江蘇省常州市新北區(qū)2024年八年級下冊數(shù)學期末綜合測試模擬試題含解析

江蘇省常州市新北區(qū)2024年八年級下冊數(shù)學期末綜合測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．下列分式中，是最簡分式的是()A． B． C． D．2．某班名學生的身高情況如下表：身高（m）人數(shù)關(guān)于身高的統(tǒng)計量中，不隨、的變化而變化的有（）A．眾數(shù)，中位數(shù) B．中位數(shù)，方差 C．平均數(shù)，方差 D．平均數(shù)，眾數(shù)3．下列式子屬于最簡二次根式的是（）A． B． C．（a＞0） D．4．如圖所示，兩個含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直線l滑動，下列說法錯誤的是（）A．四邊形ACDF是平行四邊形B．當點E為BC中點時，四邊形ACDF是矩形C．當點B與點E重合時，四邊形ACDF是菱形D．四邊形ACDF不可能是正方形5．某同學粗心大意,因式分解時,把等式x4-■=(x2+4)(x+2)(x-▲)中的兩個數(shù)字弄污了,則式子中“■”和“▲”對應的一組數(shù)字可能是（）A．8和1 B．16和2C．24和3 D．64和86．如圖，已知正方形ABCD的面積等于25，直線a，b，c分別過A，B，C三點，且a∥b∥c，EF⊥直線c，垂足為點F交直線a于點E，若直線a，b之間的距離為3，則EF=（）A．1 B．2 C．-3 D．5-7．如圖，在中，，，，延長到點，使，交于點，在上取一點，使，連接．有以下結(jié)論：①平分；②；③是等邊三角形；④，則正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．從2004年5月起某次列車平均提速20千米/小時，用相同的時間，列車提速前行駛200千米，提速后比提速前多行駛50千米，提速前列車的平均速度是多少？設(shè)提速前這次列車的平均速度為千米/小時，則下列列式中正確的是（）A． B． C． D．9．一個有進水管與出水管的容器，從某時刻開始4min內(nèi)只進水不出水，在隨后的8min內(nèi)既進水又出水，每分鐘的進水量和出水量是兩個常數(shù)，容器內(nèi)的水量y（單位：L）與時間x（單位：min）之間的關(guān)系如圖所示．則8min時容器內(nèi)的水量為（）A．20L B．25L C．27L D．30L10．△ABC三邊長分別為a、b、c，則下列條件不能判斷△ABC是直角三角形的是（）A．a(chǎn)＝3，b＝4，c＝5 B．a(chǎn)＝4，b＝5，c＝6C．a(chǎn)＝6，b＝8，c＝10 D．a(chǎn)＝5，b＝12，c＝1311．下列二次根式中，不是最簡二次根式的是()A． B． C． D．12．方程＝1的解的情況為（）A．x＝﹣ B．x＝﹣3 C．x＝1 D．原分式方程無解二、填空題（每題4分，共24分）13．已知一組數(shù)據(jù)1，a，3，6，7，它的平均數(shù)是4，這組數(shù)據(jù)的方差是_____．14．如圖,在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE,AC、BC分別平分∠BAD和∠ABE．點C在線段DE上．若AD=5，BE=2，則AB的長是_____．15．如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E、F分別是CD、BC的中點，AE與DF交于點P，連接CP，則CP＝_____．16．如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l1，l2分別是函數(shù)y＝k1x+b1和y＝k2x+b2的圖象，則可以估計關(guān)于x的不等式k1x+b1＞k2x+b2的解集為_____．17．寫一個二次項系數(shù)為1的一元二次方程，使得兩根分別是﹣2和1．_____．18．命題“對頂角相等”的逆命題的題設(shè)是___________.三、解答題（共78分）19．（8分）武漢某文化旅游公司為了在軍運會期間更好地宣傳武漢，在工廠定制了一批具有濃郁的武漢特色的商品．為了了解市場情況，該公司向市場投放，型商品共件進行試銷，型商品成本價元/件，商品成本價元/件，其中型商品的件數(shù)不大于型的件數(shù)，且不小于件，已知型商品的售價為元／件，型商品的售價為元／件，且全部售出．設(shè)投放型商品件，該公司銷售這批商品的利潤元．（1）直接寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式：_______；（2）為了使這批商品的利潤最大，該公司應該向市場投放多少件型商品？最大利潤是多少？（3）該公司決定在試銷活動中每售出一件型商品，就從一件型商品的利潤中捐獻慈善資金元，當該公司售完這件商品并捐獻資金后獲得的最大收益為元時，求的值．20．（8分）已知一次函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象的交點的縱坐標是4.且與軸的交點的橫坐標是（1）求這個一次函數(shù)的解析式；（2）直接寫出時的取值范圍.21．（8分）如圖1，以□ABCD的較短邊CD為一邊作菱形CDEF,使點F落在邊AD上，連接BE，交AF于點G.（1）猜想BG與EG的數(shù)量關(guān)系.并說明理由；（2）延長DE,BA交于點H，其他條件不變，①如圖2，若∠ADC=60°，求的值；②如圖3，若∠ADC=α（0°<α<90°）,直接寫出的值.（用含α的三角函數(shù)表示）22．（10分）如圖1，已知四邊形ABCD是正方形，對角線AC、BD相交于點E，以點E為頂點作正方形EFGH．（1）如圖1，點A、D分別在EH和EF上，連接BH、AF，直接寫出BH和AF的數(shù)量關(guān)系；（2）將正方形EFGH繞點E順時針方向旋轉(zhuǎn)．①如圖2，判斷BH和AF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②如果四邊形ABDH是平行四邊形，請在備用圖中補全圖形；如果四方形ABCD的邊長為，求正方形EFGH的邊長．23．（10分）在中，，以斜邊為底邊向外作等腰，連接．（1）如圖1，若．①求證：分；②若，求的長．（2）如圖2，若，求的長．24．（10分）某廠為了檢驗甲、乙兩車間生產(chǎn)的同一款新產(chǎn)品的合格情況（尺寸范圍為~的產(chǎn)品為合格〉.隨機各抽取了20個祥品迸行檢測.過程如下:收集數(shù)據(jù)（單位:）:甲車間:168，175，180，185，172，189，185，182，185，174，192，180，185，178，173，185，169，187，176，180.乙車間:186，180，189，183，176，173，178，167，180，175，178，182，180，179，185，180，184，182，180，183.整理數(shù)據(jù):組別頻數(shù)165.5~170.5170.5~175.5175.5~180.5180.5~185.5185.5~190.5190.5~195.5甲車間245621乙車間1220分析數(shù)據(jù):車間平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)方差甲車1乙車6應用數(shù)據(jù);（1）計算甲車間樣品的合格率.（2）估計乙車間生產(chǎn)的1000個該款新產(chǎn)品中合格產(chǎn)品有多少個?（3）結(jié)合上述數(shù)據(jù)信息.請判斷哪個車間生產(chǎn)的新產(chǎn)品更好.并說明理由.25．（12分）某校為了解“陽光體育”活動的開展情況，從全校2000名學生中，隨機抽取部分學生進行問卷調(diào)查（每名學生只能填寫一項自己喜歡的活動項目），并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）被調(diào)查的學生共有人，并補全條形統(tǒng)計圖；（2）在扇形統(tǒng)計圖中，m＝，n＝，表示區(qū)域C的圓心角為度；（3）全校學生中喜歡籃球的人數(shù)大約有多少？26．閱讀下列材料：在學習“可化為一元一次方程的分式方程及其解法”的過程中，老師提出一個問題：若關(guān)于x的分式方程ax-a=1的解為正數(shù)，求a經(jīng)過獨立思考與分析后，小杰和小哲開始交流解題思路如下：小杰說：解這個關(guān)于x的分式方程，得x=a+1．由題意可得a+1＞0，所以a＞﹣1，問題解決．小哲說：你考慮的不全面，還必須保證x≠1，即a+1≠1才行．（1）請回答：的說法是正確的，并簡述正確的理由是；（2）參考對上述問題的討論，解決下面的問題：若關(guān)于x的方程mx-3-x

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、C【解析】

根據(jù)最簡分式的定義對四個分式分別進行判斷即可．【詳解】A、=，不是最簡分式；B、=，不是最簡分式；C、，是最簡分式；D、=，不是最簡分式；故選C．【點睛】本題考查了最簡分式：一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫最簡分式．2、A【解析】

根據(jù)統(tǒng)計表可求出中位數(shù)和眾數(shù)，無法求出平均數(shù)和方差，根據(jù)所求結(jié)果即可解答.【詳解】∵x+y=30-6-8-5-4=7，1.53出現(xiàn)了8次，∴眾數(shù)是1.53，中位數(shù)是（1.53+1.53）÷2=1.53，不隨、的變化而變化；∵x與y的值不確定，∴無法求出平均數(shù)和方差.故選A.【點睛】此題主要考查了平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差的統(tǒng)計意義．找中位數(shù)要把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數(shù)或兩個數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)；眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，注意眾數(shù)可以不止一個；平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個數(shù)．3、B【解析】

利用最簡二次根式定義判斷即可．【詳解】A、=，不符合題意；B、是最簡二次根式，符合題意；C、（a＞0）=|a|=a，不符合題意；D、=，不符合題意．故選：B．【點睛】此題考查了最簡二次根式，熟練掌握最簡二次根式定義是解本題的關(guān)鍵．最簡二次根式的條件：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式．4、B【解析】根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定方法一一判斷即可．解：∵∠ACB=∠EFD=30°，∴AC∥DF，∵AC=DF，∴四邊形AFDC是平行四邊形，選項A正確；當E是BC中點時,無法證明∠ACD=90°，選項B錯誤；B、E重合時，易證FA=FD，∵四邊形AFDC是平行四邊形，∴四邊形AFDC是菱形，選項C正確；當四邊相等時,∠AFD=60°,∠FAC=120°，∴四邊形AFDC不可能是正方形，選項D正確.故選B.點睛：本題考查平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定.熟練應用平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定方法進行證明是解題的關(guān)鍵.5、B【解析】

可以看出此題是用平方差公式分解因式，可以根據(jù)整式乘法與因式分解是互逆運算變形得出．平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）．【詳解】由（x2+4）（x+2）（x-▲）得出▲=2，則（x2+4）（x+2）（x-2）=（x2+4）（x2-4）=x4-1，則■=1．故選B．【點睛】此題考查了學生用平方差公式分解因式的掌握情況，靈活性比較強．6、A【解析】

延長AE交BC于N點，過B點作BM⊥AN于M點，過N點作NH⊥FC于H點，在Rt△ABM和Rt△BMN中，易得cos∠BAM=cos∠MBN，即，解得BN=，從而求出CN長度，在Rt△HNC中，利用cos∠HNC=cos∠MBN=，求出NH長度，最后借助EF=NH即可．【詳解】解：延長AE交BC于N點，過B點作BM⊥AN于M點，過N點作NH⊥FC于H點，因為正方形的面積為23，所以正方形的邊長為3．在Rt△ABM中，AB=3，BM=3，利用勾股定理可得AM=2．∵∠BAM+∠ABM=90°，∠NBM+∠ABM=90°，∴∠MBN=∠BAM．∴cos∠BAM=cos∠MBN，即，解得BN=．∴CN=BC-BN=．∵∠HNC=∠MBN，∴cos∠HNC=cos∠MBN=．∴，解得NH=3．∵a∥c，EF⊥FC，NH⊥FC，∴EF=NH=3．故選：A．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)、平行線間的距離、解直角三角形，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，轉(zhuǎn)化角和邊．7、D【解析】

先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及已知條件得出∠DAB=∠DBA=30°，則AD=BD，再證明CD是邊AB的垂直平分線，得出∠ACD=∠BCD=45°，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠CDE=∠BDE=60°即可判斷①②；利用差可求得結(jié)論：∠CDE=∠BCE-∠ACB=60°，即可判斷③；證明△DCG是等邊三角形，再證明△ACD≌△ECG，利用線段的和與等量代換即可判斷④．【詳解】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，

∴∠BAC=∠ABC=45°，

∵∠CAD=∠CBD=15°，

∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°，

∴BD=AD，

∴D在AB的垂直平分線上，

∵AC=BC，

∴C也在AB的垂直平分線上，

即直線CD是AB的垂直平分線，

∴∠ACD=∠BCD=45°，

∴∠CDE=∠CAD+∠ACD=15°+45°=60°，

∵∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°；

∴∠CDE=∠BDE，

即DE平分∠BDC；

所以①②正確；

∵CA=CB，CB=CE，

∴CA=CE，

∵∠CAD=∠CBD=15°，

∴∠BCE=180°-15°-15°=150°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACE=150°-90°=60°，

∴△ACE是等邊三角形；

所以③正確；∵,∠EDC=60°，

∴△DCG是等邊三角形，

∴DC=DG=CG，∠DCG=60°，

∴∠GCE=150°-60°-45°=45°，

∴∠ACD=∠GCE=45°，

∵AC=CE，

∴△ACD≌△ECG，

∴EG=AD，

∴DE=EG+DG=AD+DC，

所以④正確；

正確的結(jié)論有：①②③④；

故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形、全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰直角三角形、等邊三角形等特殊三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形這一判定等邊三角形的方法，在幾何證明中經(jīng)常運用．8、B【解析】

設(shè)提速前列車的平均速度為x千米/小時，則提速之后的速度為（x+20）千米/小時，根據(jù)題意可得，相同的時間提速之后比提速之前多走50千米，據(jù)此列方程．【詳解】設(shè)提速前列車的平均速度為x千米/小時，由題意得:.故選B.【點睛】考查了由實際問題抽象出分式方程問題，解答此類問題的關(guān)鍵是分析題意找出相等關(guān)系，（1）在確定相等關(guān)系時，一是要理解一些常用的數(shù)量關(guān)系和一些基本做法，如行程問題中的相遇問題和追擊問題，最重要的是相遇的時間相等、追擊的時間相等．（2）列分式方程解應用題要多思、細想、深思，尋求多種解法思路．9、B【解析】試題分析：由圖形可得點（4，20）和（12，30），然后設(shè)直線的解析式為y=kx+b，代入可得，解得，得到函數(shù)的解析式為y=x+15，代入x=8可得y=25.故選：B點睛：此題主要考察了一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，先利用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式，然后代入可求解.10、B【解析】

根據(jù)勾股定理進行判斷即可得到答案.【詳解】A．∵32+42＝52，∴△ABC是直角三角形；B．∵52+42≠62，∴△ABC不是直角三角形；C．∵62+82＝102，∴△ABC是直角三角形；D．∵122+42＝132，∴△ABC是直角三角形；故選：B．【點睛】本題考查勾股定理的應用，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理.11、C【解析】

根據(jù)最簡二次根式的定義對各選項分析判斷即可．【詳解】解：A、是最簡二次根式，不合題意，故本選項錯誤；B、是最簡二次根式，不合題意，故本選項錯誤；C、因為=2，所以不是最簡二次根式，符合題意，故本選項正確；D、是最簡二次根式，不合題意，故本選項錯誤；故選C．【點睛】本題考查了最簡二次根式的定義，根據(jù)定義，最簡二次根式必須滿足被開方數(shù)不含分母且不含能開得盡方的因數(shù)或因式．12、D【解析】

方程兩邊同時乘以x(x-1)化為整式方程，解整式方程后進行驗根即可得.【詳解】方程兩邊同時乘以x(x-1)，得x2-1=x(x-1)，解得：x=1，檢驗：當x=1時，x(x-1)=0，所以原分式方程無解，故選D.【點睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的一般步驟以及注意事項是解題的關(guān)鍵.二、填空題（每題4分，共24分）13、【解析】

根據(jù)平均數(shù)確定出a后，再根據(jù)方差的公式S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]計算方差．【詳解】解：由平均數(shù)的公式得：（1+a+3+6+7）÷5=4，解得a=3；∴方差=[（1-4）2+（3-4）2+（3-4）2+（6-4）2+（7-4）2]÷5=．故答案為．【點睛】此題考查了平均數(shù)和方差的定義．平均數(shù)是所有數(shù)據(jù)的和除以所有數(shù)據(jù)的個數(shù)．方差的公式S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]．14、1【解析】

過點C作CF⊥AB于F，由角平分線的性質(zhì)得CD=CF，CE=CF，于是可證△ADC≌△AFC，△CBE≌△CBF，可得AD=AF，BE=BF，即可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，過點C作CF⊥AB于F，

∵AC，BC分別平分∠BAD，∠ABE，

∴CD=CF，CE=CF，

∵AC=AC，BC=BC，

∴△ADC≌△AFC，△CBE≌△CBF，

∴AF=AD=5，BF=BE=2，

∴AB=AF+BF=1．故答案是：1．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，添加恰當輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．15、【解析】

由△ADE≌△DCF可導出四邊形CEPF對角互補，而CE＝CF，于是將△CEP繞C點逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△CFG，可得△CPG是等腰直角三角形，從而PG＝PF+FG＝PF+PE＝CP，求出PE和PF的長度即可求出PC的長度．【詳解】解：如圖，作CG⊥CP交DF的延長線于G．則∠PCF+∠GCF＝∠PCG＝90°，∵四邊形ABCD是邊長為2的正方形，∴AD＝CD＝BC＝AB＝2，∠ADC＝∠DCB＝90°，∵E、F分別為CD、BC中點，∴DE＝CE＝CF＝BF＝1，∴AE＝DF＝，∴DP＝＝，∴PE＝，PF＝，在△ADE和△DCF中：∴△ADE≌△DCF（SAS），∴∠AED＝∠DFC，∴∠CEP＝∠CFG，∵∠ECP+∠PCF＝∠DCB＝90°，∴∠ECP＝∠FCG，在△ECP和△FCG中：∴△ECP≌△FCG（ASA），∴CP＝CG，EP＝FG，∴△PCG為等腰直角三角形，∴PG＝PF+FG＝PF+PE＝＝CP，∴CP＝．故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．16、x＜﹣1【解析】

觀察函數(shù)圖象得到當x＜-1時，直線y=k1x+b1在直線y=k1x+b1的上方，于是可得到不等式k1x+b1＞k1x+b1的解集．【詳解】當x＜-1時，k1x+b1＞k1x+b1，所以不等式k1x+b1＞k1x+b1的解集為x＜-1．故答案為x＜-1．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y=kx+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y=kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標所構(gòu)成的集合．17、(x+2)(x-1)=0【解析】根據(jù)因式分解法解一元二次方程的方法，可得方程為(x+2)(x-1)=0.18、兩個角相等【解析】

交換原命題的題設(shè)與結(jié)論即可得到逆命題，然后根據(jù)命題的定義求解．【詳解】解：命題“對頂角相等”的逆命題是：“如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角”，題設(shè)是：兩個角相等故答案為：兩個角相等．【點睛】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式．有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理．三、解答題（共78分）19、（1）；（2）應投放件，最大利潤為元；（3）滿足條件時的值為【解析】

（1）根據(jù)利潤=（售價-成本）數(shù)量即可求出與之間的函數(shù)關(guān)系式.（2）y與之間是一次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可知當x=125時y有最大值；（3）捐獻資金后獲得的收益為；當時時有最大值18000，即可求出a值.【詳解】（1）（2）由題意可知，即由一次函數(shù)的性質(zhì)可知．越大，越大當時∴應投放件，最大利潤為元．（3）一共捐出元∴∴當時最大值小于當時時有最大值．即∴即滿足條件時的值為.【點睛】本題考查一次函數(shù)的應用知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會構(gòu)建一次函數(shù)解決問題．20、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可解決；（2）觀察圖像即可得出答案.【詳解】解：（1）∵圖像經(jīng)過點A∴當時，∴∵圖像經(jīng)過點且與軸交于點∴解得：所以這個一次函數(shù)解析式為（2）∵一次函數(shù)與正比例函數(shù)相交于交點，觀察圖像可知，當時，，∴答案為.【點睛】此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，學會分類討論的數(shù)學思想是正確解題的關(guān)鍵．21、（1），理由見解析；（2）；（3）.【解析】

（1）BG=EG，根據(jù)已知條件易證△BAG≌△EFG，根據(jù)全等三角形的對應邊相等即可得結(jié)論；（2）①方法一：過點G作GM∥BH，交DH于點M，證明ΔGME∽ΔBHE，即可得，再證明是等邊三角形，可得，由此可得；方法二：延長，交于點，證明ΔHBM為等邊三角形，再證明∽，即可得結(jié)論；②如圖3，連接EC交DF于O根據(jù)三角函數(shù)定義得cosα=，則OF=bcosα，DG=a+2bcosα，同理表示AH的長，代入計算即可．【詳解】（1），理由如下：∵四邊形是平行四邊形，∴∥，.∵四邊形是菱形，∴∥，.∴∥，.∴.又∵，∴≌.∴.（2）方法1：過點作∥，交于點，∴.∵，∴∽.∴.由（1）結(jié)論知.∴.∴.∵四邊形為菱形，∴.∵四邊形是平行四邊形，∴∥.∴.∵∥，∴.∴，即.∴是等邊三角形?！?∴.方法2：延長，交于點，∵四邊形為菱形，∴.∵四邊形為平形四邊形，∴，∥.∴.,即.∴為等邊三角形.∴.∵∥，∴,.∴∽，∴.由（1）結(jié)論知∴.∴.∵,∴.（3）.如圖3，連接EC交DF于O，∵四邊形CFED是菱形，∴EC⊥AD，F(xiàn)D=2FO，設(shè)FG=a，AB=b，則FG=a，EF=ED=CD=b，Rt△EFO中，cosα=，∴OF=bcosα，∴DG=a+2bcosα，過H作HM⊥AD于M，∵∠ADC=∠HAD=∠ADH=α，∴AH=HD，∴AM=AD=（2a+2bcosα）=a+bcosα，Rt△AHM中，cosα=，∴AH=，∴==cosα．【點睛】本題是四邊形綜合題，其中涉及到菱形的性質(zhì)，等邊三角形、全等三角形、平行四邊形的判定與性質(zhì)，綜合性較強，難度適中．利用數(shù)形結(jié)合及類比思想是解題的關(guān)鍵．22、（1）見解析；（2）①BH=AF，理由見解析，②正方形EFGH的邊長為．【解析】

（1）根據(jù)正方形的對角線互相垂直平分可得AE=BE，∠BEH=∠AEF=90°，然后利用“邊角邊”證明△BEH和△AEF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等即可得證；

（2）①連接EG，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AE=BE，∠BEA=90°，EF=EH，∠HEF=90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

②如備用圖，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AH∥BD，AH=BD，于是得到∠EAH=∠AEB=90°，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；【詳解】(1)在正方形ABCD中,AE=BE,∠BEH=∠AEF=90°，∵四邊形EFGH是正方形，∴EF=EH，∵在△BEH和△AEF中,∴△BEH≌△AEF(SAS)，∴BH=AF；(2)①BH=AF，理由：連接EG，∵四邊形ABCD是正方形，∴AE=BE,∠BEA=90°，∵四邊形EFGH是正方形，∴EF=EH,∠HEF=90°，∴∠BEA+∠AEH=∠HEF+∠AEH，即∠BEH=∠AEF，在△BEH與△AEF中,，∴△BEH≌△AEF，∴BH=AF；②如備用圖，∵四邊形ABDH是平行四邊形，∴AH∥BD，AH=BD，∴∠EAH=∠AEB=90°，∵四方形ABCD的邊長為，∴AE=BE=CE=DE=1，∴EH===，∴正方形EFGH的邊長為.【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確作出圖形是解題的關(guān)鍵．23、（1）①見詳解,②1;（2）-【解析】

（1）①過點P作PM⊥CA于點M，作PN⊥CB于點N，易證四邊形MCNP是矩形，利用已知條件再證明△APM≌△BPN，因為PM＝PN，所以CP平分∠ACB；②由題意可證四邊形MCNP是正方形，（2）如圖，以AC為邊作等邊△AEC，連接BE，過點E作EF⊥BC于F，由”SAS“可證△ABE≌△APC，可得BE＝CP＝5，由直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可求BC的長．【詳解】證明：（1）①如圖1，過點P作PM⊥CA于點M，作PN⊥CB于點N，∴∠PMC＝∠PNC＝90°，∵∠ACB＝90°∴四邊形MCNP是矩形，∴∠MPN＝90°，∵PA＝PB，∠APB＝90°，∴∠MPN?∠APN＝∠APB?∠APN，∴∠APM＝∠NPB，∵∠PMA＝∠PNB＝90°，在△APM和△BPN中，∴△APM≌△BPN（AAS），∴PM＝PN，∴CP平分∠ACB；②∵四邊形MCNP是矩形，且PN＝PM，∴四邊形MCNP是正方形，∴PN＝CN＝PM＝CM∴PC＝PN＝6，∴PN＝6＝CN＝CM＝MP∴AM＝CM?AC＝1∵△APM≌△BPN∴AM＝BN，∴BC＝CN＋BN＝6＋AM＝6＋1＝1．（2）如圖，以AC為邊作等邊△AEC，連接BE，過點E作EF⊥BC于F，∵△AEC是等邊三角形∴AE＝AC＝EC＝5，∠EAC＝∠ACE＝60°，∵△APB是等腰三角形，且∠APB＝60°∴△APB是等邊三角形，∴∠PAB＝60°＝∠EAC，AB＝AP，∴∠EAB＝∠CAP，且AE＝AC，AB＝AP，∴△ABE≌△APC（SAS）∴BE＝CP＝5，∵∠ACE＝60°，∠ACB＝90°，∴∠ECF＝30°，∴EF＝EC＝，F(xiàn)C＝EF＝，∵BF＝，∴BC＝BF?CF＝-【點睛】本題是四