上海市浦東新區(qū)2020屆九年級上學(xué)期期末一模質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2020年上海市浦東新區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷答案解析版一、選擇題：1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，則sinA的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)勾股定理求出BC得長，再根據(jù)銳角三角函數(shù)正弦的定義解答即可．【詳解】如圖，根據(jù)勾股定理得，BC==12，∴sinA=．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義及勾股定理，熟知銳角三角函數(shù)正弦的定義是解決問題的關(guān)鍵．2.下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】將函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行整理，使其右邊含自變量的代數(shù)式，左邊為因變量，右邊為整式，且自變量最高次數(shù)為2的函數(shù)為二次函數(shù)，逐個(gè)判斷即可.【詳解】解：A、是一次函數(shù)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、右邊不是整式，不是二次函數(shù)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、右邊是整式，自變量最高次數(shù)是2，是二次函數(shù)，故C選項(xiàng)正確；D、整理為是一次函數(shù)，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，是二次函數(shù)，注意含自變量的代數(shù)式是整式.3.二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.(–2，1） B.(2，1） C.(–2，） D.(2，–1）【答案】B【解析】y=x2?4x+5=x2?4x+4+1=(x?2)2+1，所以,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1).故選B.點(diǎn)睛：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，吧解析式配方寫成頂點(diǎn)式解析式是解題的關(guān)鍵，本題也可以利用頂點(diǎn)公式求解.4.如圖，點(diǎn)分別在的邊、上，下列各比例式不一定能推得的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對應(yīng)線段成比例，兩直線平行，可得答案.【詳解】解：A、∵，∴DE∥BC，不符合題意；B、由，不一定能推出DE∥BC，符合題意；C、∵，∴DE∥BC，不符合題意；D、∵，∴DE∥BC，不符合題意.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查對應(yīng)線段成比例，兩直線平行，理解對應(yīng)線段是解答此題的關(guān)鍵.5.如圖，傳送帶和地面所成斜坡的坡度為，它把物體從地面點(diǎn)處送到離地面3米高的處，則物體從到所經(jīng)過的路程為（）A.米 B.米 C.米 D.9米【答案】A【解析】【分析】根據(jù)坡比定義求出AC的長度，再根據(jù)勾股定理求出AB長度即可.【詳解】解：設(shè)BC⊥AC,垂足為C，∵i=BC：AC=1：3∴3：AC=1:3,∴AC=9在Rt△ACB中，由勾股定理得，∴AB=米.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，明確坡比的概念是解答此題的關(guān)鍵.6.下列說法正確的是（）A. B.如果和都是單位向量，那么C.如果，那么 D.（為非零向量），那么【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量，單位向量，平行向量的概念，性質(zhì)及向量的運(yùn)算逐個(gè)進(jìn)行判斷即可得出答案.【詳解】解：A、等于0向量，而不是0，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、如果和都是單位向量，說明兩個(gè)向量長度相等，但是方向不一定相同，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、如果，說明兩個(gè)向量長度相等，但是方向不一定相同，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、如果（為非零向量），可得到兩個(gè)向量是共線向量，可得到，故D選項(xiàng)正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查向量的性質(zhì)及運(yùn)算，向量相等不僅要長度相等，還要方向相同，向量的運(yùn)算要注意向量的加減結(jié)果都是一個(gè)向量.二、填空題7.已知，那么___________．【答案】【解析】【分析】將x=3y代入所求式子中，整理后通過約分即可得出結(jié)果.【詳解】解：∵∴，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了比的性質(zhì)，代換思想是解答此題的關(guān)鍵.8.已知線段，是線段的黃金分割點(diǎn)，且PA>PB，那么線段PA的長度等于_____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，知AP是較長線段；則AP=AB，代入數(shù)據(jù)即可得出AP的長度．【詳解】解：由于P為線段AB=2cm的黃金分割點(diǎn)，

且AP是較長線段，

則=.【點(diǎn)睛】本題主要考查了理解黃金分割點(diǎn)的概念，熟記黃金比的值進(jìn)行計(jì)算，難度適中．9.如果兩個(gè)相似三角形對應(yīng)邊之比是，那么它們的對應(yīng)中線之比是___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即相似三角形對應(yīng)中線，對應(yīng)高，對應(yīng)角平分線的比等于相似比.【詳解】解：∵兩三角形相似，且對應(yīng)邊比為2:3，∴相似比k=2:3∴它們對應(yīng)中線的比為2:3.故答案為：2：3.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，主要利用了相似三角形對應(yīng)中線的比等于相似比的性質(zhì).10.如果二次函數(shù)的圖像經(jīng)過原點(diǎn)，那么的值是___________．【答案】3【解析】【分析】圖象經(jīng)過（0,0），則(0,0)符合表達(dá)式，即x=0,y=0,將其代入表達(dá)式，可求k值.【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，∴0=k-3,∴k=3.故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，理解圖象上點(diǎn)坐標(biāo)的意義是解答此題的關(guān)鍵.11.將拋物線向下平移4個(gè)單位，那么平移后所得新拋物線的表達(dá)式為___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線的“左加右減，上加下減”的平移規(guī)律可寫出平移后的表達(dá)式.【詳解】解：∵∴原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，∵向下平移4個(gè)單位，∴平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4),∴平移后的拋物線的表達(dá)式為：.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的平移以及拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減．12.如果拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，那么這條拋物線的對稱軸是直線___________．【答案】【解析】【分析】觀察點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)坐標(biāo)特征，縱坐標(biāo)相等，可知A,B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸對稱，對稱軸為經(jīng)過線段AB中點(diǎn)且平行于y軸的直線，求AB中點(diǎn)坐標(biāo)即可得.【詳解】解：∵一條拋物線經(jīng)過點(diǎn)（-1，0）、（5，0），∴這兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，∴x=即x=2．故答案是：x=2．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象的對稱性及對稱軸的求法，常見確定對稱軸的方法有，已知解析式則利用公式法確定對稱軸，已知對稱點(diǎn)利用對稱性確定對稱軸，根據(jù)條件確定合適的方法求對稱軸是解答此題的關(guān)鍵.13.二次函數(shù)的圖像在對稱軸左側(cè)的部分是__________（填“上升”或“下降”）【答案】上升【解析】【分析】根據(jù)拋物線為開口向下，對稱軸左側(cè)的函數(shù)增減性為y隨x的增大而增大作出判斷.【詳解】∵二次函數(shù)中，a=-2＜0，∴拋物線開口向下，∴對稱軸左側(cè)的函數(shù)增減性為y隨x的增大而增大∴函數(shù)圖象在對稱軸左側(cè)部分是上升．故答案為：上升．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線（a≠0）的開口向下，x<h時(shí)，y隨x的增大而增大是解答此題的關(guān)鍵．14.如圖，在中，是邊上的中線，點(diǎn)是的重心，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，那么___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，即三角形的重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離等于它到這個(gè)頂點(diǎn)的對邊中點(diǎn)距離的2倍可得EG和AG的比值，再根據(jù)平行線分線段成比例定理可得.【詳解】解：∵G是△ABC的重心，∴,∵,∴，∴.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角形重心的概念和性質(zhì)及平行線分線段成比例定理，結(jié)合兩個(gè)定理得出成比例線段是解答此題的關(guān)鍵.15.如圖，已知，那么線段的長度等于____________【答案】【解析】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】解：∵AB∥CD∥EF∴,∵AD=6，DF=3，BC=7，∴,∴CE=.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.16.如圖，將沿射線方向平移得到，邊與相交于點(diǎn)，如果，的面積等于，的面積等于，那么____________．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)平移性質(zhì)得AC∥DF，易證△EGC∽△EDF，根據(jù)相似三角形的面積的比等于相似比的平方，求得EC的長，即可求CF的長．【詳解】解：∵沿射線方向平移得到，∴AC∥DF，△ABC≌△DEF,∴EF=BC=6cm，S△ABC=S△DEF=9cm2,∵AC∥DF，∴∠ACB=∠F,∠EGC=∠D,∴△EGC∽△EDF,∴,∴,∴EC=4cm，∴CF=2cm.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)，以及相似三角形的性質(zhì)，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方列式求解是解答此題的關(guān)鍵.17.用“描點(diǎn)法”畫二次函數(shù)的圖像時(shí)，列出了如下的表格：…01234……010…那么當(dāng)時(shí)，該二次函數(shù)的值為___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)待定系數(shù)法將表格中任意三個(gè)點(diǎn)代入中，列出含a,b,c的方程組，求解a，b，c即可確定函數(shù)表達(dá)式.【詳解】解：將點(diǎn)(0,-3),(1,0),(2,1)代入中得，，解得，，∴拋物線表達(dá)式為.∴當(dāng)x=5時(shí)，y=-8.故答案為：-8.【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，遵循待定系數(shù)法求解析式的步驟即可，即“一設(shè)”、“二代”、“三求解”、“四確定”.18.在中，，點(diǎn)分別是邊、的中點(diǎn)，將繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，線段的長為____________【答案】或【解析】【分析】當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，有兩種情況，均用三點(diǎn)共線特征及勾股定理求出AE長為5或3，采用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等證得△CBD′∽△ABE′，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求解.【詳解】解：在Rt△ACB中，，由勾股定理得，AB=,∵分別是邊、的中點(diǎn),∴DE是△ACB的中位線，BD=2，BE=,∴DE∥AC，DE=∴∠EDB=90°,由旋轉(zhuǎn)可得，BD′=2，D′E′=1，BE′=，∠BD′E′=90°,第一種情況，如圖1，∵點(diǎn)A，D′，E′三點(diǎn)共線,∴∠AD′B=90°,由勾股定理得AD′=，∴AE′=AD′+D′E′=5∵∠ABC=∠D′BE′,∴∠CBD′=∠ABE′,∵,∴△CBD′∽△ABE′,∴,∴,∴CD′=第一種情況，如圖2，∵點(diǎn)A，D′，E′三點(diǎn)共線,∴∠AD′B=90°,由勾股定理得AD′=，∴AE′=AD′-D′E′=3∵∠ABC=∠D′BE′,∴∠CBD′=∠ABE′,∵,∴△CBD′∽△ABE′,∴,∴,∴CD′=∴CD′長為或.故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題考查圖形旋轉(zhuǎn)的綜合應(yīng)用，涉及知識點(diǎn)有勾股定理，三點(diǎn)共線，相似三角形的判定和性質(zhì)，能正確畫出圖形很關(guān)鍵.三、解答題：19.計(jì)算：【答案】【解析】【分析】先將特殊三角函數(shù)值分別算出原算式中的每一項(xiàng)，然后根據(jù)實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的法則進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】解：【點(diǎn)睛】本題考查的是特殊三角函數(shù)值，熟記特殊角度的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵.20.如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)在邊上，且，聯(lián)結(jié)并延長交邊的延長線于點(diǎn)，設(shè)，．（1）用表示，；（2）先化簡，再求作：（不要求寫作法，但要寫明結(jié)論）【答案】（1），;（2）原式，作圖見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得對邊相等且平行，再根據(jù)向量，平行向量的概念，性質(zhì)及向量的運(yùn)算進(jìn)行求解；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得對邊相等且平行，再根據(jù)向量的運(yùn)算進(jìn)行化簡，根據(jù)化簡結(jié)果的運(yùn)算性質(zhì)作圖.【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD,AB∥CD,AD=BC,AD∥BC∴,∵AE=2ED,∴DF=AB,AE=AD,∵,∴,，∴；（2），;如圖，平行四邊形ABCD，取AB的中點(diǎn)，則,，∴,∴【點(diǎn)睛】本題考查向量的性質(zhì)及運(yùn)算，根據(jù)平行線得平行向量及向量的運(yùn)算是解答此題的關(guān)鍵.21.如圖，在中，點(diǎn)分別在邊、上，且．（1）如果，求線段的長；（2）設(shè)的面積為，求的面積（用的代數(shù)式表示）．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)兩邊成比例且夾角相等證明△ADE∽ACB，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解；（2）根據(jù)三角形面積公式及底邊的關(guān)系求出△ADE的面積，再利用相似三角形面積比等于相似比的平方列式求解.【詳解】解：（1）∵,∴,∵∠A=∠A,∴△ADE∽ACB,∴,∵∴DE=；（2）∵∴,∵，∴∵△ADE∽ACB∴,∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例解決線段問題，利用相似三角形面積比等于相似比的平方解決面積問題是解答此類問題的重要思路.22.為了測量大樓頂上（居中）避雷針的長度，在地面上點(diǎn)處測得避雷針底部和頂部的仰角分別為和，已知點(diǎn)與樓底中間部位的距離約為80米，求避雷針的長度（參考數(shù)據(jù)：，，，,,）【答案】約4．8米【解析】【分析】分別在兩個(gè)直角三角形△ABD和△ACD中利用正切函數(shù)求出BD長和CD長，BD和CD作差即可求解.【詳解】解：根據(jù)題意可知：AD=80米，∠BAD=,∠CAD=,在Rt△BAD中，tan∠BAD=,∴tan=,∴,∴BD=118.4米；在Rt△CAD中，tan∠CAD=,∴tan=,∴,∴CD=123.2米,∴BC=CD-BD=123.2-118.4=4.8米.【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，仰角、俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵.23.如圖，已知和，點(diǎn)在邊上，，邊與相交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）如果，求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊對等角得到，通過證明△ABC∽△FDA得對應(yīng)邊成比例，化比例式為等積式即可；（2）通過證明△AEF∽△CDF和△ABD∽△EDA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列兩個(gè)比例式，用等量代換即可得.【詳解】（1）證明：∵AD=DC,∴∠DAC=∠C,∵∠ADE=∠B,∴△ABC∽△FDA,∴,∴.（2）證明：∵AE∥BC∴∠E=∠EDC,∠EAC=∠C,∴△AEF∽△CDF,∴,∴,∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD,∠ADE=∠B,∴∠BAD=∠EDC∴∠BAD=∠E,∴△ABD∽△EDA,∴,∴,∴.【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，借助中間比進(jìn)行等量代換是解答此題的關(guān)鍵.24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，，與軸相交于點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）聯(lián)結(jié)、，求的正切值；（3）點(diǎn)在拋物線上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）2；（3）點(diǎn)坐標(biāo)為或【解析】【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法將，代入中，列出含b，c的方程組，求解b，c即可確定拋物線的表達(dá)式；（2）作AD⊥BC于D，用等面積法求AD長，再用勾股定理求CD長，利用正切函數(shù)定義求解；（3）根據(jù)題意可知P點(diǎn)應(yīng)滿足的條件為tan∠ACB=2，用P點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段長，根據(jù)正切函數(shù)定義列式求解.【詳解】解：（1）將，代入中得，，解得，，∴拋物線的表達(dá)式為.（2）如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC垂足為D，∵，，,∴AB=4，OC=3，BC=，AC=∵,∴,∴AD=，由勾股定理得，CD=,∴tan∠ACB=,即tan∠ACB=2.（3）如圖，設(shè)P在拋物線上，P(x,-x2+2x+3),過P作PE⊥x軸，垂足為E，∵，∴tan∠PAB=,∴或解得，x=-1(舍去)或x=1，x=-1（舍去）或x=5當(dāng)x=-1時(shí)，y=4；當(dāng)x=5時(shí)，y=-12∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)或(5,-12).【點(diǎn)睛】本題考查拋物線解析式的求法，利用拋物線的性質(zhì)解決幾何圖形問題，即函數(shù)與圖形的綜合，由圖象到點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)坐標(biāo)到線段長，由線段長到幾何圖形的轉(zhuǎn)換，即數(shù)形結(jié)合的思想是解答此類問題的關(guān)鍵.25.在中，，邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），聯(lián)結(jié)，過點(diǎn)作交邊于點(diǎn)．（1）如圖，當(dāng)時(shí)，求的長；（2）設(shè)，求關(guān)于的函數(shù)解析式并寫出函數(shù)定義域；（3）把沿直線翻折得，聯(lián)結(jié)，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，直接寫出的長．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）過E作EM⊥AB于M，構(gòu)建“一線三垂直”，即證△ACD∽△MDE,利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列比例式，再結(jié)合等腰三角形性質(zhì)求解；（2）作EN⊥AB于N，用三角函數(shù)將線段EN，BN用y表示，再根據(jù)△ACD∽△NDE列出比例式，將比例式變形求解；（3）作B′H⊥AB,交AB或AB延長線于點(diǎn)H