函數(shù)的平均變化率教學(xué)設(shè)計(jì)

《函數(shù)的平均變化率》教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)內(nèi)容分析函數(shù)的平均變化率是解決函數(shù)問題的直觀化工具，它一方面反應(yīng)函數(shù)的增減性質(zhì)，另一方面也反映函數(shù)的變化快慢.并且為我們今后導(dǎo)數(shù)相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)以及物理中的變化率學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).本節(jié)課首先從物理中的變化率引入數(shù)學(xué)中的變化率，并首先介紹了直線斜率的定義，然后從直線斜率的角度研究了函數(shù)的單調(diào)性，并給出平均變化率的定義.引導(dǎo)學(xué)生會計(jì)算一個(gè)函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的平均變化率，并利用函數(shù)平均變化率證明函數(shù)的單調(diào)性，最后引導(dǎo)學(xué)生理解從函數(shù)平均變化率的角度辨析函數(shù)圖像的變化快慢,借助數(shù)形結(jié)合解決相關(guān)問題.培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng).二、學(xué)情分析學(xué)生已有的知識結(jié)構(gòu)是對函數(shù)的認(rèn)識有了一定的積累，從生活和與其他學(xué)科的交匯中逐步提高了這方面的能力，在物理學(xué)中已經(jīng)學(xué)習(xí)過加速度的定義（是速度的變化量與發(fā)生這一變化所用時(shí)間的比值），抽象概括思想也逐步深入學(xué)生心中，轉(zhuǎn)化成了學(xué)生自己的知識技能，這些為學(xué)好平均變化率奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)．但是由于新教材是在函數(shù)單調(diào)性這一節(jié)給出函數(shù)平均變化率的定義，并將函數(shù)的平均變化率與單調(diào)性聯(lián)系起來，相關(guān)定義和內(nèi)容較抽象難理解.對于理性思維比較弱的學(xué)生，他們極容易在解題時(shí)鉆牛角尖，因此若能讓學(xué)生主動參與到平均變化率學(xué)習(xí)過程中，讓學(xué)生體會到自己在學(xué)“有價(jià)值的數(shù)學(xué)”，就會激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心.三、設(shè)計(jì)理念本節(jié)課以建構(gòu)主義基本理論為指導(dǎo)，以新課標(biāo)基本理念為依據(jù)進(jìn)行設(shè)計(jì)的，針對學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)情，函數(shù)平均變化率的教學(xué)首先要挖掘其知識背景貼近學(xué)生實(shí)際；其次，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，把學(xué)習(xí)的主動權(quán)交給學(xué)生，為他們提供自主探究、合作交流的機(jī)會，確實(shí)改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。四、教學(xué)目標(biāo)知識與技能：1、掌握直線的斜率公式及三點(diǎn)共線的充要條件；2、理解平均變化率的定義并會計(jì)算函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的平均變化率；3、會利用函數(shù)的平均變化率證明函數(shù)的單調(diào)性；4、掌握利用平均變化率判斷函數(shù)圖像問題，辨析函數(shù)增減快慢.過程與方法：1、通過動手計(jì)算培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、比較和歸納能力；2、通過對實(shí)際問題的探究使學(xué)生體會類比、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：1、感受平均變化率廣泛存在于日常生活之中，體會數(shù)學(xué)的博大精深以及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義.2、通過具體事例，感受平均變化率廣泛存在于日常生活之中，經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)語音描述刻畫現(xiàn)實(shí)世界的過程.五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：1.理解并掌握平均變化率的概念．2.會利用函數(shù)平均變化率證明函數(shù)單調(diào)性．教學(xué)難點(diǎn)：對生活現(xiàn)象和物理問題如何作出合理的數(shù)學(xué)闡釋，概括抽象函數(shù)的平均變化率.六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)【課前準(zhǔn)備】活動準(zhǔn)備：常規(guī)分組，進(jìn)行小組教學(xué)及學(xué)習(xí)活動.知識準(zhǔn)備：提前預(yù)習(xí)函數(shù)的平均變化率及斜率相關(guān)概念.【教學(xué)過程】.引入課題：德國有一位著名的心理學(xué)家艾賓浩斯，對人類的記憶牢固程度進(jìn)行了有關(guān)研究．他經(jīng)過測試，得到了以下一些數(shù)據(jù)：時(shí)間間隔上剛記憶完畢2。分鐘后60分鐘后X~9小時(shí)后1天后2天后6天后一個(gè)月后記憶量y（百分比）10058.244.235.833.727.S25.421,1以上數(shù)據(jù)表明，記憶量y是時(shí)間間隔t的函數(shù).艾賓浩斯根據(jù)這些數(shù)據(jù)描繪出了著名的“艾賓浩斯遺忘曲線”，如圖．艾濱浩斯提出問題：“艾賓浩斯遺忘曲線”從左至右是逐漸下降的，下降的速度是怎樣變化的？該怎樣用數(shù)學(xué)語言來刻畫函數(shù)的變化快慢？設(shè)計(jì)意圖：利用熟悉的問題激發(fā)學(xué)生的興趣與情感，為平均變化率的自然引入提供契機(jī)..引入物理中的平均變化率：我們在物理中已經(jīng)學(xué)過：變化率是描述變化快慢的量.例如，速度是用來衡量物體運(yùn)動快慢的，速度等于位移的變化量與發(fā)生這一Axv= At

變化所用時(shí)間的比值，即加速度是用來衡量速度變化的快慢，加速度等于速度的變化量與發(fā)生這一變化所用時(shí)間的比值，即Ava= At設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生們已熟知的物理知識角度事先解釋一下平均變化率，一方面可以激發(fā)學(xué)生們的學(xué)習(xí)熱情，也會讓學(xué)生們感覺這部分知識不那么陌生.3.引入新知：一、直線的斜率(i)定義：給定平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn)A(x,y),bQ,y)，當(dāng)x豐x時(shí)，11 22 1 2y-y稱V.A為直線AB的斜率.x一x(2)若記Ax=x2一x(2)若記Ax=x2一x,相應(yīng)的Ay=y-y，當(dāng)Ax中0時(shí),斜率記為Ay21Ax(3)當(dāng)x豐x時(shí)，稱直線AB的斜率不存在.12都不存在.例1.已知直線都不存在.例1.已知直線l過點(diǎn)M(m+1,m-1),N(2m,1),當(dāng)m為何值時(shí)，直線l的斜率(4)平面直角坐標(biāo)系中的三點(diǎn)共線,當(dāng)且僅當(dāng)任意兩點(diǎn)確定的直線斜率都相等或解析：「m解析：「m一2 3由院二5=1’解得m=2為1？變式1.已知點(diǎn)AQ,5)BQ,4)。(-3a,5)在同一條直線上，求實(shí)數(shù)a的值.一1 一2解析：由k=k，即——二——-，解得a=-9.abbc3一a 一3a一3【設(shè)計(jì)意圖】通過題型讓同學(xué)們熟練掌握斜率公式的應(yīng)用

二、函數(shù)的平均變化率與函數(shù)的單調(diào)性觀察函數(shù)圖像上任意兩點(diǎn)連線的斜率符號與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，并總結(jié)一般規(guī)律.可以看出，函數(shù)遞增的充要條件是圖像上任意兩點(diǎn)連線的斜率都大于0，可以看出，函數(shù)遞增的充要條件是圖像上任意兩點(diǎn)連線的斜率都大于0，函數(shù)遞減的充要條件是圖像上任意兩點(diǎn)連線的斜率都小于0.⑴y=f(x)在I上是增函數(shù)的充要條件是包>0在I上恒成立;Ax⑵y=fQ)在I上是減函數(shù)的充要條件是”<0在I上恒成立.AxAyf(x)-f(x)⑶一般地，當(dāng)x牛x時(shí)，稱==——2 」為函數(shù)在區(qū)間［x,x］(x<x時(shí))1 2 Ax x-x 121221或［x2,x1］(x1>x2時(shí))上的平均變化率.【設(shè)計(jì)意圖】從斜率的角度得到函數(shù)單增和單減的充要條件,并通過數(shù)形結(jié)合的方式方便大家理解和記憶.B．-2C．2D.-1例2.如圖，函數(shù)y=f(x)在［1,3］上的平均變化率為()B．-2C．2D.-1A．1答案：D

變式2.已知函數(shù)f（x）=2xz+3x—5,當(dāng)x=4,且Ax=l時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間1X+Ax的平均變化率.-11」解析4,Arc=1,?1/.x=5.，&二人）-4）=人）-人）=/G）./（4）二21.AxX-X 12 1【設(shè)計(jì)意圖】使同學(xué)們熟練掌握函數(shù)平均變化率的計(jì)算.三、利用平均變化率證明函數(shù)的單調(diào)性例3.判斷函數(shù)/Q）=/+L在X（0,,+8）上的單調(diào)性.并用平均變化率證明.解析：任取/避G（o,+oo）,且

例3.判斷函數(shù)/Q）=/+L在X（0,,+8）上的單調(diào)性.并用平均變化率證明.解析：任取/避G（o,+oo）,且

1 2a/Q)/Q)-/Q)Arc2X 2 X-X2， rp rprp2 1 12、億rprn. |eXy)cA,/1 2GA/Q)>1,從而 <o,則/Q）在（0,1）上單調(diào)遞減當(dāng)7,7wG+oo）時(shí)，有力/<1,從而 >0,則/Q）在G+oo）上單調(diào)2 12 X遞增.j1）2/—3變式3.已知函數(shù) 力+1⑴判斷函數(shù)/Q）在區(qū)間［0，+8）上的單調(diào)性，并用平均變化率證明其結(jié)論.⑵求函數(shù)/Q）在區(qū)間⑵9］上的最大值與最小值.解析：（1）任取力也￡（0,+oo）,且1，則1 2 1 2

Af(x)f(x)—Af(x)f(x)—fQ)2x—3 2x—32 1x一x21—2 X+1_J2 當(dāng)x,xG(0,+8)時(shí)，有12x一x21Af(x)-———>0恒成立Ax5( )x一x(x+12)x；1)2 1x一x215(x+l)X+l)所以fQ）在0,+8）上單調(diào)遞增.⑵由（1）知函數(shù)fQ）在區(qū)間［2,9］上是增函數(shù)，故函數(shù)f（x）在區(qū)間［2,9］上的最大值為fQ）=3；最小值為fQ）=1【設(shè)計(jì)意圖】通過題型讓同學(xué)們感受函數(shù)平均變化率對單調(diào)性的影響，并會利用函數(shù)平均變化率證明函數(shù)單調(diào)性.【學(xué)生活動】學(xué)生小組探究，將某個(gè)同學(xué)的做題過程利用投影進(jìn)行展示，并讓相應(yīng)同學(xué)表達(dá)個(gè)人想法..四、平均變化率的應(yīng)用例如，如果向給定的容器中倒水，且任意相等的時(shí)間間隔內(nèi)所倒的水體積相等，那么容器內(nèi)水面的高度y是時(shí)間t的函數(shù)。當(dāng)容器是下圖（1）所示的圓柱時(shí)，函數(shù)的圖像應(yīng)該是？當(dāng)容器是下圖（1）所示的圓柱時(shí)，在固定的At時(shí)間內(nèi)，Ay應(yīng)該是常數(shù)，因此函數(shù)的圖像是如下圖（2）所示的一條線段.當(dāng)容器是如下圖（1）所示圓臺時(shí)，函數(shù)的圖像應(yīng)該是？當(dāng)容器是如下圖（1）所示圓臺時(shí)，由容器的形狀可知，在固定的At時(shí)間內(nèi)，隨著t的增加，Ay應(yīng)該越大，因此函數(shù)的圖像如圖（2）所示.

<1)例4.李華在參加一次同學(xué)聚會時(shí)，他用如圖所示的圓口杯喝飲料，李華認(rèn)為:如果向杯子中倒飲料的速度一定(即單位時(shí)間內(nèi)倒入的飲料量相同)，那么杯子中飲料的高度h是關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)h(t),則函數(shù)h(t)的圖像可能是()答案：B【設(shè)計(jì)意圖】引用實(shí)際生活中學(xué)生比較熟悉的例子，讓學(xué)生體會函數(shù)圖像變化的快慢.例5.已知/Q)為定義在(-1,1)上的函數(shù)，若對任意的7?例5.已知/Q)為定義在(-1,1)上的函數(shù)，若對任意的7?wllj)且=1 2 1 2f不等式一Q).f- 」<0恒成立,且滿足fx-x2 1?！?)>fG—4a),求a的取值范圍.解析上單調(diào)遞減，所以—1<a—1<1—1<1—4a