第五章數(shù)列專題11一題多變斐波那契數(shù)列 講義（含解析） 2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（新高考新教材）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)【一題多變】斐波那契數(shù)列【2024屆T8聯(lián)考】一只蜜蜂從蜂房出發(fā)向右爬，每次只能爬向右側(cè)相鄰的兩個(gè)蜂房（如圖），例如：從蜂房只能爬到1號(hào)或2號(hào)蜂房，從1號(hào)蜂房只能爬到2號(hào)或3號(hào)蜂房以此類推，用表示蜜蜂爬到號(hào)蜂房的方法數(shù)，則______．A．1

B．

C．2

D．【解析】由題意得，所以，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故，所以，故選：A．感悟反思：從本題的解答給了我們一條解決數(shù)列問(wèn)題的方法：當(dāng)我們一開(kāi)始搞不清楚這是什么數(shù)列時(shí)，不妨先從特殊出發(fā)，計(jì)算一下前幾項(xiàng)，然后再去尋找規(guī)律．從前幾項(xiàng)的研究我們發(fā)現(xiàn)每一項(xiàng)（第三項(xiàng)開(kāi)始）是前兩項(xiàng)的和，故此數(shù)列是斐波那契數(shù)列，本題考查的是斐波那契數(shù)列的性質(zhì)．【變化角度】條件不變，問(wèn)題改為：除以2的余數(shù)為多少？【思路分析】根據(jù)題意得，羅列數(shù)列中前若干項(xiàng)除2看余數(shù)，找規(guī)律即可.【詳解】根據(jù)題意可知，則，則各項(xiàng)除以2余數(shù)為，可知各項(xiàng)除以2的余數(shù)是以1，0，1三個(gè)數(shù)循環(huán)的數(shù)列，所以除以2的余數(shù)為0.故答案為：0【舉一反三】1．五位同學(xué)圍成一圈依序循環(huán)報(bào)數(shù)，規(guī)定：①第一位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)為1.第二位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)也為1，之后每位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)之和；②若報(bào)出的是為3的倍數(shù)，則報(bào)該數(shù)的同學(xué)需拍手一次，當(dāng)?shù)?0個(gè)數(shù)被報(bào)出時(shí)，五位同學(xué)拍手的總次數(shù)為2．斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，因意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域，斐波那契數(shù)列都有直接的應(yīng)用.在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列被以下遞推的方法定義：數(shù)列滿足：，．則；被4除的余數(shù)為．【變換角度】條件不變，問(wèn)題改為：則為的第幾項(xiàng)？【思路分析】根據(jù)題意得，利用該性質(zhì)一一相加計(jì)算即可.【詳解】由題意得，所以，即為的第2024項(xiàng).【舉一反三】3．?dāng)?shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一個(gè)數(shù)列：1，1，2，3，5，8…，其中從第3項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)之和，即，，這樣的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”.若，則（

）A．175 B．176 C．177 D．1784．十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契從兔子繁殖規(guī)律中發(fā)現(xiàn)了“斐波那契數(shù)列”，斐波那契數(shù)列滿足以下關(guān)系：，，，記其前項(xiàng)和為，設(shè)(為常數(shù))，則；.【變換角度】添加條件：若，則為多少（用表示）？【思路分析】添加1，利用轉(zhuǎn)化化簡(jiǎn)即可.【詳解】由題意得，則問(wèn)題式.【舉一反三】5．意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，…，該數(shù)列的特點(diǎn)是：前兩個(gè)數(shù)均為1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列.并將數(shù)列中的各項(xiàng)除以4所得余數(shù)按原順序構(gòu)成的數(shù)列記為，則下列結(jié)論正確的是A． B．C． D．6．意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，21，….該數(shù)列的特點(diǎn)如下：前兩個(gè)數(shù)均為1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，現(xiàn)將中的各項(xiàng)除以2所得的余數(shù)按原來(lái)的順序構(gòu)成的數(shù)列記為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C．若，則 D．7．斐波那契數(shù)列又稱為黃金分割數(shù)列，在現(xiàn)代物理、化學(xué)等領(lǐng)域都有應(yīng)用.斐波那契數(shù)列滿足，.給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在，使得，，成等差數(shù)列；②存在，使得，，成等比數(shù)列；③存在常數(shù)，使得對(duì)任意，都有，，成等差數(shù)列；④存在正整數(shù)，且，使得.其中所有正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)8．?dāng)?shù)學(xué)史上有很多著名的數(shù)列，在數(shù)學(xué)中有著重要的地位.世紀(jì)初意大利數(shù)學(xué)家斐波那契從兔子繁殖問(wèn)題引出的一個(gè)數(shù)列：，，，，，，，……，稱之為斐波那契數(shù)列，滿足，，.19世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家洛卡斯提出數(shù)列：，，，，，，，……，稱之為洛卡斯數(shù)列，滿足，，.那么下列說(shuō)法正確的有（

）A． B．不是等比數(shù)列C． D．9．意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契是第一個(gè)研究了印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)理論的歐洲人，斐波那契數(shù)列被譽(yù)為是最美的數(shù)列，斐波那契數(shù)列滿足：，，.若將數(shù)列的每一項(xiàng)按照下圖方法放進(jìn)格子里，每一小格子的邊長(zhǎng)為，記前項(xiàng)所占的格子的面積之和為，每段螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形面積為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是偶數(shù) B．C． D．10．斐波那契螺旋線，也稱“黃金螺旋”，是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫(huà)出來(lái)的螺旋曲線，自然界中存在許多斐波那契螺旋線的圖案，是自然界最完美的經(jīng)典黃金比例.作圖規(guī)則是在以斐波那契數(shù)為邊的正方形拼成的長(zhǎng)方形，然后在正方形里面畫(huà)一個(gè)90度的扇形，連起來(lái)的弧線就是斐波那契螺旋線.它來(lái)源于斐波那契數(shù)列，又稱為黃金分割數(shù)列.現(xiàn)將斐波那契數(shù)列記為，，，邊長(zhǎng)為斐波那契數(shù)的正方形所對(duì)應(yīng)扇形面積記為，則（

）A． B．C． D．11．斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家萊昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個(gè)數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列以如下遞推的方式定義：且中，則B中所有元素之和為奇數(shù)的概率為．12．意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一個(gè)數(shù)列：其中從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”．那么

是斐波那契數(shù)列中的第項(xiàng)．13．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契年~年）以兔子繁殖數(shù)量為例，引人數(shù)列：，該數(shù)列從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，即，故此數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，又稱“兔子數(shù)列”，其通項(xiàng)公式為．設(shè)是不等式的正整數(shù)解，則的最小值為．14．斐波那契，意大利數(shù)學(xué)家，其中斐波那契數(shù)列是其代表作之一，即數(shù)列滿足，且，則稱數(shù)列為斐波那契數(shù)列.已知數(shù)列為斐波那契數(shù)列，數(shù)列滿足，若數(shù)列的前12項(xiàng)和為86，則.答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)參考答案：1．7【詳解】這樣得到的數(shù)列這是歷史上著名的數(shù)列，叫斐波那契數(shù)列.尋找規(guī)律是解決問(wèn)題的根本，否則，費(fèi)時(shí)費(fèi)力.首先求出這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)除以3所得余數(shù)的變化規(guī)律，再求所求就比較簡(jiǎn)單了.這個(gè)數(shù)列的變化規(guī)律是：從第三個(gè)數(shù)開(kāi)始遞增，且是前兩項(xiàng)之和，那么有1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987……分別除以3得余數(shù)分別是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0……由此可見(jiàn)余數(shù)的變化規(guī)律是按1、1、2、0、2、2、1、0循環(huán)，周期是8.在這一個(gè)周期內(nèi)第四個(gè)數(shù)和第八個(gè)數(shù)都是3的倍數(shù)，所以在三個(gè)周期內(nèi)共有6個(gè)報(bào)出的數(shù)是三的倍數(shù)，后面6個(gè)報(bào)出的數(shù)中余數(shù)是1、1、2、0、2、2，只有一個(gè)是3的倍數(shù)，故3的倍數(shù)總共有7個(gè)，也就是說(shuō)拍手的總次數(shù)為7次.2．53【分析】空一：直接運(yùn)用遞推公式進(jìn)行求解即可；空二：根據(jù)遞推公式，求出前13項(xiàng)的值，然后按題目要求分別被4除，根據(jù)余數(shù)的周期性進(jìn)行求解即可.【詳解】空一：因?yàn)?，，所以；空二：由，，可以求出該?shù)列的前13項(xiàng)，分別為：，它們分別被4除，余數(shù)分別為：，可以看出余數(shù)的周期為6，因?yàn)?，所以?除的余數(shù)為3，故答案為：5；33．B【分析】根據(jù)數(shù)列的特點(diǎn)，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，移項(xiàng)得：，使用累加法求得，然后將中的倍展成和的形式（如）即可求解．【詳解】由從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，，由，得，所以，，，，將這個(gè)式子左右兩邊分別相加可得：，所以.所以.故選：B．4．【解析】因?yàn)殪巢瞧鯏?shù)列滿足，，通過(guò)歸納可以得出，,代入即可求解【詳解】因?yàn)殪巢瞧鯏?shù)列滿足，，，∴；；；…；所以，因?yàn)椋蚀鸢笧椋?，．【點(diǎn)睛】本題考查斐波那契數(shù)列的理解和運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)和運(yùn)算能力，屬于中檔題．5．AB【分析】由可得，可判斷B、D選項(xiàng)；先計(jì)算數(shù)列前幾項(xiàng)可發(fā)現(xiàn)規(guī)律,使用歸納法得出結(jié)論：數(shù)列是以6為最小正周期的數(shù)列，可判斷A、C選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：，，所以數(shù)列是以6為最小正周期的數(shù)列，又，所以，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)：，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)：斐波那契數(shù)列總有：，所以，，所以，故B正確；對(duì)于D選項(xiàng)：，，，，。所以，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AB.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的新定義，關(guān)鍵在于運(yùn)用數(shù)列的定義研究其性質(zhì)用于判斷選項(xiàng)，常常采用求前幾項(xiàng)的值，運(yùn)用歸納法找到規(guī)律，屬于難度題.6．ABD【分析】根據(jù)斐波那契數(shù)列的特征得出數(shù)列為，，，，，，，再利用數(shù)列的周期性可得出選項(xiàng)A和C的正誤，利用波那契數(shù)列的特征，可判斷出選項(xiàng)B和D的正誤.【詳解】根據(jù)斐波那契數(shù)列的特征可以看出，數(shù)列為依次連續(xù)兩個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù)，所以數(shù)列為，，，，，，，則數(shù)列為周期數(shù)列，且周期為，選項(xiàng)項(xiàng)A，因?yàn)?，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B，因?yàn)?，故選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，因?yàn)椋?，且，，，所以或，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，因，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.7．C【分析】由遞推公式得性質(zhì)后判斷，【詳解】對(duì)于①，由題意得，故成等差數(shù)列，故①正確，對(duì)于②，由遞推公式可知，，中有兩個(gè)奇數(shù)，1個(gè)偶數(shù)，不可能成等比數(shù)列，故②錯(cuò)誤，對(duì)于③，，故當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，，，成等差數(shù)列；故③正確，對(duì)于④，依次寫(xiě)出數(shù)列中的項(xiàng)為，可得，故④正確，故選：C8．AC【分析】利用斐波那契數(shù)列和洛卡斯數(shù)列的性質(zhì)與特點(diǎn)一一代入檢驗(yàn)即可.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，等式成立；當(dāng)時(shí)，，等式成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，那么當(dāng)時(shí)，，又，，，等式成立；綜上所述：成立，A正確；對(duì)于B，，，又，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，C正確；對(duì)于D，取，則，，有，D錯(cuò)誤.故選：AC.9．CD【分析】推導(dǎo)出當(dāng)或時(shí)，為奇數(shù)，可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用累加法可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用數(shù)學(xué)歸納法可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用扇形的面積公式結(jié)合斐波那契數(shù)列的定義可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，，，，，，，以此類推可知，當(dāng)或時(shí)，為奇數(shù).因?yàn)椋?，為奇?shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，，，，上述不等式全加得，所以，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，，所以，、均滿足.假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，等式也成立，因此，對(duì)任意的，，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由已知條件可知，，則，D選項(xiàng)正確.故選：CD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與“歸納——猜想——證明”相關(guān)的常用題型的處理策略：（1）與函數(shù)有關(guān)的證明：與已知條件驗(yàn)證前幾個(gè)特殊值正確得出猜想，充分利用已知條件并用數(shù)學(xué)歸納法證明；（2）與數(shù)列有關(guān)的證明：利用已知條件，當(dāng)直接證明遇阻時(shí)，可考慮使用數(shù)學(xué)歸納法.10．AD【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式可判斷選項(xiàng)A，再根據(jù)累加法計(jì)算判斷選項(xiàng)B，根據(jù)扇形的面積公式判斷選項(xiàng)C，再次應(yīng)用累加法及遞推公式判斷選項(xiàng)D.【詳解】由遞推公式，可得，，所以，A選項(xiàng)正確；又由遞推公式可得，，，類似的有，累加得，故錯(cuò)誤，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；由題可知扇形面積，故，故錯(cuò)誤，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；由，，，，類似的有，累加得，又，所以，所以正確，D選項(xiàng)正確；故選：AD.11．【分析】記A中所有偶數(shù)組成的集合為C，所有奇數(shù)組成的集合為D，集合C的子集為E，集合D中含有奇數(shù)個(gè)元素的子集為F，則所有元素之和為奇數(shù)的集合B可看成，然后可解.【詳解】由斐波那契數(shù)列規(guī)律可知，集合中的元素有674個(gè)偶數(shù)，1350個(gè)奇數(shù)，記A中所有偶數(shù)組成的集合為C，所有奇數(shù)組成的集合為D，集合C的子集為E，集合D中含有奇數(shù)個(gè)元素的子集為F，則所有元素之和為奇數(shù)的集合B可看成，顯然集合E共有個(gè)，集合F共有個(gè)，所以所有元素之和為奇數(shù)的集合B共有個(gè)，又集合A的非空子集共有個(gè)，所以B中所有元素之和為奇數(shù)的概率為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是將集合分拆成所有偶數(shù)組成的集合及所有奇數(shù)組成的集合，利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求出含有奇數(shù)個(gè)奇數(shù)組成的集合個(gè)數(shù).12．2016【分析】根據(jù)已知條件可以得到，則,即依次類推即可解得.【詳解】斐波那契數(shù)列總有則，即，，……，，∴故是斐波那契數(shù)列中的第2016項(xiàng)．故答案為：201613．8【分析】將不等式化為，即，再根據(jù)斐波那契數(shù)列為遞增數(shù)列，且，可得答案.【詳解】由，得，得，得，得，，所以，令，則數(shù)列即為斐波那契數(shù)列，，則，顯然數(shù)列為遞增數(shù)列且，所以數(shù)列亦為遞增數(shù)列，由，得，，，，，，因?yàn)?，，所以使得成立的的最小值?．故答案為：.【點(diǎn)睛】