2023-2024學年廣東省佛山市順德區(qū)拔萃實驗學校九年級（上）開學數(shù)學試卷（含解析）

2023-2024學年廣東省佛山市順德區(qū)拔萃實驗學校九年級(上)

開學數(shù)學試卷

一、選擇題(本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.對角線互相垂直平分的四邊形是()

A.平行四邊形、菱形B.矩形、菱形C.矩形、正方形D.

菱形、正方形

2.如圖，一個矩形紙片，剪去部分后得到一個三角形，則圖中41+

42的度數(shù)是()

A.30°B.60°C.90°D.120°

A.(1,1)B.(1,-1)C.(1,-2)D.(2,-2)

6.已知菱形的面積為120cni2,一條對角線長為10cm,則這個菱形的周長為cm.()

A.13B.24C.52D.60

7.下列命題中，真命題是()

A.兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

B.兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形

C.兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

D.兩條對角線相等的四邊形是矩形

8.如圖，平行四邊形ABCD,從下列四個條件①ZB=BC,

②乙4BC=90。，③AC=8。，④力CJLBD中選兩個作為補充條

件，不能確定平行四邊形4BCD為正方形的是（）

A.①②B.②③C.①③D.②④

9.如圖，D、E、F分別是△ABC各邊中點，則以下說法錯誤的是（）

A.ZiBDE和△￡）6的面積相等

B.四邊形4E0F是平行四邊形

C.若48=BC,則四邊形4EDF是菱形

D,若=90°,則四邊形4EDF是矩形

10.如圖，在矩形AOBC中，。為坐標原點，。4、OB分別在％軸、y軸

上，點B的坐標為（0,3C）,/-ABO=30°,將AABC沿4B所在直線

對折后，點C落在點。處，則點。的坐標為（）

A"|,|O

B.（2,|，3）

c.（|F）

D.（|,3-|O

二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）

11.因式分解：一a=

12.若一個正方形的對角線的長為6cm,則這個正方形的面積是cm2.

13.菱形的周長為20cm,兩鄰角的比為2：1,則較短的對角線的長為cm.

14.如圖，在菱形4BCD中，對角線AC、BC相交于點0,E為BC

中點，則與OE相等的線段有.

15.如圖，四邊形力BCD是正方形，延長ZB至U點E,使AE=AC,則

NBCE的度數(shù)是.

E

AR

16.如圖，矩形4BCD中，對角線4C,BD相交于點。，AD=2g

Z.COB=60°,BFLAC,交4c于點M,交CD于點F,延長F。交4B于

點E,則下列結(jié)論:①F。=FC；②四邊形EBFD是菱形;③△OBE三4

CBF：④MB=3.其中結(jié)論正確的是.

三、解答題（本大題共8小題，共70.（）分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題6.0分）

（2.x—1V%+1

解不等式組：卜-4<,并把它的解集表示在數(shù)軸上.

11111I■■???

一5一4一3—2—10123456

18.（本小題6.0分）

先化簡，再求值：[（x+2y）2-（3x+y）（3x-y）-5y2]+（2辦其中x=-g,y=1.

19.（本小題6.0分）

己知：如圖，在正方形48co中，E為C。邊上的一點，尸為BC的延長線上一點，且CE=CF.ABCE

與ADCr全等嗎？請說明理由.

20.（本小題8.0分）

如圖，在平行四邊形4BC0中，E是40邊上一點，且4E=AB,連接BE.

（1）尺規(guī)作圖：作乙4的平分線4尸交BC于尸，交BE于G（不需要寫作圖過程，保留作圖痕跡）;

(2)若8E=8,AB=5,求4尸的長.

21.（本小題8.0分）

如圖，在平行四邊形4BC0中，兩條對角線相交于點0,EF經(jīng)過。且垂直于4C,分別與邊4D、

BC交于點F、E.

(1)求證：四邊形4ECF為菱形;

(2)若ZD=3,CD=口,且乙4DC=45。，求平行四邊形的面積;

⑶在(2)的條件下求菱形4EC尸的周長.

22.(本小題8.0分)

如圖，在矩形4BC0中，E、F分別是邊AB、CO上的點，AE=CF,連接EF,BF,E尸與對角

線"交于。點，且BE=BF,4BEF=24BAC.

(1)求證：0E=OF；

(2)若8c=2/3，求4B的長.

AE

23.(本小題14.0分)

如圖，在Rt/iABC中，^ACB=90°,過點C的直線MN//AB,。為力B邊上一點，過點。作CE

BC,交直線MN于E,垂足為F,連接CD、BE.

(1)求證：CE=4D；

(2)當。在4B中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由；

(3)若。為23中點，則當乙4的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？請說明你的理由.

D

24.(本小題14.0分)

已知正方形ABCD的邊長為4..

(1)如圖1,點P在直線4D上運動，連接PC,將線段PC繞點C按順時針旋轉(zhuǎn)90。得到CE,連接BE.

①若點P與4重合，則8E=.

②若BE=9,求4P的長.

(2)如圖2,點P在邊4D上(P不與A,D重合)運動，且PA>PD,連接P8、PC.將線段PB繞點P

逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到PM,將線段PC繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90。得到PN,設(shè)PD=x,MN=y,求y關(guān)

于x的函數(shù)表達式.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】【分析】

根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分，正方形的對角線互相垂直平分性質(zhì)進行分析從而得到正確答案.

本題考查平行四邊形及特殊平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形，矩形，菱形，正方形的性

質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【解答】

解：4、不正確，平行四邊形的對角線不一定互相垂直；

8、不正確，矩形的對角線不一定互相垂直；

C、不正確，矩形的對角線不一定互相垂直；

。、正確，兩者的對角線均具有此性質(zhì)；

故選O.

2.【答案】C

【解析】解：由題意得，剩下的三角形是直角三角形，

所以，zl+Z2=90°.

故選：C.

根據(jù)直角三角形兩銳角互余解答.

本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.【答案】C

【解析】解：???四邊形4BC0是矩形，

AO=BO=CO=DO.

???Z.AOD=120°,

???Z.AOB=60°.

是等邊三角形.

??.AO=AB=6,

AC=2AO=12,

故選：C.

依據(jù)矩形的性質(zhì)可知△AOB是等邊三角形，所以力。=48=6,則AC=24。=12.

本題主要考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，矩形中對角線相等且互相平分，進而得

到等邊三角形是解本題的關(guān)鍵.

4.【答案】C

【解析】解：「x—540,

***x5.

故選：C.

根據(jù)分式有意義的條件：分母不等于0即可得出答案.

本題考查了分式有意義的條件，掌握分式有意義的條件：分母不等于0是解題的關(guān)鍵.

5.【答案】B

【解析】解：:a,c兩點關(guān)于%軸對稱

4c和BD互相垂直平分

???BD=2

：.AC=2

?.?點C在第四象限

二點C的坐標為：(1,一1)

故選艮

因為正方形力BCD,所以AC和BD互相垂直平分，易知BC=2,則力C=2,而點C在第四象限，所

以點C的坐標為：(1,-1).

本題考查了對角線的性質(zhì)：正方形的對角線相等且互相垂直平分，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握.

6.【答案】C

【解析】解：???菱形的一條對角線長為10cm,面積為120cm2,

二另一對角線長為=24(cm),

根據(jù)勾股定理，菱形的邊長為Y122+52=13(cm),則菱形的周長=13x4=52(cm).

故選：C.

根據(jù)菱形的面積可求得另一條對角線的長,再根據(jù)勾股定理求得其邊長，從而就不難求得其周長.

本題主要考查了菱形的性質(zhì)，菱形的面積公式，勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.【答案】A

【解析】解：4兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形是正確的，符合題意；

8、兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形，錯誤，不符合題意；

C、兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形，錯誤，不符合題意；

。、兩條對角線相等的四邊形是矩形，錯誤，不符合題意.

故選：A.

分別根據(jù)平行四邊形，菱形，正方形，矩形的判定定理解答即可.

此題考查的是命題與定理，正確把握矩形、菱形、正方形以及平行四邊形的區(qū)別是解題關(guān)鍵.

8.【答案】B

【解析】解：4、???四邊形ABCD是平行四邊形，

當①4B=BC時，平行四邊形ABC。是菱形，

當②乙4BC=90。時，菱形是正方形，故此選項正確，不合題意；

8、???四邊形4BCD是平行四邊形，

當②41BC=90。時，平行四邊形4BC0是矩形，

當AC=BD時，這是矩形的性質(zhì)，無法得出四邊形4BC0是正方形，故此選項錯誤，符合題意;

C、???四邊形是平行四邊形，

當①4B=BC時，平行四邊形4BCD是菱形，

當③4C=BD時，菱形ABCD是正方形，故此選項正確，不合題意；

。、??泗邊形4BCD是平行四邊形，

二當②乙4BC=90。時，平行四邊形48CD是矩形，

當④ACLBD時，矩形力BCD是正方形，故此選項正確，不合題意.

故選:B.

利用矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系與區(qū)別，結(jié)合正方形的判定方法分別判斷得出即可.

此題主要考查了正方形的判定以及矩形、菱形的判定方法，正確?翼握正方形的判定方法是解題關(guān)

鍵.

9.【答案】C

【解析】解：4連接EF,

???￡）、E、F分別是4力⑶。各邊中點，

EF//BC,BD=CD,

設(shè)EF和8C間的距離為九，BzDAC

,,eS〉BDE=3BD,h,S?DCE=5co,九，

ShBDE=S^DCF，

故本選項不符合題意；

B；：D、E、F分別是△力BC各邊中點，

DE//AC,DF//AB,

：.DE//AF,DF//AE,

二四邊形AEDF是平行四邊形，

故本選項不符合題意；

C.7D,E、F分別是△ABC各邊中點，

.-.DE=^AC,DF=；AB,EF=

若48=BC,則。F=EF,無法判斷。E與OF是否相等，

二無法判斷四邊形AEDF是菱形，

故本選項符合題意；

?四邊形4EDF是平行四邊形，

???若=1=90°,則四邊形4E0F是矩形，

故本選項不符合題意；

故選：C.

根據(jù)平行四邊形的判定，矩形的判定定理，菱形的判定定理，三角形中位線定理判斷即可.

本題考查了矩形的判定，菱形的判定，平行四邊形的判定，三角形的中位線定理，熟練掌握三角

形的中位線定理是解題的關(guān)鍵.

10.【答案】A

【解析】解：???四邊形40BC是矩形，乙IB。=30。，點B的坐標為（0,3，3），r\

,2LCAB=30°,

-m

BC=AC-tan300=3/3x4

點c落在點。處，—乙二_

???將△4BC沿力B所在直線對折后,

A1。.

???/-BAD=30°,AD=3y/~l,

過點。作DM軸于點M,

乙CAB=4BAD=30°,

/.DAM=30°,

口

:.DcnM/=-1/IgD=3，

:.AM=3-/-3xcos300=

AMO=19-3=I3，

點。的坐標為(|,*).

故選：A.

根據(jù)翻折變換的性質(zhì)結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系得出對應線段長，進而得出。點坐標.

此題主要考查了翻折變換以及矩形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)關(guān)系，正確得出NZMM=30。是解題關(guān)

鍵.

11.【答案】a(a+l)(a-l)

【解析】【分析】

此題考查了提公因式與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵.

原式提取a,再利用平方差公式分解即可.【解答】

解：原式=a(a2—1)=a(a+l)(a-1)?

故答案為磯a+l)(a—1).

12.【答案】18

【解析】解：???正方形的對角線長為6cm,

;正方形面積為2X6x6=18cm2,

故答案為：18.

根據(jù)正方形面積公式進行求解即可.正方形是特殊的菱形,可以用對角線長度的乘積的一半計算.

本題主要考查了正方形的性質(zhì)，熟知正方形面積等于對角線長度的乘積的一半是解題的關(guān)鍵.

13.【答案】5

【解析】解：因為兩鄰角的比為2：1,得到菱形的較小的角為60。，可得較短的對角線與菱形的兩

鄰邊組成等邊三角形.則較短的對角線的長為等于菱形的邊長20+4=5cm.

故答案為5

根據(jù)已知可求得較小的內(nèi)角為60。，從而可得到較短的對角線與菱形的一組邊組成一個等邊三角形,

則較短的對角線的長等于菱形的邊長.

此題主要考查的知識點：(1)菱形的兩個鄰角互補；(2)菱形的四邊相等；(3)等邊三角形的判定：

有一角等于60。的等腰三角形是等邊三角形.

14.【答案】EC、EB

【解析】解：???菱形對角線垂直平分

??.△OCD為直角三角形，

vE為CD的中點，

OE=^CD=EC=EB.

故答案為EC、EB.

根據(jù)菱形對角線垂直平分的性質(zhì)，可以得△OCD為直角三角形，又由E為CC的中點，可得。E=

^CD=EC=EB.

本題考查了菱形對焦互相垂直平分的性質(zhì)，考查了直角三角形斜邊中線長為斜邊長的一半的性質(zhì),

本題中熟悉掌握三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵.

15.【答案】22.5°

【解析】解：?.?四邊形4BCD是正方形，

AZ.CAE=45°=/.ACB.

"AE=AC,

：./.ACE=(180°-45°)+2=67.5°.

lBCE=/.ACE-乙ACB=67.5°-45°=22.5°.

故答案為22.5。.

根據(jù)正方形的性質(zhì)可得NC4E=N4CB=45。，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求NACE度數(shù)，最后用

乙BCE=N4CE-45。即可.

本題主要考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解決正方形的角度問題一般會涉及對角線平

分對角得到45。.

16.【答案】①②③④

【解析】解：???四邊形4BCD是矩形，

???AC=BD,

???OA=OC=OD=OB,

???乙COB=60°,

??.△OBC是等邊三角形，

OB=BC=0C,乙OBC=60°,

???BF1.AC,

???0M=MC,

???FM是。C的垂直平分線，

AFO=FC,故①正確；

???OB=CB,FO=FC,FB=FB,

???△OBF三ACBF(SSS),

???乙FOB=乙FCB=90°,

???乙OBC=60°,

:.乙48。=30°,

???乙OBM=乙CBM=30°,

:.Z-ABO=Z-OBF,

?:AB“CD,

:.Z.OCF=Z.OAEf

vOA=OC,Z.AOE=ZFOC,

???△40EwZkC0F(ASA),

.??OE-OF,

vOB工EF,

???四邊形EBFD是菱形，故②正確；

,/△OBE三XOBF=LCBF,

③正確；

VBC=AD=2/-3，F(xiàn)M1OC,乙CBM=30°,

BM=3,故④正確；

故答案為：①②③④，

根據(jù)矩形的性質(zhì)和等邊三角形的判定得出aOBC是等邊三角形，進而判斷①正確；根據(jù)AS4證明

△40E與ACOF全等，進而判斷②正確；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷③④正確即可.

此題考查矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)矩形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答.

2%—1V%+

.【答案】解：

17V。②

解不等式①得：x<2,

解不等式②得：xN—2,

.??原不等式組的解集為：-2Wx<2,

該不等式組的解集在數(shù)軸上表示如圖所示:

11III，、111

一5一4—3—2—10I23456

【解析】按照解一元一次不等式組的步驟進行計算，即可解答.

本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟練掌握解一元一次不等式組的

步驟是解題的關(guān)鍵.

18.【答案】解：原式=(x2+4xy4-4y2-9%24-y2-5y2)+2x

=(-8%2+4xy)+2x

=—4x+2y,

當x=-py=1時，

原式="4x(—J+2x1

=2+2

=4.

【解析】先計算括號內(nèi)的乘方和乘法，再合并括號內(nèi)的同類項，最后計算除法即可得.

本題主要考查整式的化簡求值能力，熟練掌握整式的混合運算順序及運算法則是解題的關(guān)鍵.

19.【答案】解：△BCEwxDCF,理由如下：

???四邊形是正方形，

???BC=DC,Z-BCD=90°,

則：Z.BCE=Z.DCF=90°

在aBCE與△DCF中，

(BC=DC

\/-BCD=乙DCF,

(CE=CF

BCE毛2DCF(SAS).

【解析】利用正方形的性質(zhì)即可得到△8"與△DCF全等的條件，在利用SAS可證其全等.

本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，熟練掌握并靈活運用正方形的性質(zhì)是解決問題的

關(guān)鍵.

20.【答案】解：(1)射線AF如圖所示.

(2)???AE=AB,AF平分4BAE,

AG-LBE1

??.EG=BG=4,

在RtZkAGB中，vAB=5,BG=4,

AAG=V52-42=3，

??,四邊形/BCD是平行四邊形，

:,AD//BC,

???Z-EAG=Z.AFB,

???AF平分

??.Z.EAF=乙BAF,

???Z.EAF=Z.BAG=Z.AFB,

???BA=BF,

???BG1.AF,

:.AG=GF=3,

???AF=6.

【解析】本題考查作圖-基本作圖，平行四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識,

屬于中考?？碱}型.

(1)利用尺規(guī)作出NB4D的角平分線即可.

(2)利用勾股定理求出4G,證明B4=BF,4G=GF即可解決問題.

21.【答案】(1)證明：:EF是對角線AC的垂直平分線，

AF=CF,AE=CE,OA=OC,

??Z.EAC-Z.ECA,Z.FAC=/.FCA,

???四邊形4BCD是平行四邊形，

?.AD//BC,

：■Z.EAC=乙FCA,

:.Z.FAO=乙ECO,

在△4。尸和△COE中，

/.FAO=乙ECO

OA=OC,

^AOF=乙COE

.?.△aoFwzkCOE(Asa),

：?AF=CE,

???AF=CF,AE=CE,

/.AE=EC=CF=AF,

二四邊形AECF為菱形；

(2)解：過C作CHIAD于H,

BEC

貝此CHO=乙CHF=90°,

vAADC=45°,

.?.△CD"是等腰直角三角形，

CH=DH=^CD=1.

???平行四邊形力BCD是面積=ADxCH=3x1=3；

(3)解：?；4D=3,DH=1,

■■.AH=2,

???四邊形4ECF是菱形，

-.AF=CF,

設(shè)4F=CF=x,則FH=2—x,

在RMCHF中，由勾股定理得：CF2=F“2+C”2,

即/=(2-X)2+12,

解得：x=J,

4

AF=CF="

4

二菱形AECF的周長=：x4=5.

4

【解析】(1)由線段垂直平分線的性質(zhì)得4F=CF,AE=CE,再證△AOF^LCOE,得AF=CE,

則AE=EC=CF=/F,即可得出結(jié)論；

(2)證△CDH是等腰直角三角形，得CH=DH=1,由平行四邊形的面積可求解；

(3)先求4H=2,由菱形的性質(zhì)得4F=CF,設(shè)AF=CF=%,則FH=2—%,在RtACHF中,由

勾股定理得出方程，解方程，進而求解即可.

本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形

的判定和性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵.

22.【答案】(1)證明：?.?四邊形4BCD是矩形，

??,AB//CD,

:.Z-BAC=Z-FCO.

在△AOE和△COF中，

乙BAC=LFCO,/-AOE=ZCOF,AE=CF,

???△40EwaC0F(44S),

???OE=OF.

BE=BF,OE=OF,

???BO1EFf

在Z.BEF^-Z-ABO=90°.

AOE=h.COF,

:.OA=OC.

???四邊形/BCD是矩形，

:.Z.ABC=90°

:.OA=OB=OCf

:.Z.BAC=乙ABO.

???乙BEF=2(BAC,Z.BEF+Z.ABO=90°,

???2乙BAC+乙BAC=90°,

乙BAC=30°.

???BC=2「，

???AC=2BC=4「，

AB=VAC2-BC2=J(4/3)2-(2/3)2=6-

【解析】(1)仔細審題，根據(jù)矩形的對邊平行可得4B〃CD,再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等得出

NB4C=/.FCO,然后利用“角角邊”證明△力。砂以COF全等，即可證明OE=OF；

(2)連接OB,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得B。1EF,再根據(jù)矩形的性質(zhì)得到直角三角形，

利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可證明。4=0B,根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得4B4C=乙4B。；

在Rt△BE。中利用三角形的內(nèi)角和定理，結(jié)合已知即可得到484c=30。，根據(jù)直角三角形30。角

所對的直角邊等于斜邊的一半求出4C,接下來運用勾股定理即可求出力B的長.

此題考查的是矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵.

23.【答案】(1)證明：???DELBC.

Z.DFB=90°.

???4ACB=90°,

???Z-ACB=乙DFB,

??.AC//DE,

vMN//AB,即CE〃40,

???四邊形力。EC是平行四邊形，

ACE=AD.

(2)解：四邊形BECD是菱形.

理由是：???。為48中點，

:.AD=BD,

???CE=AD,

???BD=CE.

???BD//CE,

???四邊形8EC0是平行四邊形.

???/.ACB=90°,。為4B中點，

CD—BD,

???平行四邊形BECD是菱形.

(3)解：當乙4=45。時，四邊形BECD是正方形.

理由是：v/LACB=90°,=45°,

???/.ABC==45°,

:.AC—BC.

■■■。為B4中點，

???CDLAB,

乙CDB=90°,

???四邊形BECO是菱形，

:?菱形BECD是正方形，

即當24=45。時，四邊形BECD是正方形.

【解析】本題主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)以及正方形的判定，掌握相

關(guān)判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)先證出四邊形40EC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出即可；

(2)先證明四邊形BECD是平行四邊形，再證明CD=BD,根據(jù)菱形的判定推出即可；

(3)證出NCDB=90°,再根據(jù)正方形的判定推出即可.

24.【答案】4A/-5

【解析】解：(1)①當點P與點4重合時，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AC=EC,^.ACE=90°,

過點E作BC的垂線交BC的延長線于凡則N4FE=90°,

A(P)DE

???四邊形ABC。為正方形，且邊長為4,

Z.BCA=/.DCA=45°,/.ABC=4。=90°,AB=BC=CD=4,

Z.DCE=Z.ACE-Z.DCA=45°,

???Z.ECF=乙DCF-Z.DCE=45°,

4ECF=4ACB=45°,

在ZMBMAECF中,

NECF=Z.ACB=45°

Z.F=/.ABC=90°,

AC=EC

ACF=BC=4,EF=AB=4,

：?BF=BC+CF=8,

在RMBEF中，BF=8,EF=4,

由勾股定理得：BE=7BF?+"2=4c.

②???點P在直線4。上運動，

??.有以下兩種情況：

⑴當點P在DA的延長線上時，設(shè)AP=Q,

過點E作8c的垂線交8C的延長線于凡由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：EC=CP,^PCE=90°,

"E

PAD

F

BC

?.z.F=/.D=90°,EF//CD,

/.Z,P+/.PCD=90°,ZPCD+ZDCF=90°,Z.CEF=zDCE,

:.乙P=乙CEF,

在ACEF和△CPD中，

Z.P=Z.CEF

4F==90°,

EC=CP

??.△CEF=^CPD(AASy

???EF=DP=4+a,CF=CD=4,

???BF=BC+CF=8,

在中，EF=a+4,BF=8,BE=9,

由勾股定理得：EF2=BE2-BF2,

即：(a+4)2=92-82=17,

a+4=+V17>

a=/17-4或（1=-Q百-4<0（不合題意，舍去）,

AP=a=V17—4.

（〃）當點P在4。的延長線上時，

過點E作8c的垂線交BC的延長線于凡由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：EC=CP,/.PCE=90°,

???^ECF+Z-PCF=90°,乙PCD+乙PCF=90°,

:.Z.ECF=乙PCD,

在和△PCD中

Z-ECF=乙PCD

Z-F=Z-PDC=90%

EC=CP

:.AECF"PCD(AAS),

???EF=DP,CF=CD=4,

???BF=BC+CF=8,

△BEFvV，BF=8,BE=9,

由勾股定理得：EF=VBE2-BF2=y/~V7^

???DP=

^AP=AD+DP=yTT7^-4.

綜上所述：4P的長度為口7-4或AH百+4.

(2)-PD=x,AD=4,其中0VXV2,

???AP=AD—PD=4-x

過點M作力。的垂線交AD的延長線于H