2023-2024學(xué)年浙江省杭州高二年級上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年浙江省杭州高二上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.已知直線斜率等于-1,則該直線的傾斜角為()

A.30oB.45oC.120oD.135°

【正確答案】D

【分析】利用直線的斜率的定義及傾斜角的范圍即可求解.

【詳解】設(shè)該直線的傾斜角為ɑ,則

由Z=-I,得tanct=-l,X0≤?<180°,所以C=I35。.

故選：D.

2.為做好“新冠肺炎”疫情防控工作，我校堅持每日測溫報告，以下是某班8名同學(xué)的體溫

記錄：36.1,36.3,36.3,36.4,36.4,36.5,36.6,36.7(單位：℃),則該組數(shù)據(jù)的第60

百分位數(shù)為()

A.36.3B.36.4C.36.45D.36.5

【正確答案】B

【分析】根據(jù)第百分位數(shù)的概念和計算方法可得答案.

【詳解】將8名同學(xué)某日上午的體溫記錄從小到大排列為：

36.1,36.3?36.3,36.4,36.4.36.5,36.6,36.7,

因為60%x8=4.8,所以該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為36.4.

故選：B.

3.已知點A(Ll)和8(2,4),點尸在y軸上，且NAPB為直角，則點P坐標為()

A.(0,2)B.(0,2)或(0,3)C.(0,2)或(0,4)D.(0,3)

【正確答案】B

【分析】設(shè)點P(0,y),由/4尸3為直角，得然后由砥.山出=-1列式計算即可.

【詳解】由題意，設(shè)點p(θ,y),

NAP3為直角，.?APYBP,

由&轉(zhuǎn)=±F=l-y,Z種=與上，

；?原尸,原∕>=(ι-y)(^^)=-ι，

解得y=3或2,所以點P的坐標為(0,2)或(0,3)

故選：B

4.已知數(shù)列｛4｝是遞增的等比數(shù)列，q+4+4=∣4,ala2a3=64,則公比4=()

A.?B.?C.2D.4

【正確答案】C

【分析】由方程44%=64利用等比數(shù)列的性質(zhì)先求出，再代入4+電+/=14,聯(lián)立方程

組求出0

【詳解】已知qα√?=64,所以W=64,解得%=4,即％q=4①；

又q+%+%=14,貝!Jq+α3=lθ,即α∣(l+∕)=10②；又

由①②得上Y=',所以2∕-5q+2=0,解得夕=2或〃二.

q22

因為數(shù)列｛%｝是遞增的等比數(shù)列，所以4=2.

故選：C.

5.已知圓Cjf+y2+6χ+8=0與圓C2"2+∕-6X-16=0,動圓M同時與圓G及C?相外

切，則動圓圓心M的軌跡為()

A.橢圓B.橢圓和一條直線

C.雙曲線和一條射線D.雙曲線的一支

【正確答案】D

【分析】首先設(shè)M(x,y),根據(jù)圓M同時與圓G及C?相外切，得到IMC2∏MGI=4<Qcl，

再結(jié)合雙曲線的概念即可得到答案.

22

【詳解】圓Ci：/+V+6x+8=0,C1:(x+3)+j=1,圓心C∣(-3,0),I?=1,

2

圓G*2+y2-6x-16=0,CII(X-3)+√=25,圓心G(3，。)，4=5,

設(shè)M(X,)，)，因為圓M同時與圓G及C2相外切，

所以IMGHMGI=4<|C￡|,

即M的軌跡是以G,C?為焦點，2a=4的雙曲線的左支.

故選：D

Y2

6.已知橢圓點+方v=l（"＞方＞0）,過橢圓的左頂點4作直線/,與橢圓和V軸分別交于點〃

和點N,過原點且平行于/的直線與橢圓交于點P,則（）

A.?AM?,閨。肉，∣AΛ^始終成等比數(shù)列

B.?AM?,2∣OP∣,∣4V及臺終成等比數(shù)列

C.?AM?,HOH,|4M始終成等比數(shù)列

D.?AM?,MOPI,IANl始終成等比數(shù)列

【正確答案】A

【分析】聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達定理求得弦長，由等比中項性質(zhì)判斷等比數(shù)列即可.

【詳解】由題意知，直線/斜率存在，設(shè)OP方程為V=丘，則AM的方程為y=Mχ+a）,

則N（O,切），=

設(shè)直線y=%（χ+f）（r=α或。），則該直線必與橢圓存在交點，設(shè)為α,yj,（w,%）,

y=?(x+r)

2222222222

??%2y2得(ak+/)X+2atkx+atk-ab=O,

7+=ι

則……舒戶書入2/二型

a2k2+b2

則直線y=%（χ+f）與橢圓交得的弦長為

λ∕l+?2∣X∣-X1=y]?+k2^x+Λ?)2-4Λ-∣X,=——]?石

2i2k1.

當時，該弦長為MMI="綜?

當「。時’該弦長為21。個叼甲亞’即I。葉

?「叫IM=2,Λ?AM?,0∣OP∣,|訓(xùn)成等比數(shù)列.

故選：A

7.在三棱錐A-BC。中，AB=AC=BD=CD=3.AD=BC=AfE是5C的中點，尸滿

足A尸=！AO,則異面直線AE,CT7所成角的余弦值為（）

4

?1r2√6r√70n√3O

55IO10

【正確答案】D

【分析】根據(jù)三棱錐A-38的對棱相等可以補成長方體AGB/-HC/。，計算長方體的長

寬高，建立空間直角坐標系，利用空間向量的坐標運算即可求得異面直線AE,CF所成角

的余弦值.

【詳解】解：三棱錐A-BS中，由于AB=AC=80=8=3,AD=BC=4,則三棱錐

A-BCD可以補在長方體AGBI-HCJD，

a2+c2=AC2=9,a2+b1=AB2=9,b2+c2≈AD2=16,

解得α=1,b=2√∑,c=2√∑,如圖以C為原點，C",CΛCG分別為x,y,z軸建立空間直角坐

標系，

則4（1,0,2&）,40,2應(yīng),2&）,（7（0,0,0）,0（1,2應(yīng),0）,￡（0,應(yīng),0）,

所以AF=；AO=:（θ,2√Σ,-2√Σ）。片,,則AE=（T也-&）,

AECF-1+1-3√30

所以ssAE,b=阿同=京^二

?,

則異面直線AE,C尸所成角的余弦值為叵.

IO

故選：D.

8.已知雙曲線C:三-E=I的左焦點為b，左頂點為A,T為左準線上動點，則NFTX的

412

最大值為（）

【正確答案】B

CCq/f^rT,Λ—1_____________

【分析】根據(jù)余弦定理表達出29C,結(jié)合不等式即可求解最值.

?l+7+1°

【詳解】由題意可知：Λ=2,?=2√3,C=4,左準線方程為X=-幺=-1

C

故F(T,0),A(—2,0),設(shè)T(Ty),則|5=M^ITFl=7^7,IAH=2,

當T在X軸上，此時NfTM為0,時當T不在X軸時，在△4丁尸中，由余弦定理得

CoS/FTA=陽*2+研TM2=9+./+1+4-4=?+3=∕9+6∕+y4

一一淚而一一2加+川+/一衍必V9+I0r+/

=1------------------>—9r-

a?9?,.-2，當且僅當>7==，即y=±6時，等號成立,

Vy+y+ιθy

故cos∕F7H的最小值為正，由于/口4J。,如,故54最大為J,

2k2；6

二、多選題

9.不透明的袋子中有5個大小質(zhì)地完全相同的球，其中3個紅球、2個黃球.記A為事件“從

中任取1個球是紅球”，8為事件“在有放回隨機抽樣中，第二次取出1個球是紅球“，則()

3I

A-P(A)=WB.P(B)=-

C.事件A與B是互斥事件D.事件A與B是相互獨立事件

【正確答案】AD

【分析】根據(jù)題意可知：此實驗相當于進行兩次獨立重復(fù)實驗，進而判斷選項即可求解.

【詳解】根據(jù)題意可知：兩次取球相當于兩次獨立重復(fù)實驗，所以事件A與8是相互獨立事

3

件，且P(A)=g,

故選.AD

10.如圖所示，在棱長為2的正方體ABQ)-GA中，E,尸分別為棱和B片的中點,

A.EF//平面ABa)B.DtElCF

C.α=(1,0,2)是平面MR的一個法向量D.點C到平面EFR的距離為竽

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)線線平行即可判斷A,建立空間直角坐標系，利用向量數(shù)量積即可判斷線線垂

直，即可判斷B,根據(jù)空間向量求解法向量即可判斷C,根據(jù)空間距離的向量法即能求出點

G到平面RE尸的距離，從而判斷D.

【詳解】以。為原點，DA,DC,DA所在直線分別為X軸，丫軸，z軸建立如圖所示的空

間直角坐標系O-AyZ,

對于A,由于E,F分別是AA1,B片的中點,所以M∕∕A5,ABu平面ABa),Ma平面ABcZ),

故瓦7/平面A8C。，故A正確，

對于B,C(0,2,0),D1(0,0,2),￡(2,0,1),F(2,2,1),故

AE=(2,0,T),B=(2,0,1),"E?B=4+O-IX0,故AE與CF不垂直，進而可得AE與

CF不垂直，故B錯誤，

對于C,由C(0,2,0),A(0,0,2),E(2,0,l),F(2,2,l),所以。E=(2,0,-1),D1F?(2,2,-1),

設(shè)平面REF的法向量為"=(x,%z),

n?DE=2x-z=0

則1，

n?D1F=2x+2y-z=0

令X=1,則y=0,z=2,所以平面AEF的一個法向量”=(1,0,2),故C正確，

對于D,CD1=(0,-2,2)

點C到平面DiEF的距離為華亨斗AI=竽,故D正確，

51√55

故選：ACD

11.如圖所示，拋物線V=2px(p>0)的焦點為尸，過焦點產(chǎn)的直線交拋物線于A,8兩點,

分別過點A,B作準線/的垂線，垂足分別為A，B1,則()

A.A,8兩點的縱坐標之積為定值B.以線段AB為直徑的圓與準線/相切

C.點尸在以4瓦為直徑的圓外D.直線A耳經(jīng)過原點

【正確答案】ABD

【分析】選項A,設(shè)出AB的方程與拋物線聯(lián)立，求兩根之積即可得出結(jié)論；選項B,求48

的中點到準線的距離并與弦長AB的關(guān)系進行比較；選項C,通過斜率的關(guān)系證明AFLBR,

得到點廠在以AA為直徑的圓的關(guān)系；選項D,通過斜率的關(guān)系證明Ao,3三點共線.

【詳解】選項設(shè)的方程為：x=my+^,

A,AB?A(XI,y∣),B(x,,γ2),

_,￡

聯(lián)立,xmy2,整理得y2-2p∕ny-p2=0,則NM=-P=

V=2pχ

故選項A正確；

選項B,48的中點后(五手,"點E到準線X=-W的距離為"=三芋+§

?AE?=xλ+x2+p,所以d=g∣AB∣,即以線段A8為直徑的圓與準線/相切，故選項B正確；

選項由卜/得-亍=-^-=

C,AIlgyJ,4y?),KF=(-Rx?-l>

所以AFJLBF,

點尸在以A內(nèi)為直徑的圓上，故選項C錯誤；

/??k=2L=JL="

選項由yy=-p2,得8乂，

D,Aa,y∣),B1I-y,y,I,l2x∣2L

一堂

_2p,所以所以。,三點共線；

,_2y2_γ1kfw=Qs,,AB

KOB.~-一

pPyl

所以直線ABl經(jīng)過原點，故選項D正確.

故選：ABD.

12.歐拉函數(shù)8("X"eN*)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)〃，且與〃互素的正整數(shù)的個數(shù)

(互素是指兩個整數(shù)的公約數(shù)只有1),例如姒1)=1,奴3)=2,『(6)=2,則()

A.0(125)=IOOB.數(shù)列加(5")｝是遞增數(shù)列

C.的前10項中最大項為第3項

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)歐拉函數(shù)的定義求出夕(125)=100,故A正確；根據(jù)歐拉函數(shù)的定義求出

M5")=4x5?τ,由以5"')>夕(5")可得數(shù)歹IJ加(5")｝是遞增數(shù)列，故B正確；根據(jù)數(shù)歹!∣例5")｝

的第一項大于第三項可知C不正確；根據(jù)錯位相減法求出S,,==-匚K,可知s,,<77,

6464×5π'64

故D正確.

【詳解】對于A,所有不超過正整數(shù)125的正整數(shù)有125個，其中與125不互素的正整數(shù)有

1×5,2×5,3χ5,L,25x5,共25個，所以所有不超過正整數(shù)125,且與125互素的正

整數(shù)的個數(shù)為125-25=100個，即以125)=100,故A正確；

對于B,所有不超過正整數(shù)5"的正整數(shù)有5"個，其中與5"不互素的正整數(shù)有1x5,2×5,3x5,

L,5"Tχ5,共5"一個，所以所有不超過正整數(shù)5“，且與5"互素的正整數(shù)的個數(shù)為

5"-5i=4x5"τ個,即夕(5")=4χ5"τ,因為嗎?=f?=5>l,所以9(51)>以5"),

￠9(5)4x5

所以數(shù)列｛夕(5")｝是遞增數(shù)列，故B正確；

Sn—45/7—4111111

對于C,由B知，火5")=4X5?所以酒y=k,第一項為“第三項為而,1>而,

故C不正確；

,__,5〃_45〃一4

對于D'由C知'.（5"）=4x5"T'

則0+2+、

"44×54×524×5",^'

I6115〃-95n-4

54×54×524×534χ5"∣4×5π

CICl5555n-4

所以S”—S——I-------1--------7+---------；-----------，

n544×54×524×5π^,4×5z,

41511I.5〃-4

所以W，=4+4?+?++^）-K

45n-4

所以

4x5”

5

所以卜=卜副一擊)5n-4

4x5"

4520n+9因為B

所以Sf>0,

64×5,,^l

所以S“<77,故D正確.

64

故選：ABD

三、填空題

13.雙曲線鳥-4=1的離心率為___________.

169

【正確答案】4

4

【分析】依據(jù)題意可得“力,C,然后根據(jù)離心率公式可得結(jié)果.

【詳解】由題可知：Q=4,〃=3,由C=+伴2=5

c5

所以離心率e=9=二

a4

故：

14.已知數(shù)列｛凡｝的前〃項和為S,=∕+2”,則該數(shù)列的通項公式/=.

【正確答案】2n+l

【分析】由。,=5,,-5,1(〃22)計算，再計算q可得結(jié)論.

22

【詳解】由題意“≥2時,an=Sn-Sn,l=n+2n-(n-l)-2(n-l)=2n+l,

又q=E=3適合上式，

所以““=2”+l.

?2n+l.

本題考查由S“求通項公式，解題根據(jù)是。=5“—Si式≥2),但要注意此式不含4,ai=Sl.

15.在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱之為鱉膈.如圖所示，四面體

A-BCD為鱉膈,A52平面SCO,BC±CD,AB=BC=CD=2,E,F分別是棱AC和

3。上的動點，且AE=BF,則EF的長最小為.

A

【正確答案】√2

【分析】作￡WJ_BC于點M,連接MF,所，得到直角三角形EMF,設(shè)AE=X,由對應(yīng)線段

成比例求出EM,M/，利用勾股定理表示EF,求其最小值即可.

【詳解】如圖，作EM_L5C于點“，連接ME￡7、

因為AB-Z平面BCr>,BCu平面88,所以ABNBC,又EMLBC,

CFCM

所以EM//A8,匕="?,所以EMjL平面BCQ,又叱U平面BCQ,

CACB

所以EM工ME

又AB=BC=CD=2,BClCD,所以CA=DB=26

由AE=W7,得CE=DF,貝U==，得MFIICD.

DBCACB

,.,,CEEM2應(yīng)-XEM近X

設(shè)A4Er=X,—=——=>———=——，得到，EM=2--^,

CAAB2√222

RFMFMFXXI—

在ABCD中，由3=K=F-=丁后，得到MF=y,0≤x≤2立,

DDLLJZZv272

EF=y∣EM2+MF2=I2-^γ^+f=JX?-2&x+4=J(X一句+2≥血,當且僅當

X=及時，等號成立.

故答案為?√Σ

16.在平面直角坐標系中，點戶的坐標(x,y)滿足［sin?！渲?。?°，2兀)，則

Z=J(X_1『+(尸］『+V(X-3)2+3,2+1∣-v-yI的最小值為.

22

【正確答案】y

J2J(X-3)2+-3

【分析】由題可得三+3=1，由橢圓第二定義有.-------n一二M

2516V-

則Z=J(X_1)2+(y_1)2+X一整，即橢圓上一點(χ,y)到點(1,1)距離與到直線χ=m

距離之和.

【詳解】因點P的坐標(x,y)滿足(y=4sin4則會+言=1，得"5,b=4,

C=√F=￥=3?則該橢圓的右焦點坐標為尸(3,0)，右準線方程為X=—=—■

c3

J(X-3)2+:3

則由橢圓第二定義，有-------不一=二，故

X------

3

Z=J(X-1?+(y_I?+∣-^-?y+∣x-'y=J(X_1)2+(1_O?+*-W，即

橢圓上一點(χ,y)到點(U)距離與到直線X=亍距離之和.

則距離之和最小值為過(1,1)的垂直于右準線的垂線段長度，為三-1=?.

故答案為

四、解答題

17.已知數(shù)列｛叫滿足q=1,??+,+?0,,+l-α,,?θ(n∈N*).

(1)求出，ai,?4;

(2)試猜想數(shù)列｛q｝的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

【正確答案】（1）。2=（，。3=；，4=；

⑵為=’,證明見解析

n

【分析】（1）首先根據(jù)題意得到。角=!一，再求外,出，4即可.

（2）首先猜想數(shù)列｛%｝的通項公式為q=L再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.

n

【詳解】（1）由。向+?！薄！?1-。,,=0可知/+1=7^」，

1+4

當W=I時，代入4=1,解得a?=]

當”=2時，代入%=g，解得?3=?;

當〃=3時，代入為=g,解得Q1=;；

（2）猜想數(shù)列｛%｝的通項公式為6=L.

n

當〃=1時，左邊=4=1,右邊=!=1,勺=,成立.

1n

（2）假設(shè)當〃=MA∈N*）時，q=：成立.

?

?I?

則當"=Z+1時，有%χ==

1

÷?ι+l1+%

k

即當〃=左+1時，cι=—也成立.

nn

所以％=L對任何n∈N?都成立.

n

18.在一次期中考試后,學(xué)校教學(xué)處對數(shù)學(xué)考試情況進行分析,考生的成績（單位:分）分布大

致如下:

考生數(shù)學(xué)分數(shù)的區(qū)間[70,90)[90,110)[110,130)[130,150]

比例10%25%45%20%

（1）估計本次數(shù)學(xué)考試成績的眾數(shù)、中位數(shù)以及平均數(shù)；

（2）為了進一步了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況,用按比例分配的分層隨機抽樣方法,在[70,90）和

［90,110)兩組中抽取7名同學(xué),再從這7名同學(xué)中隨機抽取2名同學(xué)進行訪談,求抽取的這2

名同學(xué)恰好有1人成績在［70,90)內(nèi)的概率.

【正確答案】(1)眾數(shù)：120;中位數(shù):學(xué);平均數(shù):115

⑵W

21

【分析】(1)根據(jù)表格,根據(jù)數(shù)字特征的計算公式,計算結(jié)果即可；

(2)先根據(jù)分組抽樣求得［70,90)和［90,110)中需要抽取的人數(shù),列舉出從中抽取兩位同學(xué)的所

有的可能,找出其中恰好有1人成績在［70,90)的結(jié)果,利用古典概型的概率公式,即可得出結(jié)

果.

50%—35%450

【詳解】⑴解:由表格可知:眾數(shù)：120;中位數(shù):110+20x當淄2=個；

45%3

平均數(shù):80xl0%+IOOX25%+120x45%+140x20%=115;

(2)由表格知:［70,90)中的學(xué)生與［90,110)中的學(xué)生比例為：10%：25%=2:5,

根據(jù)分層隨機抽樣的方法抽取7名學(xué)生,則在［70,90)中抽取2人,分別記作乂兒

在［90,110)中抽取5人,分別記作4也。,46,

把“從樣本中抽取2名同學(xué)恰好有1人成績在［70,90)內(nèi)”記作事件A,

用(加,〃)表示抽出的兩位同學(xué),則所有的可能性為：

(x,y),(x,α),(x,A),(x,c),(x,d),(x,e),

(y,α),(y,?),(y,c),(j,J),(?e),(a,?),

(α,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(6,e),

［c,d'),{c,e),(d,e),共21種，

其中滿足事件A的有:(x,a),(x,b),(x,c),(x,db(x,e),

(y,α),(y,l),(y,c),(y,d),(y,e),共10種，

故P(A)=印

19.VEX亞洲機器人比賽是全球兩大機器人賽事之一.如圖所示，在某次比賽中，主辦方設(shè)

計了一個矩形坐標場地(包含邊界和內(nèi)部，A為坐標原點)，48長12米，長5米.在A

處有一只電子狗，在AB邊上距離A點6米的E點處放置機器人，電子狗的運動速度是機器

人運動速度的兩倍.若電子狗和機器人從起始位置同時出發(fā)，在場地內(nèi)沿直線方向同時達到

某點尸，那么電子狗被機器人捕獲，稱點尸為成功點.

(1)求成功點P的軌跡方程；

(2)為了記錄比賽情況，攝影機從AD邊上某點F處沿直線方向往C點運動，要求直線巾與

點P的軌跡沒有公共點，求點F縱坐標為的取值范圍.

【正確答案】(I)(X-8f+y2=16(0≤y≤4)

(23U

【分析】(1)設(shè)P(x,y),0≤x≤12,0≤y≤5,機器人運動速度為乙依題意得

荷+y2Y(X6)-+尸,整理即可得解;

2vV

(2)設(shè)直線尸C：y=k(x-12)+5,根據(jù)直線與點P的軌跡沒有公共點，則圓心到直線的距

離等于半徑，即可求出人的取值范圍，從而求出點F縱坐標％的取值范圍.

【詳解】(1)解：設(shè)P(X,y),0Mx≤12,0≤y≤5,機器人運動速度為叭

2

由題意可得加2+Y=J[6)-+y2,化簡得(χ-8)2+∕=16.

2vV

由于點P在矩形場地內(nèi)，則0≤y≤4.

所以成功點P的軌跡方程為(x-8p+y2=i6(0≤y≤4).

(2)解：由題意可知直線Fe的斜率存在，不妨設(shè)直線FC：y=Z(x-12)+5,

直線FC與點尸的軌跡沒有公共點,

由直線與圓的位置關(guān)系可得d=IE*）+目>4,解得左<

√l+?240

23

則點尸縱坐標為=-12無+5>6，

又因為為4。，5],所以為e（k，5.

20.如圖所示，在正方形45CO中，將,ACD沿AC折起至AACP.

（1）求證：ACLBP-,

JTr）TT

⑵記二面角P-AC-5的大小為"當寧e≤號時，求異面直線AB和CP所成角的余弦值

的范圍.

【正確答案】（1）證明見解析

2-√23

⑵

4,4

【分析】（1）由線線垂直證ACI.平面OBP,再證ACJ_8P；

（2）由向量法求異面直線夾角.

【詳解】（1）連接正方形ABCD的對角線交于點。，連接。P.

因為四邊形ABC。是正方形，所以ACS30.

由翻折不變性可知AC，OP，AC_L。氏

又因為OPCOB=B,OP,。BU平面O8P,所以AC_L平面O8P.

因為BPu平面OBP,所以ACL3P.

Z八

（2）由（1）可知/PO8為二面角P-AC-B的平面角，^ZPAB=Θ.

法1（坐標法）：如圖，以。為原點，。4為X軸正方向，OB為>軸正方向，垂直于平面月。8

且向上為Z軸正方向，建立空間直角坐標系.

不妨設(shè)OA=OB=OP=1,則A(l,0,0),B(O,1,O),C(-1,O,O),P(0,8SaSine),

ULW

貝IJΛB=(-1,1,0),CP=(l,cos^,sin^).

,、∣^B?CP∣1-1+cosθ?Icos0-11

所以c°s(AB,吁標向=母=—'

因為2≤e≤^,所以CoS(AB,CP)∈號][,

法2(基底法)：不妨設(shè)OA=OB=OP=I,則AB=CP=0，

以｛Q4,0B,0P｝為基底，OA-03=0，OAOP=O,OBOP=cosθ.

因為AB=QB-。4，CP=OP-OC,

,,??AB-CP?I(OB-OA)(OP-OC)I∣S0-1∣

所CC以cos(ZAB,CP)=r=------------G------------=J~CO,

`/∣AB∣?∣CP∣22

因為2≤04與，所以cos(A8,CP〉w甘?1.

21.已知數(shù)列｛%｝的首項4=g,且滿足《用=言.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式。.；

n,、

(2)設(shè)我1=丁,求數(shù)列也｝的前"項和S,.

【正確答案】(1)?！?3T

"I+2,,^l

~n(?+n?/、1

(2)S,=-2~+4-(π+2)?-

1'-l）是以1為首項，T為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)

【分析】（1）根據(jù)遞推公式可得:

列的通項公式即可求解；

（2）結(jié)合（1）的結(jié)論得出，=〃+〃?擊，利用分組求和和錯位相減法即可求解.

2?,111

【詳解】（1）由M+ι=—77可知——=丁+彳，

??+1?÷∣2a,,2

兩邊同減1可得----1

%

因為‘7=1,所以1?-l∣是以1為首項，J為公比的等比數(shù)列.

%匕2

所以!一1=(1，βpα-=??

(2)由(1)可知以=〃+〃?白?，

=(1+2+3+…+”)+(lx*2x提+3χ5+???+”x擊)

〃(1+〃)△1c1c11、

=-------+lx—+2×-+3×?-+??*+n×——-

02nl

2∣k22122')

記<=lx∕+2χg+3χ*+…+Ttx擊

ITIlCI/八11

/="+2,級+…+("1)XF^+“X機

ι,..?-f?,,

兩式作差可得IT=ι+[+±+…+-1iJ=Iy-"χ-L=2-("+2),

2〃2222〃TT2〃12〃'/2〃

1—

2

所以7>4-(〃+2>擊.

因此S,=Z^+4-("+2>3?

222)

22.已知雙曲線C：Ef=I(a>