【數(shù)學(xué)】球的表面積和體積及球與幾何體的切接問題課件-2023-2024學(xué)年高一下人教A版（2019）必修第二冊(cè)

8.3.2球的表面積和體積及球與幾何體的切接問題人教2019A版必修第二冊(cè)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握球的表面積和體積公式2.會(huì)求特殊柱體、椎體的內(nèi)切球、外接球的半徑3.體會(huì)空間問題平面化的降維處理思想及數(shù)形結(jié)合思想健康、幸福、追求卓越S球=4πR2把一個(gè)半徑為R的球的上半球橫向切成n(無窮大)份，每份等高并且把每份看成一個(gè)類似圓柱，其中半徑等于底面圓半徑，則從下到上第k個(gè)圓柱的側(cè)面積為O'Ork??h?kh

講授新知

球的表面積如圖,把球O的表面分成n個(gè)小網(wǎng)格,連接球心O和每個(gè)小網(wǎng)格的頂點(diǎn),整個(gè)球體就被分割成n個(gè)全等“小錐體”.OABCD球的體積當(dāng)n越大，每個(gè)小網(wǎng)格越小，每個(gè)“小椎體”的底面越平，“小椎體”就越接近似于棱錐，其高越近似于球的半徑R.設(shè)O-ABCD是其中一個(gè)“小椎體”，那么它的體積就為由于球的體積就是這n個(gè)“小椎體”的體積之和，因此，球的體積為O極限思想球表面積公式：球體積公式：

1.球的表面積與體積公式√2.球的性質(zhì)性質(zhì)2:球心和截面圓心的連線垂直于截面．性質(zhì)1：用一個(gè)平面去截球，截面是圓面；用一個(gè)平面去截球面，截線是圓。大圓--截面過球心，半徑等于球半徑；小圓--截面不過球心組卷網(wǎng)性質(zhì)3:球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r有下面的關(guān)系:A

（2）若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球

（1）

若一個(gè)多面體的各頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的外接球

3.球與多面體的內(nèi)切、外接

（3）若一個(gè)多面體的各棱都與一個(gè)球的球面相切，這個(gè)球是這個(gè)多面體的棱切球

（球心到各頂點(diǎn)的距離為半徑）（球心到各個(gè)面的距離為半徑）（球心到各棱的距離為半徑）正方體與球①外接球OABCD直徑等于正方體的體對(duì)角線長②內(nèi)切球直徑等于正方體的棱長.③棱切球直徑等于正方體的面對(duì)角線長設(shè)正方體的棱長為a，其內(nèi)切球的半徑為R，則a＝2R，(2)將兩個(gè)半徑為1的小鐵球熔化后鑄成一個(gè)大球，則這個(gè)大球的半徑R為________．索引思考:一般的長方體有內(nèi)切球或棱切球嗎？長方體與球長方體的外接球Oabc長方體的體對(duì)角線等于球直徑?jīng)]有。一個(gè)球在長方體內(nèi)部，最多可以和該長方體的5個(gè)面相切。柱體與球①內(nèi)切球球的直徑為棱柱高由過圓心且平行于底面截面圖，求出球的半徑.②外接球ro1oo2●R

直棱柱外接球直棱柱或圓柱外接球半徑公式?O?O2CBAa?O1B柱體與球錐體外接球?qū)ふ規(guī)缀误w外接球球心步驟第1步：確定底面外接圓圓心第2步：計(jì)算地面外接圓半徑r（正弦定理）第3步：過底面圓心作底面垂線第4步：在垂線上取一點(diǎn)O，設(shè)球心到底面距離為X第5步：利用點(diǎn)O到各個(gè)頂點(diǎn)距離相等建立方程第6步：通過方程求出X，故得O1O?ODR?O′PCBAa解1：連接PO'，則

由圖可知，R解2：補(bǔ)形法.?OPCBAACBPO即時(shí)練36πOOAO′P??R

RO′?PO′=4，OO′=4－R，AO=RAO2=OO′2+AO′2，R=3即時(shí)練

O?O′錐體與球例4

正三棱錐的高為1，底面邊長為2，內(nèi)有一個(gè)球與它的四個(gè)面都相切，求內(nèi)切球的表面積與體積．ABCDPOE解1：如圖，P-ABC為正三棱錐,設(shè)球的半徑為r，底面中心為點(diǎn)D,內(nèi)切球球O與底面ABC切于點(diǎn)D,與側(cè)面PBC切于點(diǎn)F,PE為斜高D,過PA,PD作軸截面，交BC邊中點(diǎn)E,∴PD=1,易知

，S球=4πr2=V球=πr3=rrOEPADF連接OF由△POF∽△PED，得

，解得r=設(shè)球的半徑為r，底面中心為D,取BC邊中點(diǎn)EABCDPOE解2：如圖，P-ABC為正三棱錐,以球心O為頂點(diǎn)，棱錐的四個(gè)面為底面把正三棱錐分割為四個(gè)小棱錐PE為斜高,∴S球=4πr2=V球=πr3=例4

正三棱錐的高為1