【數(shù)學(xué)】球體的體積與表面積課件-2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

一、球體的體積與表面積課程目標(biāo)

1．掌握球的表面積和體積計(jì)算公式．2．能運(yùn)用球的表面積和體積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問題．3.掌握球的有關(guān)切、接問題祖暅簡(jiǎn)介祖暅(5世紀(jì)-6世紀(jì))，字景爍，我國(guó)南北朝時(shí)期偉大科學(xué)家，祖沖之之子.“祖暅原理”被西方稱為“卡瓦列里”原理，要比其他國(guó)家早一千多年.在歐洲直到17世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里才發(fā)現(xiàn)“祖暅原理”的結(jié)論.成就:祖暅修補(bǔ)編輯了祖沖之的《綴術(shù)》,十分巧妙的推導(dǎo)了球的體積公式.祖暅原理祖暅原理：冪勢(shì)既同，則積不容異.水平截面面積高

這就是說,夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，如果被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積一定相等，如圖所示.祖暅原理與柱體體積其中S是柱體的底面積，h是柱體的高.

等底面積等高的兩個(gè)錐體體積相等.祖暅原理與球體體積

RR祖暅原理與球體體積

祖暅原理與球體體積

RR利用祖暅原理推導(dǎo)球的體積公式一個(gè)半徑和高都等于R的圓柱，挖去一個(gè)以上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐后，所得的幾何體的體積與一個(gè)半徑為R的半球的體積相等。探究球體請(qǐng)類比圓面積公式的推導(dǎo)過程，利用球的體積公式推導(dǎo)球的面積公式。

思考：類比這種方法你能由球的表面積公式推導(dǎo)出球的表面積公式?

第一步：分割．

如圖，將球O的表面分成

n個(gè)小網(wǎng)格，連接球心

O和每個(gè)小網(wǎng)格的頂點(diǎn)，整個(gè)球體就被分割成

n個(gè)“小錐體”.

第二步：近似替代．

當(dāng)n越大時(shí)，每個(gè)小網(wǎng)格就越小，每個(gè)“小錐體”的底面就越平,“小錐體”就越近似于棱錐，棱錐的高近似于球半徑R．

設(shè)O-ABCD是其中一個(gè)“小錐體”，則它的體積是

推理：

第三步：由近似和求得球體的表面積．

由于球的體積是這n個(gè)“小錐體”的體積之和，而這n個(gè)“小錐體”的底面積之和就是球的表面積．

因此球的體積：球的表面積

4πR2球的體積公式與表面積公式

基礎(chǔ)訓(xùn)練1.若球的半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，則其表面積變?yōu)樵瓉淼腳__倍，其體積變?yōu)樵瓉淼腳__倍.2.若球的半徑為2，則其體積為___，表面積為______.3.當(dāng)一個(gè)球的半徑滿足什么條件時(shí)，其體積和表面積的數(shù)值相等？

例1.如圖示，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，求球與圓柱的體積之比.R設(shè)球的半徑為R，則解：O圓柱的底面半徑也為R，高h(yuǎn)=2R.即球與圓柱的體積之比為2:3.

思考：若圓柱、圓錐的底面直徑和高都等于球的直徑，那么圓錐、球、圓柱的體積之比是怎樣的？練習(xí)及作業(yè)二、球體的切、接問題1、球的性質(zhì)

性質(zhì)2:

球心和截面圓心的連線垂直于截面．性質(zhì)1：用一個(gè)平面去截球，截面是圓面；用一個(gè)平面去截球面，截線是圓。大圓--截面過球心，半徑等于球半徑；小圓--截面不過球心性質(zhì)3:球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r

有下面的關(guān)系:A3、球與多面體的接、切定義1：若一個(gè)多面體的各頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，

則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體，

這個(gè)球是這個(gè)定義2：若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，

則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，

這個(gè)球是這個(gè)2、球體的體積與表面積①②多面體的外接球多面體的內(nèi)切球棱切：一個(gè)幾何體各個(gè)面分別與另一個(gè)幾何體各條棱相切。正方體的內(nèi)切球,棱切球,外接球4、正方體與球內(nèi)切球棱切球外接球切點(diǎn)：各個(gè)面的中心。球心：正方體的中心。直徑：相對(duì)兩個(gè)面中心連線。o球的直徑等于正方體棱長(zhǎng)。（1）正方體的內(nèi)切球（2）球與正方體的棱相切球的直徑等于正方體一個(gè)面上的對(duì)角線長(zhǎng)切點(diǎn)：各棱的中點(diǎn)。球心：正方體的中心。直徑：“對(duì)棱”中點(diǎn)連線(3)、正方體的外接球球直徑等于正方體的體對(duì)角線變式題：一個(gè)正方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，若該正方體的表面積為24，則該球的體積為

.例1、若棱長(zhǎng)為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為

.5、長(zhǎng)方體與球（1）、長(zhǎng)方體的外接球長(zhǎng)方體的體對(duì)角線等于球直徑

一般的長(zhǎng)方體有內(nèi)切球嗎？沒有。一個(gè)球在長(zhǎng)方體內(nèi)部，最多可以和該長(zhǎng)方體的5個(gè)面相切。如果一個(gè)長(zhǎng)方體有內(nèi)切球，那么它一定是正方體？例2、一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別為1,2,3，則此球的表面積為

.解析：關(guān)鍵是求出球的半徑，因?yàn)殚L(zhǎng)方體內(nèi)接于球，所以它的體對(duì)角線正好為球的直徑。長(zhǎng)方體體對(duì)角線長(zhǎng)為，故球的表面積為.變式題：已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積為（）A.B.C.D.C6、球體與棱柱OPABCDKH7、棱錐與球7、棱錐與球（2）正四面體與球正四面體的棱長(zhǎng)為a，則其內(nèi)切球和外接球的半徑是多少？

圖1解：如圖1所示，設(shè)點(diǎn)o是內(nèi)切球的球心，正四面體棱長(zhǎng)為a．由圖形的對(duì)稱性知，點(diǎn)o也是外接球的球心．設(shè)內(nèi)切球半徑為r，外接球半徑為R．正四面體的表面積正四面體的體積在中，即，得得求棱長(zhǎng)為a的正四面體的外接球的半徑R.（2）正四面體與球求棱長(zhǎng)為a的正四面體的內(nèi)切球的半徑r.

正四面體的外接球和內(nèi)切球的球心為什么重合？（2）正四面體與球圖1正四面體的外接球和內(nèi)切球的球心一定重合R:r=3:1（2）正四面體與球圖1

例3、求棱長(zhǎng)為1的正四面體外接球的體積．（3）正棱錐面體與球例4正四棱錐S-ABCD的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為，點(diǎn)S,A,B,C,D都在同一球面上，則此球的體積為

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補(bǔ)形SABCcba正四面體常常補(bǔ)成正方體求外接球的半徑三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐常補(bǔ)成長(zhǎng)方體小結(jié):常見的補(bǔ)形答案

A【作業(yè)及練習(xí)】答案

BV正方體＝a3＝(