點的投56課件講解

點的投影

點的三面投影

點的空間位置

兩點的相對位置

點的投影1、

掌握點的投影規(guī)律與作圖法。2、點的空間位置的判斷；3、兩點的相對位置；

教學(xué)目標(biāo)

面點、直線、平面是構(gòu)成形體的基本幾何元素BCDA線

點的投影點P

采用多面投影。點的三面投影

過空間點A的投射線與投影面P的交點即為點A在P面上的投影。a

A

點在一個投影面上的投影不能確定點的空間位置。Pb

BB2B1解決辦法HWV投影面與投影軸OV面與H面的交線—OX軸V面與W面的交線—OZ軸H面與W面的交線—OY軸點的三面的投影YXZΑ—空間點A；a—點A的水平(H)投影;a′—點A的正面(V)投影;a″—點A的側(cè)面(W)投影。點的三面投影空間點的位置和直角坐標(biāo)空間點的位置，可由直角坐標(biāo)值來確定，一般采用下列的書寫形式：A(x,y,z)。

點到各投影面的距離，為相應(yīng)的坐標(biāo)數(shù)值X，Y，Z

。投影面展開XVAYOWZaaYaZaXa″a′H面向下旋轉(zhuǎn)90°HW面向右旋轉(zhuǎn)90°WVHYWOXZYHaxaza

ayayaa″V面不動

a

a⊥OX軸;

a

a

⊥OZ軸;

a到OX軸的距離=a

到OZ軸的距離

Aa′=aax=a

az=ay0=yA——A點到V面的距離

Aa=a

ax=a

ay=az0=zA——A點到H面的距離

Aa″=aay=a

az=ax0=xA——A點到W面的距離

點的三面投影規(guī)律:XVYOWZaaYaZaXa″a′HZAYAXAA例1:已知A點的坐標(biāo)值A(chǔ)(12，10，15)，求作A點的三面投影圖。

作投影軸；

量?。篛ax=12、Oaz=15、OaYH=OaYW=10,得ax、az、OaYH、OaYW等點；步驟:OXYWHYZaa''a'aZ15YWaYHa10aX12

過ax、az、aYH、aYW等點分別作所在軸的垂線，交點a、a′、a″既為所求?！瘛馻

aax例2：已知點的兩個投影，求第三投影?！馻

●●a

aaxazaz解法一:解法二:a

●通過作45°線使a

az=aax用圓規(guī)直接量取a

az=aax3.1.2點的空間位置1.在空間（X，Y，Z）

點在投影體系中有四種位置情況：點的空間位置XVYOWZH

由于X，Y，Z均不為零，對三個投影面都有一定距離，所以點的三個投影都不在軸上。aZa″a′aYaXaA點的空間位置

由于點在投影面上，點對該投影面的距離為零。所以，點在該投影面上的投影與空間點重合，另兩投影在該投影面的兩根投影軸上。2.在投影面上：在H面上（X，Y，0）XVYOWZH

在V面上（X，0，Z）

在W面上（0，Y，Z）bBCdb″C″d″Db′d′C′C3.1.3點的相對位置3.1.3兩點的相對位置兩點的相對位置指兩點在空間的上下、前后、左右位置關(guān)系。

x坐標(biāo)大的在左；

y坐標(biāo)大的在前；

z坐標(biāo)大的在上。判斷方法：B點在A點的左、下、前方。上下后左右前

當(dāng)空間兩點到兩個投影面的距離都分別對應(yīng)相等時，該兩點處于同一投射線上，它們在該投射線所垂直的投影面上的投影重合在一起，這兩點稱為對該投影面的重影點。兩點重影

重影點需要判斷其可見性，將不可見點的投影用括號括起來，以示區(qū)別。

兩點重影()H面重影，被擋住的投影加()15立體上的重影點EBDCb'edcb"(a)(b)(c)a'(e')c'(d')e"(d")a"(c")a(b)A用一張A4紙完成下面點的三面投影，并判斷點的空間位置。A（10，15，20）B（10，10，0）C（10，0，5）D（0，5，10）E（0，0，15）F（0，15，0）G（10，0，0）H（0，0，0）

直線的投影各種位置直線及其投影特征直線與點的相對位置兩直線的相對位置掌握點與線的相對位置中，從屬性和定比性的運用。掌握各種位置直線投影特征，作圖方法以及在投影圖上正確判斷其空間位置。

教學(xué)目標(biāo)

掌握兩直線相對位置的投影特征及判斷方法。

兩點確定一條直線，將兩點的同面投影用直線連接，就得到直線的投影。直線平行于投影面投影反映線段實長

ab=AB真實性直線垂直于投影面投影重合為一點ab=0積聚性a≡b≡mBAM●●●●直線傾斜于投影面投影比空間線段短

ab＜AB

類似性各種位置直線的投影特征AB●●abα●●abAB●●●●直線中的投影特性投影面平行線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線正平線（平行于Ｖ面）側(cè)平線（平行于Ｗ面）水平線（平行于Ｈ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側(cè)垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）一般位置直線與三個投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱特殊位置直線垂直于某一投影面直線在三個投影面中的投影特性投影特性：

三個投影都縮短了。即:都不反映空間線段的實長及與三個投影面夾角，且與三根投影軸都傾斜。(1)一般位置直線22形體上一般位置直線的投影分析(2)投影面平行線投影特性：1.水平線的H面投影反映線段實長。即：ab=AB;水平線的V、W面投影分別平行于H面的兩根軸。即a′b′∥ox軸，a″b″∥OYW軸；3.水平線的H面投影與OX軸夾角反映該直線對V面的傾角β；與OYH軸的夾角，反映該直線對W面的傾角γ。水平線的投影特征：對正平線和側(cè)平線作分析，可得出類似的投影特征。b

a

aba

b

b

aa

b

ba

投影面平行線1.在其平行的那個投影面上的投影反映實長，并反映直線與另兩投影面傾角。2.另兩個投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸。水平線側(cè)平線正平線γ投影特性：與H面的夾角:α與V面的角:β與W面的夾角:γ實長實長實長βγααβba

aa

b

b

25形體上平行線的投影分析(3)投影面垂直線投影特性：H面投影積聚成一點；V、W面投影反映實長，即a′b′=a″b″=AB；V、W面投影，分別垂直于H面的兩面根軸，即：a′b′⊥ox軸a″b″⊥oz軸。對正垂線和側(cè)垂線作分析，可得出類似的投影特征。鉛垂線投影特征:投影面垂直線鉛垂線正垂線側(cè)垂線2.另外兩個投影面上，投影反映線段實長。且垂直于相應(yīng)的投影軸。1.在其垂直的投影面上，投影有積聚性。投影特性:●c

(d

)cdd

c

●a

b

a(b)a

b

●e

f

efe

(f

)積聚為點積聚為點積聚為點28形體上垂直線的投影分析例題：判斷下列直線的空間位置d′C′dddCAB為水平線CD為側(cè)平線

若點在直線上,則點的投影必在直線的同面投影上。即具有從屬性。

若點在直線上，則點將線段的同面投影分割成與空間直線相同的比例。即具有定比性：AC/CB=ac/cb=ac/cb

若點的投影有一個不在直線的同名投影上，則該點必不在此直線上。判別方法：ABVH直線與點的相對位置Cbcac

b

a

e

e在不在C點直線AB上D點直線AB上D例2：判斷點K是否在線段AB上。a

b

●k

因k

不在a

b

上，故點K不在AB上。應(yīng)用定比定理abka

b

k

●●另一判斷法是因a

k:kb

≠ak:kb

故點K不在AB上。⒈兩直線平行投影特性：空間兩直線平行，則其各同面投影必相互平行，反之亦然。3.2.3兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置分為：平行、相交、交叉。abcda

b

c

d

例1：判斷圖中兩條直線是否平行。

對于一般位置直線，只要有兩個同名投影互相平行，空間兩直線就平行。結(jié)論：AB//CD①Xcbadd

b

a

c

b

d

c

a

對于投影面平行線，只有兩個同面投影互相平行，空間直線不一定平行。若用兩個投影判斷，其中應(yīng)包括反映實長的投影。結(jié)論:AB與CD不平行例2：判斷圖中兩條直線是否平行。②求出側(cè)面投影如何判斷HVXABCDabcda

b

c

d

abcdb

a

c

d

2.兩直線相交判別方法：若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點的投影必符合空間一點的投影規(guī)律。kk

交點是兩直線的共有點k

kK●●cabb

a

c

d

k

kd例：過C點作水平線CD與AB相交。先作正面投影

平面的投影平面的表示法各種位置平面及其投影特征平面上的直線和點平面的投影2.掌握各種位置平面的投影特征，作圖方法以及在投影圖上正確判斷其空間位置。

教學(xué)目標(biāo)

3.掌握平面上的點、線的作圖方法。1.掌握平面的表示方法；S●A●B●A●B●S●A●B●3.3.1平面的表示法●a●a

●b●b

●s●s不在同一直線上的三個點直線及線外一點兩平行直線兩相交直線平面圖形平面的投影S●A●B●S●A●B●●a●a

●b

●b●s●sC●D●●a●a

●b

●b●s●s●a●a

●b

●bc●●c●d●d●a●a

●b

●b●s●s一用幾何元素表示平面PPXY

PW

PZ

PVPHPXZOPXW

PZ

PVPHPYW

PYH

PWYHY

在三投影面體系中，空間平面與投影面的交線，稱為平面的跡線。

平面P與V面的交線稱為平面P的正面跡線，用PV表示；平面P與H面的交線稱為平面P的水平跡線，用PH表示；平面P與W面的交線稱為平面P的側(cè)面跡線，用PW表示。平面與各投影軸的交點(即兩跡線的交點)，稱為跡線集合點，分別用PX、PY、PZ表示。二用跡線表示平面

二用跡線表示平面

平行垂直傾斜投影特性

平面平行投影面-----投影就把實形現(xiàn)

平面垂直投影面-----投影積聚成直線

平面傾斜投影面-----投影類似原平面實形性類似性積聚性平面對一個投影面的投影特性各種位置平面的投影特性平面在三投影面體系中的投影特性平面對于三投影面的位置可分為三類：投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，傾斜于另兩個投影面平行于某一投影面，垂直于另兩個投影面與三個投影面都傾斜

正垂面

側(cè)垂面

鉛垂面

正平面

側(cè)平面

水平面投影特性：H面投影積聚成一直線；β、γ反映平面對V、W面的傾角。V、W面投影為原平面的類似圖形。對正垂面和側(cè)垂面作分析，可得出類似的投影特征。鉛垂面投影特征:βγ投影面垂直面(垂直于某一投影面，傾斜于另兩個投影面)

三種投影面垂直面鉛垂面正垂面?zhèn)却姑?.在它所垂直的投影面上的投影，積聚為一條與投影軸傾斜的直線，該直線與投影軸的夾角分別反映了平面與另外兩投影面傾角的真實大??；2.其余兩面投影為封閉線框，并具有類似性。投影特性:積聚為線積聚為線γβγαβ積聚為線α45形體上垂直面的投影分析投影面垂直面的投影特性：在平面所垂直的投影面上，其投影積聚成一傾斜直線；其余兩個投影均為縮小的類似形。投影特性：1.H面投影反映實形；V面投影積聚為直線，且平行于OX軸；

W面投影積聚為直線，且平行于OYW軸。水平面的投影特征：對正平面和側(cè)平面作分析，可得出類似的投影特征。

投影面平行面(平行于某一投影面，垂直于另兩個投影面)三種投影面平行面1.在它所平行的投影面上的投影反映實形；2.另外兩面投影積聚為與相應(yīng)投影軸平行的直線。水平面?zhèn)绕矫嬲矫嫱队疤匦裕簩嵭螌嵭螌嵭?8形體上平行面的投影分析投影面平行面的投影特性：在平面所平行的投影面上，其投影反映實形；其余兩個投影積聚成直線且分別平行于相應(yīng)的投影軸。投影特性：三面投影均具有類似性。

一般位置平面(與三個投影面都傾斜)50[例]

找出投影圖中所標(biāo)的平面P、Q及直線BC、EF的

三面投影，并判斷它們的空間位置。Ｐ面為一般位置平面Ｑ面為正平面直線EF為水平線直線BC為正平線實形實長ABC為什么位置的平面一般位置平面例：判斷下列平面的空間位置Q為什么位置的平面正垂面跡線QHQW方向固定，可以省略。ABC為什么位置的平面水平面例：判斷下列平面的空間位置EFG為什么位置的平面?zhèn)却姑姘瑐?cè)垂線的平面，為側(cè)垂面。為什么？4.3.3平面上的直線和點判斷直線在平面內(nèi)的方法

定理一若一直線過平面上的兩點，則此直線必在該平面內(nèi)。定理二若一直線過平面上的一點，且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。

平面上取任意直線平面上的直線和點有無數(shù)解。abcb

c

a

abcb

c

a

d

mnn

m

d例：已知平面由直線AB、AC所確定，試