汽車振動(dòng)學(xué)：基于MATLABSimulink的分析與實(shí)現(xiàn) 課件 第1、2章 汽車振動(dòng)學(xué)概述、汽車單自由度振動(dòng)系統(tǒng)

第一章汽車振動(dòng)學(xué)概述CONTENTS目錄第1章汽車振動(dòng)學(xué)概述

11.1汽車振動(dòng)基礎(chǔ)知識(shí) 11.1.1振動(dòng)的基本概念 11.1.2振動(dòng)系統(tǒng)的三要素 21.2汽車振動(dòng)研究方法 31.2.1理論分析 31.2.2實(shí)驗(yàn)研究 61.3汽車振動(dòng)系統(tǒng)分類 61.3.1分類方法 61.3.2自由振動(dòng) 71.3.3受迫振動(dòng) 71.3.4自激振動(dòng) 81.4汽車減振控制技術(shù) 91.4.1隔振 91.4.2阻尼消振 101.4.3主動(dòng)控制減振技術(shù)

111.1汽車振動(dòng)基礎(chǔ)知識(shí)

振動(dòng)是指系統(tǒng)中運(yùn)動(dòng)量位移、速度、加速度等的震蕩現(xiàn)象。

振動(dòng)存在于自然界的各個(gè)方面，很多情況下是有害的。應(yīng)該將其振動(dòng)量控制在允許的范圍內(nèi)。1.1.1振動(dòng)的基本概念

汽車本身作為一個(gè)復(fù)雜的振動(dòng)系統(tǒng)，內(nèi)部各部分具有不同的固有頻率。汽車的振動(dòng)問題和一般機(jī)械的振動(dòng)問題一樣汽車振動(dòng)分析主要研究問題：

汽車振動(dòng)這門學(xué)科就是要分析系統(tǒng)(system)、激勵(lì)(motivation)和響應(yīng)(response)這三者之間的關(guān)系；探討系統(tǒng)各參數(shù)對(duì)振動(dòng)響應(yīng)的影響；提出振動(dòng)控制的方法。汽車振動(dòng)問題分類：

（1）響應(yīng)分析（2）動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)（3）系統(tǒng)識(shí)別（4）環(huán)境預(yù)測

汽車振動(dòng)的表現(xiàn)形式：汽車運(yùn)行時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)和車體的振動(dòng)汽車振動(dòng)分析主要研究問題：

汽車振動(dòng)這門學(xué)科就是要分析系統(tǒng)(system)、激勵(lì)(motivation)和響應(yīng)(response)這三者之間的關(guān)系；探討系統(tǒng)各參數(shù)對(duì)振動(dòng)響應(yīng)的影響；提出振動(dòng)控制的方法。汽車振動(dòng)問題分類：

（1）響應(yīng)分析（2）動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)（3）系統(tǒng)識(shí)別（4）環(huán)境預(yù)測

汽車振動(dòng)的表現(xiàn)形式：汽車運(yùn)行時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)和車體的振動(dòng)質(zhì)量(mass)，彈性(elasticity)，阻尼(damping)是振動(dòng)系統(tǒng)的三要素。

1.1.2振動(dòng)系統(tǒng)三要素

機(jī)械系統(tǒng)之所以產(chǎn)生振動(dòng)是因?yàn)樗旧砭哂匈|(zhì)量和彈性，而系統(tǒng)中的阻尼則使振動(dòng)受到抑制。汽車是一個(gè)多自由度的振動(dòng)系統(tǒng)。而懸架系統(tǒng)的關(guān)鍵部件是阻尼減振器，它對(duì)車輛振動(dòng)性能的提高起著重要的作用。1.1.2振動(dòng)系統(tǒng)三要素

(1)質(zhì)量：在力學(xué)模型中，質(zhì)量被抽象為不變形的剛體。在上述兩式中，質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是表示力（力矩）和加速度（角加速度）關(guān)系的元件。

（1-1）1.1.2振動(dòng)系統(tǒng)三要素

(2)彈性力

：在力學(xué)模型中，彈簧被抽象為無質(zhì)量而具有線性彈性的元件?；謴?fù)力與彈性元件兩端的相對(duì)位移的大小成正比。為比例常數(shù)，通常稱為彈簧常數(shù)或剛度。

（1-2）1.1.2振動(dòng)系統(tǒng)三要素

(3)阻尼力：在力學(xué)模型中，阻尼器被抽象為既無質(zhì)量又無彈性的阻尼力模型。阻尼力大小與阻尼器兩端相對(duì)速度一次方成正比。為比例常數(shù)，稱為阻尼系數(shù)。

（1-3）1.2汽車振動(dòng)研究方法

解決振動(dòng)問題的方法，不外乎理論分析和實(shí)驗(yàn)研究。

在大量實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上建立起來的理論，反過來對(duì)實(shí)踐起指導(dǎo)作用；而從理論分析得到的每一個(gè)結(jié)論都必須通過實(shí)踐來驗(yàn)證它是否正確。1.2.1理論分析法（1）.建立系統(tǒng)力學(xué)模型單自由度車身振動(dòng)模型該模型中僅僅考慮懸架的剛度和阻尼對(duì)車身振動(dòng)的影響為了便于分析和計(jì)算，必須抓住主要因素，而略去一些次要因素，將實(shí)際系統(tǒng)簡化和抽象為動(dòng)力學(xué)模型。車身車輪二自由度振動(dòng)模型該模型還考慮了輪胎的剛度和非簧載質(zhì)量。1.2.1理論分析法車身二自由度系統(tǒng)該模型考慮了前后懸架的不同輸入，其響應(yīng)可反應(yīng)車身的垂直振動(dòng)和俯仰運(yùn)動(dòng)。1.2.1理論分析法車身的四自由度振動(dòng)模型四自由度分別是簧載質(zhì)量的俯仰運(yùn)動(dòng)和垂向運(yùn)動(dòng)，以及非簧載質(zhì)量的兩個(gè)垂向運(yùn)動(dòng)。顯然，建立的力學(xué)模型與實(shí)際系統(tǒng)越接近，則分析的結(jié)果與實(shí)際情況越接近。1.2.1理論分析法車身的七自由度振動(dòng)模型七個(gè)自由度分別是簧載質(zhì)量的側(cè)傾運(yùn)動(dòng)、俯仰運(yùn)動(dòng)及垂向運(yùn)動(dòng)，以及非簧載質(zhì)量的四個(gè)垂向運(yùn)動(dòng)。1.2.1理論分析法（2）.建立數(shù)學(xué)模型應(yīng)用物理定律對(duì)所建立的力學(xué)模型進(jìn)行分析，導(dǎo)出描述系統(tǒng)特性的數(shù)學(xué)方程。通常振動(dòng)問題的數(shù)學(xué)模型可表現(xiàn)為微分方程的形式。（3）.方程的求解（4）.分析結(jié)論為得到描述系統(tǒng)振動(dòng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，就需對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。通常這種數(shù)學(xué)表達(dá)式是位移、速度、加速度等振動(dòng)響應(yīng)量的時(shí)間函數(shù)。它表明系統(tǒng)響應(yīng)與系統(tǒng)特性，激勵(lì)等的關(guān)系。根據(jù)方程的解提供的規(guī)律和系統(tǒng)的工作要求及結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可以作出設(shè)計(jì)和改進(jìn)，以獲得問題的最佳解決方案。1.2.2實(shí)驗(yàn)研究

（1）直接測量振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)，并進(jìn)行分析系統(tǒng)的振動(dòng)特性；（2）用已知的振源去激振研究對(duì)象，并測取振動(dòng)響應(yīng)，以把握系統(tǒng)的振動(dòng)特性。實(shí)驗(yàn)研究的振動(dòng)測試和分析的過程1.靜態(tài)平衡測試法:通過測量車輪輪轂質(zhì)量分布情況，判斷車輪是查處于靜態(tài)平衡狀態(tài)。如果左輪不平衡，會(huì)產(chǎn)生較大的振動(dòng)力和振動(dòng)矩，加劇車身振動(dòng)。2.動(dòng)平衡測試法:在車輪旋轉(zhuǎn)時(shí)，通過動(dòng)平衡機(jī)測量車輪的動(dòng)態(tài)平衡性能，以及輪胎和剎車盤的離心力失衡量等指標(biāo)。動(dòng)平衡測試能夠更準(zhǔn)確地檢測車輪的平衡性能,提高汽車的行駛平穩(wěn)性和乘坐舒適性。3.振動(dòng)譜分析法:通過振動(dòng)傳感器和振動(dòng)分析儀，對(duì)汽車的振.動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行監(jiān)測和分析。可以得到振動(dòng)的幅值、頻率和相位等信息，進(jìn)而判斷振動(dòng)的來源和性質(zhì)。振動(dòng)譜分析能夠幫助汽車制造商和維修人員快速診斷和解決振動(dòng)問題。4.道路試驗(yàn)法:在實(shí)際道路行駛中，通過振動(dòng)傳感器和數(shù)據(jù)采集器對(duì)汽車的振動(dòng)進(jìn)行監(jiān)測和記錄?？梢粤私馄囋诓煌窙r和行駛狀態(tài)下的振動(dòng)情況，為汽車的設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供重要數(shù)據(jù)支持。汽車振動(dòng)測試方法是用來檢測汽車在運(yùn)行過程中的振動(dòng)狀況,以及振動(dòng)對(duì)汽車結(jié)構(gòu)和性能的影響常見的汽車振動(dòng)測試方法1.3汽車振動(dòng)系統(tǒng)分類1.3汽車振動(dòng)系統(tǒng)分類1.根據(jù)系統(tǒng)的自由度分類單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)——用一個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)就能確定位置的系統(tǒng)的振動(dòng)。多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)——用多個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)才能確定位置的系統(tǒng)的振動(dòng)。無限多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)——要用無限多個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)才能去定位置的系統(tǒng)

的振動(dòng)，又稱為彈性體的振動(dòng)。VibrationofasingledegreeoffreedomsystemVibrationofmulti-degreeoffreedomsystemVibrationofaninfinitedegreeoffreedomsystem1.3汽車振動(dòng)系統(tǒng)分類2.根據(jù)描述系統(tǒng)的微分方程分類線性振動(dòng)——用常系數(shù)線性微分方程式描述的系統(tǒng)所產(chǎn)生的振動(dòng)。非線性振動(dòng)——用非線性微分方程式描述的系統(tǒng)所產(chǎn)生的振動(dòng)。1.3汽車振動(dòng)系統(tǒng)分類3.根據(jù)系統(tǒng)激勵(lì)的性質(zhì)或類型分類固有振動(dòng)——無激振時(shí)系統(tǒng)所有可能的運(yùn)動(dòng)的集合。自由振動(dòng)——系統(tǒng)受初始干擾后，在沒有外界激勵(lì)作用時(shí)所產(chǎn)生的振動(dòng)。受迫振動(dòng)——系統(tǒng)在外界激勵(lì)作用下產(chǎn)生的振動(dòng)。自激振動(dòng)——系統(tǒng)在輸入和輸出之間具有反饋特性，并有能源補(bǔ)充時(shí)產(chǎn)生

的振動(dòng)。參數(shù)振動(dòng)——通過周期地或隨機(jī)地改變系統(tǒng)那個(gè)的特性參數(shù)而實(shí)現(xiàn)的振動(dòng)。NaturalvibrationFreevibrationForcedvibrationSelf-excitedvibrationParametricvibration1.3汽車振動(dòng)系統(tǒng)分類4.根據(jù)系統(tǒng)輸出的振動(dòng)規(guī)律分類簡諧振動(dòng)——振動(dòng)量是時(shí)間的正弦函數(shù)或余弦函數(shù)。周期振動(dòng)——振動(dòng)量是時(shí)間的周期函數(shù)。瞬態(tài)振動(dòng)——振動(dòng)量是在一定時(shí)間內(nèi)存在的，并為非周期的時(shí)間函數(shù)。隨機(jī)振動(dòng)——振動(dòng)量不是時(shí)間的確定函數(shù)，這種振動(dòng)只能通過概率統(tǒng)計(jì)的方法來研究。

SimpleharmonicvibrationPeriodicvibrationTransientvibrationRandomvibration1.4汽車減震控制技術(shù)

人們在汽車減振方面做了大量研究，主要包括減振、隔振與阻尼消振三大部分。1.4.1.隔振為了保證汽車的行駛性能和各部件的正常工作，需要進(jìn)行振動(dòng)隔離，簡稱隔振主動(dòng)隔振：即用隔振器將振動(dòng)隔離開。被動(dòng)隔振：將需要保護(hù)的設(shè)備用隔振器將振動(dòng)隔離開彈簧隔振器汽車上的吸振器1.4汽車減震控制技術(shù)1.4.2.阻尼消振阻尼消振方法是采用阻尼減振方法的簡稱，即用附加的子系統(tǒng)連接需要減振的結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)已消耗振動(dòng)能量，從而達(dá)到減振的目的。阻尼具有消耗系統(tǒng)振動(dòng)能量的特性，能使自由振動(dòng)迅速衰減，能夠降低強(qiáng)迫振動(dòng)的共振振幅和避免發(fā)動(dòng)機(jī)噴油閥產(chǎn)生的自激振動(dòng)鋪在汽車地板上的瀝青阻尼片1.4汽車減震控制技術(shù)1.4.3.主動(dòng)控制減振技術(shù)振動(dòng)的主動(dòng)控制又稱為振動(dòng)的有源控制。這種控制需要消耗能量，而能量要靠能源來補(bǔ)充，通常有開環(huán)控制與閉環(huán)控制主動(dòng)振動(dòng)控制系統(tǒng)模型無源振動(dòng)控制模型1.4汽車減震控制技術(shù)汽車懸架已進(jìn)入到利用微處理器進(jìn)行控制的時(shí)代,運(yùn)用較優(yōu)的控制方法，得到高性能的減振效果，且使能耗盡可能的低是汽車懸架控制發(fā)展的主要方向。經(jīng)典PID控制LQR控制自適應(yīng)控制最優(yōu)控制模糊控制經(jīng)典PID控制無需知道被控對(duì)象的有關(guān)數(shù)學(xué)模型，只要按照經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行在線調(diào)節(jié)器參數(shù)調(diào)整，就可以獲得比較滿意的結(jié)果，但是這種方法對(duì)于被控對(duì)象參數(shù)的變動(dòng)非常敏感。線性二次型調(diào)節(jié)器，是求解線性二次型問題常用的求解方法。其對(duì)象是現(xiàn)代控制理論中以狀態(tài)空間形式給出的線性系統(tǒng)，而目標(biāo)函數(shù)為對(duì)象狀態(tài)和控制輸入的二次型函數(shù)。自適應(yīng)控制策略的基本控制方法是LQG控制，對(duì)車輛參數(shù)以及路面輸入的變化進(jìn)行了綜合考慮，從而實(shí)時(shí)調(diào)整反饋參數(shù)。最優(yōu)控制是首先確定一個(gè)明確的目標(biāo)函數(shù),通過一定的數(shù)學(xué)方法計(jì)算出使該函數(shù)取極值時(shí)的控制輸入。模糊控制是一種非線性控制，使用模糊推理構(gòu)造主動(dòng)以及半主動(dòng)懸架的控制規(guī)則，通過計(jì)算機(jī)模擬的方法來分析并控制車身的俯仰振動(dòng)和垂直振動(dòng)。CONTENTS目錄第2章汽車單自由度振動(dòng)系統(tǒng) 2.1汽車單自由度振動(dòng)系統(tǒng)建模 2.1.1動(dòng)力學(xué)方程 2.1.2平衡位置 2.1.3微分方程求解 2.2等效剛度與自然頻率 2.2.1并聯(lián)彈簧 2.2.1串聯(lián)彈簧 2.3汽車單自由度無阻尼振動(dòng)系統(tǒng) 2.3.1無阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng) 2.3.2無阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng) 2.4汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng) 2.4.1有阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng) 2.4.2有阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng) 2.5汽車單自由系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng) 2.6汽車單自由度振動(dòng)系統(tǒng)控制 2.7汽車單自由度振動(dòng)系統(tǒng)綜合訓(xùn)練 2.7.1汽車振動(dòng)被動(dòng)系統(tǒng)訓(xùn)練 2.7.2汽車振動(dòng)主動(dòng)控制系統(tǒng)訓(xùn)練 2.8課后習(xí)題

2.1汽車單自由度振動(dòng)系統(tǒng)建模2.1.1動(dòng)力學(xué)方程

2.1.2平衡位置 2.1.3微分方程求解2.1汽車單自由度振動(dòng)系統(tǒng)建模實(shí)際上，汽車是一個(gè)復(fù)雜的多自由度振動(dòng)系統(tǒng)。如果將汽車車身整體簡化為一個(gè)質(zhì)量塊，其重量由一個(gè)單獨(dú)的阻尼減震器支撐，其示意圖如圖2-1所示。圖2-1汽車單自由度振動(dòng)系統(tǒng)m為汽車車身質(zhì)量(kg)；k為汽車懸架彈簧剛度(N·m-1)c為汽車懸架阻尼系數(shù)(N·s·m-1)F為外界施加的力(N)x為車身相對(duì)于靜平衡位置的時(shí)變位移(m)2.1汽車單自由度振動(dòng)系統(tǒng)建模圖2-1汽車單自由度振動(dòng)系統(tǒng)圖2-2汽車單自由度振動(dòng)力學(xué)模型2.1汽車單自由度振動(dòng)系統(tǒng)建模2.1.1動(dòng)力學(xué)方程

圖2-3車身受力圖

根據(jù)牛頓第二定律可寫出該振動(dòng)模型的動(dòng)力學(xué)方程：

（2-1）或者2.1汽車單自由度振動(dòng)系統(tǒng)建 2.1.1動(dòng)力學(xué)方程

2.1.2平衡位置

2.1.3微分方程求解2.1汽車單自由度振動(dòng)系統(tǒng)建模2.1.2平衡位置

如圖2-4所示的振動(dòng)系統(tǒng)，彈簧和阻尼器垂直放置，系統(tǒng)收到重力的影響，彈簧被壓縮或伸長，其靜變形量為圖2-4靜平衡示意圖（2-2）式中，g為重力加速度由牛頓第二定律有：（2-3）式中，x是從彈簧末端的靜變形位置計(jì)算的位移2.1汽車單自由度振動(dòng)系統(tǒng)建模2.1.1動(dòng)力學(xué)方程 2.1.2平衡位置

2.1.3微分方程求解2.1汽車單自由度振動(dòng)系統(tǒng)建模2.1.3微分方程求解

【例2-1】求解如下微分方程

利用高等數(shù)學(xué)的相關(guān)方法求解其通解，具體計(jì)算過程如下：1)分離變量2)兩邊同時(shí)進(jìn)行積分3)求解為

（2-4）（2-5）（2-6）（2-7）（2-8）（2-9）（2-10）2.1汽車單自由度振動(dòng)系統(tǒng)建模2.1.3微分方程求解

【例2-1】求解如下微分方程利用MATLAB繪制該通解的曲線，在MATLAB編輯器中運(yùn)行如下算法

1t=0:0.01:10;%%定義t取值范圍2x=10*exp(-t);%%計(jì)算特解3plot(t,x,'b','LineWidth',2);%%繪制曲線，調(diào)整曲線顏色和線寬

可以看出，指數(shù)型解隨著時(shí)間變量

t增加，函數(shù)值遞減（衰減），且遞減下降速度較快。圖2-5一階常系數(shù)齊次線性方程的數(shù)值解2.1汽車單自由度振動(dòng)系統(tǒng)建模2.1.3微分方程求解

1新建一個(gè)Simulink文件2從LibraryBrowser模塊

中添加一個(gè)積分模塊

，設(shè)定初始值為103從LibraryBrowser模塊中添加一個(gè)增益模塊

，設(shè)定增益值為-14從LibraryBrowser模塊中添加一個(gè)示波器模塊5將各個(gè)模塊進(jìn)行連接，如圖2-6所示6點(diǎn)擊“Run”按鈕，運(yùn)行該仿真模型7雙擊示波器模塊查看該一階常系數(shù)齊次線性方程的輸出結(jié)果圖2-6一階常系數(shù)齊次線性方程的Simulink模型圖2-7一階常系數(shù)齊次線性方程在Simulink中的解2.1汽車單自由度振動(dòng)系統(tǒng)建模2.1.3微分方程求解

二階常系數(shù)齊次線性方程通解的形式是什么？【例2-2】求解如下微分方程（2-11）2.1汽車單自由度振動(dòng)系統(tǒng)建模2.1.3微分方程求解

具體計(jì)算過程如下：1）根據(jù)所給的微分方程寫出對(duì)應(yīng)特征方程

2）求特征方程的根，得到一對(duì)共軛復(fù)根

3）根據(jù)表2-1，可得該微分方程的通解和其一階導(dǎo)數(shù)

4）代入已知條件

5）求得該微分方程的特解為

（2-12）（2-13）（2-14）（2-15）（2-16）2.1汽車單自由度振動(dòng)系統(tǒng)建模2.1.3微分方程求解

6)利用MATLAB繪制該通解的曲線7)可以得到仿真曲線為：圖2-8二階常系數(shù)齊次線性方程的數(shù)值解

可以看出，該曲線是一個(gè)類似的正弦（余弦），該曲線（簡諧運(yùn)動(dòng)曲線）具有固定的周期、頻率等。2.1汽車單自由度振動(dòng)系統(tǒng)建模2.1.3微分方程求解

【例2-2】求解如下微分方程1新建一個(gè)Simulink文件2在LibraryBrowser模塊

中添加2個(gè)積分模塊

，依次設(shè)定初始值為5和10；3從LibraryBrowser模塊中添加一個(gè)增益模塊

，設(shè)定增益值為-14從LibraryBrowser模塊中添加一個(gè)示波器模塊5將各個(gè)模塊進(jìn)行連接，如圖2-9所示6點(diǎn)擊“Run”按鈕，運(yùn)行該仿真模型7雙擊示波器模塊查看該一階常系數(shù)齊次線性方程的輸出結(jié)果2.1汽車單自由度振動(dòng)系統(tǒng)建模2.1.3微分方程求解

【例2-2】求解如下微分方程圖2-9二階常系數(shù)齊次線性方程的Simulink模型圖2-10二階常系數(shù)齊次線性方程在Simulink中的解2.2等效剛度與自然頻率 2.2.1并聯(lián)彈簧

2.2.2串聯(lián)彈簧2.2等效剛度與自然頻率

在機(jī)械系統(tǒng)中不只是使用一個(gè)彈性元件，而是根據(jù)結(jié)構(gòu)的需要將若干個(gè)彈簧串聯(lián)或并聯(lián)起來使用。這樣在分析這個(gè)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問題時(shí)，就需要將這若干個(gè)彈簧折算成一個(gè)等效彈簧來處理，這種等效彈簧的剛度與原系統(tǒng)組合彈簧的剛度相等，稱為等效剛度，也稱為組合剛度。2.2等效剛度與自然頻率2.2.1并聯(lián)彈簧

如圖2-11所示的組合彈簧，兩彈簧的兩端同時(shí)連接于固定面上，又同時(shí)連接于質(zhì)量塊m上，這種形式稱為并聯(lián)圖2-11并聯(lián)彈簧取平衡位置時(shí)的質(zhì)量塊為研究對(duì)象。質(zhì)量塊受重力、彈性力作用處于平衡狀態(tài)。兩根彈簧的靜變形都是。彈性力分別為，由平衡條件，得如果用一根剛度系數(shù)為k的彈簧來代替原來的兩根彈簧，使該彈簧的靜變形與原來兩根彈簧所產(chǎn)生的靜變形相等，則比較式（2-17）與式（2-18），得（2-17）（2-18）（2-19）2.2等效剛度與自然頻率2.2.1并聯(lián)彈簧

k稱為并聯(lián)彈簧的等效剛度系數(shù)。由此可得到：并聯(lián)彈簧的特點(diǎn)是兩彈簧的變形相等，都等于質(zhì)量塊的位移，但受力不等。并聯(lián)后的等效剛度系數(shù)是各并聯(lián)剛度系數(shù)的算數(shù)和。則系統(tǒng)的自然頻率為（2-20）2.2等效剛度與自然頻率 2.2.1并聯(lián)彈簧 2.2.2串聯(lián)彈簧2.2等效剛度與自然頻率2.2.2串聯(lián)彈簧

對(duì)于圖2-12所示的組合彈簧，彈簧k1和彈簧k2首尾相接，這種形式稱為串聯(lián)。圖2-12串聯(lián)彈簧當(dāng)質(zhì)量塊在平衡位置時(shí)，它的靜位移等于每根彈簧的靜變形之和，即因?yàn)閺椈墒谴?lián)的，其特征是：兩彈簧受力相等，即每根彈簧所受的拉力都等于重力mg如果用一根剛度系數(shù)為k的彈簧來代替原來的兩根彈簧，此彈簧的靜變形等于（2-21）（2-22）（2-23）2.2等效剛度與自然頻率將式（2-22）、式（2-23）代入式（2-21），得系統(tǒng)的固有頻率為（2-24）（2-25）2.2.2串聯(lián)彈簧

2.2等效剛度與自然頻率【例2-3】求如圖2-13所示各振動(dòng)系統(tǒng)的自然頻率圖2-13組合彈簧的振動(dòng)系統(tǒng)（1）圖2-13(a)所示系統(tǒng)中，剛度為k1的兩個(gè)彈簧并聯(lián)，等效剛度為2k1，而等效后剛度為2k1的彈簧又與剛度為k2的彈簧串聯(lián)。串聯(lián)彈簧的等效剛度公式為化簡式（2-26）得到等效剛度為因此自然頻率如下（2-26）（2-27）（2-28）2.2.2串聯(lián)彈簧

2.2等效剛度與自然頻率（2）圖2-13（b）所示系統(tǒng)中，當(dāng)質(zhì)量塊m發(fā)生位移x時(shí)，彈簧k1，k2和k3同時(shí)發(fā)生位移x，則3個(gè)彈簧的位移相同，是并聯(lián)關(guān)系，其等效剛度為k=k1+k2+k3因此系統(tǒng)的自然頻率為（2-29）（2-30）2.2.2串聯(lián)彈簧

2.3汽車單自由度無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)

2.3.1無阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)

2.3.2無阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)2.3汽車單自由度無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)

如果不考慮汽車懸架系統(tǒng)的阻尼對(duì)汽車系統(tǒng)振動(dòng)的影響，則圖2-2所示的汽車單自由度振動(dòng)系統(tǒng)可以被簡化為一個(gè)無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)，根據(jù)外界激勵(lì)的類型可以將其進(jìn)一步分為無阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)和無阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)。2.3汽車單自由度無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.3.1無阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)

汽車振動(dòng)系統(tǒng)只受到初始條件(如初始位移、初始速度)的激勵(lì)而產(chǎn)生的振動(dòng)成為自由振動(dòng)圖2-14汽車無阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)

該微分方程的通解為：

設(shè)時(shí)，,可以求解得

（2-31）（2-32）（2-33）（2-34）（2-35）2.3汽車單自由度無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.3.1無阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)

故方程的解為

（2-36）式(2-36)可以寫成下述形式

上式中，A為汽車無阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)的振幅，即振動(dòng)的最大位移；φ0為汽車無阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)的初相位，由三角疊加原理可得

式(2-36)和式(2-37)是描述汽車無阻尼自由振動(dòng)的兩種表達(dá)式，從式(2-37)的形式上可以看出，汽車無阻尼自由振動(dòng)實(shí)質(zhì)上是以其靜平衡位置為振動(dòng)中心的簡諧振動(dòng)。汽車無阻尼自由振動(dòng)的固有周期為

汽車振動(dòng)的頻率為

汽車無阻尼自由振動(dòng)的頻率和圓頻率之間的關(guān)系為

（2-37）（2-38）（2-39）（2-40）（2-41）2.3汽車單自由度無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.3.1無阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)

【例2-4】求解如下微分方程假設(shè)一汽車單質(zhì)量無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)，汽車車身質(zhì)量m=900kg；汽車懸架簧剛度k=14400N·m-1，

求汽車單質(zhì)量無阻尼自由振動(dòng)解的表達(dá)式？并利用MATLAB/Simulink繪制其振動(dòng)的位移時(shí)程曲線。解：(1)計(jì)算自由振動(dòng)的無阻尼固有圓頻率

rad/s(2)汽車單質(zhì)量無阻尼自由振動(dòng)的微分方程:

(3)計(jì)算振幅和初相位

（2-44）（2-45）（2-42）（2-43）2.3汽車單自由度無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.3.1無阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)

解：

(4)汽車有阻尼自由振動(dòng)的表達(dá)式為(5)搭建Simulink模型，繪制位移時(shí)程曲線.

圖2-15汽車單質(zhì)量無阻尼自由振動(dòng)Simulink模型圖2-16汽車單質(zhì)量無阻尼自由振動(dòng)的位移時(shí)程曲線（2-46）2.3汽車單自由度無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.3.1無阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)

結(jié)論分析汽車無阻尼自由振動(dòng)是以其靜平衡位置為振動(dòng)中心的簡諧振動(dòng)；汽車無阻尼自由振動(dòng)的圓頻率等于固有頻率；系統(tǒng)的固有頻率和周期，只與汽車的剛度系數(shù)k和車身質(zhì)量m有關(guān)，與外界激勵(lì)、初始條件、振幅或相位等均無關(guān)；汽車無阻尼自由振動(dòng)的振幅和初相位由初始條件決定；汽車單自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)是一種等幅振動(dòng)，振幅始終保持不變，系統(tǒng)一旦受到初始激勵(lì)就會(huì)一直振動(dòng)下去。2.3汽車單自由度無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.3.1無阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)

2.3.2無阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)2.3汽車單自由度無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.3.2無阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)

汽車振動(dòng)系統(tǒng)受到初始條件以外的外界激勵(lì)(如外界激振力、激振位移、速度、加速度等)的作用下而產(chǎn)生的振動(dòng)成為受迫振動(dòng)，它是汽車振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)外部過程激勵(lì)的響應(yīng)。按照激勵(lì)隨時(shí)間變化的規(guī)律，可以將激勵(lì)劃分為簡諧激振(harmonicexcitation)、一般周期激振和非周期激振3類。以圖2-17所示的汽車無阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象，取車身的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，車身振動(dòng)位移沿彈簧形變方向鉛直向上為正。假設(shè)汽車上作用一簡諧激振力圖2-17汽車無阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)

式中，H為激振力的幅值，ω為激振力的圓頻率。（2-47）2.3汽車單自由度無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.3.2無阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)

汽車無阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)的微分方程可以寫為

上式兩邊除以令m，并令

，則上式可寫為

根據(jù)微分方程求解相關(guān)理論可知，方程(2-49)的全解由兩部分組成：

自由振動(dòng)解受迫振動(dòng)解

代入（2-48）（2-49）（2-50）（2-51）2.3汽車單自由度無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.3.2無阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)

令，可得

λ是外激勵(lì)的頻率和系統(tǒng)固有圓頻率之比。系統(tǒng)受迫振動(dòng)的特解為

受迫振動(dòng)的頻率與激振力的頻率相同，說明系統(tǒng)的受迫振動(dòng)與外擾力具有相同的變化規(guī)律；受迫振動(dòng)的振幅決定于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)、激振力大小和頻率比，與初始條件無關(guān)。（2-52）（2-53）2.3汽車單自由度無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.3.2無阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)

振動(dòng)總響應(yīng)汽車單自由度無阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)在簡諧激振下的總響應(yīng)是由兩種簡諧振動(dòng)復(fù)合而成的復(fù)雜振動(dòng)

若t=0,,則可以求解得

（2-54）（2-55）受迫振動(dòng)的特解由式（2-55）確定（2-56）2.3汽車單自由度無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.3.2無阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)

可得振動(dòng)總響應(yīng)為

汽車單自由度無阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)在簡諧激振下的總響應(yīng)是兩種不同頻率成分的合成振動(dòng)；由于沒有阻尼的存在，這兩種不同頻率成分的合成振動(dòng)將一直持續(xù)下去。圖2-18

汽車單自由度無阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)的總響應(yīng)（2-57）2.3汽車單自由度無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.3.2無阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)

幅頻特性曲線由(2-53)可知,受迫振動(dòng)的振幅可以改寫為

（2-58）（2-59）2.3汽車單自由度無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.3.2無阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)

圖2-19汽車無阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)的幅頻特性曲線

2.3汽車單自由度無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.3.2無阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)

當(dāng)汽車單質(zhì)量無阻尼系統(tǒng)發(fā)生共振時(shí)，受迫振動(dòng)的特解如下形式：

代入式(2-48)可得

所以，當(dāng)發(fā)生共振時(shí)，受迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為

（2-60）（2-61）（2-62）2.3汽車單自由度無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.3.2無阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)

圖2-20共振時(shí)受迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律2.3汽車單自由度無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.3.2無阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)

振動(dòng)合成根據(jù)振動(dòng)的合成理論可得，汽車單自由度無阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)的總響應(yīng)可以合成為

其中，

（2-63）2.3汽車單自由度無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.3.2無阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)

（2-63）（2-64）（2-65）2.3汽車單自由度無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.3.2無阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)

（2-66）2.3汽車單自由度無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.3.2無阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)

圖2-21拍振波形2.3汽車單自由度無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.3.2無阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)

假設(shè)圖2-17所示的汽車單自由度無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)，汽車車身質(zhì)量m=900kg；汽車懸架簧剛度k=14400N·m-1，車身始終受到持續(xù)激振力

F=F0sin6t，當(dāng)

求:(1)汽車單自由度無阻尼受迫振動(dòng)的表達(dá)式？并利用MATLAB/Simulink繪制其振動(dòng)的位移時(shí)程曲線。(2)如果激振力變?yōu)镕=-1167sin4.5t，利用MATLAB/Simulink繪制其振動(dòng)的位移時(shí)程曲線。解：

(1-a)計(jì)算振動(dòng)系統(tǒng)的無阻尼固有圓頻率圖2-17汽車無阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)

rad/s【例2-5】（2-67）2.3汽車單自由度無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.3.2無阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)

解：

(1-b)單質(zhì)量無阻尼受迫振動(dòng)的微分方程:進(jìn)一步化簡得：

(1-c)計(jì)算非齊次方程的特解

(1-d)計(jì)算汽車單自由度無阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)的解

（2-68）（2-69）（2-70）（2-72）（2-73）（2-71）mrad2.3汽車單自由度無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.3.2無阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)

(1-d)計(jì)算汽車單自由度無阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)的解

汽車單自由度無阻尼受迫振動(dòng)的總響應(yīng)為

（2-74）（2-75）2.3汽車單自由度無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.3.2無阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)

【例2-5】求解如下微分方程【續(xù)】圖2-22汽車單質(zhì)量無阻尼自由振動(dòng)Simulink模型圖2-23汽車單質(zhì)量無阻尼受迫振動(dòng)總響應(yīng)的位移時(shí)程曲線2.2等效剛度與自然頻率2.3.2無阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)

解：

(2-a)當(dāng)外界激振力F=-1167sin4.5t時(shí)，非齊次方程的特解

(2-b)計(jì)算汽車單自由度無阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)的解

則非齊次方程的特解為:

m

rad

(2-c)汽車單自由度無阻尼受迫振動(dòng)的總響應(yīng)為

【例2-5】求解如下微分方程【續(xù)】（2-77）（2-76）（2-78）（2-79）（2-80）（2-81）2.2等效剛度與自然頻率圖2-24汽車單質(zhì)量無阻尼受迫振動(dòng)總響應(yīng)的位移時(shí)程曲線圖2-22汽車單質(zhì)量無阻尼自由振動(dòng)Simulink模型2.3.2無阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)

2.4汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)

2.4.1有阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng) 2.4.2有阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)2.4汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.4.1有阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)在實(shí)際路況中，汽車懸架系統(tǒng)必然或大或小存在一定的阻尼。由于阻尼的存在，汽車振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程、振動(dòng)特性發(fā)生了很大的變化，汽車振動(dòng)系統(tǒng)的也更加接近實(shí)際情況。本節(jié)主要介紹具有黏性阻尼的情況。以圖2-25所示的汽車有阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)為例，汽車車身質(zhì)量被彈簧和阻尼兩個(gè)元件所支撐，仍以靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，車身振動(dòng)位移沿彈簧形變方向鉛直向上為正，則汽車有阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)的微分方程為圖2-25汽車有阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)式中，c為粘性阻尼系數(shù)，單位為N·s/m（2-82）2.4汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.4.1有阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)上式兩邊除以令m，并令，

則上式可寫為式（2-83）就是該汽車有阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)在線性彈力和阻尼力作用下所具有的振動(dòng)微分方程，稱為汽車有阻尼自由振動(dòng)方程。該振動(dòng)方程是一個(gè)二階常系數(shù)齊次線性微分方程，該微分方程的通解為：（2-82）（2-83）（2-84）聯(lián)立上式可得：（2-85）汽車無阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)的微分方程可以寫為2.4汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.4.1有阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)解式（2-85）可得：（2-86）定義阻尼比ξ為衰減系數(shù)n和汽車振動(dòng)系統(tǒng)固有圓頻率ωn的比值，即（2-87）則（2-86）可改寫為：（2-88）顯然，隨著阻尼比

ξ的不同，r1,2對(duì)應(yīng)不同的值，汽車有阻尼自由振動(dòng)方程也會(huì)有不同的解。阻尼比ξ是汽車振動(dòng)系統(tǒng)中反映阻尼特性的重要參數(shù)，下面按照0<ξ<1，ξ=1，ξ>1三種情況進(jìn)行討論。2.4汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.4.1有阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)0<ξ<1，欠阻尼情況我們把阻尼比0<ξ<1的情況稱為欠阻尼。此時(shí)特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根將式（2-89）代入式（2-84）中，可以得到式（2-83）的通解為（2-89）（2-90）令,則（2-91）2.4汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.4.1有阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)（2-93）式中，積分常數(shù)C1和C2由汽車振動(dòng)的初始條件確定。設(shè)，代入(2-91)可得（2-92）由此，可求解出積分常數(shù)C1和C2為則汽車有阻尼自由振動(dòng)方程的解為（2-94）2.4汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.4.1有阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)也可以寫成下述形式式中，振幅A和初相位φ0可由三角疊加原理求得（2-95）（2-96）2.4汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.4.1有阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)0<ξ<1，欠阻尼情況從欠阻尼情況下汽車自由振動(dòng)方程的解可以得知，汽車振動(dòng)系統(tǒng)在平衡位置附近作往復(fù)振動(dòng)，其振動(dòng)的位移時(shí)程曲線如圖2-26所示。該振動(dòng)的振幅隨著時(shí)間不斷衰減，且不再是一個(gè)周期性運(yùn)動(dòng)，通常這種振動(dòng)稱為衰減振動(dòng)。圖2-26欠阻尼情況下汽車自由振動(dòng)的位移時(shí)程曲線2.4汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.4.1有阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)1）有阻尼固有周期其中

是無阻尼系統(tǒng)自由振動(dòng)的固有周期。由式（2-97）可以看出，與無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)相比，汽車有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的固有周期因?yàn)樽枘岬拇嬖诙冮L了。（2-97）2.4汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.4.1有阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)2）阻尼對(duì)振幅的影響由式（2-95）可以看出，汽車有阻尼自由振動(dòng)的振幅按照指數(shù)規(guī)律衰減。設(shè)一個(gè)固有周期Td相鄰的兩個(gè)振幅分別為Ai和Ai+1，對(duì)應(yīng)時(shí)間為ti和ti+Td，則有兩振幅之比為（2-98）（2-99）2.4汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.4.1有阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)振幅衰減率η的自然對(duì)數(shù)稱為對(duì)數(shù)衰減率，用δ表示

可見，振幅的對(duì)數(shù)衰減率僅取決于阻尼比ξ，它描述了汽車有阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)在一個(gè)固有周期內(nèi)的衰減程度。當(dāng)阻尼比ξ<<1時(shí)，對(duì)數(shù)衰減率δ可以近似為（2-101）（2-100）2.4汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.4.1有阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)ξ>1，過阻尼情況阻尼比ξ>1的情況稱為過阻尼。此時(shí)，汽車振動(dòng)系統(tǒng)的特征方程有一對(duì)不等的實(shí)根可以得到式（2-83）的通解為（2-102）（2-103）2.4汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.4.1有阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)其中，積分常數(shù)C1和C2由汽車振動(dòng)的初始條件確定。設(shè)，代入(2-103)可得（2-104）由此，可求解出積分常數(shù)C1和C2為（2-105）2.4汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.4.1有阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)從式（2-103）可以看出，汽車有阻尼自由振動(dòng)的解已經(jīng)沒有了簡諧函數(shù)的形式，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)按照指數(shù)規(guī)律衰減，很快就趨于平衡，且不再往復(fù)振動(dòng)，其位移時(shí)程曲線如圖2-27所示。從物理意義上來看，由于汽車振動(dòng)系統(tǒng)的阻尼較大，由初始激勵(lì)產(chǎn)生的能量很快就被完全消耗了，系統(tǒng)來不及產(chǎn)生往復(fù)振動(dòng)。圖2-27過阻尼情況下汽車自由振動(dòng)的位移時(shí)程曲線2.4汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.4.1有阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)

ξ

=1，臨界阻尼情況

阻尼比ξ=1的情況稱為臨界阻尼。此時(shí)的汽車振動(dòng)系統(tǒng)的阻尼系數(shù)稱為臨界阻尼系數(shù)，用c0表示，根據(jù)式（2-87），則有汽車振動(dòng)系統(tǒng)的阻尼比可以表示為此時(shí)，汽車振動(dòng)系統(tǒng)的特征方程有一對(duì)相等的實(shí)根（2-108）（2-107）（2-106）2.4汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.4.1有阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)可以得到式（2-83）的通解為（2-109）其中，積分常數(shù)C1和C2由汽車振動(dòng)的初始條件確定。（2-110）2.4汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.4.1有阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)（2-111）（2-112）由此，可求解出積分常數(shù)C1和C2為則汽車有阻尼自由振動(dòng)方程的解為2.4汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.4.1有阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)值得注意的是，臨界阻尼情況與過阻尼的情況類似，其運(yùn)動(dòng)也是按照指數(shù)規(guī)律衰減，且沒有振蕩特性，其位移時(shí)程曲線如圖2-28所示。實(shí)際上，臨界阻尼是過阻尼情況的下邊界，是從衰減振動(dòng)過渡到非周期振動(dòng)的臨界狀態(tài)。在相同條件下，汽車振動(dòng)系統(tǒng)在臨界阻尼情況下振幅最大，而且返回平衡位置最快。圖2-28過阻尼情況下汽車自由振動(dòng)的位移時(shí)程曲線2.4汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.4.1有阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)例2-6假設(shè)一汽車單質(zhì)量無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)，汽車車身質(zhì)量m為900kg；汽車懸架彈簧剛度k為14400N·m-1，阻尼c為720N·s·m-1,t=0時(shí)，x=x0=0.3

m，m/s。求汽車有阻尼自由振動(dòng)的表達(dá)式，并利用MATLAB/Simulink繪制其振動(dòng)的位移時(shí)程曲線。解：計(jì)算自由振動(dòng)的無阻尼固有圓頻率、衰減系數(shù)以及阻尼比說明該汽車有阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)是一個(gè)欠阻尼系統(tǒng)，應(yīng)采用欠阻尼情況下自由振動(dòng)方程響應(yīng)的解法。rad/ss-1（2-113）（2-114）（2-115）2.4汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.4.1有阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)汽車單質(zhì)量有阻尼自由振動(dòng)的微分方程計(jì)算有阻尼固有頻率計(jì)算振幅和初相位rad/s（2-116）（2-117）（2-118）（2-119）2.4汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.4.1有阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)汽車有阻尼自由振動(dòng)的表達(dá)式為搭建Simulink模型，繪制位移時(shí)程曲線。圖2-29汽車單質(zhì)量無阻尼自由振動(dòng)Simulink模型圖2-30汽車單質(zhì)量無阻尼自由振動(dòng)的位移時(shí)程曲線（2-120）2.4汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng) 2.4.1有阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)

2.4.2有阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)2.4汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.4.2有阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)以圖2-31所示的汽車有阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象，取車身的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，車身振動(dòng)位移沿彈簧形變方向鉛直向上為正。假設(shè)汽車上作用一簡諧激振力圖2-31汽車有阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)當(dāng)車身開始振動(dòng)并且偏離靜平衡位置x距離時(shí)，汽車有阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)的微分方程可以寫為：（2-121）（2-122）2.4汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.4.2有阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)上式兩邊除以令m，并令，

，則上式可寫為其中，ωn為汽車振動(dòng)系統(tǒng)的有阻尼固有圓頻率，ξ為阻尼比該方程的全解為：，，該方程的全解由兩部分組成其通解為（2-123）（2-124）（2-125）（2-127）（2-126）2.4汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.4.2有阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)解式由于實(shí)際汽車振動(dòng)系統(tǒng)中阻尼的存在，前一部分的衰減振動(dòng)只會(huì)在振動(dòng)開始的一段時(shí)間內(nèi)存在，經(jīng)過一定時(shí)間之后就會(huì)衰減為0。在衰減振動(dòng)完全消失之前，汽車懸架系統(tǒng)的振動(dòng)稱為瞬態(tài)振動(dòng)。此后，系統(tǒng)的響應(yīng)會(huì)變?yōu)槌掷m(xù)的等幅受迫振動(dòng)，成為穩(wěn)態(tài)振動(dòng)?？梢钥闯?，汽車有阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)的總響應(yīng)由兩部分組成，前一部分是圓頻率為ωd的衰減振動(dòng)，后一部分為圓頻率為ω的受迫振動(dòng)。方程全解（2-127）2.4汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.4.2有阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)是有阻尼受迫振動(dòng)的穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)，反映了汽車單自由度有阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。在分析有阻尼受迫振動(dòng)時(shí)，如果沒有特別強(qiáng)調(diào)瞬態(tài)振動(dòng)，通常只要研究穩(wěn)態(tài)振動(dòng)就足夠了。為求穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的響應(yīng)，將式（2-126）代入汽車振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程（2-123）中，可得到運(yùn)用下列三角函數(shù)關(guān)系（2-128）（2-129）2.4汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.4.2有阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)式（2-128）可以轉(zhuǎn)化為進(jìn)而可以得到由此可以解得（2-130）（2-131）（2-133）（2-132）2.4汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.4.2有阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的響應(yīng)為汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)在簡諧激勵(lì)下的響應(yīng)有如下規(guī)律：1）穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的響應(yīng)仍是一個(gè)簡諧振動(dòng)；2）穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的圓頻率等于激振力的頻率；3）穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的響應(yīng)相比激振力落后一個(gè)相位角φ，該相位角是由阻尼引起的，與初始條件無關(guān)；4）穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的振幅取決于系統(tǒng)本身的性質(zhì)、激振力的大小和頻率比，與初始條件無關(guān)；（2-134）2.4汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.4.2有阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)幅頻特性曲線受迫振動(dòng)的振幅在工程實(shí)際中是重要參數(shù)，它關(guān)系著振動(dòng)系統(tǒng)的變形、強(qiáng)度和工作狀態(tài)。汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的振幅放大因子β可以表示為振幅放大因子β與振幅B成正比關(guān)系，反映了振幅B與頻率比λ之間的變化規(guī)律，相應(yīng)的幅頻特性曲線如圖2-32所示。圖2-32汽車有阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)的幅頻特性曲線2.4汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.4.2有阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)相頻特性曲線相位角φ隨頻率比λ變化的規(guī)律稱為相頻特性，可以由下式確定對(duì)應(yīng)不同的阻尼比ξ，相位角φ隨頻率比λ變化的曲線稱為相頻特性曲線，如圖2-33所示。從圖中可以看出，相位角φ在0至π之間變化，始終是正值，說明受迫振動(dòng)的響應(yīng)總是滯后于激振力，并且響應(yīng)的滯后與阻尼的大小無關(guān)。圖2-33汽車有阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)的相頻特性曲線（2-141）2.4汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.4.2有阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)總響應(yīng)與無阻尼受迫振動(dòng)一樣，汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的受迫振動(dòng)的總響應(yīng)也由自由振動(dòng)響應(yīng)和受迫振動(dòng)響應(yīng)兩部分構(gòu)成，代入(2-142)可得假設(shè)初始條件為（2-142）（2-143）（2-144）對(duì)(2-143)變形得（2-145）2.4汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.4.2有阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)令式（2-144）和（2-145）相加并移項(xiàng)，得到式（2-143）可以寫為令（2-147）和（2-146）兩式相除，可得所以，可以求得（2-146）（2-147）（2-148）（2-149）2.4汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.4.2有阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)求（2-146）和（2-147）兩式的平方和，可得所以，可以求得（2-150）（2-151）2.4汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.4.2有阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)則汽車單自由度有阻尼系統(tǒng)的受迫振動(dòng)的總響應(yīng)為（2-152）2.4汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.4.2有阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)總響應(yīng)汽車單自由度有阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)在簡諧激振下的總響應(yīng)也是兩種不同頻率成分的合成振動(dòng)。與無阻尼受迫振動(dòng)的總響應(yīng)不同，由于阻尼的存在，系統(tǒng)的自由振動(dòng)只在剛開始的一段時(shí)間內(nèi)存在，之后便會(huì)被阻尼衰減掉，只剩下了穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的響應(yīng)。圖2-34

汽車單自由度有阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)的總響應(yīng)2.4汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.4.2有阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)的復(fù)數(shù)解法假設(shè)汽車振動(dòng)系統(tǒng)受到的外界激振力為則式（2-123）可以寫為設(shè)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的響應(yīng)為將式（2-155）代入（2-154）中，可得（2-153）（2-154）（2-155）（2-156）2.4汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.4.2有阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)可以解出所以，穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的響應(yīng)為（2-157）（2-158）可以發(fā)現(xiàn)，用復(fù)數(shù)解法求解的汽車振動(dòng)系統(tǒng)的受迫振動(dòng)響應(yīng)與式（2-152）用三角函數(shù)求解的結(jié)果完全相同，求解過程卻大為簡化。2.4汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.4.2有阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)例2-7假設(shè)圖2-14所示的汽車單質(zhì)量無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)，汽車車身質(zhì)量m為900kg；汽車懸架彈簧剛度k為14400N·m-1，阻尼c為720N·s·m-1，車身始終受到一個(gè)F=F0sin2t的持續(xù)激振力，t=0時(shí)，x=x0=0.3，m/s，F(xiàn)0=1800N。求：（1）汽車單質(zhì)量無阻尼受迫振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)表達(dá)式，并利用MATLAB/Simulink繪制其位移時(shí)程曲線。（2）利用MATLAB/Simulink計(jì)算振動(dòng)總響應(yīng)的位移時(shí)程曲線2.4汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.4.2有阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)解：（1）計(jì)算系統(tǒng)振動(dòng)的無阻尼固有圓頻率、衰減系數(shù)以及阻尼比計(jì)算有阻尼固有頻率（2-162）（2-159）（2-160）（2-161）汽車單質(zhì)量有阻尼受迫振動(dòng)的微分方程（2-163）2.4汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.4.2有阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)計(jì)算穩(wěn)態(tài)響應(yīng)汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的響應(yīng)為利用的汽車單質(zhì)量有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的響應(yīng)，在MATLAB的命令行窗口中直接進(jìn)行求解。化簡得（2-164）（2-165）（2-166）（2-167）2.4汽車單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)2.4.2有阻尼受迫振動(dòng)系統(tǒng)得到受迫振動(dòng)的位移時(shí)程曲線為圖2-35汽車單質(zhì)量有阻尼受迫振