高中數(shù)學同步講義（人教A版選擇性必修一）第15講 2.1.2兩條直線平行和垂直的判定（教師版）

第02講2.1.2兩條直線平行和垂直的判定課程標準學習目標①理解兩條直線平行的條件及兩條直線垂直的條件。②能根據(jù)直線的斜率判斷兩條直線平行或垂直.。③能應(yīng)用兩條直線平行或垂直解決相關(guān)問題，理解用代數(shù)法解決幾何問題.。通過本節(jié)課的學習，理解兩條直線平行與垂直的幾何位置與代數(shù)運算相結(jié)合的條件與意義，能應(yīng)用兩直線的斜率的關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系，并能解決與兩條直線位置關(guān)系相關(guān)聯(lián)的綜合問題.知識點01：兩條直線平行對于兩條不重合的直線，，其斜率分別為，，有.對兩直線平行與斜率的關(guān)系要注意以下幾點(1)成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在；②與不重合．(2)當兩條直線不重合且斜率都不存在時，與的傾斜角都是，則.(3)兩條不重合直線平行的判定的一般結(jié)論是：或，斜率都不存在.【即學即練1】（多選）（2023·廣西桂林·高二?？计谥校┤魹閮蓷l不重合的直線，他們的傾斜角分別為，斜率分別為，則下列命題正確的是（

）A．若，則斜率 B．若斜率，則C．若，則傾斜角 D．若傾斜角，則【答案】ABCD【詳解】因為為兩條不重合的直線，他們的傾斜角分別為，斜率分別為，若，則斜率相等，即；又斜率是傾斜角的正切值，所以，故AC正確；若，則，所以，故BD正確；故選：ABCD知識點02：兩條直線垂直如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于；反之，如果它們的斜率之積等于，那么它們互相垂直，即.對兩直線垂直與斜率的關(guān)系要注意以下幾點(1)成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在；②且.(2)兩條直線中，一條直線的斜率不存在，同時另一條直線的斜率等于零，則兩條直線垂直．(3)判定兩條直線垂直的一般結(jié)論為：或一條直線的斜率不存在，同時另一條直線的斜率等于零．【即學即練2】（多選）（2023·廣西欽州·高二浦北中學統(tǒng)考期末）已知兩條不重合的直線，，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ABD【詳解】對A，若，則，故A正確；對B，若，又兩直線不重合，則，故B正確；對C，若，則與不垂直，故C錯誤；對D，若，則，故D正確.故選：ABD.題型01兩直線平行關(guān)系的判定【典例1】（多選）（2023春·廣西柳州·高二?？茧A段練習）已知直線與為兩條不重合的直線，則下列命題正確的是（

）A．若，則斜率B．若斜率，則C．若傾斜角，則D．若，則傾斜角【答案】BCD【詳解】A選項，，可能直線與的傾斜角都是，斜率不存在，所以A選項錯誤.B選項，根據(jù)直線的位置關(guān)系，當直線的斜率存在，并且相等，則直線平行，所以B選項正確.C選項，當兩條直線的傾斜角相等時，直線平行，所以C選項正確.D選項，當兩條直線平行時，則傾斜角必相等，所以D選項正確.故選：BCD【典例2】（2023春·山東濱州·高一校考階段練習）已知點，，，，試判定四邊形的形狀．【答案】直角梯形【詳解】由斜率公式可得：，與BC不平行又，，故四邊形ABCD是直角梯形．【典例3】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）判斷下列各組直線是否平行，并說明理由．(1)經(jīng)過點，經(jīng)過點；(2)的斜率為，經(jīng)過點.【答案】(1)不平行，理由見解析(2)不平行，理由見解析【詳解】（1）設(shè)直線，的斜率分別為，，因為經(jīng)過點，經(jīng)過點，所以，，所以，所以與不平行；（2）設(shè)直線，的斜率分別為，，則，因為經(jīng)過點，所以，所以，所以與不平行.【變式1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）判斷下列各題中直線與是否平行．(1)經(jīng)過點，，經(jīng)過點，；(2)經(jīng)過點，，經(jīng)過點，．【答案】(1)不平行(2)平行【詳解】（1）因為經(jīng)過點，，所以，又經(jīng)過點，，所以，因為，所以與不平行；（2）直線經(jīng)過點，的方程為，直線經(jīng)過點，的方程為，故直線和直線平行；【變式2】（2023·全國·高二專題練習）判斷下列不同的直線與是否平行.（1）的斜率為2，經(jīng)過，兩點；（2）經(jīng)過，兩點，平行于軸，但不經(jīng)過，兩點；（3）經(jīng)過，兩點，經(jīng)過，兩點．【答案】（1）平行；（2）平行；（3）平行.【詳解】（1）經(jīng)過，兩點，則，則，可得兩直線平行.（2）經(jīng)過，兩點，可得平行于x軸，平行于x軸，但不經(jīng)過P，Q兩點，所以；（3）經(jīng)過，兩點，，經(jīng)過，兩點，則，所以.題型02兩直線垂直關(guān)系的判定【典例1】（2023秋·高二課時練習）以為頂點的四邊形是（

）A．平行四邊形，但不是矩形 B．矩形 C．梯形，但不是直角梯形 D．直角梯形【答案】D【詳解】

在坐標系中畫出ABCD點，大致如上圖，其中，，，所以四邊形ABCD是直角梯形；故選：D.【典例2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）判斷下列各組直線是否垂直，并說明理由．(1)經(jīng)過點經(jīng)過點；(2)經(jīng)過點經(jīng)過點．【答案】(1)不垂直，理由見解析(2)垂直，理由見解析【詳解】（1）由題知直線，的斜率存在，分別設(shè)為，，，，∴與不垂直．（2）由題意知的傾斜角為90°，則軸；由題知直線的斜率存在，設(shè)為，，則軸，∴．【變式1】（多選）（2023春·廣西柳州·高二校考階段練習）（多選）若，，，，下面結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【詳解】，，且C不在直線AB上，∴，故A正確；又∵，∴，∴，故B正確；∵，，∴，，∴，故C正確；又∵，，∴∴，故D錯誤．故選:ABC．【變式2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知四邊形的頂點坐標為，求證：四邊形為矩形．【答案】證明見解析【詳解】因為，所以，，所以，，所以∥，∥，所以四邊形為平行四邊形，因為，所以，所以四邊形為矩形.題型03已知兩直線平行關(guān)求參數(shù)【典例1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知過和的直線與斜率為－2的直線平行，則的值是（

）A．－8 B．0 C．2 D．10【答案】A【詳解】由題意可知，，解得．故選：A【典例2】（2022秋·四川遂寧·高二遂寧中學?？茧A段練習）若直線與平行，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】直線與平行，所以，.故選：C.【典例3】（2022秋·河南濮陽·高二?？茧A段練習）若直線與直線平行，直線的斜率為，則直線的傾斜角為___________.【答案】【詳解】解：因為直線與直線平行，直線的斜率為，所以直線的斜率與直線的斜率相等，即直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，所以，即直線的傾斜角為，故答案為：.【變式1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線的傾斜角為，直線的斜率為，若∥，則的值為________．【答案】/2或/或2【詳解】由題意知，解得.故答案為：【變式2】（2022·高二課時練習）過點兩點的直線與直線平行，直線的傾斜角為，則___________【答案】【詳解】因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率，過兩點的直線的斜率，由直線與直線平行，所以解得.故答案為：.題型04已知兩直線垂直關(guān)求參數(shù)【典例1】（2023·全國·高二專題練習）過點，的直線與過點，的直線垂直，則的值為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【詳解】兩條直線垂直，則：，解得，故選：A．【典例2】（2023春·甘肅蘭州·高二蘭州五十九中?？奸_學考試）已知經(jīng)過點和點的直線與經(jīng)過點和點的直線互相垂直，則實數(shù)的值為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【詳解】直線的斜率．①當時，直線的斜率．因為，所以，即，解得．②當時，、，此時直線為軸，又、，則直線為軸，顯然．綜上可知，或.故選：C.【典例3】（2023春·黑龍江佳木斯·高二富錦市第一中學?？茧A段練習）已知直線經(jīng)過，兩點，且直線，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，因為直線的斜率，由，得，所以，即，又，則，所以直線的傾斜角為．故選：B．【變式1】（2023春·甘肅武威·高二民勤縣第一中學?？奸_學考試）已知三角形三個頂點的坐標分別為，，，則邊上的高的斜率為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【詳解】，，設(shè)邊上的高的斜率為，則，故選：C【變式2】（2023秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中學校考期末）已知點和，點在軸上，且為直角，則點坐標為（

）A． B．或 C．或 D．【答案】B【詳解】由題意，設(shè)點，為直角，，由，，解得或，所以點的坐標為或故選：B題型05直線平行、垂直在幾何中的應(yīng)用【典例1】（2022秋·青海海東·高二?？计谥校┮阎c，，，是的垂心．則點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)C點標為，直線AH斜率，∴，而點B的橫坐標為6，則，直線BH的斜率，∴直線AC斜率，∴，∴點C的坐標為．故選:.【典例2】（2022·高二課時練習）已知點，，，，求證：四邊形是梯形．【答案】證明見解析【詳解】由點，，，，可得,而,,故,但,所以四邊形ABCD是梯形．【變式1】（2022·高二課時練習）順次連接，，)，)所構(gòu)成的圖形是（）A．平行四邊形 B．直角梯形C．等腰梯形 D．以上都不對【答案】B【詳解】，，則，所以,與不平行，因此故構(gòu)成的圖形為直角梯形.故選：B.【變式2】（2023·全國·高二專題練習）已知的三個頂點的坐標分別為，，，則頂點的坐標為________.【答案】(3,4)【詳解】設(shè)頂點D的坐標為(x,y)，∵ABDC，ADBC，∴，解得，∴點D的坐標為(3,4).故答案為：(3,4).【變式3】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知，，，四點，若順次連接四點，試判斷圖形的形狀．【答案】直角梯形【詳解】由斜率公式，得，，，,所以，又因為,說明與不重合，所以．因為，所以與不平行．又因為，所以．故四邊形為直角梯形．A夯實基礎(chǔ)B能力提升A夯實基礎(chǔ)1．（2023秋·廣東廣州·高二廣州市培正中學?？计谥校┮阎本€的傾斜角為，直線，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為直線的傾斜角為，所以，又，所以.故選：C.2．（2023秋·山東泰安·高二統(tǒng)考期末）若直線與直線平行，則實數(shù)k的值為（

）A． B． C． D．3【答案】D【詳解】因為直線與直線平行，所以兩直線斜率相等，即.故選：D.3．（2023·全國·高二專題練習）下列說法中正確的是（

）A．若兩條直線斜率相等，則它們互相平行B．若，則C．若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線相交D．若兩條直線的斜率都不存在，則它們相互平行【答案】C【詳解】若兩條直線斜率相等，則它們互相平行或重合，A錯誤；若，則或，的斜率都不存在，B錯誤；若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線相交，C正確；若兩條直線的斜率都不存在，則它們互相平行或重合，D錯誤．故選：C.4．（2023秋·天津和平·高二天津一中校考期末）已知直線：，：，若，則實數(shù)（

）A．－2 B．－1 C．0 D．1【答案】D【詳解】已知直線：，：，因為，所以故選：D5．（2023春·上海長寧·高二上海市第三女子中學?？计谥校皟蓷l直線的斜率乘積為”是“兩條直線互相垂直”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【詳解】當兩條直線斜率乘積為時，兩條直線互相垂直，充分性成立；當兩條直線互相垂直時，其中一條直線可能斜率不存在，必要性不成立；“兩條直線的斜率乘積為”是“兩條直線互相垂直”的充分不必要條件.故選：A.6．（2023春·河北承德·高二承德市雙灤區(qū)實驗中學校考開學考試）已知直線經(jīng)過，兩點，直線的傾斜角為，那么與A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直【答案】A【詳解】直線經(jīng)過，兩點

直線的斜率：直線的傾斜角為

直線的斜率：

本題正確選項：二、多選題7．（2022秋·高二課時練習）下列說法中正確的有（

）A．若兩直線平行，則兩直線的斜率相等B．若兩直線的斜率相等，則兩直線平行C．若兩直線的斜率乘積等于，則兩直線垂直D．若兩直線垂直，則兩直線的斜率乘積等于【答案】BC【詳解】對于A，兩直線平行，可以是斜率都不存在，所以A錯誤；對于B，若兩直線的斜率相等，則兩直線平行，所以B正確；對于C，若兩直線的斜率乘積等于，則兩直線垂直，故C正確；對于D，若兩直線垂直，可能是一條直線斜率為0，另一條直線斜率不存在，則不是兩直線的斜率乘積等于，故D錯誤；故選：BC8．（2022秋·新疆喀什·高二新疆維吾爾自治區(qū)喀什第六中學?？计谥校┤襞c為兩條不重合的直線，則下列說法中正確的有（

）A．若，則它們的斜率相等 B．若與的斜率相等，則C．若，則它們的傾斜角相等 D．若與的傾斜角相等，則【答案】BCD【詳解】對于A，當和傾斜角均為時，，但兩直線斜率不存在，A錯誤；對于B，若和斜率相等，則兩直線傾斜角相等，可知，B正確；對于C，若，可知兩直線傾斜角相等，C正確；對于D，若兩直線傾斜角相等，則兩直線斜率相等或兩直線斜率均不存在，可知，D正確.故選：BCD.三、填空題9．（2022秋·廣西玉林·高二?？茧A段練習）若與為兩條不重合的直線，它們的傾斜角分別為，，斜率分別為，，則下列命題①若，則斜率；

②若斜率，則；③若，則傾斜角；④若傾斜角，則；其中正確命題的個數(shù)是______．【答案】【詳解】解：因為與為兩條不重合的直線，且它們的傾斜角分別為，，斜率分別為，.①由于斜率都存在，若，則，此命題正確；②因為兩直線的斜率相等即斜率，得到傾斜角的正切值相等即，即可得到，所以，此命題正確；③因為，根據(jù)兩直線平行，得到，此命題正確；④因為兩直線的傾斜角，根據(jù)同位角相等，得到，此命題正確；所以正確的命題個數(shù)是4．故答案為：．