2023-2024學年重慶市高二年級上冊期末數(shù)學模擬試題2(含解析)

2023-2024學年重慶市高二上冊期末數(shù)學模擬試題

一、單選題

1.已知等差數(shù)列｛《,｝的前”項和為5“，若昆=5應(yīng)=2,則凡=（）

A.7B.-7C.-10D.10

【正確答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列｛??）的前〃項和為S,公式解決即可.

【詳解】因為邑=5,S5=2,

所以§5-$2=。3+“4+=⑦4=一3,解得知=-1，

所以邑=%抖=7%=一7.

故選：B.

2.在等差數(shù)列｛《,｝中，已知4+4=16,則%+%+%=（）

A.12B.16C.20D.24

【正確答案】D

【分析】利用等差中項的性質(zhì)求出4的值，再利用等差中項的性質(zhì)可求得々+4+%。的值.

【詳解】由等差中項的性質(zhì)可得4+%=為6=16,則牝=8,因此,a2+a6+al0=3a6=24.

故選：D.

3.兩直線3x+4y-3=0與儂+印+1=0平行，則它們之間的距離為（）

..7八717

A.4B.-C.—D.—

51010

【正確答案】C

【分析】先根據(jù)直線平行求得，〃，再根據(jù)平行線間的距離公式求解即可.

【詳解】因為直線3x+4y-3=o與/HX+8y+l=0平行，故3x8-4加=0,解得，"=6.

1-6-1117

故直線6x+8y-6=0與惱+8y+1=0間的距離為2=—.

，6~+8~1。

故選：C

4.已知數(shù)列｛/｝滿足q,+—1=1,若“50=2,則4=()

an+\

13

A.-1B.vC.-D.2

22

【正確答案】B

【分析】根據(jù)遞推公式逐項求值發(fā)現(xiàn)周期性，結(jié)合周期性求值.

【詳解】由％+一L=1,%。=2得

%

所以數(shù)列仇｝的周期為3,所以4=4”=；.

故選：B

5.過原點且傾斜角為30。的直線被圓Y+(y-2)2=4所截得的弦長為

A.2B.-^3C.5/2D.1

【正確答案】A

【分析】先根據(jù)題意求出直線方程，再由圓的方程求出圓心和半徑，求出圓心到直線的距離,

最后根據(jù)屋+r2求解出弦長的一半,乘以2得到結(jié)果

【詳解】直線的傾斜角為30。，則其斜率4=121130。=3

3

則過原點且斜率為3的直線方程為卜=正、

33

由圓/+(y-2)2=4可得:圓心坐標為(0,2),半徑為2

則圓心(0,2)到直線y邛x的距離為:=也

故所截得的弦長為2x/z--=2

故選A

本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，牢記弦長的計算公式及點到直線的距離公式，較為基

礎(chǔ).

6.在一平面直角坐標系中，已知/(T6),5(2,-6),現(xiàn)沿x軸將坐標平面折成60。的二面

角，則折疊后A,B兩點間的距離為()

A.277B.歷C.V17D.3亞

【正確答案】D

【分析】平面直角坐標系中已知題-1,6),8(2,-6),現(xiàn)沿x軸將坐標平面折成60。的二面角

后，通過向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化求解距離即可.

【詳解】解：平面直角坐標系中已知4-1,6),6(2,-6),沿x軸將坐標平面折成60。的二面

角后，

作/CLc軸，交x軸于C點，作8。Lt軸，交x軸于。點，

則同=6,國=3,網(wǎng)=6,ACLCD'CD'LDB',片的夾角為120。

?*-AB=AC+CD+DB，

AB=3下,

即折疊后A,B兩點間的距離為3r.

故選：D.

本題考查與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，解題時要認真審題，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運

用.

7.三棱錐0-/8C中，M,N分別是48,0c的中點，且0彳=九OB=b<OC=c,

用ih.Z表示疝，則"等于()

o

jXXXIXXX

C.-6+c))D.-(-a-6+c)

【正確答案】B

【分析】根據(jù)空間向量運算求得正確答案.

【詳解】NM=OM-ON=-(0A+0B\——OC

2V72

=-OA+-OB——OC=-(a+h-c].

2222、>

故選：B

x2y2

8.已知心&是橢圓/+,=1僅>6>0)的左、右焦點，點P在橢圓上，且/耳”=1,

線段PB與夕軸的交點為。，O為坐標原點，若△不。。與四邊形。死尸。的面積之比為1:2,

則該橢圓的離心率等于()

A.2-73B.2叢-3C.73-1D.4-26

【正確答案】C

【分析】設(shè)。(0,機)(〃〉0),夕(巷內(nèi)3>0),由題可得加=；引進而可得x=],y2=^c2,

然后可得e2+￡=4,即得

1-e2

【詳解】由題意設(shè)。(0,m)(m>0),P(x,y)(y>0)

G。。與四邊形?！晔?。的面積之比為1：2,

所以△片。。與的面積之比為1：3,即54/=；5對小，

111、2

：.—xcxm=—x—x2cxy,.,./??=—y,

2323

因為％s=%即-,所以X=?，

1'x+cc2

因為/耳尸凡=1，所以左歷?我明=-1即上X上=-1

2-x+cx-c

yy_1.y_3儲

即『x一12一丁，

—C——C

22

將X=5和夕2=卜代入橢圓方程得圖￥即4+字y4

24^^-+-±-=1a-a--c

a2b32

整理得e?+屈［=4,BPe4-8e2+4=0,

1-e2

解得e?=4-2百或e?=4+2省（舍去）

所以e=44-2』=J-l

故選：C

二、多選題

9.過點41,-1)與8(7,1)且半徑為2的圓的方程可以為()

A.(x-3)2+(y+l)2=4B.(x-1)2+(j^-l)2=4

C.(X+1)2+(7+1)2=4D.(x+3)2+(^-l)2=4

【正確答案】BC

【分析】先根據(jù)圓過點4(1,-1)與8(-1,1),得出圓心在線段的垂直平分線上，求出圓心

所在的直線方程，設(shè)出圓心坐標，再代入41,-1)或8(-1/)，求出圓心坐標，進而求出圓的

方程.

【詳解】因為圓過點”(LT)與8(7,1),所以圓心在線段的垂直平分線上，其中

33=匕9=-1，設(shè)圓心所在的直線為/，則心/勺=-1，解得：號=1，又因為

-1—1

與8(7,1)的中點坐標為(0,0),所以直線/為y=x,設(shè)圓心坐標為(〃?,〃?)，因為半

徑為2,所以圓的方程為：(X—w)2+(>>—/n)2=4,代入/(I,—1)得：(1—/n)2+(—1—/n)2=4,

解得：m=+\,綜上圓的方程為(x-l)2+(y-l)2=4或(x+l>+(y+l)2=4.

故選：BC

10.已知S”為等差數(shù)列｛對｝的前〃項和，且4=-7,S3=-15,則下列結(jié)論正確的是()

｛““｝為遞減數(shù)列

A.an=2n-9B.

C.%是%和肉的等比中項D.S“的最小值為-16

【正確答案】AD

【分析1先由題干中條件得到公差d=2,從而求出通項公式，判斷出AB選項；計算出外,

4，%發(fā)現(xiàn)故判斷C選項的正誤；D選項｛4｝為遞增數(shù)列，且。4=-1<0,

牝=1>0,從而得到5最小，計算出結(jié)果即可判斷.

【詳解】由題意得：邑=34+34=-15,因為q=-7,所以d=2,所以｛““｝通項公式為：

氏=-7+2（〃-1）=2〃-9,A選項正確；由于d=2>0,所以｛6｝為遞增數(shù)列，B選項錯誤;

通過計算可得：=-1,6=3，%=9,其中ajw4，%，所以%不是4和。9的等比中項，

C選項錯誤；因為｛%｝為遞增數(shù)列，且4=T<0，%=1>0，故S,在"=4時取得最小值,

S4=44+6"=-28+12=-16,D選項正確

故選：AD

11.若正方體4BCD-4BCQ,的棱長為1,則下列命題正確的是（）

A.直線8c與平面/8C/Q所成的角為5

B.點。到平面48C。的距離為也

2

TT

C.異面直線。。和8。所成的角為￡

D.三棱柱44/ZV38/G外接球半徑為走

2

【正確答案】ABD

【分析】對選項A,首先連接80,交8a于。點，易證CO,平面/BCQ,從而得到/C8。

為直線8c與平面NBC。所成的角，再根據(jù)NC80=f即可判斷選項A正確.對選項B,根

據(jù)CO_L平面N5G2,得到CO為點C到面45GA的距離，再計算CO即可判斷選項B正確.

對選項c,首先連接QC,4B,根據(jù)RC//4B,得到N4BG為異面直線。。和5G

所成的角，再計算N4BG即可判斷選項c錯誤.對選項D,根據(jù)三棱柱的外接

球與正方體-的外接球相同，計算正方體的外接球的半徑即可判斷選項D正

確.

【詳解】對選項A,如圖所示:

連接8C，交BG于。點.

因為正方體力8c4GA，所以四邊形8CC圈為正方形，COLBG.

又因為上平面8CCN,COu平面3CC圈，所以451.CO.

ABICO

■COIBC,neo,平面45CQ.

ABcBC、=B

所以NC8O為直線5c與平面/8GR所成的角，又因為NCBO=￡,故選項A正確.

對選項B,由上知：。。，平面/86鼻，所以CO為點C到面48G2的距離.

又因為正方體邊長為1,所以。。=正，故選項B正確.

2

對選項C,如圖所示：

連接RC,A}B,4G.

因為QC//48,所以N43G為異面直線DC和8G所成的角.

又因為力m=80=40=3,所以/48G=q,故選項c錯誤.

對選項D,因為三棱柱AA^-88c的外接球與正方體ABCD-AMQi

的外接球相同，設(shè)外接球半徑為&,R=J2+f+f=旦故選項D正確.

22

故選：ABD

丫22

12.已知橢圓C:3+\=l內(nèi)一點加（1,2）,直線/與橢圓C交于A,8兩點，且〃為線段

的中點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.C的焦點坐標為（2,0）,（-2,0）B.C的長軸長為2亞

C.直線/的方程為x+y-3=0D.|/8|=竽

【正確答案】CD

【分析】由題意可求得生，判斷AB,利用點差法求得直線的斜率，寫出直線方程判斷C,

聯(lián)立直線方程與橢圓方程，由弦長公式求弦長判斷D

【詳解】由C:片+^=1,得橢圓焦點在＞軸上，且/=84=4,則

48

a=2^2,b=2,c=^a2-b2=2.所以橢圓的焦點坐標為（0,2）,（0,-2）,長軸長為2a=4近，

所以AB錯誤，

設(shè)次再,必）,8G,%），則號+芋=1，M+竺之，

4848

兩式作差得-三）（占+x?）=（乂-%）（乂+%）,

因為A/（l,2）為線段的中點，所以%+》2=2,乂+必=4,

所以9=-逐5=-誓=-1,

X,-x2yt+y24

所以直線/的方程為y-2=-（x-l）,即x+y-3=0,所以C正確，

22]

由二+=1和x+y—3=0,得3x2—6x+1=0,則玉+/=2,為々=7，

4o3

所以M同=e7（X[+不2）2-4中2=V2X^4-y'所以D正確，

故選：CD

三、填空題

13.設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比<7=2,前〃項和為S“，則區(qū)=____.

a2

【正確答案】與

2

【分析】利用等比數(shù)列的求和公式以及通項公式可求得區(qū)的值.

。2

?.('-24)

【詳解】由等比數(shù)列求和公式以及通項公式可得與=，一萬=15.

a22a｝2

故答案為

2

14.已知數(shù)列｛0｝的前n項和=?2+n+\,貝!］。8+。9+4<)+。1|+%2=____________.

【正確答案】100

【詳解】試題分析：%+。9+”10++。12=$12—$7=(12-+12+1)—(7-+7+1)=100.

數(shù)列求和.

15.拋物線f=2處(p>0)的焦點為尸，其準線與寫W=i相交于4,B兩點,若4ABF為

等邊三角形，則夕=.

【正確答案】6

【分析】求出拋物線的焦點和準線方程，求出的長，根據(jù)尸為等邊三角形，得到關(guān)

于p的方程，即可求得答案.

【詳解】拋物線/=2陟(p>0)的焦點為尸(0,g,其準線為

將"_與與4-"=1聯(lián)立，得《-二=1,解得x=±」3+且,

233312V4

則L=2個3+0,

由于尸為等邊三角形，故等|ZB|=p,

即31H=p,解得p=6,

2V4

故6

四、雙空題

16.已知拋物線C:/=2px（p>0）,過其焦點廠的直線/與拋物線C交于尸，。兩點（點尸

在第一象限），則直線/的斜率為若|尸。|=1,點A為拋物線C上的動點,

且點A在直線/的左上方，則△ZP。面積的最大值為.

【正確答案】百百

【分析】空1：設(shè)直線/的方程為=聯(lián)立拋物線方程得到韋達定理式，根據(jù)線段

比例關(guān)系得到兩交點縱坐標關(guān)系，聯(lián)立即可解出斜率；

空2：根據(jù)三角形底為弦長|尸。|,若面積最大，則高最大，則點A到直線/的距離最大，則

轉(zhuǎn)化為直線與拋物線相切的問題.

【詳解】設(shè)直線/的方程為=尸（芭,月），。（々,為），

聯(lián)立拋物線方程/=2px（p>0）得/-2pmy-/=0,

2

故兇+%=2加①，yty2=-p@,\PF\=3\FQ\,

則％=-3%,代入②式得一3%2=-p2,解得％=±92，

尸在第一象限，故。在第四象限，故M>0,%<0，

立

故必=島，則凹+左=島一爭=2pm

乃=-

3P

得3

解m=

3,故直線/的斜率左=6,

22

%=處,即!02=2川2，則不2=,P，

36

若|世|=1,則|P0|=gp+4=l,則2=],

622

故拋物線方程為V=3x,此時弘=￡1,玉=苫，x2=\p=\,

12464

193

+；?=-+-+-=4,

若要△/p。的面積最大，則只需將直線沿著左上方平移直至與拋物線相切,

此時切點位置即為A點位置，

故設(shè)切線方程為：x-t=旦一

33

將切線方程與拋物線方程聯(lián)立得島一務(wù)=0,

則△=3+12f=0,解得f=-：,止匕時切線方程為：x--—y+—=0>

43.4

直線/的方程為x-走y-3=0,

3-4

此時△NP0面積最大值為1*4*趙=石.

22

故百；6

結(jié)論點睛：設(shè)拋物線方程為V=2px(p>0),若傾斜角為a直線/經(jīng)過焦點/交拋物線于

P(玉,必),。(積內(nèi)),則有以下結(jié)論:

(1)x,x=—；(2)yy=-p2；(3)\P^\=2=x+x+p.

24y2sm~aft2

五、解答題

17.已知數(shù)列{%},S,=/+2”，求：

(1)4，a2,%的值

(2)通項公式%.

【正確答案】(1)4=3,牝=5,a,=7

(2)a“=2〃+1

【分析】(1)直接計算即可.

(2)根據(jù)為=并驗證〃=1的情況，計算得到答案.

2

【詳解】(1)Sn=n+2n9則4=5=3,a2=52-5,=8-3=5,a3=S3-S2=15-8=7.

22

(2)當〃22時，a?=S?-S?_}=n+2n-(n-\)-2(n-1)=2n+l,

當及=1時，q=3滿足a“=2〃+l.

故%=2〃+1

18.如圖：Z8CO是正方形，。為正方形的中心，PO工底面Z8C。，點E是尸C的中點.求

證:

(1)尸///平面BDE-,

(2)平面PAC1平面BDE.

【正確答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)連接0E,則由三角形中位線定理可得0E//以，再由線面平行的判定定理可證

得結(jié)論，

(2)由已知可得BDA.PO,由線面垂直的判定定理可證得3。_1_面刃。，再由面

面垂直的判定定理可證得結(jié)論

【詳解】(1)證明：連接OE,

為正方形，

二0為4c中點，

又???1￡為尸C中點，

J.OEHPA,

OEu面BDE,

<Z面BDE,

：.PAH^BDE,

(2)證明：Y/IBS為正方形,

BD1AC,

又；尸。_1_面/188,

BOu面ABCD,

J.BDLPO,

■:POAC=O,

POu面PAC,

AC^PAC,

面RIC,

面BDE,

二面8QE_L面以C,

19.已知數(shù)列｛4“｝滿足q=1,an+l=2an+3,〃eN*.

（I）求證：數(shù)列｛為+3｝是等比數(shù)列；

（II）求數(shù)列｛凡｝的前〃項和s”.

【正確答案】⑴證明見解析；（IDS“=2"+2-3"-4.

【分析1（I）由題意轉(zhuǎn)化條件得。由+3=2（見+3）,結(jié)合q+3=4不0即可得證;

（II）由題意可得為+3=2向，進而可得。"=2田-3,由分組求和法即可得解.

【詳解】（I）證明：%+|=2%+3,%+3=2見+6=2（%+3）,

又4+3=4/0,.?.數(shù)列｛%+3｝是首項為4,公比為2的等比數(shù)列；

（II）由（I）得數(shù)列｛%+3｝是首項為4,公比為2的等比數(shù)列，

4+3=4x2"-'=2"+,,：.a?=2,,+1-3,

234

S?=at+a2+---+an=2-3+2-3+---+2"-3=,+2,+…+2"'）-3?

本題考查了等比數(shù)列的判定及通項公式的求解，考查了構(gòu)造新數(shù)列與分組求和法的應(yīng)用，屬

于中檔題.

20.如圖所示，正方形所在平面與梯形/8A/N所在平面垂直，AN//BM,

4N=AB=BC=2,BM=4,CN=26

D

（1）證明：BM上平面/BCD；

（2）在線段CM（不含端點）上是否存在一點E,使得二面角E-8N-M的余弦值為乎.若存

在，求出的C有E值；若不存在，請說明理由.

EM

【正確答案】（1）見解析

⑵存在，需吊

【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)可得,再得出8M_LX8即可證明；

（2）T&CE=ACM.求出平面8EN和平面8VW的法向量，利用向量關(guān)系建立方程求出4即

可得出.

【詳解】（1）證明：正方形為88中，BC1AB,

平面平面Z8MV,平面/88c平面=8Cu平面

8CJ_平面ABMN,又8"u平面ABMN,

BC1BM,且BC_L8N,又BC=2,CN=2網(wǎng)，

：.BN=yJCN2-BC2=2>/2>又AB=AN=2,：.BN2=AB2+AN2,

：.AN1AB,又ANIIBM,:.BMLAB,

又BCB4=B,BA,BCu平面4BCD,

BM1平面力BCD；

（2）解：如圖，以8為坐標原點，所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,

則8（0,0,0）,4（2,0,0）,C（0,0,2）,0（2,0,2）,N（2,2,0）,M（0,4,0）,

設(shè)點E（a,6,c）,C￡=2CAf（0<A<l）,（a,ft,c-2）=Z（0,4,-2）,

4=0

:.<b=U,A￡（0,42,2-22）,

c=2-22

8N=(2,2,0),BE=(0,4九2-22),

設(shè)平面BEN的法向量為m=(x,y,z),

?八X

(BN;〃？=2x+2y=0

:X,

5E-zw=4/ly+(2-2A)z=0

顯然，平面斜W的法向量為3C=(0,0,2),

即荷善則2后卜行際

即33+22—1=0，解得2或-1(舍)，

所以存在一點E,且左CF■=，1

EM2

21.已知數(shù)列｛“〃｝滿足q=1,a?+i=a?+2,數(shù)列｛加｝的前〃項和為S〃，且S“=2-6”.

(1)求數(shù)列｛m｝,｛加｝的通項公式;

(2)設(shè)c.=a“+。,求數(shù)列｛c〃｝的前〃項和乃J.

【正確答案】⑴勺=2~1,",=(￡|

ZJ-1

(2)7；=/+2

【分析】(1)由已知條件得明+=%=2,利用等差數(shù)列的通項公式即可得出a〃；再由S"與”

的關(guān)系得出｛狐｝的通項公式；

(2)由(1)得c“=a,+b“=2〃-1+(￡|,利用分組求和求和即可.

【詳解】(1)因為q=l,a,l+l-a?=2,所以｛樂｝為首項是1,公差為2的等差數(shù)列

所以4=1+(〃-1)x2=2〃-1.

又當〃=1時，b[=S[=2_b[,所以a=1,

當〃之2時，Sn=2-bn①

Sz=2-%②

由①-②得〃=-〃+如，即3=:(〃22),

“n-t乙

a?

所以｛"｝是首項為1,公比為3的等比數(shù)列，故.

(2)由(1)得c,=%+b”=2〃-1+

2

22.已知橢圓C