2023-2024學(xué)年廣東省廣州市高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題(三)(含解析)

2023-2024學(xué)年廣東省廣州市高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.直線/：瓜-3y+l=0的傾斜角為()

71c冗c冗e4

A.-B.-C.-D.一

3462

【正確答案】C

【分析】根據(jù)直線傾斜角和斜率的關(guān)系即可求解.

【詳解】解：由題意得：

直線/的方程：JJx-3y+l=0可化為y=￥x+；

，直線/的斜率為更，設(shè)直線1的傾斜角為"，則tana=3

33

又?e[0,^)

所以a=3

故選：C

2.已知圓X2+/-2X-1=0,則其圓心和半徑分別為()

A.(1,0),2B.(-1,0),2C.(1,0),72D.(-1,0),^

【正確答案】C

【分析】將圓的一般式化為標(biāo)準(zhǔn)式，然后求圓心和半徑即可.

【詳解】圓的方程可整理為(》-以+/=2,所以圓心為(1,0),半徑為JL

故選：C.

3.已知數(shù)列｛““｝是等差數(shù)列，其前”項(xiàng)和為S"，若%=5,則Sg=()

A.15B.25C.35D.45

【正確答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)計(jì)算作答.

【詳解】等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”，%=5,所以Sg=9("；%)=9%=45.

故選：D

4.點(diǎn)(0,1)到直線s+3y-2=0的距離是%那么機(jī)的值是()

A.4B.-3C.4或-3D.-4或4

【正確答案】D

【分析】根據(jù)點(diǎn)到線的距離公式求解即可.

|/wx0+3xl-2|1]1

【詳解】由題意,51故而2+32丁即用2+9=25解得"7=±4.

Vw2+32

故選：D

5.已知48c的周長為20,且頂點(diǎn)8(0,Y),C(0,4),則頂點(diǎn)A的軌跡方程是()

2,2,2,2,.2

A.—+^=1(x^0)B.—+^-=1(x^0)C.—+D

362020366東2①-奈

【正確答案】B

【分析】根據(jù)已知條件及橢圓定義求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】錯(cuò)解：

'：AABC的周長為20,頂點(diǎn)3(0,T),C(0,4),

，|8C|=8,|/8|+Mq=20—8=12,

V12>8,

???點(diǎn)N到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值,

二點(diǎn)”的軌跡是橢圓，

Va=6,c=4,

：.b2=20,

72

???橢圓的方程是三+匕=1

2036

故選：D.

錯(cuò)因：

忽略了A、B、C三點(diǎn)不共線這一隱含條件.

正解：

???△/8C的周長為20,頂點(diǎn)8(0,-4),C(0,4),

；.[8C|=8,|陰+恒(7|=20_8=12,

V12>8,

.?.點(diǎn)4到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，

二點(diǎn)N的軌跡是橢圓，

?a=6,c—~4f

...〃=20,

r22

...橢圓的方程是玄+/v=1（Xw0）

故選：B.

6.三棱錐O-Z8C中，M,N分別是43,OC的中點(diǎn)，且0彳=3,OB=b\OC=c,

用￡,｛）,c表示NM，則NM等于（)

O

IXXXJXXX

A.5(-a+b+c)B.-(a+b-c)

1XXXIXXX

C.-(4-6+C))D.5(-"b+c)

【正確答案】B

【分析】根據(jù)空間向量運(yùn)算求得正確答案.

i

【詳解】NM=OM-ON=一〈OA+OB、一一OC

2、72

111XXX

=-OA+-OB一一OC=-（a+b-c].

2222、>

故選：B

7.若雙曲線1-4=l（a>0,6>0）的一條漸近線與直線y=2x垂直，且直線3x-y+6=0過

ab

雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則雙曲線實(shí)軸長為（）

A.272B.2右C.—D.至

55

【正確答案】C

【分析】根據(jù)題意可得c及。，再結(jié)合/+/=。2=4求出“，即可得解.

a

【詳解】解：由題意知，c=2,-=又a2+〃=c,2=4,

a2

故雙曲線實(shí)軸長為矩.

5

故選：C.

8.設(shè)｛4｝是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，｛"｝是1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，記

%=%+旬++%,貝中不超過2023的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為（）

A.8B.9C.10D.11

【正確答案】C

【分析】求出數(shù)列｛%｝、｛4｝的通項(xiàng)公式，可得出數(shù)列｛旬｝的通項(xiàng)公式，利用分組求和法可

求得〃,,，找出使得不等式以“42009成立的最大正整數(shù)〃的值，進(jìn)而可得出結(jié)論.

【詳解】由題意可得?！?2+（N-1）X1="+1也=1X2"T=2"-，

所以，^=Z>?+l=2"-'+l,則

I_2”

1

Mn=q+。與++%=（2°+2++2'々）+n=----+n=2,+/?—1,

1—2

所以，數(shù)列｛必“｝單調(diào)遞增，因?yàn)?/p>

則Ml0<2023<M?,則使得不等式<2023成立的最大正整數(shù)n的值為10.

因此，數(shù)列｛必“｝中不超過2023的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為10.

故選：C.

二、多選題

9.下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的是（）

A.若空間向量展了，滿足曰=%,則）=7

B.若非零向量m,滿足則有1力】

C.若040&0C是空間的一組基底，S.OD=-OA+-OB+-OC,則4民。,。四點(diǎn)共面

D.若向量是空間的一組基底，則也是空間的一組基底

【正確答案】CD

【分析】結(jié)合空間向量定義可直接判斷A錯(cuò)；由空間的垂直關(guān)系可判斷B錯(cuò)誤；由四點(diǎn)共

面的結(jié)論可判斷C正確；由基底向量的定義化簡可判斷D正確.

【詳解】對(duì)于A,模長相等方向可不同，顯然A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由于空間中垂直于同一直線的兩直線可以不平行，所以B錯(cuò)誤：

對(duì)于C,由平面的向量示可知oj'o方是空間的一組基底，則4民C三點(diǎn)不共線.由

OD=^OA+^OB+^OC,1=|+|+|,可判斷48,C,。四點(diǎn)共面，故C正確；

對(duì)于D,若向量a；.,%；：1；:是空間一組基底，則對(duì)空間中的任何一個(gè)向量/,存在唯一

的實(shí)數(shù)組(x,y,z),使得d=x(a+b)+ye+cj+z(c+a),于是

"=(x+z”+(x+y)b+(y+z)c,所以a,仇c也是空間的一組基底，故D正確.

故選：CD

10.已知直線/：去-'+3A?+1=0和圓。：/+/=16,則()

A.直線/恒過定點(diǎn)(-3,1)

B.圓心C到直線/的最大距離是所.

C.直線,與圓。相交

D.若k=-l,直線/被圓。截得的弦長為4

【正確答案】ABC

【分析】首先，改寫直線方程形式，判斷定點(diǎn)，即可判斷AC；當(dāng)圓內(nèi)定點(diǎn)為弦的中點(diǎn)時(shí)，

此時(shí)弦長最短，圓心到直線的距離最大；D.利用弦長公式求解.

，/-、,[x+3=0fx=-3

【詳解】對(duì)于A、C,由/：米一+3斤+1=0,得％(x+3)-y+l=0,令,八，解得,,

[-y+1=0，=1

所以直線/恒過定點(diǎn)(-3,1),故A正確：

因?yàn)橹本€/恒過定點(diǎn)(-3,1),而(-3)2+/=10<16,即(T1)在圓。：/+/=]6內(nèi)，所以直

線/與圓。相交，故C正確；

對(duì)于B,設(shè)直線/與圓相交于43兩點(diǎn)，弦48中點(diǎn)為N(-3,1),則|CN|為c到

直線48的距離的最大值，|CN|=可，圓心C到直線/的最大距離為布，故B正確；

對(duì)于D,k=-l時(shí)，直線/:x+y+2=0,圓心到直線的距離為d=所以直

線/被圓O截得的弦長為2"2"=（何=2/14,故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

11.已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)耳，石在y軸上，短軸長等于2,離心率為逅，過

3

焦點(diǎn)大作V軸的垂線交橢圓。于尸，0兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.橢圓C的方程為仁+Y=1B.橢圓C的方程為《+產(chǎn)=1

33

C.|尸@=￥D.八室。的周長為26

【正確答案】AC

【分析】AB選項(xiàng)，根據(jù)短軸長，離心率和/=從+02求出/=3,b=l,焦點(diǎn)耳￡在y軸

上，所以求出橢圓方程；C選項(xiàng)，求出P,。兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到通徑長；D選項(xiàng)利用

橢圓的定義進(jìn)行求解.

【詳解】由題意得：26=2,所以6=1,因?yàn)椤?巫，a2=l+c2,解得：c2=2,a2=3,

a3

因?yàn)榻裹c(diǎn)與，鳥在y軸上，所以橢圓C的方程為:+/=1,A正確,B錯(cuò)誤;不妨設(shè)耳（0,拉），

則P，。兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)也為0,令號(hào)+/=1中好應(yīng)，解得：x=士亭，所以不妨令

尸［亭，正；Q-亭，正）所以尸。=乎，C正確；根據(jù)橢圓的定義可知，△尸乙。的

周長為4a=46,故D錯(cuò)誤.

故選：AC

12.傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙粒或小石子

所排列的形狀把數(shù)分成許多類，如圖中第一行圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：1,3,6,10,…稱為三角形

數(shù)，第二行圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：1,4,9,16,...稱為正方形數(shù)，記三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列{4},正

方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列{"},則下列說法正確的是（）

A.“6=21

B.1225既是三角形數(shù)，又是正方形數(shù)

D.Vzw￡N*,〃?N2,總存在p,qwN*,使得2=4,+與成立

【正確答案】ABD

【分析】利用等差數(shù)列求和，分別求出進(jìn)而結(jié)合裂項(xiàng)求和法逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷

即可得到答案.

【詳解】三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列1+2,1+2+3,1+2+3+4,...,易得

〃(〃+1)

an=1+2+…+〃=；

正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列也｝：1,1+3,1+3+5,1+3+5+7,...,易得

,及(1+2〃-1)2

b=1+3+....+2〃-1=----------=n~；

2

對(duì)于A：4=21,故A正確；

2

對(duì)于B：令%='±=1225,解得〃=49；

令"="2=1225,解得"=35.故B正確;

，=」一=2口一L]

對(duì)于C：

an/?(/?+1)/?4-1)

對(duì)于D：取廣見4=〃一,且則〃晨當(dāng)叫+硬＞1'即超

故\/機(jī)€1<,加22,總存在夕,,€]\",使得a,=4，+成立，故D正確.

故選：ABD.

三、填空題

13.已知空間向量￡(3,1,1),R(X,-3,0),且門晨貝仃=.

【正確答案】1

【分析】由乙-，可建立關(guān)于x的方程，解出即可.

【詳解】因?yàn)?(3,1,1),i=(x,-3,0),且上鼠

所以3x-3=0,解得x=l.

故1.

14.若斜率為1的直線/過拋物線/=2px(p>0)焦點(diǎn)，交拋物線于48兩點(diǎn)，且|/例=4,

點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，則點(diǎn)。到直線/的距離為.

【正確答案】正

4

【分析】設(shè)直線/：?=x-g與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，表示焦點(diǎn)弦長，即可求P,

并代入點(diǎn)到直線的距離求解.

【詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為嗚,0),則直線/的方程為夕=x-g代入/=2px(p>0),

得/-3px+H=0,得芭+々=3/?,得|/3|=為+乙+0=4。=4,解得p=l,即直線/的

4

1_1-

方程為y=x-：.故點(diǎn)。到直線/的距離為2_V2.

2"FF

故@

4

15.已知雙曲線C：—-^-=1,耳，工是其左右焦點(diǎn).圓E：》2+/_外+3=0,點(diǎn)P為

雙曲線C右支上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。為圓E上的動(dòng)點(diǎn)，則|尸。|+歸國的最小值是.

y

【正確答案】5+2石##26+5

【分析】利用雙曲線定義，將歸耳|+|尸。|的最小值問題轉(zhuǎn)化為|「用+歸。|+6的最小值問題,

然后結(jié)合圖形可解.

【詳解】由題設(shè)知，片（一4,0）,乙（4,0）,E（0,2）,圓E的半徑r=1

由點(diǎn)P為雙曲線C右支上的動(dòng)點(diǎn)知

附|=|尸閭+6

.?.|「劇+忸。|=|「周+|「。|+6

二（1吶+閥口=（1叫+同口+6=|秒一+6=2不-1+6=5+2后

故5+26

四、雙空題

16.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”,且q=l,若點(diǎn)尸（a“,%+J（〃wN*）在直線x-y+l=0上,

【正確答案】|n(?+l)；2〃

〃+1

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義，結(jié)合等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式、裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)「色,。,用)(〃€"*)在直線工-卜+1=0上，

所以%-4川+1=0=-—“,,=1，所以數(shù)列｛/｝是以4=1，公差為1的等差數(shù)列，

所以S“=na]1)=；〃(〃+1)；

因?yàn)?；〃(〃+1)，

12?11、

所以f=U=2(7ZJ),

于是-!-+-!-++-=2(i--+—U+!——?-4=2(i--J-4="，

J

S,S2Sn223nn+\n+1n+1

故:〃(〃+l)；—J

2n+1

五、解答題

17.已知圓〃的圓心為(”,0)(。40),它過點(diǎn)P(0,-2),且與直線x+y+2后=0相切.

(1)求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若過點(diǎn)。(0,1)且斜率為左的直線/交圓〃于A,8兩點(diǎn)，若弦N3的長為白，求直線/的

方程.

【正確答案】(1)1+產(chǎn)=4

(2)歹=±x+l

【分析】(1)先設(shè)出圓”的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)過點(diǎn)尸(0,-2)及圓/與直線x+y+2&=0相

切建立方程組求解即可；

(2)由點(diǎn)到直線的距離公式及垂徑定理可求解.

【詳解】(1)設(shè)圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x-aA+V=，2(〃40)

則圓心M到直線x+y+2&=0的距離為三網(wǎng)

fa2+4=r2

由題意得1a+2閩，解得a=0或a=40(舍去).

所以r=4,所以圓M的方程為f+/=4.

(2)設(shè)直線/的方程為y="+l

1

則圓心M到直線/的距離為TF+i

因?yàn)橐詤s=舊，解得左2=1,；M=±1

則直線的方程為了=±》+1.

18.己知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和5“滿足：S?=2an-2,(neN+).

(1)求數(shù)列｛?！埃耐?xiàng)公式；

(2)求數(shù)歹lj｛log2”“｝的前〃項(xiàng)和S.

【正確答案】(1)勺=2"(〃€NJ

(2電=等

[S.,n=1

【分析】(1)利用；c、?？汕蟪銎渫?xiàng)公式，

(2)由(1)得然后利用等差數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果.

【詳解】(1)因?yàn)镾,=2a“-2,(〃cNj,S,i=2a,i-2,(?>2,?GN+)

兩式相減得到%=2的(〃22,〃eN.)

當(dāng)〃=1時(shí)，可得％=2,

因?yàn)?>0，

所以｛。,,｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列

所以｛勺｝的通項(xiàng)公式為4=2"(〃eN.).

（2）令=log2a“，貝!,

因?yàn)?+1-4=〃+1—〃=1,4=1,

所以數(shù)列｛"｝是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，

所以s.=也±11

2

19.如圖，在正三棱柱"5C-44G中，AB=AA,=2,D,P分別是BC,C￡的中點(diǎn).

（1）在側(cè)棱8月上作出點(diǎn)尸，滿足。尸//平面并給出證明;

（2）求二面角B「AP-C,的余弦值及點(diǎn)8到平面AB.P的距離.

【正確答案】（1）作圖見解析，證明見解析

⑵當(dāng)，臟

4

【分析】（1）由線面平行的判定定理證明

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量求解

【詳解】（1）B

設(shè)的中點(diǎn)為E,8E的中點(diǎn)為廠,

則EC〃Bf,DF//EC,則OF//B/,

。尸（2平面/4尸，81Pu平面,力尸〃平面尸.

z.

設(shè)。是邊/c的中點(diǎn)，z是4G的中點(diǎn)，

則OZ，平面/8C,/8C為正三角形，

所以，08INC,OB,0C,OZ兩兩垂直，

建立如圖所示坐標(biāo)系O-XYZ.

則4(0,-1,0),耳(0,0,2),尸(0,1,1),N/:(0,2,1),

ABt=(A/3,1,2),設(shè)平面ABtP的法向量為“I=(x,y,z),

5—

平面尸的法向量為“2=(1,0,0)，COS<%>=,&」=字,

I")II?214

所以二面角片-4P-G的余弦值為逅.

4

UUUUL

曲:(0,0,2),設(shè)點(diǎn)8到平面盟產(chǎn)的距離為d,則"=鳴?=0.

I?il

20.已知等差數(shù)列｛叫的前"項(xiàng)和為S,,,且$6=453，%=2?！?1(〃eN)

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)b?=2'-'a,,,求數(shù)列出｝的前"項(xiàng)和7；.

【正確答案】(1)%=2〃-1

⑵北=（2〃—3）2+3

【分析】（1）根據(jù)已知條件求得數(shù)列｛《,｝的首項(xiàng)和公差，從而求得見.

（2）利用錯(cuò)位相減求和法求得I.

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d,

依題意，S6=4S3,Oj,,=2an+1（?eN*）,則％=2《+1

所以和+*=4*+3〃），解得曠1/2,所以〃“=2”L

[a[+a=2q+1

（2），=2"為“=（2〃-1卜21,

所以7；=lx2°+3x2'++（2"-1）X2"T,

27；,=1X2'+3X22++（2?-l）x2n,

兩式相減得Y,=1+2?+2'++2"-（2〃-1）x2"

=1+4x（J2）_（方-1）x2=（3-2?）-2,,-3,

1-2、）

所以北=（2〃一3b2"+3.

21.四棱錐N-BCDE,底面8CDE為矩形，側(cè)面/8CJ,底面8COE,

BC=2,CD=&AB=AC.

（1）證明：ADICE；

（2）設(shè)CE與平面48E所成的角為45。，求二面角C-4）-￡■的大小.

【正確答案】（1）證明見解析

（2）n-arccos（^jy-）

【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)定理，線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理證明,

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量求解,

【詳解】（1）取8c中點(diǎn)F,連接。E,

由Z8=/C,故AF，BC,

而平面/8C/平面BCDE,平面為BCc平面8COE=8C,/Fu平面Z8C,

4尸_L平面8CZ)E,而CEu平面8cDE,

而---=---,故/.FDC=Z.CED，故DF±CE,

CDDE

而ZFu平面ZOF,。尸u平面ZDF,ADcDF=D,CEJ■平面尸，

又/Ou平面/。尸，ADVCE,

(2)如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，

則C(l,0,0),5(-1,0,0),￡(-1,72,0),設(shè)4(0,0,。)，

則CE=(-2,60),BE=(0,五0),8/=(1,0,a),

設(shè)平面48E的一個(gè)法向量為"=（x,y,z）則，，令Z=1得〃=(一4,0,1),

x+az=0

M.乂。?〃攵12al/

而CE與平面力4七所成的角為45。,故sin45°=上達(dá)_K=一，

|CE|-I?|74T2V7712

解得a=y/i，

而。(1,應(yīng),0),AD=(l,y/2,-y/3),C￡>=(0,72,0),￡7)=(2,0,0),

設(shè)平面/CD的一個(gè)法向量為4=（x,y,z）,則令z=1得4=(G,o,1),

同理得平面ZO