平面力系的合成與平衡-平面匯交力系的合成（建筑力學(xué)）

平面力系的合成與平衡二、合力投影定理設(shè)剛體受一平面匯交力系F1、F2、F3作用，如圖2-5(a)所示。在力系所在平面內(nèi)作直角坐標(biāo)系xOy，從任一點(diǎn)A作力多邊形ABCD，如圖2-5（b）所示。平面力系的合成與平衡平面力系的合成與平衡如果作用在物體上各力的作用線都在同一平面內(nèi)，而且相交于同一點(diǎn)，則該力系稱為平面匯交力系。例如，起重機(jī)起吊重物時(shí)（見圖2-1（a）），作用于吊鉤C的三根繩索的拉力F、FA、FB都在同一平面內(nèi)，且匯交于一點(diǎn)，組成平面匯交力系（見圖2-1（b））。又如,如圖2-2所示的桁架的結(jié)點(diǎn)作用有F1、F2、F3、F4四個(gè)力，且相交于O點(diǎn)，也構(gòu)成平面匯交力系。

平面匯交力系的合成

平面匯交力系的合成可采用幾何法和解析法。這里僅討論以力在坐標(biāo)軸上的投影為基礎(chǔ)的解析法。一、力在平面直角坐標(biāo)軸上的投影如圖2-3所示，在力F作用的平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系xOy。由力F的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B分別向x軸引垂線，得垂足a、b，則線段ab冠以適當(dāng)?shù)恼?fù)號稱為力F在x軸上的投影，用Fx表示，即Fx=±ab;同理，力F在y軸上的投影Fy=±a′b′。

投影的正負(fù)號規(guī)定如下：若從起點(diǎn)到終點(diǎn)的方向與軸正向一致，投影取正號；反之，取負(fù)號。由圖2-3（a）、（b）可知，投影Fx和Fy可用式（2-1）計(jì)算：

Fx=±FcosαFy=±Fsinα

式中，α為力F與x軸正向所夾的銳角。力在軸上的投影為代數(shù)量，投影的大小等于力的大小乘以力與軸所夾銳角的余弦，其正負(fù)可根據(jù)上述規(guī)則直觀判斷確定。（2-1）

圖2-3（a）、（b）還畫出了力Ｆ沿直角坐標(biāo)軸方向的分力Fx和Fy。應(yīng)當(dāng)注意的是，力的投影Fx、Fy與力的分力Fx、Fy是不同的，力的投影只有大小和正負(fù)，它是標(biāo)量；而力的分力是矢量，有大小，有方向，其作用效果還與作用點(diǎn)或作用線有關(guān)。當(dāng)Oｘ、Oｙ軸垂直時(shí)，力沿坐標(biāo)軸分力的大小與力在軸上投影的絕對值相等，投影為正號時(shí)表示分力的指向和坐標(biāo)軸的指向一致，而當(dāng)投影為負(fù)號時(shí)，則表示分力指向與坐標(biāo)軸指向相反。【例2-1】已知F1=100N，F(xiàn)2=50N，F(xiàn)3=60N，F(xiàn)4=80N，各力方向如圖2-４所示。試分別求出各力在x軸和y軸上的投影。解：由式（2-1）可求出各力在x、y軸上的投影F1x=F1cos30°=100×0.866=86.6（N）F1y=F1sin30°=100×0.5=50（N）F2x=F2×3／5=50×0.6=30（N）F2y=-F2×4／5=-50×0.8=－40（N）F3x=0F3y=F3=60（N）F4x=F4cos135°=-80×0.707=-56.56（N）F4y=F4sin135°=80×0.707=56.56(N)平面力系的合成與平衡三、平面匯交力系的合成

式中，α為合力FR與x軸所夾的銳角，合力的指向由∑Fx和∑Fy的正負(fù)號決定，合力作用線通過力系的匯交點(diǎn)。（2-3）

解：取直角坐標(biāo)系如圖2-7所示，合力FR在坐標(biāo)軸上的投影為：FRx=∑Fx=-400＋250×cos45°-200×4／5=-383.2（N）FRy＝∑Fy=250×sin45°-500＋200×3／5=-203.2（N）α=arctan(203