2022-2023學年河南省南陽市南召縣高一年級下冊期中考試數(shù)學試題（解析版）

河南省南陽市南召縣2022-2023學年高一下學期期中

數(shù)學試題

注意事項:

1.答題前考生務必將自己的姓名.考生號填寫在試卷和答題卡上并將考生的條形碼貼在答

題卡指定位置上

2.回答選擇題時，選出每小題工答案】之后用鉛筆把答題卡對應題目的標號涂黑，如需改

動用橡皮擦干凈后，再選涂其他K答案》標號.回答非選擇題時，將《答案』寫在答題卡

上.寫在本試卷上無效.

3.考試結束之后，將本卷和答題卡一并收回.

一、選擇題(每題5分共40分)

1.cos3000的值為()

A.4B.--C.顯D.--

2222

K答案UB

K解析H

cos3000=cos(8x360+120)=cos120=cos(180-60)=-cos60=-1,

故選：B.

2.函數(shù)=2sin(s+⑼"0,|<p\<?的最小正周期為兀,將f(x)的圖象向左平移瑩個單

位長度后，得到一個偶函數(shù)的圖象，則()

7171-71兀

A.0二B.°二C.(p=--D.0二

3636

K答案DB

R解析2由最小正周期7=2m兀=兀，可得。=2,

0)

-兀

/(X)的圖象向左平移$個單位長度后為偶函數(shù)y=2sin2x+§+°的圖象,

6

故§+0=?+],keZ,=far+—,keZ.

,.n7T

\(p\<~(D——

6

故選:B.

12°>0i

K解析。因為y=/(x)=一sinx,則《,，解得x*0且xw土一，

-')lnf+2[lnx2+2^Oe

所以函數(shù)的定義域為

2

Inx2—2ln(-x)-2Inx2-2Inx2-2

令g(x)=則g(r)=g(x)，即g(x)=為

lnx2+2ln(-x)2+2Inx2+2Inx2+2

偶函數(shù),

又丁=411；(;為奇函數(shù)，所以=二2sinx為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關于原點對稱，故排

')lnx2+2

除D,

lnl2-2

又“1)sinl=-sinl<0>故排除B、C；

InI2+2

故選：A

4.已知某摩天輪的半徑為6()m,其中心到地面的距離為7()m,摩天輪啟動后按逆時針方向

勻速轉動，每30分鐘轉動一圈.已知當游客距離地面超過100m時進入最佳觀景時間段，

則游客在摩天輪轉動一圈的過程中最佳觀景時長約有()

A.5分鐘B.10分鐘C.15分鐘D.20分鐘

K答案》B

R解析）1設游客到地面的距離為叩，設y關于轉動時間f（單位：分鐘）的函數(shù)關系式為

y=Asin（a+e）+/?（A>0,69>0）,

則A=60,-A+h=\O,可得6=70,

27rTT

函數(shù)y=Asin（&+0）+8的最小正周期為T=3O,則口=亍=不，

TT

當r=o時，游客位于最低點，可取^:一務，

所以，y=60sin+70=-60cos^-+70,

由y>100,BP-60cos—+70>100,可得cos^v—L

15152

yTrt417r

所以，24兀+-^-<百<2左兀+7（〃€1\）,解得30Z+10<r<30Z+20（攵eN）,

因此，游客在摩天輪轉動一圈的過程中最佳觀景時長約有10分鐘.

故選：B.

5.若同=3,網(wǎng)=4,a,。的夾角為135。，則“力等于（）

A.-3A/2B.-672c.y/2D.2

R答案》B

R解析D由已知可得，a-￡>=|a||&|cosl35°=3x4x---=一6"

（2>

故選：B.

6.在-ABC中，角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,且sinA:sin3:sinC=3:4:5,則

下列結論錯誤的是（）

A.a:b:c=3:4:5

B.ABC為直角三角形

C.若b=4,則一ABC外接圓半徑為5

D.若P為_ABC內一點，滿足PA+2PB+PC=0，則△4P8與△8PC的面積相等

K答案1c

K解析》A選項，由正弦定理得sinA:sin/?:sinC=a:b:c=3:4:5,A正確；

B選項，由A知Q：〃：C=3：4:5,故〃2+/?2=02,故_A8C為直角三角形，B正確;

42R=___=_=5

C選項，由B知，sinB=-,因為6=4,由正弦定理得sinB4'

55

故.ABC外接圓半徑為R=』，C錯誤；

2

D選項，取AC的中點E，則P4+PC=2PE，

因為R4+2P8+PC=0，所以=

即尸點在三角形的中線AC上，故與△BPC的面積相等，D正確.

故選：C

7.在中，NC的角平分線交AB于點。，NBj,BC=3百，AB=3,則CD=

6

()

、3瓜303a

--------uD.C.-----

222

K答案》A

K解析》如圖所示，在一ABC中，由余弦定理得

AC2=BC2+AB2-2BC-AB-cosB=(3司+32-2x3V3x3x^=9)

兀7T27r

AC=3=AB,.ABC等腰三角形,NACB=NB=%,ZA=7t—2x^=」，

663

71

又?；C￡＞為角平分線，NACO=:,

27r7T71

.?.在_ACD中，44。。=兀一一---

3124

ACCD

由正弦定理得得,

sinZADCsinA

a.2兀y/3

3xsin——3x——3A/6

______3_=__2_

sinZADCsif亞F

42

故選：A.

8.某同學因興趣愛好，自己繪制了一個迷宮圖，其圖紙如圖所示，該同學為讓迷宮圖更加美

觀，在繪制過程中，按單位長度給迷宮圖標記了刻度，該同學發(fā)現(xiàn)圖中A,B,C三點恰好

共線，則加=()

035m

D.8

K答案》c

K解析U由圖可知，A(3,3),B(5,6),C(m,10)

所以A月=(5—3,6—3)=(2,3),BC=(/n-5,10-6)=(/n-5,4),

73

因為AB〃8C，所以3(〃L5)=2X4，解得加=丁尸

故選：C

二、多選題(每題5分共20分)

9.已知函數(shù)/(x)=Asin(s+。)A>0,3>0,lel<^的部分圖象如圖所示，則下列說

A.該圖象對應的函數(shù)K解析》式為/(x)=2sin2x+。

7兀

B.函數(shù)y=fM的圖象關于直線x=—對稱

12

函數(shù)y=/（x）的圖象關于點（-工,0）對稱

C.

函數(shù)y=/（x）在區(qū)間-=，-5上單調遞減

D.

36

K答案XAB

K解析》由圖象可知A*:兀兀*，

—,即7=兀，所以。=

312

71TTTT

又/2,'SJ*得2sin12x——+=2,又因為lek],所以°=§

12

所以/(x)=2sin(2x+W),故A正確;

當Y時”7兀c.(八7兀兀=2sin”2

2sin2x--1—

I123

771

所以函數(shù)y=/（x）的圖象關于直線x=—對稱，故B正確;

12

當一洌,/5兀c.1c5兀71兀

2sin-2x--1—=2sin=—2w0,

五I123

故函數(shù)y=/（x）的圖象不關于點（一碧,0）對稱，故C錯誤;

當xe-y2,-^時，則2x+16[-71,0],因為y=sinx在[一兀,0]上不單調,

所以函數(shù)/（X）在-上不單調遞減，故D錯誤.

36

故選：AB

10.筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟又環(huán)保，明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政

全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（圖1）.假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一

個盛水筒都做勻速圓周運動.如圖2,將筒車抽象為一個半徑為R的圓，設筒車按逆時針方

向每旋轉一周用時60秒，當，=0,盛水筒M位于點外（3,-36）,經(jīng)過/秒后運動到點

P(x,y)，點P的縱坐標滿足〉=/(「)=Rsin(d+°)a?0,<y>0，冏<5),則下

列敘述正確的是()

圖1圖2

、.兀

A.筒車轉動角速度3=玄rad/s

B.當筒車旋轉50秒時，盛水筒M對應的點尸的縱坐標為-36

C.當筒車旋轉50秒時，盛水筒M和初始點外的水平距離為6石

D.盛水筒M第一次到達最高點需要的時間是25秒

K答案UABD

K解析UA：因為筒車按逆時針方向每旋轉一周用時60秒，

27r7i

所以口=一=一rad/s,因此A正確；

6030

B：因為當￡=0時，盛水筒用位于點兄(3,—36)，所以/?=技1百麗=6，

所以有/(0)=6sin°=-36=>sin°=-史?，因為兩<$所以。=一：，

22J

即/⑺=6sin修Y),

所以/(50)=6sin倍x50—1)=6sin與=6*1_#)=_36，因此B正確；

C：由B可知：盛水筒M的縱坐標為-36，設它的橫坐標為x，

所以有(—36)2=6nx=±3,因為筒車旋轉50秒時,所以此時盛水筒M在第三象

限，故x=-3,盛水筒M和初始點穌的水平距離為3-(-3)=6,因此C錯誤；

D：因為工一二=Cn，=25e(O,6O],所以筒車在(0,60]秒的旋轉過程中，

3032'」

盛水筒M第一次到達最高點所需要的時間是25s,因此D正確.

故選：ABD.

11.下列說法錯誤的是（）

A.若他與。力是共線向量，則點A,B,C,。必在同一條直線上

B.若0則一定有；leR使得a

C.若a=a-c，且。#0，則Z?和c在。上的投影向量相等

D.若|〃+6|=|4-6|=2|&忸0,則d+E與《―方的夾角為60°

K答案》ABD

K解析》A.若AB與CQ是共線向量，則AB與CO方向相同或相反，點A,B,C,。不一

定在同一條直線上，故A錯誤；

B.若a〃/?,/?=0,a/0時,不存在2eR使得a=，故B錯誤；

C.根據(jù)投影向量的定義和公式，可知C正確：

D.由|a+。1=1a—b|,兩邊平方后得a/=0,且|a—Z?|=21a隹0,兩邊平方后得,

/、2

(a+bV(a-b\_^-2d2_1

b2=3a2>cos(a+b,a-b)=^——-------p=——r-

、/&+〃”同4同一

所以a+6與。一。的夾角為120，故D錯誤.

故選：ABD

12.如圖甲所示，古代中國的太極八卦圖是以同圓內的圓心為界，畫出相等的兩個陰陽魚,

陽魚的頭部有眼，陰魚的頭部有個陽殿，表示萬物都在相互轉化，互相滲透，陰中有陽，陽

中有陰，陰陽相合，相生相克，蘊含現(xiàn)代哲學中的矛盾對立統(tǒng)一規(guī)律其平面圖形記為圖乙中

的正八邊形ABCDEFG”,其中Q4=l,則以下結論正確的是（）

甲乙

A.AO與“產(chǎn)的夾角為二B.HFCA=—6

c.OB+OH=-y/2OED.|A1|=,2-五

R答案HBC

R解析』由題意可知，分別以/所在的直線為X軸和y軸，建立平面直角坐標系如

所以ZAOB=ZBOC=乙COD=Z.DOE=/EOF=/FOG=/GOH

2兀71

=ZHOA

84

作AW，//D廁AM=OA/.

因為Q4=l,

所以AV=0M=OA-COS3=N-

42

（V2

所以一--~

AI22J

\/2?

同理可得其余各點坐標：B(O,-I),C2'2）,F（0,l）,H（-l,0）,D（l,0）,

對于A,由A。,HF=（1,1）,

1+T1X1+也xl

得ADHF22+0,

cos（AD,HF）=?————?-----1-----------

'/|AD||HF|1n2+602

jfncos15=cos（45-30）=cos45cos30+sin45sin30

V2V3721V6+V2

-x-----1-----x—=-----------

22224

所以AD與底的夾角不為專，故A錯誤

對于B,由印1(I』)，C4H-夜⑼得"6。1=1*卜0)+以0=-及，故B正確;

對于C,由。8+?！?(-1,-1),OE=—,—，所以O8+O//=_0OE，故C正確;

y/2,V21.,『④丫(上丫I-.

對于D,由AE=~2~^+~2~，得=J~2~+1+工"=52+及F，故D錯誤.

故選：BC.

三、填空題(每題5分共20分)

7兀.5兀

cos——sin——

13.計算——64的結果為___________

4兀

tan—

3

K答案］］也

4

/TT/TT7T

K解析］］因為cos—=cos兀+—=-cos—=-

sin:一=sin兀+―=-sin—=--也-:

4I4J42

4兀(兀、71/T

tan——=tan兀+—=tan—=V3,

3I3j3

故工答案》為：立.

14.已知函數(shù)/(x)=Asin(<yx+e)(A>0,/>0,lel<5j的部分圖象如圖所示，若將函數(shù)

fM圖象上所有的點向右平移四個單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象，則的值為______.

4⑷

R答案w2

2

35Ji37r27r

K解析U由/*)的圖象可知A=l,—T=---------=—?-.T=H,:.CO=—=2,

46124兀

TTjr

故/(X)=sin(2x+(p),則/(—)=sin(-+°)=1,

7T7C7T

則一+夕=—+2ht,k￡Z，即/=—+2kn,keZ,

623

而故夕=1■,所以/(x)=sin(2x+*1),

TTJTIT

則g(x)=sin[2(x——)+-]=sin(2x—一),

436

故gT=sin(2x^—2)=g,

故K答案》為：立

2

15.已知向量q,/,滿足忖=4,忖=1,卜+2百=26，則向量a，/,的夾角為.

971

R答案』—

3

K解析』設Q與b的夾角為依,+2。卜26，

則（。+2〃）=。？+4a?/?+4〃2=16+4x4xlxcos6+4=12,解得cos6=-g,

6>G[O,7I],故。=學

2兀

故R答案H為：—

3

16.設0A，OB-0C-0P為空間中4個單位向量，滿足。4J.O6，OAYOC，

03?0C=—g,且則|OP-OA|的最小值為.

K答案』用

5

K解析U設OP=xOA+yO8+zOC,且|。4=1,

因為。4_LO8,Q4J_0C,050C=—g,可得/+9一尸=1,

又由|OPQA卜陽OPOB卜y-^z,\0P-0C\=z-^y

因為|OPOAmOP-OB閆OP-OC],可得兇2y-^z>z—gy

設加=y——z.n-z——y,可得)，=_加+_〃*=_根+_〃，

代入上式，可得V+g4+g/?+g機〃=1且國2帆21〃|,

J?riy.1=x2+—m2+—n2+—mn<x2+—x2+—x2+—x2-5x2,所以|了|,

333333IL5

即向?珂的最小值為

故K答案U為：且.

5

四、解答題(共70分)

17.已知向量a=(sinx,l),^=f-cosx,-1,函數(shù)/(x)=2a-(a-〃).

(1)求/(x)的最小正周期以及單調遞增區(qū)間；

⑵將“X)的圖象向左平移:單位后得到g(x)的圖象，當xe0』，求g(x)的值域.

解：(1)由題意知：/(x)=2?-(a-/?^=2sin2x+2sinxcosx-l

=sin2x-cos2x=0sin(2x-：),

所以T=7l,

7T7T7T7T37r

令2也—<2x—<2kli+—,AEZ,則也——<x<kn+一,keZ

24288

jr37r

所以/(x)的最小正周期為兀，增區(qū)間為kn--,kTi+—,ZGZ.

oo

由題意知：g(x)=J^sin|2x+；

所以當T。,胴,2'+3py

所以g（x）e［-1,垃］.即g（x）的值域為［-1,及］.

18.在銳角..A8C中，角A,B,C的對邊分別是。，b,c,若生心=上些

acosA

（1）求角A的大小;

（2）若4=2,求中線A￡）長的范圍（點。是邊8c中點）.

2c-bcosB2sinC-sinB_cosB

解：（1）因為-----由正弦定理可得:

cosAsinAcosA

B[J(2sinC-sinB)-cosA=sinAcosB,

所以2sinCcosA=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sin(?i-C)=sinC,

因為所以sinC>0,所以cos4=；,因為所以A=g.

(2)由(1)得A=[,且。=2,由余弦定理知，cosA=~U^=L得到〃+,2=歷+4,

32bc2

因為點。是邊BC中點，所以24O=A8+AC，兩邊平方可得：

4|/1￡)|2=|AB|2+|AC|2+2ABAC=b2+c2+2bc-cosA，

所以4|AD^=b2+c2+be=hc+4+hc=2bc+4,

cn2f\—。........-2-------4-

因為be=(2/?sinB)■(27?sinC)=4/?2sinBsinC，又sinAsg716，

Sm3

B=--C,

3

訴兀,l-cos2C8.n,4

所以he——sin(-----C)sinC——(—sin2C4------------)——sin(2C)4—,

33322363

又因為.ABC為銳角三角形，所以0<B=--C<四，0<C<J,得到乙<。<四，

32262

7T7TSTT71(1

所以2c—二e(二,^)，由y=sinx的圖像與性質知，sin(2C--)G-,1,

6666<2

所以從1e(g,4,所以41A耳=2/?c+4e(g,12,得到=2/?c+4e^-1,3

故|A*(孚6.

19.如圖，在直角三角形ABC中，NA=90°,AB=2CA=2.點力,E分別是線段A氏BC

上的點，BD=ABA,CE=ACB,Ae(0,1).

(1)求AE8C的取值范圍；

(2)是否存在實數(shù)力,使得AELCD?若存在，求出2的值；若不存在，請說明理由.

解：(1)在直角三角形ABC中，ZA=9Q°,AB=2CA=2,

AEBC=(AC+CE)(AC-AB^=(AC+ACB)-(AC-AB^=^AC+^AB-AC^^AC-AB),

2，2

=(1-2)AC+(2/l-l)AB-AC-/lAB'=1-2-42=1-52,

>16(0,1),所以1-5入？(4,1)

?-?AEBCe(-4,1)；

(2)AE.CO=(A8+8E).(AO-AC)=[AB+(1-/1)8C)[(1-/1)AB-AC]

=[AB+(I-A)(AC-AB)]-[(I-/1)AB-AC]

=2(1-4)癡-/IAB.4C+(T)2ABAC-[\-X)AC=42(1-2)-(1-A)=-4/l2+52-1=0

所以4儲—54+1=0,解得或幾=1,由于4?0,1),故4=’,

44

存在實數(shù)4=］，使得4￡：J_C￡）.

4

20.已知函數(shù)/。）=$皿8+9）（0>0,|9|<3，x=1?是函數(shù)f（x）的對稱軸，且/（X）在區(qū)間

（712兀）,X

（J母上單調.

（1）從條件①、條件②、條件③中選一個作為已知，使得/（X）的K解析［式存在，并求出

其K解析U式；

條件①：函數(shù)/（力的圖象經(jīng)過點A（0,；）；

條件②：［1,0）是/（X）的對稱中心；

條件③：［11，°）是/*）的對稱中心.

（2）根據(jù)（1）中確定/（X）,若），=〃x）（xe加費］）的值域為一,求加的取值范圍.

解：（1）因為/（x）在區(qū)間上單調，所以二"N三————,

k63J2362

_271

因為丁=?7，且0>0,解得0<。42；

又因為x=—是函數(shù)/（x）的對稱軸，所以一x（D+cp=knH—（keZ）；

662

若選條件①：因為函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點所以sin°=g,

因為|初<四，所以。=工，所以2*3+二=防1+烏，（ZeZ）,即0=6A+2（ZeZ）,

26662

當左=0時，6）=2,滿足題意，故/（x）=sin（2x+ej.

若選條件②：因為（三,。）是f（x）的對稱中心，所以1x3+e=/〃兀（/weZ）,

兀，71

7乂啰+夕=E+萬

所以｛0＜。＜2,(Z,〃zeZ),此方程無解，故條件②無法解出滿足題意得函數(shù)R解

兀

—xa)^-(p=m7i

析X式.

若條件③：因為%,0是/*)的對稱中心，所以一XQ+°=MQEZ),

兀，71

—X69+0=E+—

6271

/\(P——

所以|O<GK2(左JeZ),解得「6所以/(x)=sin

5兀a)=2

—XO>4-<i9=/7l

(2)由⑴知/0)=5網(wǎng)2犬+^

,兀~，八兀八兀7兀

因為m,—,所以2x4—G2m4—,—

6L66

TT]

又y=/(x)在九,上的值域為一5」

TT7T7TTT7T兀兀

所以一一＜2m+-＜-,解得一一＜m＜-,即機e——.

66266L66_

21.己知ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,設

(sinB-V3sinC)2=sin2/4-\/3sinBsinC+2sin2C.

(1)求A;

(2)現(xiàn)給出三個條件：①a=2②B=45°③c=標.試從中選出兩個可以確定一ABC

的條件，寫出你的方案，并以此為依據(jù)求ABC的面積(寫出一種方案即可)

解：(1)由正弦定理可得，S—0c)2=/一版c+2c2,即〃+/—片=G機,，由余弦

定理cosA=J上上且=正g=走，又Ae(O,7i),故A=g

2bc2bc26

(2)選①②：由正弦定理一色=—紋，可得。=絲巧0=2五,