第四章第01講認(rèn)識(shí)三角形(9類(lèi)熱點(diǎn)題型講練)（原卷版）

第01講認(rèn)識(shí)三角形(9類(lèi)熱點(diǎn)題型講練)1.理解三角形及與三角形有關(guān)的概念,掌握它們的文字、符號(hào)語(yǔ)言及圖形表述方法；2.理解并會(huì)應(yīng)用三角形三邊間的關(guān)系；3.理解三角形的高、中線、角平分線的概念，學(xué)會(huì)它們的畫(huà)法.知識(shí)點(diǎn)01三角形的概念三角形的定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次聯(lián)結(jié)所組成的圖形.知識(shí)點(diǎn)02三角形的分類(lèi)(1)按邊分類(lèi)可以分為；(2)按角分類(lèi)可以分為知識(shí)點(diǎn)03三角形基本元素角與邊的有關(guān)定理(1)三角形的內(nèi)角和等于.(2)直接三角形兩個(gè)銳角互余.(3)三角形的任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊.知識(shí)點(diǎn)04三角形的中線、角平分線、中線三角形的高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€，頂點(diǎn)與垂足之間的線段；三角形的中線：聯(lián)結(jié)三角形一個(gè)頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的線段；三角形的重心：三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)．這點(diǎn)稱(chēng)為三角形重心。三角形的角平分線：三角形的一個(gè)內(nèi)角的角平分線與對(duì)邊相交于一點(diǎn)頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段；三角形的高、中線和角平分線是三角形中三條重要的線段，它們提供了重要的線段或角的關(guān)系，為我們以后深入研究三角形的一些特征起著很大的幫助作用，因此，我們需要從不同的角度弄清這三條線段，列表如下：線段名稱(chēng)三角形的高三角形的中線三角形的角平分線文字語(yǔ)言從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段．三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段．三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段．圖形語(yǔ)言作圖語(yǔ)言過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．取BC邊的中點(diǎn)D，連接AD．作∠BAC的平分線AD，交BC于點(diǎn)D．標(biāo)示圖形符號(hào)語(yǔ)言1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC邊上的高．3．AD⊥BC于點(diǎn)D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中線．2．AD是△ABC中BC邊上的中線．3．BD＝DC＝BC4．點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)．1．AD是△ABC的角平分線．2．AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D．3．∠1＝∠2＝∠BAC．推理語(yǔ)言因?yàn)锳D是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因?yàn)锳D是△ABC的中線，所以BD＝DC＝BC．因?yàn)锳D平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．用途舉例1．線段垂直．2．角度相等．1．線段相等．2．面積相等．角度相等．注意事項(xiàng)1．與邊的垂線不同．2．不一定在三角形內(nèi)．—與角的平分線不同．重要特征三角形的三條高(或它們的延長(zhǎng)線)交于一點(diǎn)．一個(gè)三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)．一個(gè)三角形有三條角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)．題型01三角形的識(shí)別與有關(guān)概念【例題】（2024下·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，邊BE所對(duì)的角是，所對(duì)的邊是；在中，邊AE所對(duì)的角是，所對(duì)的邊是；以為內(nèi)角的三角形有．【變式訓(xùn)練】1．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）觀察圖形．(1)圖中有幾個(gè)三角形？把它們一一寫(xiě)出來(lái)；(2)寫(xiě)出的邊、頂點(diǎn)及三個(gè)內(nèi)角；(3)以為內(nèi)角的三角形有哪些？(4)以AB為邊的三角形有哪些？2．（2023·全國(guó)·八年級(jí)課堂例題）如圖所示，在中，點(diǎn)，分別在，上，交于點(diǎn)．(1)圖中有幾個(gè)三角形？把它們一一寫(xiě)出來(lái)．(2)寫(xiě)出以為內(nèi)角的三角形．(3)寫(xiě)出的對(duì)邊．(4)寫(xiě)出以線段為邊的三角形．題型02三角形的分類(lèi)【例題】（2023上·河南周口·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖均表示三角形的分類(lèi)，下列判斷正確的是（

）A．①對(duì)，②不對(duì) B．①不對(duì)，②對(duì) C．①、②都不對(duì) D．①、②都對(duì)【變式訓(xùn)練】1．（2023上·河北廊坊·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，一個(gè)三角形紙片被一塊長(zhǎng)方形木板遮擋了一部分，則該三角形是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．以上均有可能2．（2023上·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若如圖表示三角形分類(lèi)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．表示等邊三角形 B．表示銳角三角形C．表示等腰三角形 D．表示三邊都不相等的三角形題型03構(gòu)成三角形的條件【例題】（2024上·新疆阿克蘇·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列長(zhǎng)度的三條線段，不能構(gòu)成三角形的是（）A．，， B．，， C．，， D．，，【變式訓(xùn)練】1．（2024上·廣西百色·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列長(zhǎng)度的三條線段，能組成三角形的是（

）A．5，6，12 B．4，4，8 C．2，3，4 D．2，3，52．（2024上·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）用下列長(zhǎng)度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（

）A．、、 B．、、C．、、 D．、、題型04確定第三邊的取值范圍【例題】（2024上·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）兩根木棒的長(zhǎng)度分別為，取第三根木棒，使它們首尾順次相接組成一個(gè)三角形，則第三根木棒的長(zhǎng)度可以是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2024上·浙江臺(tái)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知一個(gè)三角形兩邊長(zhǎng)分別為2，6，則第三邊長(zhǎng)可以為（）A．3 B．4 C．7 D．92．（2024上·重慶巴南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一木工師傅準(zhǔn)備用三根木條做一個(gè)三角形形狀的模具，現(xiàn)在已有兩根長(zhǎng)度分別為、的木條，選擇下列長(zhǎng)度的木條能做成三角形模具的是（

）A． B． C． D．題型05畫(huà)三角形的高【例題】（2023下·浙江·九年級(jí)階段練習(xí)）下面四個(gè)圖形中，線段是的高的是（

）A．B．C．D．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·江蘇·七年級(jí)階段練習(xí)）在中，畫(huà)出邊上的高，畫(huà)法正確的是（

）A．B．C．D．2．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，．（1）在中，邊上的高是；（2）在中，邊上的高是．題型06根據(jù)三角形的中線求長(zhǎng)度【例題】（2023上·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知是的邊上的中線，若，的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)多，則．【變式訓(xùn)練】1．（2024上·重慶江津·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，、分別是邊上的高和中線，，，則＝．2．（2023上·山西大同·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，為邊上的中線，已知，，的周長(zhǎng)為20，則的周長(zhǎng)為．題型07根據(jù)三角形的中線求面積【例題】（2024上·云南普洱·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖所示，在中，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，且，則陰影部分的面積為．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·福建泉州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，點(diǎn)D在邊上且，點(diǎn)E為邊上中點(diǎn)，和相交于點(diǎn)M，比的面積大2，則的面積為．2．（2023上·河南商丘·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，為的中線，為的中線．(1)若，，求的度數(shù)．(2)作的邊上的高，若的面積為，，求的面積．題型08重心的概念及有關(guān)應(yīng)用【例題】（2023上·北京海淀·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)A、B、C、D、E、F、G在小正方形的格點(diǎn)上，則表示三條中線的交點(diǎn)是．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)課堂例題）如圖，小明用鉛筆可以支起一張質(zhì)地均勻的三角形卡片，則他支起的這個(gè)點(diǎn)應(yīng)是三角形的交點(diǎn)．2．（2022上·北京朝陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校┫铝袌D中的都表示一塊質(zhì)地均勻的木板．圖①中，點(diǎn)D、E、F分別是的中點(diǎn)；圖②中，分別是的三條高線；圖③中，分別是的三條角平分線；圖④中，a、b、c分別是的三邊的垂直平分線．用一根細(xì)針頂住O點(diǎn)，能使三角形木板保持平衡的圖是．題型09三角形角平分線的定義【例題】（2022上·四川綿陽(yáng)·八年級(jí)東辰國(guó)際學(xué)校?？计谥校┫铝姓f(shuō)法正確的是（）A．三角形的三條中線交于一點(diǎn)B．三角形的角平分線是射線C．三角形的高所在的直線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)不在三角形內(nèi)就在三角形外D．三角形的一條角平分線能把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形【變式訓(xùn)練】1．（2020上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，某地有三個(gè)車(chē)站A，B，C，順次連接AB，BC，CA，構(gòu)成三角形，一輛公共汽車(chē)從B站前往C站．（1）當(dāng)汽車(chē)行駛到點(diǎn)D時(shí)，剛好有，連接AD，AD這條線段是中BC邊上的____________，在中，這樣的線段有____________條，此時(shí)____________（填“有”或“沒(méi)有”）面積相等的三角形；（2）汽車(chē)?yán)^續(xù)向前行駛，當(dāng)行駛到點(diǎn)E時(shí)，發(fā)現(xiàn)，那么AE這條線段是中的____________，在中，這樣的線段有____________條；（3）汽車(chē)?yán)^續(xù)向前行駛，當(dāng)行駛到點(diǎn)F時(shí)，發(fā)現(xiàn)，那么AF是中BC邊上的____________，在中，這樣的線段有____________條．2．（2023下·江蘇泰州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖：中，點(diǎn)D在上，且，E是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)F.(1)寫(xiě)出圖中哪條線段是哪個(gè)三角形的角平分線，哪條線段是哪個(gè)三角形的中線？(2)若，且的面積為3，求出的面積.一、單選題1．（2024上·山東威?！て吣昙?jí)統(tǒng)考期末）下列選項(xiàng)中的三條線段，能?chē)梢粋€(gè)三角形的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，2．（2024上·重慶豐都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若某三角形的三邊長(zhǎng)分別為2，8，m，則m的值可以是（

）A．6 B．7 C．10 D．113．（2024上·遼寧大連·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一個(gè)鈍角，利用一個(gè)直角三角板作邊上的高，下列作法正確的是（

）A． B．

C．

D．

4．（2024上·內(nèi)蒙古包頭·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線，，，則∠2的度數(shù)為（）A．105° B．108° C．117° D．135°5．（2024上·江西南昌·八年級(jí)南昌市第三中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，在中，D，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，，則陰影部分的面積等于（

）A． B． C． D．二、填空題6．（2024上·河南商丘·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別是2和3，第三邊的長(zhǎng)為奇數(shù)．則第三邊的長(zhǎng)為．7．（2023上·湖南永州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，是外角的平分線，，，則的度數(shù)是．8．（2024上·河南鄭州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)D，E分別在的邊上，且，點(diǎn)F在邊的延長(zhǎng)線上，若，，則．9．（2024上·北京朝陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，D，E是邊上的兩點(diǎn)，且，有下列四個(gè)推斷：①若是的高，則可能是的中線；②若是的中線，則不可能是的高；③若是的角平分線，則可能是的中線；④若是的高，則不可能是的角平分線．上述推斷中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是．10．（2024上·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，的面積為1，分別倍長(zhǎng)（延長(zhǎng)一倍），，得到；再分別倍長(zhǎng)，，得到，則的面積為；……，按此規(guī)律，倍長(zhǎng)2022次后得到的面積為．三、解答題11．（2023上·湖南湘西·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在的網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)作格點(diǎn)，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，按要求作圖：(1)請(qǐng)畫(huà)出的高；(2)請(qǐng)畫(huà)出的中線；(3)求出的面積．12．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在中，，．(1)若是整數(shù)，求的長(zhǎng)；(2)已知是的中線，若的周長(zhǎng)為10，求三角形的周長(zhǎng)．13．（2023上·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，是的中線，是的中線．(1)在中作邊上的高．(2)若的面積為，，則點(diǎn)到邊的距離為多少？14．（2023上·廣東肇慶·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知中，，．(1)畫(huà)邊上的中線，并求長(zhǎng)；(2)畫(huà)邊上的高，若，求的面積．15．（2024上·江西南昌·八年級(jí)南昌市第三中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，在中，分別為的中線和高，為的角平分線．(1)若，求的大小．(2)若的面積為40，，求的長(zhǎng)．16．（2023上·四川德陽(yáng)·八年級(jí)四川省廣漢中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，是外角的平分線，且交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)若，，求的度數(shù)；(2)請(qǐng)你寫(xiě)出、、三個(gè)角之間存在的等量關(guān)系，并寫(xiě)出證明過(guò)程．17．（2019下·甘肅慶陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，為的中線，為的中線．若，則________；