高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版選擇性必修一）第30講 3.3.1拋物線及其標(biāo)準方程（學(xué)生版）

第05講3.3.1拋物線及其標(biāo)準方程課程標(biāo)準學(xué)習(xí)目標(biāo)①掌握拋物線的定義、標(biāo)準方程和拋物線的簡單性質(zhì)。②了解拋物線在實際問題中的初步應(yīng)用。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握拋物線的定義，標(biāo)準方程及相關(guān)的條件，并能應(yīng)用拋物線的定義解決實際問題知識點01：拋物線的定義1、拋物線的定義：平面內(nèi)與一個定點和一條定直線（其中定點不在定直線上）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線．2、拋物線的數(shù)學(xué)表達式：(為點到準線的距離).【即學(xué)即練1】（2023春·四川涼山·高二寧南中學(xué)校聯(lián)考期末）已知拋物線上一點P到y(tǒng)軸的距離為2，焦點為F，則（

）A．2 B．3 C． D．【答案】B【詳解】由題得拋物線的準線方程為，所以點P到準線的距離為，由拋物線的定義得3.故選：B

知識點02：拋物線的標(biāo)準方程設(shè)，拋物線的標(biāo)準方程、類型及其幾何性質(zhì)：方程（）（）（）（）圖形焦點準線【即學(xué)即練2】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知拋物線的標(biāo)準方程如下，分別求其焦點和準線方程：(1)；(2)．【答案】(1)焦點為，準線方程為；(2)焦點為，準線方程為．【詳解】（1）由拋物線方程為，可得，且焦點在軸正半軸上，所以可得其焦點為，準線方程為；（2）將化成標(biāo)準方程為，可得，且焦點在軸負半軸上，所以焦點為，準線方程為.特別說明：1、要注意弄清拋物線四種形式的標(biāo)準方程的特征及其對應(yīng)拋物線的形狀(焦點位置、開口方向等).拋物線的標(biāo)準方程中,有一個一次項和一個二次項,二次項的系數(shù)為1,一次項的系數(shù)為;若一次項的字母是,則焦點就在軸上,若其系數(shù)是正的,則焦點就在軸的正半軸上(開口向右),若系數(shù)是負的,焦點就在軸的負半軸上(開口向左);若一次項的字母是,則焦點就在軸上,若其系數(shù)是正的,則焦點就在軸的正半軸上(開口向上),若系數(shù)是負的,焦點就在軸的負半軸上(開口向下).2、焦點的非零坐標(biāo)是標(biāo)準方程下一次項系數(shù)的.3、準線與坐標(biāo)軸的交點和拋物線的焦點關(guān)于原點對稱.4、（1）通徑：過焦點且垂直于對稱軸的弦長等于，通徑是過焦點最短的弦.（2）拋物線（）上一點到焦點的距離，也稱為拋物線的焦半徑.題型01拋物線定義的理解【典例1】（2023秋·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）若拋物線上一點到軸的距離為，則點到拋物線的焦點的距離為．【典例2】（2023·四川成都·四川省成都列五中學(xué)?？既＃┤魭佄锞€上的點P到焦點的距離為8，到軸的距離為6，則拋物線的標(biāo)準方程是（

）A． B． C． D．【變式1】（2023春·陜西榆林·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點為，點在上，若到直線的距離為7，則.【變式2】（2023春·江西宜春·高三江西省宜春中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若拋物線上一點到焦點的距離是該點到軸距離的3倍，則.題型02利用拋物線定義求方程【典例1】（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)圓與y軸交于A，B兩點（A在B的上方），過B作圓O的切線l，若動點P到A的距離等于P到l的距離，則動點P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知動點的坐標(biāo)滿足，則動點的軌跡方程為．【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點，過點且與y軸垂直的直線為，軸，交于點N，直線l垂直平分FN，交于點M.求點M的軌跡方程；【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）動點到y(tǒng)軸的距離比它到定點的距離小2，求動點的軌跡方程．題型03拋物線上點到定點距離及最值【典例1】（2023春·河南焦作·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知點A是拋物線上的點，點，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．【典例2】（2023春·云南昭通·高三?？茧A段練習(xí)）拋物線上任意一點P到點的距離最小值為.【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）動點在拋物線上，則點到點的距離的最小值為（

）A． B． C． D．12【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點在拋物線上，點在圓上，則長度的最小值為.題型04拋物線上點到定點與焦點距離的和（差）最值【典例1】（2023秋·陜西·高二校聯(lián)考期末）已知拋物線：的焦點為，拋物線上有一動點，且，則的最小值為（

）A．8 B．16 C．11 D．26【典例2】（2023春·甘肅武威·高二武威第六中學(xué)?？计谥校┦菕佄锞€的焦點，點，為拋物線上一點，到直線的距離為，則的最小值是（

）A． B． C．3 D．【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點是坐標(biāo)平面內(nèi)一定點，若拋物線的焦點為，點是拋物線上的一動點，則的最小值是.【變式1】（2023秋·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高二?？计谀c是拋物線的焦點，直線為拋物線的準線，點為直線上一動點，點在以為圓心，為半徑的圓上，點在拋物線上，則的最大值為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023秋·高二單元測試）已知拋物線的焦點為F，點M（3，6），點Q在拋物線上，則的最小值為．題型05根據(jù)拋物線方程求焦點和準線【典例1】2．（2023春·四川·高二統(tǒng)考期末）拋物線的焦點坐標(biāo)是（

）A． B．C． D．【典例2】（2023春·上海浦東新·高二統(tǒng)考期末）拋物線的準線方程是．【變式1】（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)（且）的圖像過定點A，若拋物線也過點A，則拋物線的準線方程為.題型06拋物線的焦半徑公式【典例1】（2023春·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線上的點到其焦點的距離為，則點的橫坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【典例2】（多選）（2023秋·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，若為坐標(biāo)原點，則（

）A．點的坐標(biāo)為 B．C． D．【變式1】（2023·安徽滁州·安徽省定遠中學(xué)?？级＃┮阎獮閽佄锞€上一點，點到的焦點的距離為，則的焦點坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023春·四川宜賓·高二四川省宜賓市第四中學(xué)校?？计谀佄锞€上的點到焦點的距離為，則點的縱坐標(biāo)為.題型07求拋物線方程【典例1】（2023春·四川南充·高二四川省南充高級中學(xué)?？计谥校示€方程為的拋物線的標(biāo)準方程是（

）A． B．C． D．【典例2】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二校考階段練習(xí)）經(jīng)過點的拋物線的標(biāo)準方程是（

）A．或 B．或C．或 D．或【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線同時滿足以下三個條件①的頂點在坐標(biāo)原點；②的對稱軸為坐標(biāo)軸；③的焦點在圓上．則的方程為．（寫出一個滿足題意的即可），【變式1】（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）已知拋物線的焦點為F，C上一點滿足，則拋物線C的方程為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)點F是拋物線的焦點，l是該拋物線的準線，過拋物線上一點A作準線的垂線AB，垂足為B，射線AF交準線l于點C，若，，則拋物線的方程為（

）A． B．C． D．【變式3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線上一點到焦點的距離．求拋物線的方程；題型08拋物線的實際問題【典例1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）清代青花瓷蓋碗是中國傳統(tǒng)茶文化的器物載體，具有“溫潤”“淡遠”“清新”的特征．如圖，已知碗體和碗蓋的內(nèi)部均近似為拋物線形狀，碗蓋深為，碗蓋口直徑為，碗體口直徑為，碗體深，則蓋上碗蓋后，碗蓋內(nèi)部最高點到碗底的垂直距離為（碗和碗蓋的厚度忽略不計）（

）

A． B． C． D．【典例2】（2023春·廣東韶關(guān)·高二校考階段練習(xí)）有一個隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一長方形和拋物線構(gòu)成，如圖所示.為了保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少為0.7m，若行車道總寬度為7.2m，則車輛通過隧道時的限制高度為m.【變式1】（2023春·甘肅白銀·高二校考期末）圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時，拱頂距離水面2米，水面寬度為8米，則當(dāng)水面寬度為10米時，拱頂與水面之間的距離為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)學(xué)與建筑的結(jié)合造就建筑藝術(shù)，如圖，吉林大學(xué)的校門是一拋物線形水泥建筑物，若將校門輪廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成拋物線的一部分，其焦點坐標(biāo)為．校門最高點到地面距離約為18.2米，則校門位于地面寬度最大約為（

）A．18米 B．21米 C．24米 D．27米A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）拋物線的焦點到其準線的距離為（

）A． B． C． D．2．（2023春·河南南陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）拋物線C：過點，則C的準線方程為（

）A． B． C． D．3．（2023春·廣東東莞·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）一種衛(wèi)星接收天線（如圖1），其曲面與軸截面的交線可視為拋物線的一部分（如圖2），已知該衛(wèi)星接收天線的口徑米，深度米，信號處理中心位于焦點處，以頂點為坐標(biāo)原點，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，則該拋物線的方程為（

）

A． B． C． D．4．（2023春·湖北·高二十堰一中校聯(lián)考期中）已知的頂點都在拋物線上，且的重心為拋物線的焦點F，則（

）A．3 B．6 C．9 D．125．（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考期中）拋物線繞其頂點逆時針旋轉(zhuǎn)之后，得到的圖象正好對應(yīng)拋物線，則（

）A． B． C．1 D．6．（2023春·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點為F，點在C上，則（

）A．7 B．6 C．5 D．47．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線，F(xiàn)為拋物線的焦點，P為拋物線上一點，過點P作PQ垂直于拋物線的準線，垂足為Q，若，則△PFQ的面積為（

）A．4 B． C． D．8．（2023·重慶萬州·重慶市萬州第三中學(xué)?？寄M預(yù)測）過拋物線的焦點，作傾斜角為的直線交于，兩點，交的準線于點，若（為坐標(biāo)原點），則線段的長度為（

）A．8 B．16 C．24 D．32二、多選題9．（2023秋·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學(xué)?？计谀┫铝姓f法中，正確的有（

）A．過點并且傾斜角為0°的直線方程為B．雙曲線的漸近線方程為C．點關(guān)于的對稱點坐標(biāo)為D．拋物線的準線方程是10．（2023春·廣西·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線的左、右焦點分別為，拋物線的焦點與雙曲線C的一個焦點重合，點P是這兩條曲線的一個公共點，則下列說法正確的是（

）A． B．的周長為16C．的面積為 D．三、填空題11．（2023秋·高二課時練習(xí)）點到拋物線的準線的距離為6，那么拋物線的方程是．12．（2023春·江蘇南京·高二南京市江寧高級中學(xué)校聯(lián)考期末）已知拋物線C：的焦點為F，準線為，經(jīng)過點F的直線與拋物線C相交A，B兩點，與x軸相交于點M，若，，則.四、解答題13．（2023春·四川遂寧·高二統(tǒng)考期末）分別求適合下列條件的方程：(1)長軸長為10，焦距為4的橢圓標(biāo)準方程；(2)經(jīng)過點的拋物線的標(biāo)準方程.14．（2023春·四川成都·高二?？茧A段練習(xí)）動點與定點的距離等于點P到直線的距離，設(shè)動點P的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)經(jīng)過定點直線與曲線交于兩點，且點M是線段AB的中點，求直線的方程．15．（2023秋·河南信陽·高二信陽高中?？计谀┮阎獟佄锞€的準線與x軸交于點．（1）求拋物線C的方程；（2）若過點M的直線l與拋物線C相切，求直線l的方程．B能力提升1．（2023春·河南開封·高三統(tǒng)考期末）已知拋物線，圓，為上一點，為上一點，則的最小值為（

）A．5 B． C．2 D．32．（2023春·陜西漢中·高二統(tǒng)考期末）過圓錐曲線的焦點且與焦點所在的對稱軸垂直的弦被稱為該圓錐曲線的通徑，清代數(shù)學(xué)家明安圖在《割圓密率捷法》中，也稱圓的直徑為通徑.已知圓的一條通徑與拋物線的通徑恰好構(gòu)成一個正方形的一組鄰邊，則（

）A． B．1 C．2 D．43．（2023·江蘇無錫·校聯(lián)考三模）已如，是拋物線上的動點（異于頂點），過作圓的切線，切點為，則的最小值為.4．（2023·河北石家莊·正定中學(xué)?？寄M預(yù)測）希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得?阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點A，B的距離之比為定值的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在