2023-2024學(xué)年浙江省金華市高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年浙江省金華市高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.直線岳+”2=0的傾斜角為()

71cTC-24—54

A.-B.-C.--D.~~

6336

【正確答案】C

【分析】先求出直線的斜率，再求直線的傾斜角.

【詳解】?.?直線百x+y-2=0的斜率k=-JL設(shè)傾斜角為0，貝Ijtan9=-百

直線6x+y-2=0傾斜角為y.

故選C.

本題考查直線的傾斜角的求法，熟記斜率與傾斜角的關(guān)系是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題

2.已知空間向量4=(2,1,"),i=(-1,2,1),若。與5垂直，則〃為()

A.0B.1C.2D.-2

【正確答案】A

【分析】根據(jù)向量垂直得出數(shù)量積為零，即可列式解出答案.

【詳解】:a與石垂直，

.'.a-b=-2+2+n-0>解得"=0，

故選：A.

3.已知拋物線C:/=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,過(guò)C上一點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為0,

若△PQE是邊長(zhǎng)為4的正三角形，則P=()

A.1B.2C.3D.4

【正確答案】B

【分析】根據(jù)△尸。尸是邊長(zhǎng)為4的正三角形及拋物線定義求出尸點(diǎn)橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得尸點(diǎn)坐

標(biāo)，即可求得。點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)|。尸|=4,用兩點(diǎn)間的距離公式代入計(jì)算即可.

【詳解】由題知因?yàn)椤魇?。尸是邊長(zhǎng)為4的正三角形，

所以|我|=|斯|=|尸0|=4,

根據(jù)拋物線定義可知4+勺牝即巧,=4-個(gè)

所以y」=2p（4-￡],故尸4_多±,2《4勺，所以0/,±五（4一￡|

所以lQF]=jp二士（「I-￡）=4,解得：P=2.

故選:B

4.圓&:/+/=4,圓C2：（x-3）2+（y-4）2=49,則兩圓的公切線有（）

A.0條B.1條C.2條D.3條

【正確答案】B

【分析】由圓心距與半徑的關(guān)系判斷兩圓位置關(guān)系，后可得答案.

【詳解】圓C：/+/=4,圓心為￡（0,0）,半徑12.

圓C2：(x-3)2+(y-4)2=49,圓心為G(3,4),半徑々=7.

注意到圓心距=五+甲=5=々-勺，則兩圓相內(nèi)切，故公切線條數(shù)為1.

故選：B

5.桁架橋指的是以桁架作為上部結(jié)構(gòu)主要承重構(gòu)件的橋梁.桁架橋一般由主橋架、上下水

平縱向聯(lián)結(jié)系、橋門架和中間橫撐架以及橋面系組成.下面是某桁架橋模型的一段，它是由

一個(gè)正方體和一個(gè)直三棱柱構(gòu)成.其中=那么直線AH與直線IG所成角的余弦值

為（）

2

A.2

【正確答案】D

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解異面直線的夾角余弦值.

【詳解】以￡為坐標(biāo)原點(diǎn)，EB,ED,E/所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角

坐標(biāo)系，

設(shè)AB=BH=a,

則4(a,-“,0),//(a,0,q),/(0,0,a),G(a,。,”)，

AH-(O,a,a),/G=(a,a,O),

設(shè)直線///與直線IG所成角為e,

則cose」cos(AH7G\\-府田-幽。，“)(。，"3_尤

則cos8-卜os?乩依卜國(guó)網(wǎng)-缶缶-2a2

故直線AH與直線IG所成角的余弦值為y.

6.小芳“雙11”以分期付款的方式購(gòu)買一臺(tái)標(biāo)價(jià)6600元的筆記本電腦，購(gòu)買當(dāng)天付了2600

元，以后的八個(gè)月，每月11日小芳需向商家支付500元分期款，并加付當(dāng)月所有欠款產(chǎn)生的

一個(gè)月的利息(月利率為2%),若12月算分期付款的首月，則第3個(gè)月小芳需要給商家支付

()

A.550元B.560元C.570元D.580元

【正確答案】B

【分析】準(zhǔn)確理解題意，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可.

【詳解】第3個(gè)月小芳需要給商家支付500+(4000-2x500)x2%=560元.

故選：B.

7.有以下三條軌跡：

①已知圓/:(x+l>+y2=9,圓8:(X-1)2+/=1,動(dòng)圓尸與圓N內(nèi)切，與圓8外切，動(dòng)圓

圓心戶的運(yùn)動(dòng)軌跡記為G；

②已知點(diǎn)48分別是x,y軸上的動(dòng)點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，滿足|力8|=4,AB,40的中點(diǎn)分

別為M,N,"N的中點(diǎn)為P,點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)軌跡記為C2；

4

③已知4(-5,0),8(5,0),點(diǎn)P滿足我，P8的斜率之積為2，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡記為G.設(shè)曲

9

線G，G?3的離心率分別是%%，%，則()

A.e1<e2<eyB.et<e3<e2C.e2<ex<e3D.e3<e,<e2

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題意，分別求出三個(gè)曲線方程，并求出對(duì)應(yīng)的離心率即可求解.

【詳解】①，設(shè)動(dòng)圓圓心尸(x,y),半徑為r,

由題意可知：圓Z:(x+l)2+72=9的圓心坐標(biāo)4-1,0),半徑4=3；

圓8:(x-+產(chǎn)=1的圓心坐標(biāo)8(1,0),半徑4=1；

由條件可知：1Pd=3-〃，|陽(yáng)=1+廠，所以歸4|+|尸8|=4>3卻=2,

所以點(diǎn)P的軌跡方程為：片+或=1(x^2),則q=[;

②設(shè)9,0),8(0,〃)，則浮+/=16,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：N《⑼，所以MN

的中點(diǎn)尸(5,彳)，因?yàn)?+/=i6,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足(2x)2+(4y了=16,也即Q：

—+y1=\>所以e?=;

422

③設(shè)點(diǎn)尸(羽回，由題意可知：匕W?匕g=：(xH±5),

x+5x-59

X~2y~2

整理化簡(jiǎn)可得：^-T00=1(X*±5),所以。=51=與，

9

所以03>e2>e],

故選.A

8.已知數(shù)列｛4“｝是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q,在q,%之間插入1個(gè)數(shù)，使這3個(gè)

數(shù)成等差數(shù)列，記公差為4，在外，%之間插入2個(gè)數(shù)，使這4個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，公差為義,…，

在向之間插入〃個(gè)數(shù)，使這〃+2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，公差為4,則()

A.當(dāng)0<g<l時(shí)，數(shù)列｛"“｝單調(diào)遞減B.當(dāng)g>i時(shí)，數(shù)列｛d“｝單調(diào)遞增

c.當(dāng)時(shí)，數(shù)列｛"”｝單調(diào)遞減D.當(dāng)時(shí)，數(shù)列｛4｝單調(diào)遞增

【正確答案】D

【分析】根據(jù)數(shù)列｛4,｝的定義，求出通項(xiàng)，由通項(xiàng)討論數(shù)列的單調(diào)性.

【詳解】數(shù)列｛《,｝是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，則公比為4>0,

由題意。，向=4+（?+1）4,得4,=入出=%?二）1,

n+1〃+1

0<4<1時(shí)，<<0,有誓=嗎?<1,4m>4“數(shù)列｛"”｝單調(diào)遞增，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

“1時(shí)，<>0,與=幽孚，若數(shù)列｛4｝單調(diào)遞增，則也少>1,即由

d?〃+2〃+2?+1

neN\需要g>；3,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

4>人時(shí)，3（紇1）>竺（匕1）,解得l<q<3,

232

g>l時(shí)，<>0,由芻a=的半，若數(shù)列｛4｝單調(diào)遞減，則好卻<1,即

Z〃+2〃+2

4<辱=1+-^7,而1<4<：不能滿足4<l+」（〃eN*）恒成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

n+\77+1277+1v7

4<出時(shí)，叱T）<a嗎T,解得0<4<1或g>T，由AB選項(xiàng)的解析可知，數(shù)列｛""｝

單調(diào)遞增，D選項(xiàng)正確.

故選：D

思路點(diǎn)睛：此題的入手點(diǎn)在于求數(shù)列｛〃｝的通項(xiàng)，根據(jù)力的定義求得通項(xiàng)，再討論單調(diào)性.

二、多選題

9.已知雙曲線《一片=1,則（）

49

A.漸近線方程為y=±gxB.焦點(diǎn)坐標(biāo)是（土后,0）C.離心率為乎

D.實(shí)軸長(zhǎng)為4

【正確答案】ABD

【分析】由雙曲線方程求雙曲線，焦點(diǎn)坐標(biāo)，離心率，實(shí)軸長(zhǎng).

【詳解】由雙曲線方程為：--^=1,焦點(diǎn)在X軸，

49

所以a=2/=3,。=，。2+62=丁7,

所以漸近線方程為夕=±幺丫=±二工，故A正確，

a2

焦點(diǎn)坐標(biāo)為（土Ji5,o）,故B正確，

離心率為：e=￡=巫，故C錯(cuò)誤，

a2

實(shí)軸長(zhǎng)為：2a=4,故D正確，

故選：ABD.

10.自然界中存在一個(gè)神奇的數(shù)列，比如植物一年生長(zhǎng)新枝的數(shù)目，某些花朵的花數(shù)，具有

1,1,2,3,5,8,13,21……，這樣的規(guī)律，從第三項(xiàng)開(kāi)始每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)的和，這個(gè)

數(shù)列稱為斐波那爽數(shù)列.設(shè)數(shù)列｛4｝為斐波那契數(shù)列，則有%+。用=%+2（〃eN+）,以下是

等差數(shù)列的為（）

A.。2021M2022,°2023B.a202\^a2023^a2024C.*^2021?^2022?^2023D.$2021，$2023,$2024

【正確答案】BD

【分析】利用定義構(gòu)造等差中項(xiàng)來(lái)驗(yàn)證所給選項(xiàng)成等差數(shù)列.

【詳解】由題意：為+4,向=a“+2（〃eN+）,①

所以。用+%+2=a,,+3（"eN+）,②

②一①得：an+2-an=an+3-an+2=2an+2=an+J+a“,

aa

所以數(shù)列nM〃+2M〃+3或數(shù)列n+3，?！?2，a?成等差數(shù)列，

令”=2021,則。2021，。2023，。2024成等差數(shù)列，故B正確，A錯(cuò)誤,

由%+。+1=。+2,

所以S“+i—S”T=Sn+2-Sn+l=>2Sn+l=Sil+2+S“T，

所以51，5用,5“+2成等差數(shù)列，

令"=2022,則S202l，S2023，S2024成等差數(shù)列，故D正確，C錯(cuò)誤.

故選：BD.

11.已知平行六面體”88-44G。的所有棱長(zhǎng)都為1,NBAD=60°,設(shè)

ZAlAB-a,ZA}AD-P.（）

A.若”=夕=90。，則直線4cl平面G5。

B.若a=/=90。，則平面平面NCC/

C.若a=￡=60。，則直線4c，平面

D.若a=?=60。，則平面平面48C。

【正確答案】BC

【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算和空間中線面垂直，面面垂直的判定逐項(xiàng)檢驗(yàn)即可求解.

【詳解】對(duì)于A,若a=4=90。，丞?南=（彳瓦+麗+看）（西+前）

=A[B、BB[+A、B[BC+A、D\BB、+A、D\BC+A^ABBy+ABC

=0+lxlxcos600+0+lxlxcos00+1x1xcos180°+0=—^0,

2

所以衣與星不垂直，又因?yàn)?Gu平面C/D,

所以直線4c與平面不垂直，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若a=4=90。，則又因?yàn)?8c/。=4,且u平面

ABCD,所以441平面/8CZ）,又因?yàn)?/u平面N/CC],

所以平面//CG_L平面/8CO,故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C,若a=/?=60。，

因?yàn)樗?（語(yǔ)+語(yǔ)+彳1）函=函麗+葩BB^+A^ABB^

=lxlxcos60°+lxlxcos60°+lxlxcos180°=0,所以4。_L,

又因?yàn)?cBD=(AB+44+4/1)(AD-AB)

=4耳AD-AB】AB+A[D[AD-AXDXAB+A{AAD-AtAAB

=Ixlxcos60°-Ixlxcos00+1x1xcos00-lxlxcos60°+lxlxcos1200-Ixlxcos120°=0,

所以4C_L8D,因?yàn)锽DcB1B=B,平面,

所以直線4cl?平面瓦比)￡,故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D,如圖：連接4。,5。，取的中點(diǎn)E,連接

若c=￡=60。，由題意可知：AQ=BD=1,根據(jù)題意可知：DELABHE-B,則//遂。

即為平面4BB4與平面/BCD所成的二面角的平面角或其補(bǔ)角,

由題意可知:由DE咚在中,由余弦定理可得:

AE+ED?-AE?=1*0,所以平面/與平面N88所成的

cosZ-AED-

XlA^EED

二面角的平面角不是直角，所以平面4與平面/BCD不垂直，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選.BC

12.已知橢圓上+^=1的左右焦點(diǎn)分別為不過(guò)g的直線交橢圓于4（?乂）,8（%,必）兩

4b-

點(diǎn)，設(shè)忸閭=%,|/周=叼，M6|=%,怛耳|=%，已知％，%，生成等差數(shù)列，公差為力

則（）

y

二

3

A.與嗎，“4成等差數(shù)列B.若d=l,則b2=,C.X2=3x）

D.必=3必+2

【正確答案】ABC

【分析】A選項(xiàng)，由橢圓定義及4，々，。3成等差數(shù)列，得到［=2-豺3，的=2-“1，

13,.1

03=2+5"，々4=2+5］，故。2+〃4=羽，A正確；B選項(xiàng)，在A選項(xiàng)基礎(chǔ)上得到忸入1=5,

|^|=|,必=-3%,設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，

由％=-3%得至1］加2=^_,由弦長(zhǎng)公式得至1」4/（1+加2）=9（4-尸）,/,聯(lián)立得到/=］；

C選項(xiàng)，由焦半徑公式推導(dǎo)出工2=3不，C正確；D選項(xiàng)，在工2=3引的基礎(chǔ)上，得到

%=3凹+生，D錯(cuò)誤.

m

【詳解】A選項(xiàng)，由橢圓定義可知：q+%=4,出+%=4,

又％,出，七成等差數(shù)列，故〃2=《+",%=4|+2d,

311

則的+%=2q+3d=4,則q=2—Qd,則&=2-5d,a3=2+—,

「3

又。4=4-［=2+5〃,

13

故%+%=2-51+2+鼻1=4+”=2%,故A正確；

?31Q

B選項(xiàng)，若d=1,此時(shí)忸周=%=5,14月=生=5，故1481=5+5=2,且必=一3%，

設(shè)￡（c,0）,因?yàn)橹本€48斜率一定不為0,

設(shè)直線48為+叨，與?+￡=1聯(lián)立得：

(h^m2+4)y2^-2cmb2y+b2(c2-4)=(),QP^h2m2+4)y?+2cmh2y-b4=0

2cmb2b4

貝廿|+為=一

b2m2+4，乂%=b2m2+4

因?yàn)閬V=包，所以乂=法加二七’

14

聯(lián)立解得3c,J=b2nr+4,故必+為=-----，必為=----T~T

由弦長(zhǎng)公式可得：|^i=Viw..H^+-^4b2J+/,

TT----------------=2，

11\9c2m23c2加23cm

所以2力力1+q=3cm,平方得：4/(1+/)=9c2m2,

其中。2=4一萬(wàn),

故3(4-/)m2=/加2+4,解得：b2m2+1=3/n2>BPm2=',,

3-從

由46"(1+"/)=9(4-62)機(jī)2可得：4/I+—^1=9(4-川?一二

整理得：4加-16/-胡+36=0,即4//*W-4)-9(/-4)=0,

故(4/-9)(/-4)=0,解得：或〃=%

因?yàn)椤?gt;分，所以〃=4舍去，故〃==,B正確；

2

22

C選項(xiàng)，設(shè)橢圓會(huì)+￡=l(a>b>0)上一點(diǎn)"(七,九)，其中楠圓左右焦點(diǎn)分別為

爪―c,0),居(c,0),

下面證明|"K|=a+e4,|初周=q-exo，

過(guò)點(diǎn)M作版4,橢圓的左準(zhǔn)線于點(diǎn)力,作橢圓右準(zhǔn)線于點(diǎn)B,

則有橢圓的第二定義可知：鬻=靄=e,

22

其中|M4|=XO+土,Mm=―4,

cc

則=cX0+—=(7+ex0,\MF2\=^-——x。=Q-ex。，

\AF2\=a-exA=2-ext=2-^d9故exygd,

33

\BF2\=a-ex2=2-ex2=2--d,^ex2=-d,所以々=3演，C正確；

2c

D選項(xiàng)，設(shè)直線48為》=。+叩，由々=3玉得：c+my,=3c+3町，故%=3乂+—,D錯(cuò)

m

誤.

故選：ABC

橢圓焦半徑公式：

22

(1)橢圓5+今=1(“>6>0)上一點(diǎn)材(乙,九)，其中橢圓左右焦點(diǎn)分別為

/\(-C,0),F2(C,0),

則網(wǎng)用=。+5,\MF2\=a-ex0,

2x2

y+

(2)橢圓=i（a>b>0）上一點(diǎn)〃y0）,其中楠圓下上焦點(diǎn)分別為

4（0,-c），K（0,c）,

則網(wǎng)甲=。+吸，\MF2\=a-ey0,

記憶口訣：左加右減，下加上減.

三、填空題

13.直線4：3x—4y-5=0,直線4：3x—4y+4=0,貝以,4之間的距離是

9

【正確答案】y##1.8

【分析】根據(jù)兩平行線間的距離公式即可求解.

【詳解】由平行線間的距離公式可得：

?|4+5|9

/?/2之間的距離是d=''=-,

V32+425

故答案為A9

14.數(shù)歹」I｛4“｝滿足q=0,an+]-an=2〃，貝ijq,=

【正確答案】n2-n

【分析】累加法以及等差數(shù)列求和公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

【詳解】因?yàn)椤?q,=2%

所以=2（〃-1）,

*一?！耙?=25-2）,

=2x2,

a2-?1=2x1,

累加得：Q”一。]=2(〃—1)+2(〃—2)H-----F4+2

=[2("叫+2](〃-匕_〃

2

故答案為.〃2-n

15.老張家的庭院形狀如圖，中間部分是矩形力8C。，4B=8,BC=3（單位：m）,一邊是

以CQ為直徑的半圓，另外一邊是以48為長(zhǎng)軸的半個(gè)橢圓，且橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)〃到45的

距離是2m,要在庭院里種兩棵樹，想讓兩棵樹距離盡量遠(yuǎn)，請(qǐng)你幫老張計(jì)算一下，這個(gè)庭

院里相距最遠(yuǎn)的兩點(diǎn)間距離是m.

AB

【正確答案】2b+4##4+26

【分析】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，求出橢圓上的點(diǎn)到圓心距離的最大值，再加上半徑

即可求得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意可得，以Z8的中點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線和48的垂直平分線分別

為xj軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

由橢圓長(zhǎng)軸2a=48=8可得a=4,易知6=2,所以橢圓方程為工+二=l,(y40)；

164'

根據(jù)題意可得當(dāng)P點(diǎn)到圓心Q的距離最大時(shí)，的連線交半圓于。，此時(shí)尸。距離最大:

設(shè),卜。，人)，則冬+邛=1,(九40),

164

222

易知\OXP\=宿+(%-3)2=716-4^0+(J0-3)=7-3(J0+1)+28，

當(dāng)為=-1時(shí)，-3(%+iy+28取最大值28,所以盤刊4而=2夜,

則歸0以。尸|+火=2近+4.

故26+4

16.如圖，已知平行四邊形/8CO,AB=2,BC=4,ZA=60°.E、F分別是49、BC

的中點(diǎn).現(xiàn)將四邊形C￡>EP沿著直線E尸向上翻折，則在翻折過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)A到直線8c的

距離為0時(shí)，二面角A-EF-D的余弦值為.

【正確答案】-

【分析】連接BE、DF,取EF的中點(diǎn)。，連接08、OD,推導(dǎo)出E尸工平面08。，可知

ZBOD=0,以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，0B、。戶所在直線分別為x、y軸，平面/8FE內(nèi)過(guò)點(diǎn)O

且與平面48所的垂線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公

式可求得cos。的值，即為所求.

【詳解】連接BE、DF,取EF的中點(diǎn)。，連接08、OD,

易知DE=CF=CD=2,旦DEHCF,則四邊形COE尸為菱形，

易知NOE尸=/。。尸=60°,則四邊形DEF為等邊三角形，所以，0D工EF,

同理可知所以，二面角N-EF-O的平面角為

因?yàn)?8n。。=。，OB、OZ)u平面05。，所以，平面08。，

且08=0。=2sin60。=G

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，0B、。尸所在直線分別為X、y軸，

平面尸E內(nèi)過(guò)點(diǎn)。且與平面/8所的垂直的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則/（百,-2,0）、8（6,0,0）、。（石cos6?,0,V5sin@、。（若cos?,2,Wsin0,

ZB=（0,2,0）,SC=（^cose-V3,2,75sin0）,

所以點(diǎn)A到直線8c的距離為1=

*「4

=y/~2,解得cosO=；.

V\VlO-6cos0

故答案為.g

四、解答題

17.己知等差數(shù)列｛%｝,正項(xiàng)等比數(shù)列也｝,其中也｝的前N項(xiàng)和記為s“，滿足q=4=2,

“3=4，。5=邑■

⑴求數(shù)列｛4｝,但｝的通項(xiàng)公式；

⑵若C.=a,a,求數(shù)歹!)匕,｝的前〃項(xiàng)和T?.

【正確答案】(1)4=3"—1,”WN+,%=2"/WN+

(2)7；=8+(3”-4)2川

【分析】(1)根據(jù)數(shù)列類型和基本量關(guān)系的運(yùn)算即可求得通項(xiàng)公式；(2)利用錯(cuò)位相減法即

可求得結(jié)果.

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為d,等比數(shù)列也｝的公比為4>0；

利用基本量運(yùn)算有2+2</=2/,2+4"=2+2?+2/，

因?yàn)橐病埃秊檎?xiàng)數(shù)列，可得g=2,d=3,

A

所以=q+(n-V)d=3n-\,b?=bIq"=2"；

即數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為a,=3〃-1,〃eN+

數(shù)列出｝的通項(xiàng)公式為〃=2",〃wN，

(2)由(1)可得%=(3〃-1)2",

所以7；=2x2+5x22+8>23+...+(3月-1)2"①

27],=2x22+5x23+8x24+...+(3?-4)2"+(3?-1)2"+,②

②-①得：

7；,=-2x2'-3(22+2'+…+2”)+(3〃-1)2向

=-4-3x4(1~^+(3n-1)2,,+1=8*3〃Y)2T

即數(shù)歹!lE｝的前N項(xiàng)和I,=8+(3〃-4)2屆

18.圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)力(1,2)與直線x+y-5=0相切,圓心C(a,b)的橫、縱坐標(biāo)滿足。=26(“>0).

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線/：mx+2y-3機(jī)-1=0交圓C于4，8兩點(diǎn)，當(dāng)|/8|=6時(shí)，求直線/的方程.

【正確答案】(l)(x-2)2+(y-l)2=2

⑵4x-2y-l1=0

【分析】(1)待定系數(shù)法求圓的方程.

(2)直線與圓相交，求出弦長(zhǎng)建立等式關(guān)系，求得〃?，進(jìn)而求得直線方程.

2b+h-5\

【詳解】(1)設(shè)圓心坐標(biāo)為C(26,6),有(2b-iy+3-2)2、

得6=1或一15(舍),

所以-2)2+(尸1)2=2.

(2)直線截圓所得弦長(zhǎng)而圓半徑&=應(yīng)，

因此圓心(2,1)到直線/：*+2y-3加-1=0距離為立

2

所以”=四蕓^2±=91,得加=-4.

J/+42

從而直線/的方程4x-2y-ll=0.

19.已知直線/過(guò)拋物線C:/=4x的焦點(diǎn)F,與拋物線C交于48兩點(diǎn).

(1)若/的傾斜角為:，求|/切：

(2)若在拋物線C上有且僅有一點(diǎn)尸(異于48),使得41PB,求直線/的方程和相應(yīng)點(diǎn)

P的坐標(biāo).

【正確答案】(1)當(dāng)

(2)直線/方程為x=+1相應(yīng)的點(diǎn)尸(3,-2百)或直線/方程為x=-5+1相應(yīng)的點(diǎn)

P(3,2向

【分析】(1)根據(jù)條件求出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可求得弦長(zhǎng).

(2)設(shè)直線/與拋物線聯(lián)立，韋達(dá)定理得48兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，PAVPB,勺溝=T，化簡(jiǎn)

可得呼+4%+12=0,有且只有一個(gè)解，判別式為0,可求得結(jié)果.

【詳解】（1）因?yàn)橹本€/過(guò)焦點(diǎn)尸（1,0）且傾斜角為：，故方程為y=6（x-l）,

與J?=4x聯(lián)立消去y,得3X2-10X+3=0，

設(shè)點(diǎn)4（和乃）,3。2，%），由韋達(dá)定理得再+X2=y,

所以|N5|=X|+々+p=g.

（2）設(shè)直線/方程為“卬+1,聯(lián)立方程組I："：'消去x得

[y=4x

y2-4ty-4^0,所以乂+%=4f,必弦=T

設(shè)點(diǎn)P（x。,%）直線P4P8的斜率分別為尢,&,由4IPB得以=T,

/：二%_必一%_44

因?yàn)?X,-Xo乂+%），同理無(wú)2=1，、+%

44

44

所以勺/="7丁='化簡(jiǎn)得"+（乂+32）%+%%+16=0

即此+4%+12=0,由已知方程只有一個(gè)解，故判別式△=16〃-48=0,f=±6

所以直線/方程為》=島+1相應(yīng)的點(diǎn)尸（3,-2月）

或直線1方程為x=-6y+1相應(yīng)的點(diǎn)P（3,2收

20.在四棱錐尸-48。中，

AB//CD,ABIBC,AB=3,BC=CD=PD=2,ZPDC=12（T，尸D與平面所成角的

大小為60。，點(diǎn)。為線段PB上一點(diǎn).

（1）若C0〃平面以。，求筆的值；

ID

（2）若四面體。-ABC的體積為手，求直線48與平面/QC所成角的大小.

【正確答案】（1）^=：

(2)30,

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)。作〃月8交于E,連接EO.證明四邊形QEOC是平行四邊形,

即可求得爵的值；

(2)過(guò)尸作尸OLCD交C。的延長(zhǎng)線于0,證明P01平面N8CO.從而建立空間直角坐標(biāo)

系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用空間角的向量求法，即可求得答案.

【詳解】(1)過(guò)點(diǎn)。作0E〃/8交于E,連接EO.

QE〃AB,CD//AB,:.QE//CD,

二.四邊形0EDC是平面四邊形

又；平面。EDCn平面尸/。=￡1),C。〃平面RW,。。＜=平面。&)(7,

.?.CQ〃ED,.?.四邊形?；?C是平行四邊形，

：.QE=DC=2,而"=3,于是條=筆=上

PBAB3

(2)過(guò)尸作尸0_LC。交C。的延長(zhǎng)線于。，

???NPDC=120°,.-.ZPDO=60。,而PD=2,:.尸。=2xsin60°=正;

又；PO與平面/8CZ)所成角的大小為60。，

則P到平面ABCD的距離為2xsin60"=5即尸。的長(zhǎng)為P到平面ABCD的距離，

尸O_L平面48cD.

以。為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸,

如圖建立空間直角坐標(biāo)系.

VP,RC--5A.?rxPO--x—x3x2xG=6,

t—AD(,332

設(shè)四面體。-月8c的高為人由于/_.c=￥，所以4=g，

即

翁軻以5H

'22^/3、

于是/(2,0,0),8(2,3,0),C(0,3,0),。,

AC=(-2,3,0),AQ=-*1,明，

設(shè)平面AQC的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),

fn.AC=0產(chǎn)+3尸0

則<—，即I426，

n-AQ=0--x-^-y+—^—z=0

令x=3,得萬(wàn)=(3,2,萬(wàn))，又而=(0,3,0),

設(shè)直線力5與平面/QC所成角為0,0。49490。,

0=30。，所以直線AB與平面AQC所成角的大小為30.

21.已知數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為邑，且?！?，麻,4+i（〃eN,）成等比數(shù)列.

（1）若｛《,｝為等差數(shù)列，求卬；

n+2

⑵令1=3,1+%>3］，是否存在正整數(shù)發(fā)，使得4是%I與%2的等比中項(xiàng)？若存〃+2

在，求出所有滿足條件的4和七若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【正確答案】（1）6=1

_.fa,=6fa,=2

（2）存在；”［或1°

【分析】（1）方法一：利用已知條件求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后根據(jù)數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列求

解即可，方法二：利用已知條件先求出，；

（2）由（1）結(jié)合已知條件建立方程，解出方程進(jìn)行分析即可.

【詳解】（1）由已知得：2Sn=a?-a^,

方法一：當(dāng)〃22時(shí)，2S?_,=a?_!-a,,,兩式相減的2a“=a“（％-1）,

因?yàn)閍“#0，所以當(dāng)“22時(shí)，an+l-a?,t=2.

又由2S〃=a“?％+］,當(dāng)〃時(shí)，％=2.

若｛。“｝為等差數(shù)列，則/M-a“T=2d,所以公差［=1,則q=l.

方法二：由2S,=%?《,+1,當(dāng)"=1時(shí)，a,=2.

當(dāng)〃=2時(shí)，2s2=牧％，又的=2,且數(shù)列｛叫為等差數(shù)列，

所以得4+2=43=%+24,.=1,%=1.

則知=〃,S,,=磅羅，符合題意，所以q=l.

（2）令2=。2,-1+"2"，則”=q+2（"—l）+2〃=4〃+q—2,

2A+42k+7

由得（必+4-2）2?3「丁=（4"+7+2）（4%+4+6>3一丁，

化簡(jiǎn)得3（4%一2）2=（"+《+2）（必+《+6）.

令4k+4=t,貝ij3a-2）2=（1+2）?+6）解得/=0或，=10,

因?yàn)椋N*,q>0,所以4%+q=0無(wú)解，

4%+［=10得：上：或［：=；.

［左=1［%=2

22.已知雙曲線C:1-4=l（a>0力>0）,斜率為1的直線過(guò)雙曲線C上一點(diǎn)4（2百,0）交該

ab

曲線于另一點(diǎn)5,且線段48中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為邁.

2

（1）求雙曲線C的方程；

（2）已知點(diǎn)M（s,〃）為雙曲線c上一點(diǎn)且位于第一象限，過(guò)〃作兩條直線4,4,且直線4,4均

與圓/+3-”）2=］相切.設(shè)《與雙曲線c的另一個(gè)交點(diǎn)為P,。與雙曲線c的另一個(gè)交點(diǎn)

為。，則當(dāng)iP0i=8jrr時(shí)，求點(diǎn)"的坐標(biāo).

【正確答案】（1）［-F=1

W用或普甯

【分析】（1）根據(jù)題意可求得B點(diǎn)坐標(biāo),將48代入雙曲線方程,解方程組,求得/=3,〃=1,

可得答案:

（2）由題意設(shè)出44的方程，和雙曲線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得P,。的坐標(biāo),

繼而可得1尸。|的表達(dá)式，由|尸。卜8萬(wàn)可列出關(guān)于機(jī)，〃的方程，解方程求得見(jiàn)”，即得答

案.

【詳解】（1）因?yàn)榱Γ?百,W），且N8中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為邁，所以8（石,丹）,

又因?yàn)橹本€的斜率為1,即袈殺=1,.』=0,所以點(diǎn)3（退,0）,

3

121

后-i

滔

點(diǎn)48坐標(biāo)代入雙曲線方程，得;O

/-*1

a2

2

所以雙曲線方程為工-_/=].

3

另解：設(shè)力（不必）,3（工2，%），由已知條件可得直線/:^-百=工-2百,

x-JL