1.5 全等三角形的判定（原卷版）

1.5全等三角形的判定1.掌握用SSS,SAS，ASA和AAS證明兩個(gè)三角形全等的方法,并會(huì)用HL證明兩個(gè)直角三角形全等.2.能根據(jù)所給條件靈活地選擇三角形全等的判定方法,并能綜合運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的問(wèn)題3.通過(guò)畫、量、觀察、比較和猜想等過(guò)程,探索、歸納、證明兩個(gè)三角形全等的條件,提高運(yùn)用知識(shí)的能力知識(shí)點(diǎn)一三角形全等的基本事實(shí):邊邊邊邊邊邊三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”提示：三角形的三邊確定后，其形狀、大小也隨之確定.這也是三角形具有穩(wěn)定性的原因2.書寫格式在中，∴即學(xué)即練（2022秋·浙江溫州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，點(diǎn)A，D，B，E在同一條直線上，AC＝EF，AD＝BE，BC＝DF，BC與DF交于點(diǎn)O．（1）求證：△ABC≌△EDF．（2）若∠CBE＝125°，求∠BOD的度數(shù)．知識(shí)點(diǎn)二三角形全等的基本事實(shí):邊角邊1.基本事實(shí)兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等,簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”2.書寫格式在中，∴注意：(1)應(yīng)用此判定方法時(shí),可以從圖形上直接觀察到三個(gè)對(duì)應(yīng)元素必須符合“兩邊和它們的夾角”,即“SAS”,不要錯(cuò)誤地認(rèn)為有兩邊、角就能判定兩個(gè)三角形全等.特別注意“邊邊角”不能作為判定兩個(gè)三角形全等的條件(2)在書寫時(shí)也要按照“邊一角一邊”的順序排列條件即學(xué)即練1（2022秋·浙江溫州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，AB=AC，添加下列條件，不能使△ABE≌△ACD的是（A．∠B=∠C B．∠AEB=∠ADC C．AE=AD D．BE=DC即學(xué)即練2（2022秋·浙江溫州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，把兩根鋼條AA'，BBA．SSS B．SAS C．AAS D．ASA知識(shí)點(diǎn)三三角形全等的基本事實(shí):角邊角1基本事實(shí)兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等,簡(jiǎn)寫成“角邊角或“ASA”2.書寫格式在中，∴即學(xué)即練1（2022秋·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）如圖，某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是（

）

A．帶①去 B．帶②去 C．帶③去 D．帶①和②去知識(shí)點(diǎn)四三角形全等的推論:角角邊1基本事實(shí)兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等,簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”2.書寫格式在中，∴注意：(1)有兩角和一邊分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等,一定要注意“對(duì)應(yīng)”關(guān)系(2)有三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等即學(xué)即練（2022秋·云南昭通·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，點(diǎn)B、E、C、F在同一直線上，AB=DE，∠A=∠D，AC∥

(1)證：△ABC≌(2)若∠ACB=40°，∠D=80°，求∠B的度數(shù)．知識(shí)點(diǎn)五判定兩個(gè)三角形全等常用的思路方法已知對(duì)應(yīng)相等的元素可選擇的判定方法需尋找的條件銳角三角形或鈍角三角形兩邊(SS)SSS或SAS第三邊對(duì)應(yīng)相等或兩邊的夾角對(duì)應(yīng)相等一邊及其鄰角(SA)SAS或ASA或AAS已知角的另一鄰邊對(duì)應(yīng)相等或已知邊的另一鄰角對(duì)應(yīng)相等或已知邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等一邊及其對(duì)角(SA)AAS另一角對(duì)應(yīng)相等兩角(AA)ASA或AAS兩角的夾邊對(duì)應(yīng)相等或相等一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等即學(xué)即練（2023秋·河北石家莊·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知AB=AD，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定ΔABC?ΔADC

A．CB=CD B．∠BAC=∠DACC．∠BCA=∠DAC D．∠B=∠D=90°知識(shí)點(diǎn)六常見(jiàn)全等三角形的基本圖形平移型全等翻折型全等旋轉(zhuǎn)型全等知識(shí)點(diǎn)七角的平分線的性質(zhì)角的平分線的性質(zhì)角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等書寫格式提示:(1)該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù),不需要再通過(guò)證全等三角形得到相等線段;(2)已知角的平分線及其上一點(diǎn)到角一邊的垂線段,常添加輔助線由角平分線上的已知點(diǎn)向另一邊作垂線段，即構(gòu)造“角的平分線性質(zhì)”的基本圖形,得到相等的兩條垂線段.即學(xué)即練（2023春·貴州遵義·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA長(zhǎng)分別是20，30，40，其三條角平分線將△ABC分為三個(gè)三角形，則S△ABO:S

A．1:1:1 B．1:2:3 C．2:3:4 D．3:4:5知識(shí)點(diǎn)八角的平分線的判定角的平分線的判定角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線2.書寫格式如圖所示,即學(xué)即練（2020秋·浙江臺(tái)州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D：一把直尺壓住射線OB，另一把直尺壓住射線OA并且與第一把直尺交于點(diǎn)P，小明說(shuō)：“射線OP就是∠BOA的角平分線．”他這樣做的依據(jù)是（

）A．角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等B．角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上C．三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三條邊的距離相等D．以上均不正確知識(shí)點(diǎn)九線段的垂直平分線1.線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線線段的垂直平分線的性質(zhì)及判定性質(zhì)判定圖示內(nèi)容線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上書寫格式應(yīng)用證明線段相等確定點(diǎn)在線段的垂直平分線上即學(xué)即練1（2022秋·浙江溫州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，DE是AC的中垂線，分別交AC，AB于點(diǎn)D，E．已知△BCE的周長(zhǎng)為9，BC=4，則AB的長(zhǎng)為．即學(xué)即練2（2022秋·浙江溫州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)D是△ABC邊AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線交BC于點(diǎn)E，已知AC=6，△ABC的周長(zhǎng)為14，則△ABE的周長(zhǎng)是（

）A．6 B．14 C．8 D．20題型一用SSS證明三角形全等例1（2023秋·浙江湖州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知AC=DB，要使得△ABC?△DCB，根據(jù)“SSS”的判定方法，需要再添加的一個(gè)條件是．舉一反三1（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，AF=DC，EF=BC，AB=ED，證明△ABC≌△DEF．舉一反三2（2022秋·浙江·八年級(jí)期中）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是求證：AD⊥BC（填空）．證明：在三角形△ABD和∵BD=已知∴≌（）．∴∠ADB＝（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）．∴∠ADB＝∴（垂直的意義）．題型二全等的性質(zhì)和SSS綜合例2（2022秋·浙江金華·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，AB=CD，AE=DF，CE=BF，說(shuō)出∠B=∠C的理由．

解：∵CE=BF（

），∴CE+EF=BF+FE，即CF=BE．在△ABE和△DCF中，AB=__________(∴△ABE≌△DCF（

），∴∠B=∠C（

）舉一反三1（2023秋·浙江杭州·八年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，點(diǎn)E分別在邊AB，邊BC上，連接DE,AD=AC，ED=EC．(1)求證：∠ADE=∠C．(2)若AB⊥DE,∠B=30°，求∠A的度數(shù)．舉一反三2（2023春·浙江寧波·七年級(jí)校考期末）如圖所示，已知AB=DC，AE=DF，EC=BF，且B，F(xiàn)，E，C在同一條直線上(1)求證：AB(2)若BC=10，EF=7，求BE的長(zhǎng)度題型三用SAS直接證明三角形全等例3（2022秋·浙江嘉興·八年級(jí)平湖市林埭中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖把兩根鋼條AA',B

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS舉一反三1（2023秋·浙江紹興·八年級(jí)統(tǒng)考期末）為了測(cè)出池塘兩端A，B的距離，小紅在地面上選擇了點(diǎn)O，D，C，使OA=OC，OB=OD，且點(diǎn)A，O，C和點(diǎn)B，O，D分別都在一條直線上，小紅認(rèn)為只要量出D，C的距離，就能知道AB，小紅是根據(jù)△OAB≌△OCD來(lái)判斷AB=DC的，那么判定這兩個(gè)三角形全等用到的基本事實(shí)或定理是（A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS舉一反三2（2022秋·浙江溫州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知AB=AC，AD=AE，則∠B=∠C，請(qǐng)說(shuō)明理由（填空）解：在△ABE和△ACD中，∵AB=AC∴△ABE≌△ACD（

）∴∠B=∠C（

）題型四用SAS間接證明三角形全等例4（2022秋·浙江臺(tái)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，AB=DE，BE=CF，∠B=∠DEF．求證：△ABC≌△DEF．舉一反三1（2022秋·浙江·八年級(jí)期中）已知：如圖，E為BC上一點(diǎn)，AC∥BD．AC=BE．BC=BD．求證：AB=DE．舉一反三2（2019秋·浙江杭州·八年級(jí)期末）如圖，∠BAD=∠CAE，AB=AD，AC=AE，則△ABC≌△ADE，請(qǐng)將下列說(shuō)理過(guò)程補(bǔ)充完整．解：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAC=______+______．即∠BAC=______．在△ABC和△ADE中，AB=______∴△ABC≌△ADE題型五全等的性質(zhì)和SAS綜合例5（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E使得AD=DE，連接CE．(1)求證：△ABD≌△ECD；(2)求證：AB∥CE．舉一反三1（2022秋·浙江麗水·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，連接BE，點(diǎn)D恰好在BE上，則∠3=（

）A．60° B．55° C．50° D．無(wú)法計(jì)算舉一反三2（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)杭州市青春中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，E為AC中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使得EF=ED，連CF．

(1)求證：CF∥(2)若∠ABC=50°，連接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A的度數(shù)．題型六用ASA(AAS)證明三角形全等例6（2022秋·浙江嘉興·八年級(jí)平湖市林埭中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，

(1)求證：ΔABF?(2)若∠AOE=80°，求∠OEF的度數(shù)．舉一反三1（2001春·浙江杭州·七年級(jí)?？计谀┬偘岩粔K三角形玻璃打碎成了如圖所示的三塊，現(xiàn)要到玻璃店取配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是（

）A．帶①去 B．帶②去 C．帶③去 D．帶①和②去舉一反三2（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)?？计谀┰凇鰽BC和△ADE中，AB=AD，∠1=∠2，∠題型七全等的性質(zhì)和ASA(AAS)綜合例7（2023秋·浙江杭州·八年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知△ABN和△ACM位置如圖所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．（1）求證：BD=CE；（2）求證：∠M=∠N．舉一反三1（2023春·浙江·八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，△ABC中，AD是BC邊上的中線，E，F(xiàn)為直線AD上的點(diǎn)，連接BE，CF，且BE∥CF．(1)求證：△BDE≌△CDF；(2)若AE=13，AF=7，試求DE的長(zhǎng)．舉一反三2（2020·浙江金華·九年級(jí)期末）如圖，在△OAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD,OA>OC,∠AOB=∠COD=40°，連接AC,BD交于點(diǎn)M，連接OM．下列結(jié)論：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正確的個(gè)數(shù)為（）．A．4 B．3 C．2 D．1題型八添加條件使三角形全等例8（2022秋·浙江紹興·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E共線，∠B=∠E，BF=EC，添加一個(gè)條件，不能判斷△ABC≌△DEF的是（

）A．AB=DE B．∠A=∠D C．AC=DF D．AC∥FD舉一反三1（2023秋·浙江寧波·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC和△DCB中，∠ACB=∠DBC，添加一個(gè)條件，不能證明△ABC和△DCB全等的是（

）A．∠ABC=∠DCB B．AB=DCC．AC=DB D．∠A=∠D舉一反三2（2022秋·浙江紹興·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知∠ABC=∠DCB，下列所給條件不能證明△ABC≌△DCB的是（

）A．∠A=∠D B．AB=DC C．∠ACB=∠DBC D．AC=BD題型九靈活選用判定方法證全等例9（2023秋·浙江紹興·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，小明家仿古家具的一塊三角形形狀的玻璃壞了，需要重新配一塊．小明通過(guò)電話給玻璃店老板提供相關(guān)數(shù)據(jù)，為了方便表述，將該三角形記為ΔABC，提供了下列各組元素的數(shù)據(jù)，配出來(lái)的玻璃不一定符合要求的是（

A．AB,BC,CA B．AB,BC,∠B C．AB,AC,∠B D．∠A,∠B,BC舉一反三1（2022秋·浙江舟山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）根據(jù)下列已知條件，能畫出唯一的ΔABC的是（

A．∠C=90°，AB=6 B．AB=4，BC=3，∠A=30°C．∠A=60°，∠B=45°，AB=4 D．AB=3，BC=4，CA=8舉一反三2（2020春·浙江杭州·八年級(jí)期中）下列各圖中a、b、c為三角形的邊長(zhǎng)，則甲、乙、丙三個(gè)三角形和左側(cè)△ABC全等的是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙題型十倍長(zhǎng)中線模型例10（2023秋·浙江杭州·八年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）AD是△ABC的中線，AB=5,AC=7，則AD的取值可能是（

）A．3 B．6 C．8 D．12舉一反三1（2022秋·青海西寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【閱讀理解】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：如圖，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：如圖，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連結(jié)BE．請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：(1)由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是（A．SSS

B．SAS

C．AAS

D．ASA(2)AD的取值范圍是（

）．A．6<AD<8

B．12<AD<16

C．1<AD<7

D．2<AD<14(3)【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中．【問(wèn)題解決】如圖，AD是△ABC的中線，BE交AC于點(diǎn)E，交AD于F，且AE＝EF．求證：AC＝BF．舉一反三2（2019秋·浙江臺(tái)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，AE⊥CD分別交CD，BC于點(diǎn)F，E（1）如圖1，①若AB=AC，請(qǐng)直接寫出∠EAC-∠BCD=______；②連接DE，若AE=2DE，求證：∠DEB=∠AEC；（2）如圖2，連接FB，若FB=AC，試探究線段CF和DF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．題型十一旋轉(zhuǎn)模型(全等三角形)例11（2023春·江西撫州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在四邊形ABCD的邊BC，CD上，∠EAF=12∠BAD，連接EF，試猜想EF，BE，DF（1）思路梳理將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△ADG，使AB與AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即點(diǎn)F，D，G三點(diǎn)共線，易證△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_；（2）類比引申如圖2，在圖1的條件下，若點(diǎn)E，F(xiàn)由原來(lái)的位置分別變到四邊形ABCD的邊CB，DC延長(zhǎng)線上，∠EAF=12∠BAD，連接EF，試猜想EF，BE，DF（3）聯(lián)想拓展如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D，E均在邊BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接寫出DE的長(zhǎng)為_(kāi)_______________.舉一反三1（2022春·廣東廣州·八年級(jí)廣州大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀﹩?wèn)題：如圖（1），點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF＝45°，試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．(1)延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G使DG＝BE，連接AG，得到至△ADG，從而可以證明EF＝BE＋FD，請(qǐng)你利用圖（1）證明上述結(jié)論．(2)如圖（2），四邊形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，則當(dāng)∠EAF與∠BAD滿足______數(shù)量關(guān)系時(shí)，仍有EF＝BE＋FD，并說(shuō)明理由．(3)如圖（3），在某公園的同一水平面上，四條通道圍成四邊形ABCD，已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分別有景點(diǎn)E、F．且AE⊥AD，DF=403-1米，現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直道路，求這條道路舉一反三2（2022秋·陜西延安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【問(wèn)題提出】（1）如圖①，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠BAD.【問(wèn)題探究】（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立題型十二垂線模型（全等三角形）例12（2022秋·廣東江門·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m過(guò)點(diǎn)A，且BD⊥m于D，CE⊥m于E，當(dāng)直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖1位置時(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)DE=BD+CE．(1)當(dāng)直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖2位置時(shí)，問(wèn)：BD與DE、CE的關(guān)系如何？請(qǐng)予證明；(2)直線m在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，BD、DE、CE存在哪幾種不同的數(shù)量關(guān)系？（直接寫出，不必證明）舉一反三1（2021春·四川南充·八年級(jí)四川省南充市高坪中學(xué)?？计谥校┤鐖D1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，連接AE，過(guò)E作AE的垂線交∠BCD的外角平分線于F．(1)求證：AE=(2)如圖若E在BC的延長(zhǎng)線上，（1）中的結(jié)論是否成立，若成立，請(qǐng)證明，若不成立說(shuō)明理由．舉一反三2（2022秋·河南商丘·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E點(diǎn)為射線CB上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AE，作AF⊥AE且AF＝AE．（1）如圖1，過(guò)F點(diǎn)作FD⊥AC交AC于D點(diǎn)，求證：FD＝BC；（2）如圖2，連結(jié)BF交AC于G點(diǎn)，若AG＝3，CG＝1，求證：E點(diǎn)為BC中點(diǎn)．（3）當(dāng)E點(diǎn)在射線CB上，連結(jié)BF與直線AC交子G點(diǎn)，若BC＝4，BE＝3，則AGCG=題型十三證一條線段等于兩條線段和(差)例13（2022秋·四川綿陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知∠C=60°，AE,BD是△ABC的角平分線，且交于點(diǎn)P．(1)直接寫出∠DPE=___________°；

(2)求證：PD=PE；(3)探究AB、舉一反三1（2020秋·浙江金華·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知△ABC的高AD所在直線與高BE所在直線相交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG∥BC，交直線AB于點(diǎn)(1)如圖，若△ABC為銳角三角形，∠ABC=45°．求證：①△BDF≌△ADC，②(2)如圖，當(dāng)∠ABC為135°時(shí)，寫出FG，DC，AD之間的等量關(guān)系，說(shuō)明相應(yīng)理由．舉一反三2（2020秋·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB=AD+2BE，則下列結(jié)論①AE=12AB+AD；②∠DAB+∠DCB=180°；③CD=CB；④SA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)題型十四全等三角形綜合問(wèn)題例14（2022秋·浙江金華·八年級(jí)義烏市繡湖中學(xué)教育集團(tuán)?？计谥校┤鐖D，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，下面給出四個(gè)論斷：①AB=DE；②AC=DF；③∠ABC=∠DEF；④BE=CF．任選三個(gè)作為已知條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，可得到的命題中，真命題有（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)舉一反三1（2023秋·浙江杭州·八年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC，∠AOB=∠COD=40°，連接AC，BD交于點(diǎn)M，連接OM．下列結(jié)論：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠CMB．其中正確的個(gè)數(shù)為（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③舉一反三2（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校境醪教剿鳌?/p>

(1)如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；【靈活運(yùn)用】(2)如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；【拓展延伸】(3)如圖3，已知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在CD的延長(zhǎng)線上，如圖3所示，仍然滿足EF=BE+FD，請(qǐng)寫出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過(guò)程．題型十五角平分線的性質(zhì)定理例15（2023秋·浙江湖州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠C=90°∠B=30°，以A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，再分別以M，N為圓心，大于12MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠BAC的內(nèi)部交于點(diǎn)P，連結(jié)AP并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)D．有下列說(shuō)法：①線段AD是∠BAC的平分線；②∠ADC=∠BAC；③點(diǎn)D到AB邊的距離與DC的長(zhǎng)相等；④△DAC與△ABC的面積之比是1:4．其中結(jié)論正確的是（A．①② B．③④ C．①②③ D．①③④舉一反三1（2023秋·浙江紹興·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AD是∠BAC的角平分線，E是AB的中點(diǎn)，△ABC的面積為21，AC=6，AB=8，則△BED的面積為（

）A．214 B．5 C．6 D．舉一反三2（2023秋·浙江臺(tái)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖∠B=∠C=90°，E為BC上一點(diǎn)，AE平分∠BAD，DE平分∠CDA．(1)求∠AED的度數(shù)；(2)求證：E是BC的中點(diǎn)．題型十六角平分線的判定定理例16（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC外作兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形，其中∠DAB=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE．連接DC、BE交于F點(diǎn)．(1)求證：△DAC≌△BAE；(2)直線DC、BE是否互相垂直，試說(shuō)明理由；(3)求證：AF平分∠DFE．舉一反三1（2022秋·浙江金華·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，已知△ABC，∠BAC=70°，∠ABC=46°，若BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，連接AE，則∠AEB的度數(shù)為．舉一反三2（2021秋·浙江溫州·八年級(jí)校考期中）如圖，已知在△ABC中，∠BAC為直角，AB=AC，D為AC上一點(diǎn)，CE⊥BD于E，交BA的延長(zhǎng)線于F．（1）求證：△ABD≌△ACF；（2）若BD平分∠ABC，求證：CE=12BD（3）若D為AC上一動(dòng)點(diǎn)，∠AED如何變化？若變化，求它的變化范圍；若不變，求出它的度數(shù)，并說(shuō)明理由．

題型十七角平分線性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用例17（2022秋·浙江·八年級(jí)期中）一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一個(gè)涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（）A．三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) B．三角形三條角平分線的交點(diǎn)C．三角形三條高所在直線的交點(diǎn) D．三角形三條中線的交點(diǎn)舉一反三1（2022秋·浙江金華·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BC＝8cm，點(diǎn)D到AB的距離為3cm，則DB的值是（）A．3cm B．8cm C．6cm D．5cm舉一反三2（2020秋·浙江紹興·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA的長(zhǎng)分別為30、40、15，點(diǎn)P是三條角平分線的交點(diǎn)，將△ABC分成三個(gè)三角形，則SΔAPB︰SΔBPC︰SΔCPA

題型十八線段垂直平分線的性質(zhì)例18（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE=4，△ABD的周長(zhǎng)為14，則△ABC的周長(zhǎng)為．舉一反三1（2023秋·浙江杭州·八年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖所示，在△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則△BCE的周長(zhǎng)為（

）

A．13 B．18 C．10.5 D．21舉一反三2（2023秋·浙江杭州·八年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在△ABC中，AC=7cm，線段AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)N，△BCN的周長(zhǎng)是13cm，則BC的長(zhǎng)為（

A．5cm B．6cm C．7cm題型十九線段垂直平分線的判定例19（2023秋·浙江臺(tái)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一形狀為四邊形的風(fēng)箏（四邊形ABCD），測(cè)量得：AD＝CD＝50cm，AB＝BC＝78cm，AC＝60cm，舉一反三1（2021秋·浙江杭州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AC為邊，作△ACD，滿足AD=AC，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，連接AE，2∠BAE=∠CAD，連接DE．若BE=a，CE=b，則DE=（用含a、b的代數(shù)式表示）．舉一反三2（2020秋·浙江臺(tái)州·八年級(jí)臺(tái)州市書生中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分別為A，B．下列結(jié)論中成立的有(填寫正確的序號(hào))．①PA=PB；②AB垂直平分OP；③OA=OB；④PO平分∠APB．題型二十線段垂直平分線的實(shí)際應(yīng)用例20（2022秋·浙江溫州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知線段AB，以點(diǎn)A，B為圓心，5為半徑作弧相交于點(diǎn)C，D．連結(jié)CD，點(diǎn)E在CD上，連結(jié)CA，CB，EA，EB．若△ABC與△ABE的周長(zhǎng)之差為4，則AE的長(zhǎng)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4舉一反三1（2022秋·浙江·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，某地有兩所大學(xué)和兩條相交叉的公路，（點(diǎn)M，N表示大學(xué)，AO，BO表示公路），現(xiàn)計(jì)劃在∠AOB內(nèi)部修建一座物資