第28講幾何圖形背景下的特殊三角形的存在性（解析版）

第28講幾何圖形背景下的特殊三角形的存在性【技巧點(diǎn)撥】一、等腰三角形1.等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.2．性質(zhì)：(1)具有三角形的一切性質(zhì)；(2)兩底角相等(等邊對(duì)等角)；(3)頂角的平分線，底邊中線，底邊上的高互相重合(三線合一)；(4)等邊三角形的各角都相等，且都等于60°．3．判定：(1)如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(等角對(duì)等邊)；(2)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；(3)有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形．二、直角三角形1.直角三角形：有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形．2．性質(zhì)：(1)直角三角形中兩銳角互余；(2)直角三角形中，30°銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；(3)在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°；(4)勾股定理：直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方；(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形；(6)直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.3．判定：(1)兩內(nèi)角互余的三角形是直角三角形；(2)一條邊上的中線等于該邊的一半，則這條邊所對(duì)的角是直角，這個(gè)三角形是直角三角形；(3)如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，則這個(gè)三角形是直角三角形，第三邊為斜邊．【中考挑戰(zhàn)滿分模擬練】1．（2023青浦區(qū)一模）如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝2，AB＝4，BC＝5，M在邊CD上，連接BM，BM⊥DC．（1）求CD的長(zhǎng)；（2）如圖2，作∠EMF＝90°，ME交AB于點(diǎn)E，MF交BC于點(diǎn)F，若AE＝x，BF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域；（3）若△MCF是等腰三角形，求AE的值．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)D作DP⊥BC于點(diǎn)E，證明四邊形ABPD為矩形，則BP＝AD＝2，DP＝AB＝4，再根據(jù)勾股定理定理即可求出CD；（2）連接BD，先用等面積法求出BM＝4，再證明Rt△ABD≌Rt△MBD（HL），從而得出AD＝DM＝2，最后證明△MBE∽△MCF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；（3）根據(jù)△MBE∽△MCF可得△MBE為等腰三角形，根據(jù)題意進(jìn)行分類討論，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)E在AB延長(zhǎng)線上時(shí)．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)D作DP⊥BC于點(diǎn)P，∵AD∥BC，∠A＝90°，∴∠ABC＝90°，∵DP⊥BC，∴∠DPB＝90°，∴四邊形ABPD為矩形，∴BP＝AD＝2，DP＝AB＝4，∵BC＝5，∴CP＝BC﹣BP＝5﹣2＝3，在Rt△CDE中，根據(jù)勾股定理得：．（2）解：連接BD，∵BM⊥DC，DP⊥BC，∴S△BCD＝，即5×4＝5BM，解得：BM＝4，在Rt△ABD和Rt△MBD中，，∴Rt△ABD≌Rt△MBD（HL），∴AD＝DM＝2，∴CM＝CD﹣DM＝3，∵BM⊥DC，∴∠CMF+∠BMF＝90°，∠C+∠CBM＝90°，∵∠EMF＝90°，∠ABC＝90°，∴∠BME+∠BMF＝90°，∠EBM+∠CBM＝90°∴∠BME＝∠CMF，∠EBM＝∠C，∴△MBE∽△MCF，∴，∴，整理得：．（3）①當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，由（2）可得△MBE∽△MCF，∵△MCF為等腰三角形，∴△MBE為等腰三角形，當(dāng)BM＝BE＝4時(shí)，AE＝0；當(dāng)BM＝ME＝4時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作MQ⊥AB于點(diǎn)Q，由（1）可得：，∴，∵BM＝4，∴BQ＝BM?cos∠MBE＝4×，∵BM＝ME，MQ⊥AB，∴，不符合題意，舍去；當(dāng)BE＝ME時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BM于點(diǎn)H，∵BE＝ME，EH⊥BM，∴，∵，∴，∴，②當(dāng)點(diǎn)E在AB延長(zhǎng)線上時(shí)，∵∠ABC＝90°，∠ABM＜∠ABC，∴∠MBE＞90°，∴當(dāng)點(diǎn)E在AB延長(zhǎng)線上時(shí)，∠MBE只能為等腰三角形△MBE的頂角，∴BM＝BE＝4，∴AE＝AB+BE＝8．綜上：AE＝0或或8．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了四邊形和三角形的綜合應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握各個(gè)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，根據(jù)題意正確作出輔助線，構(gòu)造直角三角形那個(gè)和全等三角形求解．2．（2023徐匯區(qū)一模）已知：在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC＝5，AB＝2.5，sinD＝，點(diǎn)E是AD邊上一點(diǎn)，DE＝3，點(diǎn)P是CD邊上的一動(dòng)點(diǎn)，連接EP，作∠EPF，使得∠EPF＝∠D，射線PF與AB邊交于點(diǎn)F，與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，設(shè)DP＝x，BG＝y(tǒng)．（1）求CD的長(zhǎng)；（2）試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域；（3）連接EF，如果△EFP是等腰三角形，試求DP的長(zhǎng)．【分析】（1）作等腰梯形ABCD的高AM、BN，得矩形AMNB，△ADM≌△BCN，則DC＝DM+MN+NC＝AB+2AD?cosD＝8.5；（2）先由三角形內(nèi)角和定理得出∠DEP＝∠GPC，由等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等得出∠D＝∠C，則△DEP∽△CPG，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域；（3）分三種情況：①PE＝PF；②PE＝EF；③PF＝EF．【解答】解：（1）如圖，作等腰梯形ABCD的高AM、DN，得矩形AMNB，△ADM≌△BCN，所以CD＝DM+MN+NC＝AB+2AD?cosD＝2.5+2×5×＝8.5；（2）如圖．∵∠EPD+∠EPF+∠GPC＝∠EPD+∠D+∠DEP＝180°，∠EPF＝∠D，∴∠DEP＝∠GPC，∵ABCD是等腰梯形，∴∠D＝∠C，∴△DEP∽△CPG，∴DE：CP＝DP：CG，∴3：（8.5﹣x）＝x：（y+5）；y＝﹣x2+x﹣5（＜x＜6）；（3）分三種情況：①如果PE＝PF，如圖，過(guò)F作BC平行線交底邊于H，則∠FHP＝∠C＝∠D．∵在△PED與△FPH中，，∴△PED≌△FPH（AAS），∴ED＝PH＝3，DP＝FH＝BC＝5；②如果PE＝EF，如圖，過(guò)F作BC平行線交底邊于H，則∠FHP＝∠C＝∠D．在△PED與△FPH中，，∴△PED∽△FPH，∴PE：PF＝PD：FH，又∵PE＝EF，過(guò)E點(diǎn)做△EFP的高ET，則FP：PE＝2PT：PE＝2cos∠EPF＝2cos∠D＝，∵FH＝BC＝5，∴＝，解得x＝；即PD＝；③如果PF＝EF，同理可得△PED∽△FPH，∴PE：PF＝PD：FH，∵PE＝EF，過(guò)F點(diǎn)做△EFP的高FT，則PE：PF＝2PT：PF＝2cos∠EPF＝2cosD＝，∵FH＝BC＝5，∴＝，解得x＝6，∵2.5＜x＜6；∴x＝6（舍去），綜上所述：PD＝5或時(shí)，△EFP是等腰三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，第（3）問(wèn)進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．3．（2023靜安區(qū)一模）在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，點(diǎn)D為射線CB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），以AD為腰且在AD的右側(cè)作等腰直角△ADF，∠ADF＝90°，射線AB與射線FD交于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)BF．（1）如圖所示，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上時(shí)，①求證：△ACD∽△ABF；②設(shè)CD＝x，tan∠BFD＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出x的取值范圍；（2）當(dāng)AB＝2BE時(shí)，求CD的長(zhǎng)．【分析】（1）①利用等腰直角三角形的性質(zhì)和兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似解答即可；②過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BD于點(diǎn)H，設(shè)BH＝HE＝m，利用相似三角形的拍等于性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系定理解答即可；（2）利用分類討論的思想方法，畫(huà)出圖形，列出關(guān)于x的方程，解方程即可得出結(jié)論．【解答】（1）①證明：∵△ABC和△ADF是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AF＝AD，∠CAB＝∠DAF＝45°．∴，∠CAD＝∠BAF，∴△ACD∽△ABF；②解：過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BD于點(diǎn)H，如圖，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∵EH⊥BD，∴BH＝HE．設(shè)BH＝HE＝m，則BE＝m，∴DH＝BC﹣CD﹣BM＝4﹣x﹣m．∵∠ADF＝90°，∴∠ADC+∠FDH＝90°，∵∠CAD+∠ADC＝90°，∴∠CAD＝∠FDH．∵∠ACD＝∠DHE＝90°，∴△ACD∽△DHE，∴，∴，∴m＝，∴BH＝HE＝．由①知：△ACD∽△ABF，∴∠ACD＝∠ABF＝90°．∵∠ADF＝90°，∴∠ADF＝∠ABF＝90°．∵∠AED＝∠BEF，∴∠BFD＝∠DAE．∴tan∠BFD＝tan∠DAE＝．∵△ACD∽△DHE，∴，∴y＝tan∠BFD＝＝，∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式y(tǒng)＝，x的取值范圍：0＜x＜4；（2）①解：當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上時(shí)，如圖，由（1）②知：BH＝HE＝．∴BE＝BH＝?．∵AB＝2BE，AB＝AC＝4，∴4＝2×?，∴8+2x＝4x﹣x2，∴x2﹣2x+8＝0．∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×8＝4﹣32＝﹣28＜0，∴此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，∴當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上時(shí)，不存在AB＝2BE；②當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BD于點(diǎn)H，∵△ABC和△ADF是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AF＝AD，∠CAB＝∠DAF＝45°．∴，∠CAD＝∠BAF，∴△ACD∽△ABF．∴∠ACD＝∠ABF＝90°．∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∴∠EBH＝∠ABC＝45°．∵EH⊥BD，∴BH＝HE．設(shè)BH＝HE＝n，則BE＝n，∴DH＝BC﹣CD﹣BM＝x﹣4﹣n．∵∠ADF＝90°，∴∠ADE＝90°，∴∠ADC+∠EDH＝90°，∵∠CAD+∠ADC＝90°，∴∠CAD＝∠EDH．∵∠ACD＝∠DHE＝90°，∴△ACD∽△DHE，∴，∴，∴n＝．∴BH＝HE＝．∴BE＝BH＝?．∵AB＝2BE，AB＝4，∴4＝2×?．∴8+2x＝x2﹣4x，∴x2﹣6x﹣8＝0，解得：x＝＝3±，∵x＞0，∴x＝3+．∴CD＝3+．綜上，當(dāng)AB＝2BE時(shí)，CD的長(zhǎng)為3+．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，函數(shù)的解析式，一元二次方程的解法，本題是相似三角形的綜合題，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023金山區(qū)一模）已知∠BAC的余切值為2，AB＝2，點(diǎn)D是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A、B重合），以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的正方形DEFG的另兩個(gè)頂點(diǎn)E、F都在射線AC上，且點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè)，聯(lián)結(jié)BG，并延長(zhǎng)BG交射線AC于點(diǎn)P．（1）聯(lián)結(jié)AG，求證：cot∠GAF＝3；（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上時(shí)，如果∠GPF的正切值為2，求線段BD的長(zhǎng)；（3）聯(lián)結(jié)AG，當(dāng)△AGP為等腰三角形時(shí)，求線段BD的長(zhǎng)．【分析】（1）聯(lián)結(jié)AG，根據(jù)三角函數(shù)的定義可得出結(jié)論；（2）由題意可知DG∥AP，所以△BDG∽△BAP，再由三角形函數(shù)的定義和相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）根據(jù)題意，需要分三種情況，畫(huà)圖出行，分別求解即可．【解答】（1）證明：如圖，聯(lián)結(jié)AG，∵四邊形DEFG是正方形，∴∠DEA＝∠DEF＝∠GFE＝90°，∵∠BAC的余切值為2，∴cot∠DEA＝＝2，設(shè)DE＝a，則AE＝2a，∴DG＝GF＝EF＝a，∴tan∠GAF＝＝．即cot∠GAF＝3．（2）解：由（1）知，DG＝GF＝EF＝a，AE＝2a，∵∠GPF的正切值為2，∴tan∠GPF＝＝2，∴PF＝a，∴EP＝a，∴AP＝AE+EP＝a，∵DG∥AP，∴△BDG∽△BAP，∴BD：AB＝DG：AP，即BD：2＝a：a，解得BD＝；（3）解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為t．根據(jù)題意，需要分三種情況：①AG＝AP，如圖，∵cot∠GAF＝＝3，∴AF＝3t，∴AG＝t，∴AP＝AG＝t，∵DG∥AP，∴△BDG∽△BAP，∴BD：AB＝DG：AP，即BD：2＝t：t，解得BD＝；②AG＝GP，如圖，∴∠GAF＝∠GPF，即cot∠GAF＝cot∠GPF＝3，∴AF＝PF＝3t，∴AP＝6t，∵DG∥AP，∴△BDG∽△BAP，∴BD：AB＝DG：AP，即BD：2＝t：6t，解得BD＝；③AP＝PG，如圖，設(shè)PG＝AP＝m，則PF＝3t﹣m，在Rt△PGF中，由勾股定理可得，m2＝t2+（3t﹣m）2，解得m＝t，∴AP＝t，∵DG∥AP，∴△BDG∽△BAP，∴BD：AB＝DG：AP，即BD：2＝t：t，解得BD＝．綜上，當(dāng)△AGP為等腰三角形時(shí)，求線段BD的長(zhǎng)為：或或．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于幾何綜合題，主要考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，分類討論思想等相關(guān)知識(shí)，根據(jù)題意求出AP與正方形邊長(zhǎng)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．5．（2023黃浦區(qū)一模）已知，如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAC＝∠ADC＝90°，CD＝4，cos∠ACD＝．（1）當(dāng)BC∥AD時(shí)（如圖2），求AB的長(zhǎng)；（2）聯(lián)結(jié)BD，交邊AC于點(diǎn)E，①設(shè)CE＝x，AB＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并寫(xiě)出定義域；②當(dāng)△BDC是等腰三角形時(shí)，求AB的長(zhǎng)．【分析】（1）由銳角三角函數(shù)定義得AC＝5，再由勾股定理得AD＝3，然后證△ABC∽△DCA，即可解決問(wèn)題；（2）①過(guò)D作DN⊥AC于點(diǎn)N，由三角形面積得DN＝，再由勾股定理得CN＝，然后證△BAE∽△DNE，即可解決問(wèn)題；②分兩種情況，a、當(dāng)BC＝BD時(shí)，過(guò)B作BQ⊥CD于點(diǎn)Q，過(guò)A作AP⊥BQ于點(diǎn)P，則CQ＝DQ＝CD＝2，四邊形APQD是矩形，再證△APB∽△ADC，即可求解；b、當(dāng)BD＝CD＝4時(shí)，過(guò)B作BM⊥直線AD于點(diǎn)M，證△BMA∽△ADC，得＝，設(shè)BM＝3k，則AM＝4k，然后由勾股定理得出方程，解方程，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠ADC＝90°，∴cos∠ACD＝＝，∴AC＝CD＝×4＝5，∴AD＝＝＝3，∵BC∥AD，∴∠ACB＝∠DAC，∵∠BAC＝∠ADC＝90°，∴△ABC∽△DCA，∴＝，即＝，∴AB＝，即AB的長(zhǎng)為；（2）①如圖1，過(guò)D作DN⊥AC于點(diǎn)N，則∠DNE＝∠DNC＝90°，∵∠ADC＝90°，∴S△ACD＝AC?DN＝AD?CD，∴DN＝＝＝，∴CN＝＝＝，∴AN＝AC﹣CN＝5﹣＝，∵CE＝x，∴AE＝AC﹣CE＝5﹣x，EN＝CE﹣CN＝x﹣，∵AE＞0，EN＞0，∴＜x＜5，∵∠BAE＝∠DNE＝90°，∠AEB＝∠NED，∴△BAE∽△DNE，∴＝，即＝，∴y＝＝，即y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝（＜x＜5）；②∵∠BAC＝90°，∴BC＞AC，∵AC＝5，CD＝4，∴BC＞CD，分兩種情況：a、當(dāng)BC＝BD時(shí)，如圖3，過(guò)B作BQ⊥CD于點(diǎn)Q，過(guò)A作AP⊥BQ于點(diǎn)P，則CQ＝DQ＝CD＝2，四邊形APQD是矩形，∴AP＝DQ＝2，∠PAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠PAD＝∠BAC，∴∠BAP＝∠CAD，∵∠APB＝∠ADC＝90°，∴△APB∽△ADC，∴＝，即＝，解得：AB＝；b、當(dāng)BD＝CD＝4時(shí)，如圖4，過(guò)B作BM⊥直線AD于點(diǎn)M，則∠BMA＝∠BAC＝∠ADC＝90°，∴∠ABM+∠BAM＝∠CAD+∠BAM＝90°，∴∠ABM＝∠CAD，∴△BMA∽△ADC，∴＝＝，設(shè)BM＝3k，則AM＝4k，∴DM＝AD+AM＝3+4k，在Rt△BDM中，由勾股定理得：BD2＝BM2+DM2，即42＝（3k）2+（3+4k）2，整理得：25k2+24k﹣7＝0，解得：k1＝，k2＝（不符合題意舍去），∴AB＝＝＝5k＝；綜上所述，當(dāng)△BDC是等腰三角形時(shí)，AB的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的判定與性質(zhì)、梯形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)定義以及分類討論等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．6．（2023徐匯區(qū)一模）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC⊥BC，AD＝9，AC＝12，BC＝16，點(diǎn)E是邊BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠EAF＝∠BAC，AF交CD于點(diǎn)F、交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，設(shè)BE＝x．（1）使用x的代數(shù)式表示FC；（2）設(shè)＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域；（3）當(dāng)△AEG是等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出BE的長(zhǎng)．【分析】（1）易證△ABC∽△DCA，則有∠B＝∠ACD，由∠EAF＝∠BAC可得∠BAE＝∠CAF，從而得到△ABE∽△ACF，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；（2））由△ABE∽△ACF可得＝，根據(jù)∠EAF＝∠BAC可得△AEF∽△ABC，從而得到EF＝AF．易證△CFG∽△DFA，從而得到＝，問(wèn)題得以解決；（3）易證△ADF∽△GAE，因而當(dāng)△GAE是等腰三角形時(shí)，△ADF也是等腰三角形，然后只需分三種情況（①AF＝DF，②AD＝DF，③AF＝AD，）討論，就可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）如圖1，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB＝90°．∵AD＝9，AC＝12，BC＝16，∴AB＝20，DC＝15．∵＝＝，∠DAC＝∠ACB，∴△ABC∽△DCA，∴∠B＝∠ACD．∵∠EAF＝∠BAC，∴∠BAE＝∠CAF，∴△ABE∽△ACF，∴＝，∴＝，∴CF＝x；（2）∵△ABE∽△ACF，∴＝，又∵∠EAF＝∠BAC，∴△AEF∽△ABC，∴＝＝＝，∴EF＝AF．∵AD∥CG，∴△CFG∽△DFA，∴＝，∴y＝＝＝?＝?，整理得：y＝（0＜x≤16）；（3）當(dāng)△AEG是等腰三角形時(shí)，BE的長(zhǎng)為、10或7．解題過(guò)程如下：∵△ABC∽△DCA，∴∠BAC＝∠D，∴∠EAF＝∠BAC＝∠D．∵AD∥BC，∴∠G＝∠FAD，∴△ADF∽△GAE，∴當(dāng)△GAE是等腰三角形時(shí)，△ADF也是等腰三角形．①當(dāng)AF＝DF時(shí)，則有∠FAD＝∠D，∵∠FAD+∠CAF＝90°，∠D+∠ACD＝90°，∴∠CAF＝∠ACD，∴FA＝FC，∴CF＝DF＝，∴x＝，∴x＝；②當(dāng)AD＝DF＝9時(shí)，CF＝CD﹣DF＝6，∴x＝6，∴x＝10；③當(dāng)AF＝AD＝9時(shí)，作AH⊥DF于H，如圖2，則有DH＝FH．∵S△CAD＝AC?AD＝CD?AH，∴AH＝＝，∴FH＝DH＝＝，∴x＝15﹣2×，∴x＝7．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，在解決問(wèn)題的過(guò)程中用到了面積法、分類討論的思想，有一定的難度，證到△ABE∽△ACF是解決第（1）小題的關(guān)鍵，證到△AEF∽△ABC，從而得到EF＝AF是解決第（2）小題的關(guān)鍵，證到△ADF∽△GAE，從而把△GAE是等腰三角形轉(zhuǎn)化為△ADF是等腰三角形是解決第（2）小題的關(guān)鍵．7．（2023浦東新區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，cosC＝，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC交AC邊于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），F(xiàn)是AC邊上一點(diǎn)，且∠AEF＝∠ABC，AE與BD相交于點(diǎn)G．（1）求證：；（2）設(shè)BE＝x，CF＝y(tǒng)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；（3）當(dāng)△AEF是以AE為腰的等腰三角形時(shí)，求BE的長(zhǎng)．【分析】（1）要證，只需證△ABG∽△ECF，只需證到∠BAG＝∠CEF，∠ABG＝∠C．由∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC可證到∠ABG＝∠C；由∠AEF＝∠ABC可證到∠BAG＝∠CEF，問(wèn)題解決．（2）作FC的垂直平分線交BC于點(diǎn)M，交FC于點(diǎn)N，易證∠ABE＝∠FME，從而可以證到△ABE∽△EMF，可得AB?MF＝BE?EM．只需用x、y表示出FM、EM，問(wèn)題就得以解決．（3）當(dāng)△AEF是以AE為腰的等腰三角形時(shí)，可分AE＝EF和AE＝AF兩種情況討論．當(dāng)AE＝EF時(shí)，由△ABE∽△EMF可得BE＝MF，從而可以得到x與y的等量關(guān)系，再結(jié)合（2）中的y與x的關(guān)系就可求出x的值；當(dāng)AE＝AF時(shí)，易證FE＝FC，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC，垂足為H，則有HC＝EC，結(jié)合cosC＝＝，就可得到x與y的等量關(guān)系，再結(jié)合（2）中的y與x的關(guān)系就可求出x的值．【解答】（1）證明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD．∵∠ABC＝2∠C，∴∠ABD＝∠C．∵∠BAE+∠AEB+∠ABE＝180°，∠FEC+∠AEB+∠AEF＝180°，∠AEF＝∠ABE，∴∠BAE＝∠FEC．∵∠BAG＝∠CEF，∠ABG＝∠C，∴△ABG∽△ECF．∴．（2）解：作FC的垂直平分線交BC于點(diǎn)M，交FC于點(diǎn)N，如圖2，則有NC＝FN＝FC＝．在Rt△MNC中，cosC＝＝，則MC＝．∵M(jìn)N垂直平分FC，∴MF＝MC＝．∴∠MFC＝∠C．∴∠FME＝∠MFC+∠C＝2∠C．∵∠ABC＝2∠C，∴∠ABC＝∠FME．∵∠ABE＝∠FME，∠BAE＝∠FEM，∴△ABE∽△EMF．∴＝．∴AB?MF＝BE?EM．∵BE＝x，BC＝10，MC＝，∴EM＝10﹣x﹣．又∵AB＝8，∴8×＝x（10﹣x﹣）．∴y＝．（0＜x＜10）（3）解：①EA＝EF，如圖3，∵△ABE∽△EMF（已證），∴＝．∵EA＝EF，∴BE＝MF．∵BE＝x，MF＝，∴x＝．∴y＝x．∴＝x．整理得：x2+4x﹣5＝0．則有（x+5）（x﹣1）＝0．解得：x1＝﹣5（舍），x2＝1．②AE＝AF，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC，垂足為H，如圖4，∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE．∵∠AEF＝∠ABC，∠ABC＝2∠C，∴∠AFE＝2∠C．∵∠AFE＝∠FEC+∠C，∴∠FEC＝∠C．∴FE＝FC．∵FH⊥EC，∴EH＝CH＝EC．∵EC＝10﹣x，∴HC＝．在Rt△FHC中，cosC＝＝．∴4HC＝3FC．∴4×＝3y．∴y＝．∴＝．整理得：5x2﹣82x+320＝0．則有（5x﹣32）（x﹣10）＝0．∴x1＝6.4，x2＝10．∵0＜x＜10，∴x＝6.4．綜上所述：當(dāng)△AEF是以AE為腰的等腰三角形時(shí)，BE的長(zhǎng)為1或6.4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、用因式分解法解一元二次方程、銳角三角函數(shù)的定義、三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性非常強(qiáng)．而作FC的垂直平分線交BC于點(diǎn)M，進(jìn)而證到△ABE∽△EMF是解決第二小題和第三小題的關(guān)鍵．8．（2023楊浦區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AB＝13，CD∥AB．點(diǎn)E為射線CD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），聯(lián)結(jié)AE，交邊BC于點(diǎn)F，∠BAE的平分線交BC于點(diǎn)G．（1）當(dāng)時(shí)CE＝3，求S△CEF：S△CAF的值；（2）設(shè)CE＝x，AE＝y(tǒng)，當(dāng)CG＝2GB時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)AC＝5時(shí)，聯(lián)結(jié)EG，若△AEG為直角三角形，求BG的長(zhǎng)．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AE于H，根據(jù)等高的兩個(gè)三角形面積之比等于底的比，求出EF：AF即可；（2）延長(zhǎng)AG交射線CD于點(diǎn)K，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）分∠AGE＝90°、∠AEG＝90°兩種情況進(jìn)行解答，求出BG的長(zhǎng)．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AE于H，∴＝＝，∵CD∥AB，∴，∵CE＝3，AB＝13，∴＝，∴＝．（2）延長(zhǎng)AG交射線CD于點(diǎn)K，∵CD∥AB，∴∠EKA＝∠KAB，∵AG平分∠BAE，∴∠EAK＝∠KAB，∴∠EKA＝∠EAK，∴AE＝EK，∵CE＝x，AE＝y(tǒng)，∴CK＝CE+EK＝CE+AE＝x+y，∵CD∥AB，∴＝，∵CG＝2GB，∴＝2，∴，∴y＝26﹣x．（3）由題意，得：BC＝12，①當(dāng)∠AGE＝90°時(shí)，則AG＝GK，∵CD∥AB，∴BG＝BC＝6．②當(dāng)∠AEG＝90°時(shí)，則△ACF∽△GEF，∴＝，∠CFE＝∠AFG，∴△ECF∽△GAF，∴∠ECF＝∠FAG，又∵∠FAG＝∠GAB，∠ECF＝∠B，∴∠B＝∠GAB，∴GA＝GB，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥AB于N，∴BN＝AB＝，∴BG＝BN＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的綜合應(yīng)用，靈活運(yùn)用相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，本題可以提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力、邏輯思維能力．9．（2022?浦東新區(qū)二模）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝BC＝6，AD⊥AC，點(diǎn)E為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，射線DE交邊BC于點(diǎn)F．（1）求證：DC＝2AB；（2）如果DF⊥BC，求∠ACD的余弦值；（3）當(dāng)△CEF是等腰三角形時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AG∥BC，交CD于點(diǎn)G，可證得四邊形ABCG是菱形，進(jìn)而可得DG＝CG＝AB，即可證得結(jié)論；（2）延長(zhǎng)DF、AB交于點(diǎn)H，可證得△AEH≌△CED（ASA），再由AB∥BC，可得△BFH∽△CFD，可求得：BF＝2，CF＝4，再運(yùn)用勾股定理求得CE＝2，根據(jù)三角函數(shù)定義即可求得答案；（3）由于∠CEF＞ACB，故EF＜CF，分兩種情況：當(dāng)CE＝CF＝4時(shí)，利用勾股定理建立方程求解即可；當(dāng)CE＝EF時(shí)，利用勾股定理建立方程求解即可得出答案．【解答】（1）證明：過(guò)點(diǎn)A作AG∥BC，交CD于點(diǎn)G，如圖1，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB，∴∠ACD＝∠ACB，∵AB∥CD，AG∥BC，∴四邊形ABCG是平行四邊形，∵AB＝BC，∴四邊形ABCG是菱形，∴AG＝CG＝AB，∴∠ACD＝∠CAG，∵AD⊥AC，∴∠ACD+∠ADC＝∠CAG+∠DAG＝90°，∴∠ADC＝∠DAG，∴AG＝DG，∴DG＝CG＝AB，∴DC＝2AB；（2）解：延長(zhǎng)DF、AB交于點(diǎn)H，如圖2，∵點(diǎn)E為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，∴AE＝CE，∵AB∥BC，∴∠EAH＝∠ECD，∵∠AEH＝∠CED，∴△AEH≌△CED（ASA），∴AH＝CD＝2AB＝2×6＝12，EH＝DE＝DH，∴BH＝AH﹣AB＝12﹣6＝6，∵AB∥BC，∴△BFH∽△CFD，∴＝＝＝＝，∴CF＝2BF，DF＝2FH，∵BC＝6，∴BF＝2，CF＝4，∵DF⊥BC，∴∠BFH＝∠CFE＝90°，在Rt△BFH中，F(xiàn)H＝＝＝4，∴DF＝2FH＝8，∴EH＝（DF+FH）＝（8+4）＝6，∴EF＝EH﹣FH＝6﹣4＝2，在Rt△CEF中，CE＝＝＝2，由（1）知：∠ACD＝∠ACB，∴cos∠ACD＝cos∠ACB＝＝＝；（3）解：由（2）知：CF＝4，DF＝2FH，∴DE+EF＝2（DE﹣EF），∴DE＝3EF，∵∠ACB＝∠ACD，∠CEF＝∠ACD+∠CDF＞∠ACD，∴∠CEF＞ACB，∴EF＜CF，∵△CEF是等腰三角形，∴CE＝CF或CE＝EF，當(dāng)CE＝CF＝4時(shí)，AE＝CE＝4，∴AC＝8，在Rt△ACD中，AD＝＝＝4，在Rt△ADE中，AE2+AD2＝DE2，∴42+（4）2＝（3EF）2，解得：EF＝；當(dāng)CE＝EF時(shí)，AC＝2EF，AE＝EF，在Rt△ADE中，AD2＝DE2﹣AE2＝（3EF）2﹣EF2＝8EF2，在Rt△ACD中，AC2+AD2＝CD2，∴（2EF）2+8EF2＝122，解得：EF＝2；綜上所述，當(dāng)△CEF是等腰三角形時(shí)，線段EF的長(zhǎng)為或2．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，勾股定理，全等三角形判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)等知識(shí)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想是解題關(guān)鍵．10．（2022?金山區(qū)二模）如圖，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，sin∠BAC＝，O是邊AC上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓O與邊AC的另一個(gè)交點(diǎn)是點(diǎn)D，與邊AB的另一個(gè)交點(diǎn)是點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)O作AB的平行線與圓O相交于點(diǎn)P，與BC相交于點(diǎn)Q，DP的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)FQ．（1）求證：DP＝EP；（2）設(shè)OA＝x，△FPQ的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域；（3）如果△FPQ是以FQ為腰的等腰三角形，求AO的長(zhǎng)．【分析】（1）聯(lián)結(jié)OE，由平行線的性質(zhì)得出∠DOP＝∠A，∠POE＝∠OEA，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠A＝∠OEA，證出∠DOP＝∠POE，則可得出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥PQ，垂足分別為M、N，由△OCQ∽△CAB證出，得出，求出OQ和PQ，則可得出答案；（3）分兩種情況，若FQ＝PQ，若FQ＝FP，由等腰三角形的性質(zhì)列出方程即可得出答案．【解答】（1）證明：聯(lián)結(jié)OE，EP，∵OP∥AB，∴∠DOP＝∠A，∠POE＝∠OEA，∵OA＝OE，∴∠A＝∠OEA，∴∠DOP＝∠POE，∴DP＝EP．（2）解：過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥PQ，垂足分別為M、N，∵OQ∥AB，OM⊥AB，F(xiàn)N⊥PQ，∴四邊形OMFN是矩形，∴OM＝FN，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，sin∠BAC＝，∴BC＝6，AC＝8，在△AMO中，∠AMO＝90°，∴OM＝OA?sin∠BAC＝x，∴FN＝x，∵OQ∥AB，∴△OCQ∽△CAB，∴，∴，∴OQ＝10﹣x，∴PQ＝OQ﹣OP＝10﹣x，∴y＝（10﹣x）?x，即y＝﹣+3x（0＜x≤4）．（3）解：若△FPQ是以FQ為腰的等腰三角形，可分兩種情況：①若FQ＝PQ，∴∠QPF＝∠QFP＝∠OPD＝∠ODP，∴QF∥AC，∴四邊形AFQO是平行四邊形，∴AF＝QO，∵∠ADF＝∠OPD＝∠AFD，∴AF＝AD＝2x，∴OQ＝2x，∴2x＝10﹣x，∴x＝．②若FQ＝FP，如圖3，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥PQ，垂足分別為M、N，則四邊形OMFN是矩形，在△AMO中，∠AMO＝90°，OM＝x，AM＝x，∴MF＝ON＝2x﹣x，∴PN＝x，PQ＝x，OQ＝x，∴x，解得：x＝．綜上所述，若△FPQ是以FQ為腰的等腰三角形，AO的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題，考查了圓的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2022?崇明區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝30°，AB＝10．點(diǎn)E是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G在BC的延長(zhǎng)線上，且CG＝AE，聯(lián)結(jié)EG，以線段EG為對(duì)角線作正方形EDGF，邊ED交AC邊于點(diǎn)M，線段EG交AC邊于點(diǎn)N，邊EF交BC邊于點(diǎn)P．（1）求證：NG＝2EN；（2）設(shè)AE＝x，△AEN的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出x的定義域；（3）聯(lián)結(jié)NP，當(dāng)△EPN是直角三角形時(shí)，求AE的值．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作EH∥BC交AC于H，由直角三角形的性質(zhì)證出，由相似三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論；（2）由直角三角形的性質(zhì)求出CH，NH，AN，由三角形面積公式可得出答案；（3）分兩種情況：①當(dāng)∠PNE＝90°時(shí)，②當(dāng)∠EPN＝90°時(shí)，過(guò)E點(diǎn)作EQ⊥BC交BC邊于Q點(diǎn)，由全等三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)可得出答案．【解答】（1）證明：過(guò)點(diǎn)E作EH∥BC交AC于H，∴∠ACB＝∠AHE，∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∴，∵CG＝AE，∴，∵EH∥BC，∴，∴NG＝2EN；（2）由題意得：．∴CH＝5﹣x，∴NH＝CH＝x，∴，∴y＝AN?EH＝×x（）＝，∵x≥0∴x≤10∴定義域?yàn)椋?＜x≤10；（3）①當(dāng)∠PNE＝90°時(shí)，∵∠FEG＝45°，∠ENP＝90°，∴∠EPN＝45°，∴EN＝PN，∵∠EHN＝∠PCN＝90°，∴∠PNC+∠ENH＝90°，∠ENH+∠NEH＝90°，∴∠PNC＝∠NEH，∴△PNC≌△NEH（AAS），∴EH＝CN，即，∴，解得，∴AE＝40﹣20；②當(dāng)∠EPN＝90°時(shí)，過(guò)E點(diǎn)作EQ⊥BC交BC邊于Q點(diǎn)，∵AE＝x，∠B＝60°，∴BE＝10﹣x，∴EQ＝5﹣x，同①可得△EQP≌△PCN（AAS），∴，PQ＝CN，∵EQ∥CN，∴，∴CN＝EQ，∴，∵，BC＝AB＝5，∴，解得．∴AE＝，綜上所述，AE的長(zhǎng)為40﹣20或．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題．12．（2022?寶山區(qū)二模）如圖，已知AB為圓O的直徑，C是弧AB上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BC，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC，垂足為點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)AD交BC于點(diǎn)F．（1）求證：＝；（2）如果AF?AD＝AO2，求∠ABC的正弦值；（3）聯(lián)結(jié)OF，如果△AOF為直角三角形，求的值．【分析】（1）連接AC，根據(jù)圓周角定理及垂直的定義可得∠ACF＝∠DEF，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得結(jié)論；（2）連接AC，過(guò)點(diǎn)F作FT⊥AB于點(diǎn)T，則∠ATF＝90°，利用相似三角形的判定與性質(zhì)可得∠AOF＝∠D，再由垂徑定理可得AT＝OT＝AO＝AB，最后根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)可得答案；（3）設(shè)⊙O的半徑為r，分兩種情況進(jìn)行解答：當(dāng)∠AOF＝90°時(shí)，當(dāng)∠AFO＝90°時(shí)，分別根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形及勾股定理解答即可．【解答】（1）證明：如圖，連接AC，∵AB為圓O的直徑，∴∠ACB＝90°，AO＝BO，∵OD⊥BC，∴CE＝BE，∠DEF＝90°，∴AC＝2OE，∠ACF＝∠DEF，∵∠AFC＝∠DFE，∴△AFC∽△DFE，∴，∴；（2）解：如圖，連接AC，過(guò)點(diǎn)F作FT⊥AB于點(diǎn)T，則∠ATF＝90°，∵AF?AD＝AO2，∴，∵∠FAO＝∠OAD，∴△FAO∽△OAD，∴∠AOF＝∠D，∵OD＝OA，∴∠D＝∠OAD，∴AF＝OF，∵FT⊥AB，∴AT＝OT＝AO＝AB，∵OD⊥BC，∴，∴∠BAD＝∠CAD，∵AB為圓O的直徑，∴∠ACB＝∠ATF＝90°，在△ACF和△ATF中，，∴△ACF