高中數(shù)學同步講義（人教A版選擇性必修一）第28講 3.2.1雙曲線及其標準方程（學生版）

第03講3.2.1雙曲線及其標準方程課程標準學習目標①掌握雙曲線的定義，幾何圖形，熟記雙曲線的標準方程，并能初步應用。②通過對雙曲線標準方程的推導，提高求動點軌跡方程的能力。③初步會按特定條件求雙曲線的標準方程。通過本節(jié)課的學習，要求掌握雙曲線的定義（相關的量的掌握）及雙曲線的標準方程（滿足的條件），會求與雙曲線有關的幾何量.知識點01：雙曲線的定義1、定義:一般地,我們把平面內(nèi)與兩個定點,的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.2、集合語言表達式雙曲線就是下列點的集合:.3、說明若將定義中差的絕對值中的絕對值符號去掉,則點的軌跡為雙曲線的一支,具體是哪一支,取決于與的大小.(1)若,則,點的軌跡是靠近定點的那一支;(2)若,則,點的軌跡是靠近定點的那一支.【即學即練1】（2023秋·高二課時練習）平面內(nèi)到兩個定點的距離之差的絕對值等于的點的軌跡是（

）A．雙曲線 B．兩條射線 C．一條線段 D．一條直線【答案】B【詳解】如圖：設動點為，到兩個定點的距離之差的絕對值為，則若在線段（不包含兩端點）上，有；若在直線外，有；若在線段的延長線上或線段的反向延長線上（均包含兩端點），則有.故選：B知識點02：雙曲線的標準方程焦點位置焦點在軸上焦點在軸上標準方程（）（）圖象焦點坐標，，的關系兩種雙曲線，（）的相同點是:它們的形狀、大小都相同,都有,;不同點是:兩種雙曲線的位置不同,它們的焦點坐標也不同.【即學即練2】（2023秋·高二課時練習）已知雙曲線對稱軸為坐標軸，中心在原點，兩焦點為，直線過雙曲線的一個焦點，P為雙曲線上一點，且，則雙曲線的方程為．【答案】或【詳解】由題意，點為雙曲線上一點，且，可得，即，解得，又由直線過雙曲線的一個焦點，當時，可得；當時，可得；當雙曲線的焦點在軸上時，雙曲線的一個焦點坐標為，即，則，此時雙曲線的方程為；當雙曲線的焦點在軸上時，雙曲線的一個焦點坐標為，即，則，此時雙曲線的方程為，所以雙曲線的方程為或.故答案為：或題型01雙曲線定義的理解【典例1】（2023春·安徽滁州·高二?？奸_學考試）若雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線上，且，則（

）A． B． C．或 D．或【典例2】（2023·全國·高三專題練習）若動點滿足關系式，則點的軌跡是（

）A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線一支【變式1】（2023秋·遼寧錦州·高三統(tǒng)考期末）雙曲線：的左右焦點分別為，，一條漸近線方程為，若點在雙曲線上，且，則（

）A．7 B．9 C．1或9 D．3或7【變式2】（2023秋·北京石景山·高二統(tǒng)考期末）雙曲線右支上一點A到右焦點的距離為3，則點A到左焦點的距離為（

）A．5 B．6 C．9 D．11題型02利用雙曲線定義求方程【典例1】（2023春·四川德陽·高二德陽五中校考階段練習）已知點，，動點滿足條件．則動點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【典例2】（2023秋·山東臨沂·高二臨沂第三中學?？计谀┮粍訄AP過定點，且與已知圓N：相內(nèi)切，則動圓圓心P的軌跡方程是．【變式1】（2023·高二課時練習）到點，的距離的差的絕對值等于6的點的雙曲線的標準方程為．【變式2】2023·全國·高三專題練習）已知圓：，圓：，圓與圓、圓外切，求圓心的軌跡方程題型03利用雙曲線定義求點到焦點距離及最值【典例1】（2023·高二課時練習）已知雙曲線在左支上一點M到右焦點的距離為18，N是線段的中點，O為坐標原點，則等于（

）A．4 B．2 C．1 D．【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的左焦點為，點是雙曲線右支上的一點，點是圓上的一點，則的最小值為（

）A．5 B． C．7 D．8【典例3】（2023春·湖南株洲·高二株洲二中?？茧A段練習）雙曲線的左?右焦點是、，點在雙曲線上，若，則（

）A． B． C．或 D．或【變式1】（2023秋·北京豐臺·高二北京市第十二中學校考期末）已知是雙曲線的兩個焦點，點在雙曲線上，若，則（

）A．1或9 B．3或7 C．9 D．7【變式2】（2023·高二課時練習）是雙曲線=1的右支上一點，M、N分別是圓和=4上的點，則的最大值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【變式3】（2023·高二課時練習）若點在曲線上，點在曲線上，點在曲線上，則的最大值是（

）A． B． C． D．題型04利用雙曲線定義求雙曲線中線段和差最值【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知點，雙曲線的左焦點為，點在雙曲線的右支上運動.當?shù)闹荛L最小時，（

）A． B． C． D．【典例2】（2023春·寧夏石嘴山·高二平羅中學?？茧A段練習）已知，雙曲線C：的左焦點為F，P是雙曲線C的右支上的動點，則的最大值是（

）A． B． C． D．【典例3】（2023·全國·高三專題練習）過雙曲線的左焦點F作圓的一條切線（切點為T），交雙曲線右支點于P，點M為線段FP的中點，連接MO，則的最大值為．【變式1】（2023秋·湖北·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左焦點為，M為雙曲線C右支上任意一點，D點的坐標為，則的最大值為（

）A．3 B．1 C． D．【變式2】（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）已知雙曲線，其一條漸近線方程為，右頂點為A，左，右焦點分別為，，點P在其右支上，點，三角形的面積為，則當取得最大值時點P的坐標為（

）A． B．C． D．【變式3】（2023·高二課時練習）已知雙曲線的左右焦點分別為?，為雙曲線右支上一點，點的坐標為，則的最小值為.題型05判斷方程是否表示雙曲線【典例1】（多選）（2023秋·山西晉中·高二統(tǒng)考期末）關于、的方程表示的軌跡可以是（

）A．橢圓 B．雙曲線 C．直線 D．拋物線【典例2】（多選）（2023春·安徽·高二合肥市第八中學校聯(lián)考開學考試）對于曲線C：，則下列說法正確的有（

）A．曲線C可能為圓 B．曲線C不可能為焦點在y軸上的雙曲線C．若，則曲線C為橢圓 D．若，則曲線C為雙曲線【變式1】（多選）（2023秋·浙江湖州·高二統(tǒng)考期末）已知曲線的方程為，則（

）A．曲線可以表示圓B．曲線可以表示焦點在軸上的橢圓C．曲線可以表示焦點在軸上的橢圓D．曲線可以表示焦點在軸上的雙曲線【變式2】（多選）（2023春·安徽安慶·高二安徽省宿松中學?？奸_學考試）方程表示的曲線可以是（

）A．圓B．焦點在y軸上的雙曲線C．焦點在y軸上的橢圓D．焦點在x軸上的雙曲線題型06根據(jù)方程表示雙曲線求參數(shù)【典例1】（2023春·湖南岳陽·高三湖南省岳陽縣第一中學?？奸_學考試）已知，則“”是“方程表示雙曲線”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【典例2】（2023春·內(nèi)蒙古興安盟·高二烏蘭浩特市第四中學?？茧A段練習）已知曲線是雙曲線，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式1】（2023·全國·高三對口高考）若曲線表示雙曲線，那么實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式2】（2023秋·高二課時練習）“”是“方程表示雙曲線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件D．既不充分也不必要條件題型07求雙曲線方程【典例1】（2023秋·高二課時練習）已知雙曲線過點，且與橢圓有公共焦點，則雙曲線的標準方程是（

）A． B．C． D．【典例2】（2023·全國·高三專題練習）2023年3月27日，貴州省首屆“美麗鄉(xiāng)村”籃球聯(lián)賽總決賽火爆開賽，被網(wǎng)友稱為“村BA”.從某個角度觀察籃球（如圖1），可以得到一個對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形狀為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標軸和雙曲線的一部分，若坐標軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，，視AD所在直線為x軸，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【典例3】（2023秋·高二課時練習）根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程：(1)以橢圓短軸的兩個端點為焦點，且過點；(2)經(jīng)過點和．【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的焦點為，，過的直線與的左支相交于兩點，過的直線與的右支相交于，兩點，若四邊形為平行四邊形，以為直徑的圓過，，則的方程為（

）A． B．C． D．【變式2】（2023春·河南洛陽·高二校聯(lián)考階段練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點P在雙曲線的右支上，若，則雙曲線C的方程為（

）A． B．C． D．【變式3】（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）過原點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點，為的右焦點，若，且，則雙曲線的方程為.題型08雙曲線中的軌跡方程問題【典例1】（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學校考模擬預測）已知雙曲線與直線有唯一的公共點，過點且與垂直的直線分別交軸、軸于兩點．當點運動時，點的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【典例2】（2023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，動點與定點的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)，設動點的軌跡為曲線.求曲線的方程；【典例3】（2023·高二課時練習）已知中的兩個頂點是，邊與邊所在直線的斜率之積是，求頂點的軌跡．【變式1】（2023秋·廣東·高二統(tǒng)考期末）動圓P過定點M(0，2)，且與圓N：相內(nèi)切，則動圓圓心P的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【變式2】（2023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，已知點，，點的軌跡為.求的方程；【變式3】（2023·全國·高三專題練習）如圖，動點與兩定點、構成，且直線的斜率之積為，設動點的軌跡為．求軌跡的方程；題型09雙曲線中的焦點三角形問題【典例1】（2023春·四川資陽·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，直線經(jīng)過且與的右支相交于A，B兩點，若，則的周長為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【典例2】（2023春·福建莆田·高二莆田一中?？茧A段練習）設，分別是雙曲線的左右焦點，過作軸的垂線與交于，兩點，若為正三角形，則的面積為（

）A． B．4 C． D．3【典例3】（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為為雙曲線右支上一點，為的內(nèi)切圓上一點，則取值范圍為（

）A． B．C． D．【典例4】（2023春·上海浦東新·高二上海南匯中學校考期中）已知，為雙曲線的左、右焦點，點P在雙曲線C上，，則．【典例5】（2023·海南?？凇そy(tǒng)考模擬預測）已知點，分別是雙曲線的左右焦點，過的直線與該雙曲線交于，兩點（點位于第一象限），點是△內(nèi)切圓的圓心，則；若的傾斜角為，△的內(nèi)切圓面積為，△的內(nèi)切圓面積為，則為.【變式1】（2023春·福建南平·高二?？茧A段練習）已知雙曲線，直線l過其上焦點，交雙曲線上支于A，B兩點，且，為雙曲線下焦點，的周長為18，則m值為（

）A．8 B． C．10 D．【變式2】（2023春·江西宜春·高二校聯(lián)考期末）已知，分別為雙曲線：的左、右焦點，左右頂點分別為，離心率為，點為雙曲線C上一點，直線的斜率之和為，的面積為，則（

）A． B． C． D．【變式3】（2023秋·高二單元測試）設雙曲線的左、右焦點分別為，，為雙曲線右支上一點，且，則的大小為．【變式4】（2023春·上海松江·高二上海市松江二中?？计谥校碾p曲線的左焦點引圓的切線，切點為，延長交雙曲線右支于點，若為線段的中點，為坐標原點，則的值是.【變式5】（2023·北京西城·統(tǒng)考二模）已知兩點．點滿足，則的面積是；的一個取值為．A夯實基礎B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎一、單選題1．（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期中）設P是雙曲線上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線左、右兩個焦點，若|PF1|=9，則|PF2|等于（

）A．1 B．17 C．1或17 D．82．（2023春·江西·高二校聯(lián)考期中）若方程表示雙曲線，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學校考模擬預測）已知，是雙曲線的左、右焦點，點M在雙曲線的右支上，設M到直線的距離為d，則的最小值為（

）A．7 B． C．8 D．4．（2023秋·甘肅天水·高二天水市第一中學校考期末）由倫敦著名建筑事務所SteynStudio設計的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學與建筑完美結合造就的藝術品．若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線下支的一部分，且此雙曲線的虛軸長為2，離心率為2，則該雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．5．（2023春·四川資陽·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，直線經(jīng)過且與的右支相交于A，B兩點，若，則的周長為（

）A．6 B．8 C．10 D．126．（2023春·河南洛陽·高二統(tǒng)考期末）如圖，，分別是雙曲線的左、右焦點，，點在雙曲線的右支上，的延長線與軸交于點，的內(nèi)切圓在邊上的切點為，若，則此雙曲線的漸近線方程為（

）

A． B． C． D．7．（2023·全國·校聯(lián)考三模）若雙曲線與雙曲線有相同的焦距，且過點，則雙曲線的標準方程為（

）A． B．C．或 D．或8．（2023春·江西宜春·高二校聯(lián)考期末）已知，分別為雙曲線：的左、右焦點，左右頂點分別為，離心率為，點為雙曲線C上一點，直線的斜率之和為，的面積為，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023秋·江蘇南京·高二校考期末）已知方程表示的曲線為，則下列四個結論中正確的是（

）A．當時，曲線是橢圓B．當或時，曲線是雙曲線C．若曲線是焦點在軸上的橢圓，則D．若曲線是焦點在軸上的橢圓，則10．（2023春·廣東廣州·高三廣州科學城中學?？茧A段練習）已知點在雙曲線上，分別是左?右焦點，若的面積為20，則下列判斷正確的有（

）A．點到軸的距離為B．C．為鈍角三角形D．三、填空題11．（2023秋·高二單元測試）設雙曲線的左、右焦點分別為，，為雙曲線右支上一點，且，則的大小為．12．（2023秋·福建三明·高二統(tǒng)考期末）已知圓，圓，若動圓E與，都外切，則圓心E的軌跡方程為.四、解答題13．（2023·高二課時練習）（1）求焦點在x軸上，長軸長為6，焦距為4的橢圓標準方程；（2）求離心率，焦點在x軸，且經(jīng)過點的雙曲線標準方程.14．（2023·高二單元測試）若雙曲線C：上一點到左、右焦點的距離之差的絕對值為2.(1)求雙曲線C的方程；(2)設、是雙曲線的左、右焦點，點P是雙曲線上的點，若，求的面積.15．（2023·全國·高二專題練習）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)焦點為，，且雙曲線上的一點到兩個焦點距離之差為2；(2)焦點在y軸上，焦距為10，且經(jīng)過點；(3)經(jīng)過點，.B能力提升1．（2023春·江西宜春·高二校聯(lián)考期末）已知，分別為雙曲線：的左、右焦點，左右頂點分別為，離心率為，點為雙曲線C上一點，直線的斜率之和為，的面積為，則