信號與系統(tǒng)：第10講 應(yīng)用傅里葉分析方法研究線性時不變系統(tǒng)

第十講應(yīng)用傅里葉分析方法研究線性時不變系統(tǒng)內(nèi)容提要利用傅里葉分析求解線性常系數(shù)微分方程應(yīng)用舉例：補(bǔ)償系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問題內(nèi)容提要利用傅里葉分析求解線性常系數(shù)微分方程應(yīng)用舉例：補(bǔ)償系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問題線性常系數(shù)微分方程及其時域求解

特解，是一個與輸入x(t)同類型的函數(shù)通解，是如下齊次微分方程的解(齊次解)：受迫響應(yīng)自然響應(yīng)利用傅里葉分析方法求解微分方程

利用傅里葉分析方法求解微分方程

有理分式利用傅里葉分析方法求解微分方程

利用傅里葉分析方法求解微分方程假設(shè)輸入信號為：則輸出信號的傅里葉變換為：

所以：連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的方框圖實(shí)現(xiàn)線性常系數(shù)積分方程連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的方框圖實(shí)現(xiàn)連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的直接I型實(shí)現(xiàn)連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的方框圖實(shí)現(xiàn)連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的直接II型實(shí)現(xiàn)利用傅里葉分析研究由方框圖描述的系統(tǒng)另一種解法關(guān)于M與N的關(guān)系問題考察具有如下形式的函數(shù)：如果，則：這說明系統(tǒng)中包含微分環(huán)節(jié)，這樣的系統(tǒng)在實(shí)際中一般來說是不存在的。

內(nèi)容提要利用傅里葉分析求解線性常系數(shù)微分方程應(yīng)用舉例：補(bǔ)償系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問題無線傳感器網(wǎng)絡(luò)無線傳感器網(wǎng)絡(luò)傳感器節(jié)點(diǎn)（Sensors）對周圍環(huán)境進(jìn)行感知和測量，收集數(shù)據(jù)采集到的數(shù)據(jù)通過無線的方式發(fā)送至數(shù)據(jù)融合中心，進(jìn)行分析和判斷無線傳感器網(wǎng)絡(luò)（WirelessSensorNetworks,WSN）在自然環(huán)境監(jiān)測、工業(yè)過程控制、遠(yuǎn)程醫(yī)療、智能家居等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用無線傳感器網(wǎng)絡(luò)無線傳感器網(wǎng)絡(luò)無線傳感器網(wǎng)絡(luò)傳感器網(wǎng)絡(luò)中的數(shù)據(jù)采集與補(bǔ)償問題考慮一個測量液體溫度的傳感器節(jié)點(diǎn)。由于測量元件響應(yīng)特性的缺陷，系統(tǒng)不能對溫度的變化作出瞬時的響應(yīng)，我們可以將它建模為一個LTI系統(tǒng)，并將其單位階躍響應(yīng)描述為s(t)=(1-e-t/2)u(t)。請?jiān)O(shè)計(jì)一個補(bǔ)償系統(tǒng)，當(dāng)把該測量元件的輸出提供給該系統(tǒng)時，它產(chǎn)生的輸出等于液體的實(shí)際瞬時溫度。傳感器網(wǎng)絡(luò)中的數(shù)據(jù)采集與補(bǔ)償問題分析與求解：上述問題本質(zhì)上是一個逆系統(tǒng)設(shè)計(jì)問題。其頻率響應(yīng)為：因此，補(bǔ)償系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：測量元件的單位沖激響應(yīng)為：傳感器網(wǎng)絡(luò)中的數(shù)據(jù)采集與補(bǔ)償問題在實(shí)際的測量系統(tǒng)中，不可避免地存在測量誤差，我們把這一效果用一噪聲信號n(t)來建模。這樣，所考慮的系統(tǒng)將如下圖所示。現(xiàn)假定n(t)=sinωt，求n(t)通過逆系統(tǒng)的輸出，并考慮：隨著ω的增加，這個輸出將怎樣變化？傳感器網(wǎng)絡(luò)中的數(shù)據(jù)采集與補(bǔ)償問題分析與求解：可見，在整個系統(tǒng)的輸出中，除了包含原有噪聲之外，還有一個正比于ω的噪聲輸出。噪聲信號通過該系統(tǒng)后的輸出為：由上一問，補(bǔ)償系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為：系統(tǒng)的響應(yīng)速度和對高頻干擾的抑制能力之間存在折衷與權(quán)衡傳感器網(wǎng)絡(luò)中的數(shù)據(jù)采集與補(bǔ)償問題為了進(jìn)一步說明上述思想，考慮如下圖所示的測量裝置。我們試圖設(shè)計(jì)這樣一個補(bǔ)償系統(tǒng)，它的單位沖激響應(yīng)為g(t)=ae-atu(t)。試選擇合適的a，使得系統(tǒng)在滿足對噪聲輸入n(t)=sin6t所產(chǎn)生的輸出幅度不大于1/4的條件下，對溫度階躍變化的響應(yīng)盡量快。傳感器網(wǎng)絡(luò)中的數(shù)據(jù)采集與補(bǔ)償問題分析與求解：為了滿足抑