以下幾點(diǎn):

（1）充分利用正方體六個(gè)面的面積都相等，每個(gè)面都是正方形的特點(diǎn)。

（2）把一個(gè)立體圖形切成兩部分，新增加的表面積等于切面面積的兩倍。反之，把兩個(gè)

立體圖形粘合到一起，減少的表面積等于粘合面積的兩倍。

（3）若把幾個(gè)長(zhǎng)方體拼成一個(gè)表面積最大的長(zhǎng)方體，應(yīng)把它們最小的面拼合起來。若把

幾個(gè)長(zhǎng)方體拼成一個(gè)表面積最小的長(zhǎng)方體，應(yīng)把它們最大的面拼合起來。

例題1：

從一個(gè)棱長(zhǎng)10厘米的正方體木塊上挖去一個(gè)長(zhǎng)10厘米、寬2厘米、高2厘米的小長(zhǎng)方

體，剩下部分的表面積是多少？

這是一道開放題，方?法有多種：

①按圖27-1所示，沿著一條棱挖，剩下部分的表面積為592平方厘米。

②按圖27-2所示，在某個(gè)面挖，剩下部分的表面積為632平方厘米。

③按圖27-3所示，挖通某兩個(gè)對(duì)面，剩下部分的表面積為672平方厘米。

圖27—3

練習(xí)1:

1、從一個(gè)長(zhǎng)10厘米、寬6厘米、高5厘米的長(zhǎng)方體木塊上挖去一個(gè)棱長(zhǎng)2厘米的小正方

體，剩下部分的表面積是多少？

2、把一個(gè)長(zhǎng)為12分米，寬為6分米，高為9分米的長(zhǎng)方體木塊鋸成兩個(gè)想同的小廠房體

木塊，這兩個(gè)小長(zhǎng)方體的表面積之和，比原來長(zhǎng)方體的表面積增加了多少平方分米?

3、在一個(gè)棱長(zhǎng)是4厘米的立方體上挖一個(gè)棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體后，表面積會(huì)發(fā)生怎

樣的變化?

例題2：

把19個(gè)棱長(zhǎng)為3厘米的正方體重疊起來，如圖27-4所示，拼成一個(gè)立體圖形，求這個(gè)立

體圖形的表面積。

要求這個(gè)復(fù)雜形體的表面積，必須從整體入手，從上、左、前三個(gè)方向觀察，每個(gè)方向上

的小正方體各面就組合成了如下圖形（如圖27-5所示）。

從上往下看

圖27—5

而從另外三個(gè)方向上看到的面積與以上三個(gè)方向的面積是相等的。整個(gè)立體圖形的表面積

可采用（S上+S左+S前）X2來計(jì)算。

(3X3X9+3X3X8+3X3X10)X2

(81+72+90)X2

=243X2

=486（平方厘米）

答：這個(gè)立體圖形的表面積是486平方厘米。

練習(xí)2：

1、用棱長(zhǎng)是1厘米的立方體拼成圖27-6所示的立體圖形。求這個(gè)立體圖形的表面積。

2、一堆積木（如圖27-7所示），是由16塊棱長(zhǎng)是2厘米的小正方體堆成的。它們的表面

積是多少平方厘米？

3、一個(gè)正方體的表面積是384平方厘米，把這個(gè)正方體平均分割成64個(gè)相等的小正方

體。每個(gè)小正方體的表面積是多少平方厘米？

例題3：

把兩個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是9厘米、7厘米、4厘米的相同長(zhǎng)方體，拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，這

個(gè)大長(zhǎng)方體的表面積最少是多少平方厘米？

把兩個(gè)相同的大長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大廠房體，需要把兩個(gè)相同面拼合，所得大廠房體的表面

積就減少了兩個(gè)拼合面的面積。要使大長(zhǎng)方體的表面積最小，就必須使兩個(gè)拼合面的面積最大,

即減少兩個(gè)9X7的面。

（9X9+9X4+7X4）X2X2—9X7X2

=（63+36+28）X4—126

=508—126

=382（平方厘米）

答：這個(gè)大廠房體的表面積最少是382平方厘米。

練習(xí)3：

1、把底面積為20平方厘米的兩個(gè)相等的正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的表面積是多

少？

2、將一個(gè)表面積為30平方厘米的正方體等分成兩個(gè)長(zhǎng)方體，再將這兩個(gè)長(zhǎng)方體拼成一個(gè)

大長(zhǎng)方體。求大長(zhǎng)方體的表面積是多少。

3、用6塊（如圖27-8所示）長(zhǎng)方體木塊拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，有許多種做法，其中表面積

最小的是多少平方厘米?

1厘米3厘米

2厘米

例題4：

一個(gè)長(zhǎng)方體，如果長(zhǎng)增加2厘米，則體積增加40立方厘米；如果寬增加3厘米，則體積

增加90立方厘米；如果高增加4厘米，則體積增加96立方里，求原長(zhǎng)方體的表面積。

我們知道：體積=長(zhǎng)乂寬X高；由長(zhǎng)增加2厘米，體積增加40立方厘米，可知寬X高=40

+2=20（平方厘米）；由寬增加3厘米，體積增加90立方厘米，可知長(zhǎng)X高=90+3=30（平方

厘米）；由高增加4厘米，體積增加96立方厘米，可知長(zhǎng)X寬=96+4=24（平方厘米）。而長(zhǎng)方

體的表面積=（長(zhǎng)X寬+長(zhǎng)X高+寬X高）X2=（20+30+24）X2=148（平方厘米）。即

404-2=20（平方厘米）

904-3=30（平方厘米）

964-4=24（平方厘米）

（30+20+24）X2

=74X2

=148（平方厘米）

答：原長(zhǎng)方體的表面積是148平方厘米。

練習(xí)4：

1、一個(gè)長(zhǎng)方體，如果長(zhǎng)減少2厘米，則體積減少48立方厘米；如果寬增加5厘米，則體

積增加65立方厘米；如果高增加4厘米，則體積增加96立方厘米。原來廠房體的表面積是多

少平方厘米？

2、一個(gè)廠房體木塊，從下部和上部分別截去高為3厘米和2厘米的長(zhǎng)方體后，便成為一

個(gè)正方體，其表面積減少了120平方厘米。原來廠房體的體積是多少立方厘米？

3、有一個(gè)廠房體如下圖所示，它的正面和上面的面積之和是209。如果它的長(zhǎng)、寬、高都

是質(zhì)數(shù)，這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少？

例題5：

如圖27-10所示，將高都是1米，底面半徑分別為1.5米、1米和0.5米的三個(gè)圓柱組成

一個(gè)物體。求這個(gè)物體的表面積。

如果分別求出三個(gè)圓柱的表面積，再減去重疊部分的面積，這樣計(jì)算比較麻煩。實(shí)際上三

個(gè)向上的面的面積和恰好是大圓柱的一個(gè)底面積。這樣，這個(gè)物體的表面積就等于一個(gè)大圓柱

的表面積加上中、小圓柱的側(cè)面積。

3.14X1.5X1.5X2+2X3.14X1.5X1+2X3.14X1X1+2X3.14X0.5X1

=3.14X（4.5+3+2+1）

=3.14X10.5

=32.97（平方米）

答：這個(gè)物體的表面積是32.97平方米。

練習(xí)5：

1、一個(gè)棱長(zhǎng)為40厘米的正方體零件（如圖27-11所示）的上、下兩個(gè)面上，各有一個(gè)直

徑為4厘米的圓孔，孔深為10厘米。求這個(gè)零件的表面積。

2、用鐵皮做一個(gè)如圖27-12所示的工件（單位：厘米），需用鐵皮多少平方厘米？

3、如圖27-13所示，在一個(gè)立方體的兩對(duì)側(cè)面的中心各打通一個(gè)長(zhǎng)方體的洞，在上、下

側(cè)面的中心打通一個(gè)圓柱形的洞。已知立方體棱長(zhǎng)為10厘米，側(cè)面上的洞口是邊長(zhǎng)為4厘米

的正方形，上、下側(cè)面的洞口是直徑為4厘米的圓，求該立方體的表面積和體積（II取3.14）o

第三部分：數(shù)學(xué)史

難解的立方倍積問題

傳說在公元前400多年，古希臘的第羅斯島上，暴發(fā)了瘟疫，大批大批的人被傳染，然

后在痛苦中死去。對(duì)于瘟疫，人們束手無策，于是只好到神廟去，祈求他們所信仰的太陽神

的保護(hù)。太陽神對(duì)大家說：這次瘟疫的流行是因?yàn)槟銈儾粔蝌\。你們的正方體祭臺(tái)太小

了，不能顯示出太陽神的偉大和尊嚴(yán)。如果你們能只利用圓規(guī)和直尺，而不利用其他的測(cè)

量工具，把祭臺(tái)體積擴(kuò)大為原來的兩倍，那么，太陽神就可以免除你們的災(zāi)難。

人們絞盡腦汁，怎樣才能只用圓規(guī)和直尺就把祭臺(tái)體積擴(kuò)大一倍呢？人們?cè)囍鸭琅_(tái)

的棱長(zhǎng)擴(kuò)大了一倍，結(jié)果非但祭臺(tái)的體積沒有變成原來的兩倍，反而擴(kuò)大成了原來的8倍。

太陽神又發(fā)怒了！嫌祭臺(tái)造得太大了，說人們?cè)谄垓_他，于是降下了更加厲害的災(zāi)難。災(zāi)難

又籠罩了第羅斯島……

實(shí)際上，這只是一個(gè)傳說而已，但是它卻包含了一個(gè)著名的幾何問題：已知一個(gè)正方

體，只利用圓規(guī)和直尺，能不能做出一個(gè)新正方體，使它的體積等于已知正方體的兩倍呢？

這個(gè)問題被稱為“立方倍積問題”，是古希臘三大幾何作圖難題之一。這個(gè)問題幾千年來

困擾了無數(shù)的數(shù)學(xué)家。到100多年前，一位名叫克萊因的德國數(shù)學(xué)家證明了只用直尺和

圓規(guī)是不可能解決立方倍積問題的。

參考答案：

練習(xí)1：1.切下一塊后，切口處的表面減少了前、后、上面3個(gè)1X1的正

方形，新增加了左右下面三個(gè)1X1的正方形，所以表面積大小不變。

2.4X4X6-2X2X2=92平方厘米

3.中心挖去的洞的體積是：/X3X3—〃X2=7立方厘米，挖洞后木塊的

體積：3，—7=20立方厘米，中心挖洞后每面增加的面積是/X4—12=3平方厘米，挖洞后木

塊的表面積：(3?+3)X6=72平方厘米。

練習(xí)2：1.(1X1X12+1X1X8+1X1X7)X2=54平方厘米

2.(2X2X9+2X2X9+2X2X7)X2=200平方厘米

3.因?yàn)?4=4X4X4,所以大正方形的棱長(zhǎng)等于小正方形棱長(zhǎng)的4被，那么大正方體的表

面積是小正方體的4X4=16倍，小正方體的表面積是：384+16=24平方厘米

練習(xí)3：1.將正方體分為兩個(gè)長(zhǎng)方體，表面積就增加了2個(gè)30+6=15平方厘米，拼成大

正方體，表面積將減少兩個(gè)拼合面的面積，正好是1個(gè)30+6=15平方厘米，所以大長(zhǎng)方體的

表面積是30+30+6=35平方厘米。

2.要是表面積最小，就要盡可能地把大的面拼合在一起。表面積最小的拼法有如圖答27

—2兩種：表面積都是(3X3+3X4X2)X2=66平方厘米。

3.設(shè)大長(zhǎng)方體的寬和高為x分米，長(zhǎng)為2x分米，左面和右面的面積就是六平方分米。其

余的面積為2必平方分米，根據(jù)題意，大長(zhǎng)方體的表面積是：8X2+8X2X2=600X=5

大長(zhǎng)方體的體積是：5X5X2X5=250立方分米

練習(xí)4：1.(48+2+65+5+96+4)X2=122平方厘米

2.減少的表面積實(shí)質(zhì)是高度分別為2厘米和3厘米的前、后、左、右四個(gè)面的面積之和。

把兩個(gè)合并起來，用120+(2+3)=24厘米，求到正方體底面的周長(zhǎng)，正方體的棱長(zhǎng)就是24

?4=6厘米。圓長(zhǎng)方體的體積是：6X6X(6+3+2)=396立